第十一讲—空间群(3)

左(中，右)图：沿b
(a, c) 滑移面的a (b, n)轴滑移
对称轴符号
符 号 对称轴
一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴
平行于纸面
图示 符号
无
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无 无 无
符 号
对称轴
四次旋转轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无
1 1
4
2
21 3 31 32
41 42 四次螺旋轴 43
1 x,y,z; x,y,z; ½+x,½-y,½+z; ½-x,½+y,½+z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½+x,½+z; ½-y,½-x,½-z.
第十一讲 空间群(3)：非点式空间群
1、非点式空间群举例分析
2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
晶体结构 = 点阵 (布拉菲格子) + 基元 (点群)
何种格子、何种基元？
第九讲
空间群(I)：点式空间群
晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体 微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体 宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。 点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对 称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。
点式操作t = = 0
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
(a或b轴)
(c轴)
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
无
沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2 (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方)
c/2
a/2或b/2
1/2+
+
a/2或b/2
三次螺旋轴 31 32
3 (C3, L3)
+
+
+
3
1/3+
+
2/3+
31 32
3 31 32 3
三次旋转轴
无
c/3 2c/3
2/3+
三次螺旋轴
三次反演轴
无
1/3+
+ +
四次螺旋轴 41 42 43
4 (C4, L4) 4
四次旋转轴 无
41 42 四次螺旋轴 43
+ + + + + +
+
,
+ + + + + + + + +
+ + + +
,
+
+ + + +
,
, ,
+ + + + +
,
+
+
x
+ + + +
,
+
+ + + +
,
, ,
+ + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
y
P62m (D3h, No. 189)
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
第十讲
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
, ,
y
y x
1 1
b a
6m2 0,0,½. 6m2 0,0,0.
螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转
与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}r=Rr +
二次螺旋轴 21
2 (C2, L2)
+
+
+
_ + _ + _
2 21
二次旋转轴
平行于纸面
无
+ +
2 21
二次螺旋轴
平行于纸面
+ +
4mm Tetragonal
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ + Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
+ +
+ +
+ +
Origin on 4
Co-ordinates of equivalent positions
3或3沿<111>
三方
3或3沿c 6或6沿c
2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b
六方
62m
63L23P) (Li
y
y
x
x
6m2 (Li63P3L2)
P3m1 (C3v, No. 156)
+
1
P31m (C3v, No. 157)
,
+ +
2
,
c/4
2c/4 3c/4 无
4
+ + + +
四次反演轴
1/4+ 1/2+
+ +
1/2+ 1/2+
+
3/4+
+
3/4+
1/2+
1/4+
4
41
42
43
六次螺旋轴
+ + + + + 1/2+ 2/3+ + 1/3+ 1/3+ 1/6+ + 2/3+ 5/6+ 1/3+ + 1/2+ + +
65
64
1/3+
1
P422 (D4)
1
_
+ _ +
+_ _+
_来自百度文库
+ _
+
+_ _+
c
a
b
_ + _ +
y
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
螺旋轴,21
x
8 1
p a
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. 42 0,0,0.
1
Pm
-
,+
-
,+
,+ -
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3
只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
2或2沿a 2或2沿b 2或2沿a和b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿c
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
2/3+ 1/2+ 1/3+ 5/6+ +
2/3+ +
1/6+
6
6 (C6, L6)
63
+ 1/2+ +
2/3+
1/3+
+ 1/2+
2/3+
6
六次旋转轴
62
61
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
6
六次反演轴
滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成
P
6(C6)或6(S35)
P
四个三次轴
P, I, F
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm
正 交 222, mm2, mmm P
c/4
2c/4 3c/4 无 无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
二次螺旋轴
平行于纸面
c/2 a/2或b/2 无
4 6
四次反演轴
六次旋转轴
三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴
c/3
2c/3 无
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
3
6
六次反演轴
对称面符号
符号 对称面
图示符号
垂直于投影面 平行于投影面
{R|}
点式空间群： 由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。 ۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
空间群点群相同的位置对称性
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
三 斜 1(C1), 1(Ci)
点群
布拉菲点阵
x
1
y
+ , - -, + + , - - ,+
+ ,- -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置
8 1
(右)对称元素分布

x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. a mmm 0,0,0.
P
2(C2)或2(m)
单 斜 2(C2), m(C1h), 2/m(C2h)
P, B P, C, I, F
P, I
两个2(C2)或2(m) 正 交 222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)
4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 四 方 4(C4), 4/m(C4h), 4mm(C4v), 4/mmm(D4h), 422 (D4), 4 (S4), 42m (D2d) 三 方 3(C3), 3m (C3v), 32(D3), 3(S6), 3m(D3d) 六 方 6(C6), 6/m(C6h), 6mm(C6v), 6/mmm (D6h), 622 (D6), 6 (C3h), 62 (D3h) 立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
6, 62m, 6/mmm
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
Pmmm (D2h, No. 47)
P 2/m 2/m 2/m
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
8
c
6
5 4
3
1/2+ 1/3+
5/6+ + 1/6+ 2/3+ 1/3+ +
+ 1/3+
2/3+ 1/3+ 2/3+ +
+ 2/3+
1/3+ +
1/2+ + 1/2+
1/2+
+
1、非点式空间群举例分析
2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
P4nc
C4v
6
No.
+ +
104
+ + + +
P4nc
,+ -
Bm
1/2-
-
,+
-
,+
, 1/2+
1/2-
, 1/2+
,+ -
,+ -
1/4
单斜 B
滑移面
P222
c a
+ _
_
+
+ _
_
+
b
+ _
_
+
+ _
_
+
y
x
纸面内二次轴
C222
c
a
+ _
_
+
+ _ _ +
+ _
_
+
b
+ _
_
+
+ _
_
+
螺旋轴,21
点群各符号的顺序
晶系
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
1/8
“金刚石” 滑移面
3/8
(a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4, 或(a±b±c)/4(四方和立方)
P61 (C6, No. 169)
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+
2
P6 (C1, No. 168) 6
61
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ 1/2+ 2/3+ 1/3+ 1/6+ + 5/6+