4向量组的线性相关性

1 2 m
若干个同维数的列向量 (或同维数的行向量 ) 所
组成的集合叫做向量组.
定义3 向量组1 ,2 ,..., s (s 1)称为线性相关,如果
存在不全为零的数k1 , k2 ,..., ks ,使得
k1 1 k 2 2 ... k S s 0
否则称线性无关, 即
CH4
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理
向量组的秩
向量空间
§1 N维向量的概念
一、ｎ维向量（Vector） 1、定义 ｎ个数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组
＝（a1 , a 2 ,...,a n）
称为一个ｎ维向量，其中 ai 称为第 i 个分量（坐标）.
19
2. 定理6
向量组 a1 , a2 , 矩阵 A (a1 , a2 ,
, am 线性相关 它所构成的 , am ) 的秩小于向量个数 m ；
向量组线性无关 R ( A) m .
推论1 n个n维向量线性无关 | a1 , a2 ,L, an | 0
推论2当m n时, m个n维向量 线性相关 特别地 : n 1个n维向量 线性相关
线性方程组的向量表示 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am 1 x1 am 2 x2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
n xn b x1 x 2 b 即 Ax b 或 (1 , 2 ,..., n ) xn 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
三、应用举例
例1 设
1 1,1,0 ， 2 0,1,1 ， 3 (3,4,0)T
T T
3 1 2 1 . , , 其中 ( , ) ( , , ) 求 1 2 3 1 1 解 ， 31 2 2 3， 1 2 3 1 0 3 0 31 2 2 3 3 1 2 1 1 4 1 0 1 0 2 T (0,1,2) . 1 0 3 4 4 1 2 3 1 1 1 1 1 4 0 1 0 1 T (4,4, 1) .
3. 定理1:向量组1 ,2 ,...,s ( s 2)线性相关
存在一个向量是其余向量的线性组合 或可被其他向量线性表出(示).
例2 ＝（ 0， ... ， 1， ...,0 ）， i 1,2,...,n为n维单位向量 i
＝(1 , 2 , ..., n )为任意n维向量,
亦即( x1 x s )a1 ( x1 x2 )a2 ... ( x s1 x s )a s 0,
因 a1 , a 2 , ...,a s 线性无关 ，故有
xs 0 x1 x x 0 1 2 x2 x3 0 ....... x s 1 x s 0
0 1 1 1 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0
有无穷多解.取k3 1, k4 0,
得到方程组的一组解
(k1 ,k2 ,k3 ,k4 )=(1, 3,1,0) 即有:1 32 3 04 0, 故1 ,2 ,3 ,4线性相关.
可见 R (a1 , a2 , a3 ) 2 ，
故向量组 a1 , a2 , a3 线性相关 ；
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例 3 已知向量组 a1 , a 2 , ...a s ( s 2)线性无关 , 设b1 a1 a 2 ,
4、对应分量相等的向量相等.
二、向量的运算 1、加法 (a1 ,a2 ,...,an ), (b1 ,b2 ,...,bn ),
a1 b1 , a2 b2 ,
, an bn , an bn
( ) a1 b1 , a2 b2 ,
k1 k2 2k3 3k4 0 2k 2k 4k 6k 0 1 2 3 4 3k 3 3k 4 0 即 3k1 4k 5k 19k 24k 0 2 3 4 1 3k1 k..,b s a s a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性 .
证一
设 x1b1 x2 b2 ... xs bs 0,
即 x1 (a1 a2 ) x2 (a2 a3 ) ... x s (a s a1 ) 0,
则 ＝1 1＋ 2 2 ... n n 故 , 1 , 2 ,..., n线性相关, 而 1 , 2 ,..., n线性无关.
21
定理:向量组1 ,2 ,..., s ( s 2)线性相关
存在一个向量是它前面向量的线性组合
推论:设1 ,2 ,..., s ( s 2)是由非零向量组成的 向量组, 若每个向量i (2 i s)都不是它 前面向量的线性组合,则1 ,2 , ..., s
设 i (ai 1 , ai 2 , ..., ain )T , 方程组 a11 x1 a21 x2 ... a s1 x s 0 i.e. a12 x1 a22 x2 ... a s 2 x s 0 (没) 有非零解. ....... an1 x1 an2 x2 ... ans x s 0
线性无关
定义 2 设n维向量 ， a1 , a2 , L , am , 若存在 一组实数 k , k , L , k , 使得
1 2 m
＝k1a1 k2 a2 L km am
则称 为向量 a 1 , a 2 , L , a m , 的一个线性组合 或称 能由向量 a , a , L , a 线性表示
（8） ( )
三维向量的全体所组成 的集合 3 T R { r ( x , y , z ) x, y, z R }
叫做三维向量空间. n 维向量的全体所组成的 集合
T R { X ( x1 , x2 , L , x n ) x1 , x2 , L , x n R } 叫做 n 维向量空间 . n
解
对矩阵 (a1 , a2 , a3 ) 施行初等行变换成行阶梯形 矩阵 ，
1 0 2 a1 , a2 , a3 1 2 4 1 5 7
5 r3 r2 2
r2 r1
r3 r1
1 0 2 0 2 2 0 5 5
1 0 2 0 2 2 0 0 0
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对系数矩阵进行初等行变换 1 2 3 1 1 0 2 2 4 6 A 3 0 3 3 ... 0 0 4 5 19 24 0 3 1 6 7 k1 k 3 k4 0 同解方程组 k 2 3k 3 4k4 0
记作α,β,γ.
ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， a1 a 2 如： an
2、几种特殊向量
1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）. 元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型.
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
22
1 0 2 例 2 已知 a1 1, a2 2 , a3 4 , 1 5 7
试讨论向量组 a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
向量个数 向量维数 未知数的个数 方程的个数
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例1.设1 (1, 2, 3,4, 3)T , 2 (1, 2,0, 5,1)T ,
3 (2,4, 3, 19,6)T , 4 (3,6, 3, 24,7)T
试判断1 ,2 ,3 ,4的线性相关性. 解 : 设k11 k22 k33 k44 0
若k11 k2 2 ... k S s 0, 则k1 k2 ... k s 0
★
一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★
★
两个向量线性相关
它们对应分量成比例
如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
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二、判别方法 1.
向量组1 ,2 ,..., s线性相(无) 关 方程 x11 x22 ... xs s 0 (没)有非零解.
a1 j ｎ个ｍ维列向量. a2 j 其第ｊ个列向量记作 j a mj
A (1 , 2 ,..., n )
§2 向量组的线性相关性
一、向量组的线性相关性定义 线性相关
向量 , 共线 不全为零的数k1 , k2使得k1 k2 0 向量 , , 共面 不全为零的数k1 , k2 ,k3使得k1 k2 k3 0 向量 , 不共线 若k1 k2 0,则k1 k2 0 向量 , , 不共面 若k1 k2 k3 0,则k1 k2 k3 0
2、数乘
＝（a1 , a2 ,...,an），k R
, kan
k k ka1 , ka2 ,
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
3、运算律 (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （1） （交换律） （2） ( ) ( ) （结合律） （ 3） O （4） ( ) O （5） 1 （6） ( ) ( ) ( ) （7） ( )