第十一讲—空间群(3)
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空间群
目录1历史2空间群的要素2.1元素，固定点2.2翻译2.3滑翔飞机2.4螺旋轴2.5一般公式3空间群的符号4空间群的分类系统5在其他维度的空间群5.1比贝尔巴赫的定理5.2在小尺寸的分类5.3双组与时间逆转6在3维空间群表7参考8外部链接历史在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。
费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Schönflies（1891年）和巴洛（1894）列举。
这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Schönflies通信过程中发现的230种空间群。
元素的空间群在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。
在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。
所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。
固定点的元素空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。
翻译翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。
有14种布拉维晶格可能。
空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。
空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。
有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。
数。
国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。
编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。
国际符号或赫尔曼Mauguin符号。
赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。
它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。
首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。
未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。
第十一讲—空间群(3)1
的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群的确定
c/2
c hh.‐2h.l
c/2
c ‐2h.hhl
c/2
c h.‐2h.hl
c/2
c, n hhl,h‐hl
(a ± b ± c)/4 d hhl,h‐hl
a/2
a, n hkk,hk‐k
(±a + b± c)/4 d hkk,hk‐k
b/2
b, n hkh,‐hkh
(±a ± b+ c)/4 d hkh,‐hkh
表 3 螺旋轴与衍射条件的关系
方向 平移距离 符号
[100] a/2 [100] a/2 [100] a/4 [010] b/2 [010] b/2 [010] b/4 [001] c/2 [001] c/2 [001] c/4 [001] c/2 [001] c/3 [001] c/6
21 42 41, 43 21 42 41, 43 21 42 41,43 63 31, 32, 62, 64 61, 65
hkl 衍射条件 无限制
h + k + l = 2n k + l = 2n, h + l = 2n, h + k = 2n k + l = 2n h + l = 2n h + k = 2n ‐h + k + l = 3n (正定向) h ‐ k + l = 3n (负定向)
表 2 滑移面与衍射条件的关系
Left-hand page: (1) Headline (2) Diagrams for the symmetry elements and the general
position (for graphical symbols of symmetry elements see Chapter 1.4) (3) Origin (4) Asymmetric unit (5) Symmetry operations
空间群
m[001]
|
1 2
,
1 2
,
0
r
金刚石滑移
空间群推导
点群
点阵 点阵对称性和点群的协调性
点式空间群 能否替换
用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群
非点操作的位置
5种平面点阵
矩形 (a≠b, 90°)
平面群：
pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
• 立方结构的晶体，其原子一般位于高对称 的位置上，如Au，Al等金属单质
平面群（自学）
• 10种平面点群，13种点式平面群 • 有滑移面非点式对称操作，17种平面群
国际表
提供的信息的是： 1. 空间群的国际符号 2. Schoenflies符号 3. 晶系 4. 晶类 5。一般等效点图： 单胞的投影，包含所有等效点位置。
一般等效位置 确定单胞内的原子数及位置
商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点 系
点阵类型加一般等效点系描述空间群
等效位置确定商群的对称性及所属的晶系 由点阵类型便知道平移群的对称性
国际表中对称操作的表示
对称操作的分类及几何符号
由对称操作的矩阵求对应的几何符号
1，查表确定对应点对称操作 2，确定对称元素的取向和位置 a，反映 b，纯旋转 c，旋转倒反
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
符号的意义：第一个字符表示布拉菲点阵， 后面的表示对称性，符号的顺序与轴的选 取有关
空间群的两个重要内容：一般等效位置的坐 标，相对特定原点的全部对称元素
空间群与点群的关系：
• 俯视图 • 矩阵
空间群的描述
• 一般等效位置及对称元素
空间群
滑移反射
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行与镜面的方向平移
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;
• 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移分量为对角线一半;
• 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移， 平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心 点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所 以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
Wyckoff位置 （2）
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
空间群的描述
• 俯视图 • 矩阵 • 一般等效位置及对称元素
熊夫利推导230个空间群
• （1） 推导73个点式空间群 • （2） 分析可能的滑移面和螺旋轴 • （3) 把各种可能的布拉菲格子和h个点式 或非点式对称操作结合起来，推导可能的 非点式空间群
三斜晶系
单胞俯视图
新的反演中心是-1和单位平移操作组合而得
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0， 另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z
第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0
或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
在非对称基元内任何一点不会再有对称 相关的位置
点群和空间群ppt课件
❖ 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空 间群。
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
65
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6 2
19
20
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
21
22
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3
1 4
4
23
24
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
12
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
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点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
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重要对称元素的书写与图形记号
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(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称面(m)
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(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3
1 4
4
23
24
结论： 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作：1，2，3，4，6，1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
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二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示，有对称心i，晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A'，
使Ai = A' i, A与A'是等同点， i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
第十二讲—空间群(4)
1
P4mm (C4v, No. 99)
+ +
+
1
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
8 c f e d c b a 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. m m m mm 4mm 4mm x,½,z; x,½,z; ½,x,z; ½,x,z. x,0,z; x,0,z; 0,x,z; 0,x,z. x,x,z; x,x,z; x,x,z; x,x,z. ½,0,z; 0,½,z. ½,½,z. 0,0,z.
m m m m mm mm mm mm
2 2 2 2
d c b a
2 2 2 2
½,½,z; ½,½,½+z. ½,0,z; ½,0,½+z 0,½,z; 0,½,½+z. 0,0,z; 0,0,½+z
Pban (D2h, No. 50)
+ + -, +, + +
4
P 2/b 2/a 2/n
+
+ -
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ + Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
+ +
+ +
+ +
空间群
空间群：是指所有宏观对称性与微观 对称性的总和。
宏观对称性：在晶体的宏观观察（目测或显微 镜）中所表现的对称性。 八种宏观对称元素：1,2,3,4,6, m,1, 4 微观对称性：在晶体的微观结构中所表现出来 的对称性。 闭合性对称元素： 开放性对称元素：平移，螺旋（旋转+平移） 滑移（镜面+平移） a，b，c，n，d
空间群的推导：
将各种点阵与其相容的点群 一一考虑推出有73种点式空间群； 考虑滑移面与螺旋轴又推出157 种非点式空间群。使得空间群总 共有230种。
费德洛夫（俄）
（1853.12.22–1919.5.21）
圣佛利斯（德）
(1853.4.17—1928.5.27)
空间群的国际符号
P-简单 F-面心立方 I-体心立方 A，B，C-底心立方 R-菱形 例： P 2/m表示
单斜初基点阵，具有垂直于镜面的二次旋转轴。
小 结
空间群： 是指所有宏观对称性与微观对 称性的总和，共有230种。晶体的 空间群中对称元素分布也呈周期 性旋轴
43螺旋轴
Back
空 间 群
空间群的引出： 点群一般用于研究有限图形的对 称性—对称元素有限且必相交于一 点。但晶体的构造可以认为是沿三 维空间延伸的无限图形，所有对称 元素(包括对称元素的交点)在三维 空间作平行排列，也并不交于一点。
空间群的引出： 在晶体构造的无限图形中，除了 有限图形的宏观对称元素外，还有 其特有的平移、螺旋和滑移对称元 素。若去除空间对称操作，则晶体 内部的微观对称元素与宏观晶体的 对称元素一致，空间群变成点群。
空间群
包括了这些与平移有关的操作之后，晶体的对称运动可以全部分类成230个对称操作群，称晶体空间群，也 称空间群。
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
第十三讲—空间群(5)
正 交 222, mm2, mmm P
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
P 21 21 21
No.
19
½
+
_
P 212121 4 D2
¼ ¼ ¼
+
¼ ¼
½+
_
½+ ½
_
+
+
¼
Origin halfway between three pairs of non-intersecting screw axes
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
二次螺旋轴
平行于纸面
c/2 a/2或b/2 无
4 6
四次反演轴
六次旋转轴
三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴
c/3
2c/3 无
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
3
6
六次反演轴
对称面符号
符号 对称面
图示符号
垂直于投影面 平行于投影面
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
空间群
矩阵乘法
1 0 0 x x 2次旋转矩 0 1 0 y y 阵 0 z z 0 1
倒反中心(Inversion center)
倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of
0 cos sin 0 0 sin cos 0 1 0 0 1
旋转反映轴--映轴
旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对
垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X
立方 2,m,4, `4
X
3,`3
体对 无， 2，m 面对 角线 角线
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。
c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素， f G 有
ef fe f
d)可逆性。 对任意元素 f G ，存在逆元素 f 1 G ，使 f 1 f ff 1 e 则称集合G为一个群。
晶体学点群
晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称
作晶体学点群。点对称操作的共同特征是进行操
非点式操作，如平移，螺旋转动和滑移反映。
对称操作和对称元素
对称操作：
空间群PPT课件
63
Pmm2
点对称和平移对称操作产生新的非基本操作
2020/1/15
64
P222
2020/1/15
65
PMMM
2020/1/15
66
Cmm2
出现滑移面
2020/1/15
67
2020/1/15
68
2020/1/15
69
2020/1/15
70
2020/1/15
71
各晶系空间群特征概要
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
俯视图
方向
原点
2020/1/15
112
2020/1/15
113
2020/1/15
114
原点位置
• 点式空间群：对称性等于空间群点群的点 上，非点式:取在最高对称性的点上，有反 演中心则取在
不对称单位（ Asymmetric Unit ）
商群与点群一一对应商群不一定是点群商群中不含整数平移操作空间群中的任何操作都可以用h个基本操作与平移群的操作组合而得202011753一般等效位置商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点点阵类型加一般等效点系描述空间群等效位置确定商群的对称性及所属的晶系由点阵类型便知道平移群的对称性确定单胞内的原子数及位置202011754国际表中对称操作的表示202011755对称操作的分类及几何符号202011756由对称操作的矩阵求对应的几何符号1查表确定对应点对称操作2确定对称元素的取向和位置a反映b纯旋转c旋转倒反202011757反映面滑移面滑移分量平行滑移面滑移面的位置分量垂直滑移面滑移面位置
独立原子位置
加心产生新的对称操作：滑移线
33
2020/1/15
结晶学第十一讲—空间群(3)
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
左(中，右)图：沿b
(a, c) 滑移面的a (b, n)轴滑移
三方
3或3沿c 6或6沿c
2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b
六方
62m
63L23P) (Li
y
y
x
x
6m2 (Li63P3L2)
P62m (D3h, No. 189)
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
四次反演轴
六次旋转轴
三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴
c/3
2c/3 无
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
3
6
六次反演轴
对称面符号
符号 对称面
图示符号
垂直于投影面 平行于投影面
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
空间群、点群
一些物理对象能够在一定的操作下保持不变，这种性质称为对称性，使物理对象保持不变的操作O叫做对称操作。
按顺序先做对称操作O1，再做对称操作O2，显然物理对象保持不变，因此连做两次对称操作是一个新的对称操作O3，可以记为O3 O2O1，O2O1称为对称操作的乘积。
对称操作O的逆操作也保持物理对象不变，因此也是一个对称操作，记为O−1，按照数学上的定义，对称操作全体关于前面定义的乘法成为一个群，称为对称群，对称操作O称为对称元素。
使晶体保持不变的空间变换构成的群称为空间群。
空间群的元素一般写成 R| ，其中R是一个3 3矩阵，代表对称操作的旋转部分（包括空间反演）， 是一个矢量， R| 把空间矢量r 变为 R| r Rr 。
乘法规则R2| 2 R1| 1 r R2| 2 R1r 1R2R1r R2 1 2R2R1|R2 1 2 r就是说R2| 2 R1| 1 R2R1|R2 1 2因此R−1|−R−1 R| I|0R| −1 R−1|−R−1一般来说即使 R| 是一个对称操作，单纯的转动R也不是对称操作，但是按照上面的乘法和取逆规则，空间群元素的旋转部分全体也构成一个群，这个群叫做点群。
晶体的点群的元素R一般不能保持晶体不变，点群一般不是晶体的空间群的子群。
下面证明几个基本事实：1.对任意格矢l 和对称操作 R| ，都有Rl l ′，也就是说虽然 R|0 一般不能保持晶体不变，但是 R|0 可以保持空间点阵不变。
证明： R| 、 I|l 和 R| −1 R−1|−R−1 都是对称操作，因此它们的乘积也是对称操作，按照上面的乘法规则，我们有R| I|l R−1|−R−1R|Rl R−1|−R−1I|Rl这是一个单纯的平移，因此Rl l ′必定是一个格矢。
2.对称操作的旋转角只能取0，60∘，90∘，120∘，180∘及其整数倍。
证明：首先任取一个不平行于转轴的格矢l ，按照上面的结论，Rl 也是格矢，因此非零矢量Rl −l （如果det R −1，R包含空间反演或镜面反射，则取Rl l ）也是格矢，且从几何关系易知格矢Rl −l （如果det R −1，R包含空间反演或镜面反射，则取Rl l ）垂直于转轴。
16-空间群3
1 2 1 4 1 2
，
，
1 4
，
1 2
，
，
1 2
1 4
，
1 2
，
，
1 2
1 4
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
b 0.797nm .25
.92
.42 .42 .92 .92 .42 .75
.75 .42
.92
a 0 . 496 nm
.58 .08
.08 .58 .58 .08 .08
0
0
0
1 4
1 4 1 2 1 2 1 2
0
0
0
1 4
例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (b)
1 2 1 4 1 4 1 2 1 2
0
0
0
1 4
1 4 1 2 1 2
0
1 4
例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (c)
1 4 1 2 1 4
0
1 4 1 2
0
1 4
1 4
例：黑铜矿CuO的结构
，，
1 :0 4: 1 4
1 4
，， ， ，
，
， ，，
1 :0 4: 1 4
， ， ， பைடு நூலகம் ， ，，
，，
Ru：2，Sr：4，(Gd, Ce)：4， Cu：4，O：20
一般等效点数: 32，因此，所有原子应该占据特殊等效点位置。 2个Ru可以放在2a或2b位置，把它们放在2a位置。 4个Sr，4个(Gd,Ce）和4个Cu应该占据4c，4d或4e位置之一； 考虑到可能的堆积对成键的影响，把20个氧放在重复数为4或8的 等效点位置，最后对该氧化物的结构精化分析结果如下：
，
，
1 4
，
1 2
，
，
1 2
1 4
，
1 2
，
，
1 2
1 4
例：文石(Aragonite, CaCO3)结构
b 0.797nm .25
.92
.42 .42 .92 .92 .42 .75
.75 .42
.92
a 0 . 496 nm
.58 .08
.08 .58 .58 .08 .08
0
0
0
1 4
1 4 1 2 1 2 1 2
0
0
0
1 4
例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (b)
1 2 1 4 1 4 1 2 1 2
0
0
0
1 4
1 4 1 2 1 2
0
1 4
例：黑铜矿CuO的结构
特殊位置等价点系 1 (c)
1 4 1 2 1 4
0
1 4 1 2
0
1 4
1 4
例：黑铜矿CuO的结构
，，
1 :0 4: 1 4
1 4
，， ， ，
，
， ，，
1 :0 4: 1 4
， ， ， பைடு நூலகம் ， ，，
，，
Ru：2，Sr：4，(Gd, Ce)：4， Cu：4，O：20
一般等效点数: 32，因此，所有原子应该占据特殊等效点位置。 2个Ru可以放在2a或2b位置，把它们放在2a位置。 4个Sr，4个(Gd,Ce）和4个Cu应该占据4c，4d或4e位置之一； 考虑到可能的堆积对成键的影响，把20个氧放在重复数为4或8的 等效点位置，最后对该氧化物的结构精化分析结果如下：
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点式操作t = = 0
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
第十讲
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
Байду номын сангаас
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
8
c
1 x,y,z; x,y,z; ½+x,½-y,½+z; ½-x,½+y,½+z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½+x,½+z; ½-y,½-x,½-z.
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
P
6(C6)或6(S35)
P
四个三次轴
P, I, F
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm
正 交 222, mm2, mmm P
1
P422 (D4)
1
_
+ _ +
+_ _+
_
+ _
+
+_ _+
c
a
b
_ + _ +
y
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
螺旋轴,21
x
8 1
p a
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. 42 0,0,0.
1
Pm
-
,+
-
,+
,+ -
2/3+ 1/2+ 1/3+ 5/6+ +
2/3+ +
1/6+
6
6 (C6, L6)
63
+ 1/2+ +
2/3+
1/3+
+ 1/2+
2/3+
6
六次旋转轴
62
61
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
6
六次反演轴
滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
,+ -
Bm
1/2-
-
,+
-
,+
, 1/2+
1/2-
, 1/2+
,+ -
,+ -
1/4
单斜 B
滑移面
P222
c a
+ _
_
+
+ _
_
+
b
+ _
_
+
+ _
_
+
y
x
纸面内二次轴
C222
c
a
+ _
_
+
+ _ _ +
+ _
_
+
b
+ _
_
+
+ _
_
+
螺旋轴,21
点群各符号的顺序
晶系
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
+ +
4mm Tetragonal
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ + Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
+ +
+ +
+ +
Origin on 4
Co-ordinates of equivalent positions
左(中，右)图：沿b
(a, c) 滑移面的a (b, n)轴滑移
对称轴符号
符 号 对称轴
一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴
平行于纸面
图示 符号
无
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无 无 无
符 号
对称轴
四次旋转轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无
1 1
4
2
21 3 31 32
41 42 四次螺旋轴 43
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
(a或b轴)
(c轴)
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
无
沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2 (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方)
{R|}
点式空间群： 由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。 ۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
空间群点群相同的位置对称性
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
三 斜 1(C1), 1(Ci)
点群
布拉菲点阵
6
5 4
3
1/2+ 1/3+
5/6+ + 1/6+ 2/3+ 1/3+ +
+ 1/3+
2/3+ 1/3+ 2/3+ +
+ 2/3+
1/3+ +
1/2+ + 1/2+
1/2+
+
1、非点式空间群举例分析
2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
P4nc
C4v
6
No.
+ +
104
+ + + +
P4nc
, ,
y
y x
1 1
b a
6m2 0,0,½. 6m2 0,0,0.
螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转
与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}r=Rr +
二次螺旋轴 21
۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符)
对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t = = 0 {R|t}、 {1|tn}、 {R|0} 、
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群： 结晶学空间群 就是能使三维周期物体(无
限大晶体)自身重复的 所有 几何对称操作 的 集合 ，
它构成数学意义上的群。
第十讲
空间群(II)：非点式对称操作
r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc
Байду номын сангаас
点对称操作：r’ = Rr
空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于
Conditions limiting possible reflections
General: hkl: No conditions 0kl: k + l = 2n hkl: l = 2n Special: hkl: h + k = 2n; l = 2n hkl: h + k + l = 2n
8
c
1 x,y,z; x,y,z; ½+x,½-y,½+z; ½-x,½+y,½+z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½+x,½+z; ½-y,½-x,½-z.
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
P
6(C6)或6(S35)
P
四个三次轴
P, I, F
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm
正 交 222, mm2, mmm P
1
P422 (D4)
1
_
+ _ +
+_ _+
_
+ _
+
+_ _+
c
a
b
_ + _ +
y
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
螺旋轴,21
x
8 1
p a
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. 42 0,0,0.
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Pm
-
,+
-
,+
,+ -
2/3+ 1/2+ 1/3+ 5/6+ +
2/3+ +
1/6+
6
6 (C6, L6)
63
+ 1/2+ +
2/3+
1/3+
+ 1/2+
2/3+
6
六次旋转轴
62
61
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
无 c/6 2c/6 3c/6 4c/6 5c/6 无
6
六次反演轴
滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
,+ -
Bm
1/2-
-
,+
-
,+
, 1/2+
1/2-
, 1/2+
,+ -
,+ -
1/4
单斜 B
滑移面
P222
c a
+ _
_
+
+ _
_
+
b
+ _
_
+
+ _
_
+
y
x
纸面内二次轴
C222
c
a
+ _
_
+
+ _ _ +
+ _
_
+
b
+ _
_
+
+ _
_
+
螺旋轴,21
点群各符号的顺序
晶系
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
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P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
+ +
4mm Tetragonal
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ + Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
+ +
+ +
+ +
Origin on 4
Co-ordinates of equivalent positions
左(中，右)图：沿b
(a, c) 滑移面的a (b, n)轴滑移
对称轴符号
符 号 对称轴
一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴
平行于纸面
图示 符号
无
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无 无 无
符 号
对称轴
四次旋转轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征 无
1 1
4
2
21 3 31 32
41 42 四次螺旋轴 43
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
(a或b轴)
(c轴)
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
无
沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2 (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方)
{R|}
点式空间群： 由全部作用于同一个公共点
上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。 ۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。
۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与
空间群点群相同的位置对称性
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
三 斜 1(C1), 1(Ci)
点群
布拉菲点阵
6
5 4
3
1/2+ 1/3+
5/6+ + 1/6+ 2/3+ 1/3+ +
+ 1/3+
2/3+ 1/3+ 2/3+ +
+ 2/3+
1/3+ +
1/2+ + 1/2+
1/2+
+
1、非点式空间群举例分析
2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
P4nc
C4v
6
No.
+ +
104
+ + + +
P4nc
, ,
y
y x
1 1
b a
6m2 0,0,½. 6m2 0,0,0.
螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转
与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}r=Rr +
二次螺旋轴 21