1.5定积分的几何意义

定积分的几何意义
1、求曲边梯形面积 、 分割-----近似代替 近似代替-----求和 求和-----取极限 分割 近似代替 求和 取极限 2、定积分定义 、 3、定积分几何意义 、 4、定积分计算性质 、
1.求由连续曲线 =f(x)对应的曲边梯形面积的方法 求由连续曲线y= 求由连续曲线 对应的
n
O
a
b
x
积分
式
3、定积分的几何意义： 定积分的几何意义：
b ∫a
f ( x) d x
的实质
b （1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，a 在区间［ 大于0 ∫
f ( x) d x 表示
直线x ),y 和曲线y 由 直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 ，这也是定积分的几何意义. 这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，b f ( x ) d x 表示 在区间［ 小于0 ∫ a 由直线x ),y 和曲线y 由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形的面积的相反数.
特别地，当 a=b 时，有 ∫ f (x)dx=0。
a
定积分的几何意义： 定积分的几何意义： 当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 ≤ 时 = 、 = 、 = 轴的下方， 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 ∫ f (x)dx 在几何上表示
a b
y y=−f (x)
O
a
c
b
x
1.∫ f ( x)dx =
b a
S
f ( x) ≥ 0
-S f ( x ) < 0 表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积 S表示以 为曲边的曲边梯形面积 y
∫
b a
y = f ( x) < 0 f ( x ) dx 的值都可用区边梯形面 积
S a 0 ------几何意义 S b x
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴 根据定积分的几何意义 如何用定积分表示图中阴 影部分的面积? 影部分的面积
y y=f (x)
S 1 = y = fg( x ) d x ∫a (x
O a
b
b
b x
b
S = S1 − S2 = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx
a a
4.定积分的基本性质 4.定积分的基本性质
曲线 y = 1 − x 2 , x 轴， x = 0及 x = 1所围
1 4
的面积（见下图） 的面积（见下图）
y
面积值为圆的面积的
所以 ∫
1
0
1 − x dx =
2
π
4
1 x
例5. 计算由曲线y = x 2 , 直线y = − x + 2和x轴围
成的平面图形的面积。
y
分析： 分析：如图所示
y = x2
(2)近似代替 任取ξi∈[xi−1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 近似代替:任取 ， 个小曲边梯形的面积用高 近似代替 − y 而宽为∆ 为f(ξi)而宽为∆x的小矩形面积 而宽为 的小矩形面积 y=f(x) f(ξi)∆x近似之。 近似之。 ∆ 近似之 (3)求和:取n个小矩形面积的和 求和: 求和 个小矩形面积的和 作为曲边梯形面积S的近似值： 作为曲边梯形面积 的近似值： 的近似值
b
f(u)du。
b−a 即 ⋅ f (ξi ) 定积分的定义： ∫a f (x)dx = lim∑ 定积分的定义： n→∞ n i=1
b n
积分上限
y
y = f (x)
积分
∫
积分 限
b
a
f ( x)dx
被 积 函 数
b−a f (ξi ) = lim ∑ n →0 n i =1 积 被 分 [a, b]— 积 表 变 达 量
利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。 例3.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。 1）
2π
π
∫
π
2 0
sin xdx
2）
∫
2
−1
x 2 dx
例4.计算 ∫ xdx的值
0
1
变式1. 变式1.计算定积分 变式2. 变式2. 计算积分
∫
1
∫
5
0
(2 x − 4)dx
0
1 − x 2 dx
S = ∫ −1x dx
（2） ）
2 -1 0
S =∫ 1 dx
x2 +y2 =1
2
S = ∫ [(x −1) −1]dx − ∫ [(x −1) −1]dx 0 1 x
2
0 1 2 x
S = ∫ x dx
2 1
2
S = ∫ 1− x dx
2 −1
1
例2. 利用定积分的几何意义说明等式∫ 2π sin xdx = 0成立。 − 2 在右图中，被积函数 f ( x ) = sin x 解：
b
说明:定积分是一个数值, 说明:定积分是一个数值,
b b
b−a 即 f (x)dx = lim∑ ⋅ f (ξi ) ∫a n→∞ n i=1
它只与被积函数及积分区间有关， 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关， 而与积分变量的记法无关，即
∫a f(x)dx =∫a f (t)dt =∫a
c
a c1 c2
(a＜c＜b) (a＜
∫
b
a
f ( x )dxy=∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
y=f(x)
∫a ∫a
c b
定积分关于积分区间具有可加性 c c b 定积分关于积分区间具有可加性
f (x )d x
f (x )d x
∫c
b
f (x )d x
S ≈ ∑ f (ξi )∆x
(4)取极限 所求曲边梯形的面 取极限:所求曲边 取极限 所求曲边梯形的面 积S为 为
i =1
n
S = lim ∑ f (ξi )∆x
n→∞ i =1
n
O
a
xi ξi xi+1
∆ x
{
b
x
2.定积分的定义 2.定积分的定义
分割----近似代替-----求和-----取极限 分割----近似代替-----求和-----取极限 ----近似代替-----求和-----
3、定积分的几何意义： 定积分的几何意义：
当 f(x)≥0 时，积分 ∫ f ( x )dx 在几何上表示由 y=f (x)、
b
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 = 、 = 与 轴所围成的曲边梯形的面积 轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
a
∫a
O a
b
f (x)dx
b x
b
0
1
x
例6.用定积分表示由曲线y = x, 直线y = -x + 2和x轴围成的 平面 图形的面积。
y
解
如图所示，阴影部分面积
S = ∫ xdx + ∫ (−x + 2)dx
0 1 1 2
y = −x + 2
y= x
0
1
2 x
四、能力提升
计算由曲线 y = x , 直线y = − x + 2和x轴围成的平面 图形的面积。
2
1
( x − x2)dx ∫
0
1
y
y = x2
y=x
y= x
= 2∫ x − x 2 dx
0
1
(
)
1 = 2× 6 1 = 3
0
1
x
n个小区间 [ a, x1 ] , [ x1 , x2 ] ,L[ xi −1 , xi ] ,L , [ xn−1 , b ] , 个小区间: 个小区间 每个小区间宽度⊿ 每个小区间宽度⊿x =
b−a n
(1)分割 在区间 分割:在区间 上等间隔地插入n-1个点 分割 在区间[a,b]上等间隔地插入 个点 将它等分成 上等间隔地插入 个点,将它等分成
y
y = f ( x) ≥ 0
0 a 的代数和表示 x b y
2.如果 上时正， 2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图 如果 在 上时正 时负，
y=f(x)
S1
0a S2
S3 b x
∫
b a
f (x)dx = S1 − S2 + S3
用定积分表示图中四个阴影部分面积 例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 用定积分表示图中四个
S = ∫ x dx+ ∫ (−x + 2)dx
2 0 1
1
2
1 1 = + ×1×1 3 2 5 = 6
y = −x + 2
0
1
2 x
变式. 变式 求下图阴影部分的面积。 解：由定积分几何意义知
S = ∫ xdx− ∫ x dx
2 0 0
1
1
y = x2 y
y=x
1 1 = − 2 3 1 = 6
解 如图所示， 如图所示，阴影部分面积
S = ∫ xdx + ∫ (−x + 2)dx
0 1
2 1 1 = + ∫ xdx + ∫ (− x + 2)dx 1 6 0
y
y = −x + 2
y=x
y= x
1
2
1 1 1 = + + ×1×1 6 2 2 7 = 6
0