微积分(1)中常见的基本公式(一)
高等数学常用微积分公式
高等数学常用微积分公式一、极限1.无穷大与无穷小：当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。
常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；2.函数极限：若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L；3.等价无穷小：若 f(x) 和 g(x) 都是x→a 时的无穷小，并且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是x→a 时的等价无穷小。
二、导数1.导数的定义：若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。
2.常见函数的导数：(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'；(2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx = f'(u)*g'(x)。
3.高阶导数：函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。
可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。
三、微分1.微分的定义：函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) = f'(x)dx。
2.微分的性质：(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；(5) 除法微分：d(u/v) = (v*du - u*dv)/v^2，其中v ≠ 0；(6) 复合函数微分：若 y=f(u)，u=g(x)，则 dy = f'(u)du =f'(g(x))g'(x)dx。
dx微积分所有公式,微积分24个基本公式
dx微积分所有公式，微积分24个基本公式dx表示x变化无限小的量，其中d表示“微分”，是“derivative(导数)”的第一个字母。
当一个变量x，越来越趋向于一个数值a时，这个趋向的过程无止境的进行，x与a的差值无限趋向于0，就说a是x的极限。
这个差值，称它为“无穷小”，它是一个越来越小的过程，一个无限趋向于0的过程，它不是一个很小的数，而是一个趋向于0的过程。
扩展资料：注意微分的几何意义：设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。
f(x0)在表示曲线y=f(x)在切点m(x0,f(x0))处切线的斜率。
(1)微积分的基本公式共有四大公式：1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度有关(2)微积分常用公式：dx sin x=cos xcos x = -sin xtan x = sec2 xcot x = -csc2 xsec x = sec x tan xcsc x = -csc x cot xsin x dx = -cos x + ccos x dx = sin x + ctan x dx = ln |sec x | + ccot x dx = ln |sin x | + csec x dx = ln |sec x + tan x | + c csc x dx = ln |csc x - cot x | + c sin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x) = - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = - cot-1 xsec-1(-x) = - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xdx sin-1 ()=cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)=sin-1 x dx = x sin-1 x++ccos-1 x dx = x cos-1 x-+ctan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+c cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+c sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+c csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+c sinh-1 ()= ln (x+) xrcosh-1 ()=ln (x+) x≥1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0≤x≤1csch-1 ()=ln(+) |x| 0dx sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech2 xcoth x = -csch2 xsech x = -sech x tanh xcsch x = -csch x coth xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x + ctanh x dx = ln | cosh x |+ c coth x dx = ln | sinh x | + c sech x dx = -2tan-1 (e-x) + c csch x dx = 2 ln || + cduv = udv + vduduv = uv = udv + vdu→ udv = uv - vducos2θ-sin2θ=cos2θcos2θ+ sin2θ=1cosh2θ-sinh2θ=1cosh2θ+sinh2θ=cosh2θdx sinh-1()=cosh-1()=tanh-1()=coth-1()=sech-1()=csch-1(x/a)=sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ ccosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ ctanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ c coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ c sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + c csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + c sin 3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3θ-3cosθ→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)sin x = cos x =sinh x = cosh x =正弦定理:= ==2r余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosαb2=a2+c2-2ac cosβc2=a2+b2-2ab cosγsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β sin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)=,cot (α±β)=ex=1+x+++…++ …sin x = x-+-+…++ …cos x = 1-+-+++ln (1+x) = x-+-+++tan-1 x = x-+-+++(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= [ n (n+1)]2γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dtβ(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx转换为 f (ω ) = 解f (t ) = ± jω0t f ( t ) e ? jωt dt f ( t ) e ? j(ω ?ω0 ) t dt = f (ω ? ω0 ) 。
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、导数、积分等基本概念和基本运算法则。
本文将介绍微积分的基本公式和计算方法。
1.极限：极限是微积分的基本概念之一，用来描述函数在特定点处的趋势。
极限的计算有以下几个基本公式：-基本极限公式：- $\lim_{x\to c} x = c$：常数函数的极限是其本身。
- $\lim_{x\to c} k f(x) = k \lim_{x\to c} f(x)$：常数倍法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c} f(x) +\lim_{x\to c} g(x)$：和法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to c} f(x)\cdot \lim_{x\to c} g(x)$：积法则。
- $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}$（假设$\lim_{x\to c} g(x) \neq 0$）：商法则。
-重要极限：- $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$：无穷小的定义。
- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：著名的夹逼定理的应用。
- $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$：自然对数的底数。
2.导数与微分：导数是函数在其中一点处的变化率，表示函数的斜率。
导数的计算有以下几个基本公式：-基本导数公式：- $\frac{d}{dx} (k f(x)) = k \frac{d}{dx} f(x)$：常数倍法则。
- $\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) +\frac{d}{dx} g(x)$：和法则。
高等数学一(微积分)常用公式表
高等数学一(微积分)常用公式表-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 （2）(a-b)²=a ²-2ab+b ²（3）(a+b)(a-b)=a ²-b ² （4）a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) （5）a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)2、指数公式：（1）a 0=1 （a ≠0）（2）a P -=P a 1（a ≠0）（3）amn=mna（4）a m a n =a n m +（5）a m ÷a n=n m aa =a nm -（6）（am）n =amn（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n n ba （9）（a ）2=a （10）2a =|a|3、指数与对数关系： （1）若a b=N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN （3）若be =N ，则b=㏑N4、对数公式： （1）b a b a =log , ㏑eb=b （2）N aaN=log ，eNln =N（3）aN N a ln ln log =（4）a b be aln = （5）N M MN ln ln ln +=（6）N M NMln ln ln -= （7）Mn M n ln ln =（8）㏑nM =M nln 15、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)²（4）αααtan cos sin =（5）αααcot sin cos =（6）ααtan 1cot =（7）ααcos 1csc =（8）ααcos 1sec =7.倍角公式： （1）αααcos sin 22sin = （2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a - （2）（2cosα）2=2cos 1a + （3）2tan α=a a sin cos 1+=a acos 1sin +常用公式表（二）1、求导法则：（1）（u+v ）/=u /+v / （2）（u-v ）/=u /-v /（3）（cu ）/=cu / （4）（uv ）/=uv /+u/v （5）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5、定积分公式：（1）⎰⎰=babadtt f dx x f )()( （2）⎰=aadx x f 0)(（3）()()dx x f dx x f abba⎰⎰-= （4）⎰⎰⎰+=bac ab cdxx f dx x f dx x f )()()(（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰-=aadx x f 0)(（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则6、积分定理：（1）()()x f dt t f xa ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ ()()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2（3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰7.积分表()C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 2()C a xa dx x a +=+⎰arctan 11322 ()C a x dx x a +=-⎰arcsin 1422()C a x ax a dx ax ++-=-⎰ln 211522 8．积分方法()()bax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv。
微积分常用公式及运算法则(上册)
0,
π 2
1
lim nn = 1
n→∞
1
lim x x = 1
x→+∞
lim
x→∞
1
+
1 x x
=
e,
lim
x→∞
1
−
1 x x
=
1 , lim (1+
e x→0
1
x)x
=e
等价无穷小： 当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;(1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0);
2!
n!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 −⋯ 3! 5!
柯西中值定理： 若f , g ∈C[a,b],并且f , g ∈ D(a,b),在(a,b)内 g(x) ≠ 0, 那么至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) g(b) − g(a) g′(ξ )
泰勒中值定理：
如果函数f (x)在含x0的某个开区间(a, b) 内具有(n +1)阶导数，即f ∈ Dn+1(a,b)，
u v
′
=
u′v − uv′ v2
设x = ϕ ( y)，它的反函数是y = f (x)，则有
f
′( x)
=
1 ϕ′( y)
链式求导法则：d y = d y id u dx du dx
对数求导法则：
求幂指函数y = [u(x)]v(x)的导数时，
可先取对数，得 ln y = v(x) ln u(x)，
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
微积分(上)复习资料——公式
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
13、
1 1 x2
dx
arctanx
c
14、 tan xdx ln cosx c
cot(A B) cot A cot B 1 cot B cot A
sin 2A 2sin Acos A
tan
2
A
1
2
tan tan
A 2A
3.半角公式
cos 2A cos2 A sin2 A 1 2sin2 A 2cos2 A 1
sin A 1 cos A
2
2
cos A 1 cos A
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
log a x
1 dx x ln a
⒀ d arcsin x 1 dx
1 x2
⒁ d arccos x 1 dx
1 x2
微分运算法则 ⑴ d u v du dv
⑶ d uv vdu udv
⒂
d
arctan
x
1 1 x2
dx
⒃
d
arc cot
x
1
1 x2
dx
⑵ d cu cdu
lim n a (a o) 1
n
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式 (2) 微分公式(xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx(a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx(loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx(sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx(con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx(tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx(cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx(sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx (csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx (arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2 dx (arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2 dx (arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx (sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）= αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成 dy = fˊ(μ) dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
微积分(一)中常见的基本公式(一)
微积分(一)中常见的基本公式(一)1. 极限的基本公式：极限的定义：如果一个函数 f(x) 当 x 趋近于某个数 a 时，其值趋近于一个确定的数 L，那么我们称 L 是 f(x) 当 x 趋近于 a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
极限的运算法则：如果lim(x→a) f(x) = L 和lim(x→a)g(x) = M，那么：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L + Mlim(x→a) [f(x) g(x)] = L Mlim(x→a) [f(x) g(x)] = L Mlim(x→a) [f(x) / g(x)] = L / M（前提是M ≠ 0）2. 导数的基本公式：导数的定义：如果一个函数 f(x) 在某一点 x0 处可导，那么 f(x) 在 x0 处的导数定义为f'(x0) = lim(h→0) [f(x0 + h)f(x0)] / h。
导数的运算法则：如果 f(x) 和 g(x) 都可导，那么： (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(f(x) g(x))' = f'(x) g'(x)(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)(f(x) / g(x))' = [f'(x) g(x) f(x) g'(x)] /[g(x)]^2（前提是g(x) ≠ 0）3. 积分的基本公式：不定积分的定义：如果一个函数 f(x) 的一个原函数 F(x) 存在，那么 F(x) 的不定积分表示为∫ f(x) dx = F(x) + C，其中C 是常数。
基本积分公式：∫ x^n dx = (1/n+1) x^(n+1) + C（n ≠ 1）∫ 1/x dx = ln|x| + C∫ e^x dx = e^x + C∫ sin(x) dx = cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ a^x dx = (1/ln(a)) a^x + C这些基本公式是微积分学习中的基石，熟练掌握它们将有助于更好地理解微积分的核心概念。
微积分(1)中的常见公式-1
2
2
a
24. x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C (a 0).
2
2
5
七、 反函数的求导公式
设 y f (x) 的反函数为 x g( y)，若 f (x) 可导，则 g( y) 也可导，且
dx 1
1
，即 g( y) . f (x) 0.
dy dy
f (x)
dx
2
浙江大学城市学院微积分(1)复习 — vr9731
八、 复合函数求导的链式法则
设函数 u g(x) 在点 x 处可导，函数 y f (u) 在对应点 u g(x) 处可导， dy dy du
8. sec2 xdx tan x C ；
9. csc2 xdx cot x C ；
1
11. 1 x2 dx arctan x C ； 13. csc x cot xdx csc x C ；
dx 1 x a
15.
ln
C；
x2 a2 2a x a
1
10.
dx arcsin x C ； 1 x2
【注】拉格朗日中值定理的几何意义：
在光滑连续曲线上一定存在平行于端点弦的切线.
其中的“中值” 有时也表示为 a (b a)，(其中：0 1)
4、费马 (Fermat) 定理(极值存在的必要条件)：
设 f (x) 在 x0 处有极值，且 f (x0 )存在，则：f (x0 ) 0.
不妨假设 f (x) 在 x0 处有极大值，则：
(x)
eA.
xa
xa
xa
xa
由于limln 1
f
g(x)
(x)
ln 1
基本积分公式
基本积分公式在微积分中，积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。
基本积分公式是包含常见函数的积分公式，它们可以直接应用于各种问题的求解。
这些公式可以帮助我们快速计算积分，并在进行更复杂的积分时提供一个基础。
下面是一些常见的基本积分公式：1.幂函数的积分：(1) 若n ≠ -1，则有∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C(2) 若 n = -1，则有∫ dx/x = ln，x， + C举例来说，∫ x^3 dx = (x^4)/4 + C，∫ dx/x = ln，x， + C2.指数函数的积分：(1) ∫ e^x dx = e^x + C(2) ∫ a^x dx = (a^x)/ln，a， + C这里的a是一个正常数且不等于1举例来说，∫ e^x dx = e^x + C，∫ 3^x dx = (3^x)/ln(3) + C3.三角函数的积分：(1) ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C(2) ∫ cos(x) dx = sin(x) + C(3) ∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C(4) ∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C(5) ∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C(6) ∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C举例来说，∫ sin(x) dx = -cos(x) + C，∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C4.反三角函数的积分：(1) ∫ 1/√(1 - x^2) dx = arcsin(x) + C(2) ∫ -1/√(1 - x^2) dx = arccos(x) + C(3) ∫ 1/(1 + x^2) d x = arctan(x) + C(4) ∫ -1/(1 + x^2) dx = -arctan(x) + C注意：这里的反三角函数指的是反正弦、反余弦和反正切函数。
自考高等数学一(微积分)常用公式表
高 数 常 用 公 式 表常用公式表（一）1、乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 （2）(a-b)²=a ²-2ab+b ² （3）(a+b)(a-b)=a ²-b ² （4）a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) （5）a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²) 2、指数公式：（1）a 0=1 （a ≠0） （2）a P -=P a 1（a ≠0） （3）a m n=m n a（4）a m a n =a n m + （5）a m ÷a n =n m a a =a n m - （6）（a m ）n=a（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n nb a （9）（a ）2=a（10）2a =|a| 3、指数与对数关系：（1）若a b =N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN （3）若b e =N ，则b=㏑N 4、对数公式：（1）b a b a =log , ㏑e b=b （2）N a aN =log ，e Nln =N（3）aNN a ln ln log = （4）a b b e a ln = （5）N M MN ln ln ln +=（6）N M N Mln ln ln -= （7）M n M n ln ln = （8）㏑=M n ln 1 5、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)² （4）αααtan cos sin = （5）αααcot sin cos =（6）ααtan 1cot = （7）ααcos 1csc = （8）ααcos 1sec =6、特殊角三角函数值：αsina 0 1 0 --1 0 cosa 10 --1 0 1 tana 0 1 ∞ 0 --∞ 0 cota∞10 --∞ 0 ∞7.倍角公式：（1）（2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a - （2）（2cos α）2=2cos 1a + （3）2tan α=a a sin cos 1+=a acos 1sin +9、三角函数与反三角函数关系：（1）若x=siny ，则y=arcsinx （2）若x=cosy ，则y=arccosx（3）若x=tany ，则y=arctanx （4）若x=coty ，则y=arccotx 10、函数定义域求法：（1）分式中的分母不能为0， （a 1α≠0）（2）负数不能开偶次方， （a α≥0） （3）对数中的真数必须大于0， （N a log N>0） （4）反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足：（--1≤x ≤1） （5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
微分积分公式
微分积分公式
微分积分公式是微积分中最基础的公式，也是应用最广泛的公式之一。
微分积分公式可以帮助我们求解各种函数的导数和积分，为我们解决各种实际问题提供了很大的帮助。
下面列举一些常见的微分积分公式：
1.导数公式：
（1）常数函数的导数为0；
（2）幂函数的导数为其指数减1乘以常数系数；
（3）基本初等函数的导数公式；
（4）和、积、商的求导法则；
（5）复合函数的求导法则。
2.积分公式：
（1）不定积分的基本公式；
（2）定积分的求解公式；
（3）分部积分法、换元积分法等积分法则；
（4）常见的反三角函数积分公式。
以上仅是微分积分公式中的一部分，还有很多其他的公式，应用也十分广泛。
在学习计算机科学、物理学、工程学等领域时，微分积分公式都是不可或缺的工具。
- 1 -。
微积分学基本公式
四、1、0； .
1 2、 . 10
b
5.定积分中值定理
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
y
f ( )
y=fห้องสมุดไป่ตู้x)
o
a
b
x
三、原函数存在定理
若函数 f (x) 在 [a, b] 上连续，则变 上限定积分
( x )
x
a
f (t )dt
在区间 [a, b] 上可导，且有
d x ( x) f (t )dt f ( x) dx a a x b
变限积分求导: 问：
d ( x) f (t ) d t ? dx a
d ( x) f (t ) d t ? d x ( x)
1 dx. 2 x
例6
解
求
1
2
1 dx. 2 x
1
1
2
1 1 1 dx ( ) 2 x x 2 2
例7 计算
2 0
1 cos x dx
2
例7 计算
2 0
1 cos x dx
2 2
解：原式 0 sin x dx
sin x dx ( sin x) dx
一. 定积分的定义
设函数 f ( x ) 在[a , b]上有定义，
1. 分割
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
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23.
x 2 a2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C (a > 0). 2 2
2 2
3
2
n 1
七、 常见函数的泰勒 (Taylor ) 展开（ Maclaurin 展开的 Peano 余项） x 2 x3 + + o( x 3 )； 2! 3! x2 x4 (3) cos x = 1 − + + o( x 4 )； 2! 4! x3 3 5 x + o( x 5 )； (5) arcsin x = x + + 6 40 x 2 x3 (7)ln(1 + x ) = x − + + o( x 3 )； 2 3 (1) e x = 1 + x + 八、 常见的不定积分公式 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. x3 x5 + + o( x 5 )； 3! 5! x3 2 (4) tan x = x + + x5 + o( x 5 )； 3 15 x 3 x5 (6)arctan x = x − + + o( x 5 ) 3 5 α (α − 1) 2 (8) (1 + x)α = 1 + α x + x + o( x 2 ). 2! (2) sin x = x −
1
五、 几个常见函数的导数 (1)
x ±a (3) 幂指函数的导数
2
(
x2 ± a2
)′ =
x
2
；
(2)
(
a2 − x2
)′ = −
x a − x2
2Hale Waihona Puke . (a > 0)设 y = u ( x)v ( x ) ( u ( x ) > 0 )，且 u ( x)、v ( x) 均可导，则 u′( x ) y′ = ( ev ( x ) ln u ( x ) )′ = ev ( x ) ln u ( x ) v′( x) ln u ( x) + v ( x) ⋅ u( x) u′( x) = u ( x )v ( x ) v′( x )ln u ( x ) + v( x) ⋅ . u ( x) 【注】：幂指函数的导数也可用对数求导法计算， ln y = v( x )ln u ( x )，则 1 u′( x) u′( x) ⋅ y′ = v′( x )ln u ( x ) + v( x) ⋅ ⇒ y′ = u ( x )v ( x ) v′( x )ln u ( x ) + v( x ) ⋅ . y u ( x) u ( x) (4) 设 y = (1 + x ) x ( x > 0)，求： y′. x x − ln(1 + x) − ln(1 + x ) ln(1+ x ) 1 ln(1x+ x ) ′ 1+ x x x ⋅ 1+ x e 1 . y′ = e x = ⋅ = + ( ) x2 x2 1 x ln(1 + x) > y = (1 + x ) x 在 (0， 当 x > 0 时， ，因此， + ∞) 上单调递减. 1+ x 1 由此可得，数列 an = 1 + 单调递增. n 六、 微积分中值定理
2
∫ sin xdx = − cos x + C ； ∫ csc
2
xdx = tan x + C ； 1 dx = arcsin x + C ；
xdx = − cot x + C ； dx = arctan x + C ；
1 − x2
∫ 1+ x ∫x ∫
1
2
∫ sec x tan xdx = sec x + C ； ∫ ax + b = a ln ax + b + C (a ≠ 0)； ∫x ∫
( f ′( x ) ≠ 0.)
四、 复合函数求导的链式法则 设函数 u = g ( x ) 在点 x 处可导，函数 y = f (u ) 在对应点 u = g ( x) 处可导， dy dy du 则复合函数 y = f ( g ( x) ) 在点 x 处可导，且 = ⋅ .即 dx du dx
( f ( g ( x)) )′ = f ′ ( g ( x) ) ⋅ g ′( x).
( )
(10) (cot x)′ = − csc 2 x； (12) (csc x)′ = − csc x cot x； 1 (14) (arccos x)′ = − ； 1 − x2 1 (16) (arc cot x)′ = − . 1 + x2 1 1 ′ 1 ′ x = ； =− 2. x 2 x x
二、 导数的四则运算法则 设 u = u ( x)， v = v ( x ) 为可导函数，则 u ′ u′v − uv′ (1) ( u ± v )′ = u′ ± v′； (2) (uv)′ = u′v + uv′；(3) = (v ≠ 0). v2 v (4) 若 uk = uk ( x) (k = 1， 2， L，n) 均为可导函数，则
1、罗尔 ( Rolle) 定理： 假设 f ( x) 在 [ a，b] 上满足 (1) f ( x) 在 [ a，b] 上连续； (2) f ( x) 在 (a，b ) 内可导； (3) f ( a ) = f (b ). ∃ξ ∈ ( a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0. 则： 2、 拉格朗日 ( Lagrange) 中值定理： 假设 f ( x ) 在 [ a，b] 上满足 (1) f ( x) 在 [ a，b] 上连续； (2) f ( x) 在 ( a，b) 内可导； f (b ) − f (a ) ∃ξ ∈ ( a，b) 使得 f ′(ξ ) = 则： ； 或 f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ). b−a 3、 柯西中值定理：假设 f ( x)、g ( x) 在 [ a，b] 上满足 (1) f ( x)、g ( x) 在 [ a，b] 上连续； (2) f ( x)、g ( x) 在 (a，b ) 内可导； (3) g ′( x) ≠ 0. f (b) − f ( a ) f ′(ξ ) 则：∃ξ ∈ ( a，b) 使得 = . g (b) − g ( a ) g ′(ξ ) 【注】拉格朗日中值定理的几何意义： 在光滑连续曲线上一定存在平行于端点弦的切线. 其中的“中值” ξ 有时也表示为 ξ = a + θ (b − a )，其中： ( 0 < θ < 1)
2
∫ csc x cot xdx = − csc x + C ；
2
dx
1
1 dx x−a ln = + C； 2 −a 2a x + a dx = arcsin x + C； a
dx 1 x = arctan + C ； 2 +a a a dx x +a
2 2
17. 19. 21. 22.
a −x
2
∫ dx = x + C ； ∫ x dx = ln x + C ；
x ∫ a dx =
x α +1 2. ∫ x dx = + C (α ≠ 1)； α +1
α
1
4. 6. 8. 10. 12. 14. 16.
∫ e dx = e
x
x
+C ；
ax +C ； ln a
∫ cos xdx = sin x + C ； ∫ sec ∫
( u1u2 Lun )′ = u1′u2 L un + u1u2′ Lun + L + u1u2 Lun′.
三、 反函数的求导公式 设 y = f ( x ) 的反函数为 x = g ( y )，若 f ( x) 可导，则 g ( y ) 也可导，且
dx 1 1 = ，即 g ′( y ) = . dy dy f ′( x ) dx
2
18. 20.
= ln x + x 2 + a 2 + C；
(
)
∫ tan xdx = − ln cos x + C； ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C； ∫ ∫
a 2 − x 2 dx =
∫ cot xdx = − ln sin x + C；
x 2 a2 x a − x 2 + arcsin + C (a > 0)； 2 2 a
微积分(1)中常见的基本公式（一）
一、 16 个基本初等函数的导数公式
(1) (C )′ = 0； (3) (e x )′ = e x； 1 (5) (ln x)′ = ； x (7) (sin x)′ = cos x； (9) (tan x )′ = sec 2 x； (11) (sec x)′ = sec x tan x； 1 (13) (arcsin x )′ = ； 1 − x2 1 (15) (arctan x )′ = ； 1 + x2 【特别地】： (2) ( xα )′ = α xα −1； (4) (a x )′ = a x ln a (6) (log a x )′ = ( a > 0且 a ≠ 1)； 1 (a > 0且 a ≠ 1)； x ln a (8) (cos x)′ = − sin x；