时频分析技术简述

时频分析技术简述

一 时频分析产生的背景

在传统的信号处理领域，基于Fourier 变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征，它们在传统的信号分析与处理的发展史上发挥了极其重要的作用。但是，Fourier 变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的功率谱并不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。然而，在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量（如相关函数、功率谱等）是时变函数。这时，只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示。

时频分析的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。时频分析是当今信号处理领域的一个主要研究热点，它的研究始于20世纪40年代，为了得到信号的时变频谱特性，许多学者提出了各种形式的时频分布函数，从短时傅立叶变换到Cohen 类，各类分布多达几十种。如今时频分析已经得到了许多有价值的成果，这些成果已在工程、物理、天文学、化学、地球物理学、生物学、医学和数学等领域得到了广泛应用。时频分析在信号处理领域显示出了巨大的潜力，吸引着越来越多的人去研究并利用它。

二 常见的几种时频分析方法

一般将时频分析方法分为线性和非线性两种。典型的线性时频表示有短时傅立叶变换(简记为STFT)、Gabor 展开和小波变换(Wavelet Transformation ，简记为WT)等。非线性时频方法是一种二次时频表示方法(也称为双线性)，最典型的是WVD(Wigner-Ville Distribution)和Cohen 类。

1 短时傅立叶变换STFT

为了分析语音信号，Koenig 等人提出了语谱图(Spectrogram)方法，定义为信号的短时傅立叶变换STFT 的模平方，故亦称为STFT 方法或者STFT 谱图。离散短时傅立叶变换定义如下:

()()()m j m X e m n m x n STFT ϖωϖ-∞-∞=-=

∑,

式中()n ω是时间窗函数。短时傅立叶变换的基本思想是用一个时间宽度足够窄的固定的窗函数乘时间信号，使取出的信号可以被看成平稳的，然后对取出的

这一段信号进行傅立叶变换，便可以反映出该时间宽度中的频谱变化规律，如果让这个固定的窗函数沿着时间轴移动，那就可以得到信号频谱随时间变化的规律了。

短时傅立叶变换(STFT)虽然有着分辨率不高等明显缺陷，但由于其算法简单，实现容易，所以在很长一段时间里成为非平稳信号分析标准和有力的工具，它己经在故障诊断的信号分析和处理中得到了广泛的应用。

2. Gabor 展开

1946年，Gabor 提出了一种同时使用频率和时间来表示一个时间函数的思想和方法，这种方法便是后来的Gabor 展开，连续的Gabor 展开公式定义如下：

()()∑∑∞-∞=∞-∞==

m n mn mn t g a t s

式中 ()()t jn mn e mt t g t g Ω-=

系数mn a 称为Gabor 展开系数，而()t g mn 则称为(m,n)阶Gabor 基函数，T 为时间采样间隔，Ω为频率采样间隔。mn a 的积分表示形式则被称为Gabor 变换。

从定义中可以看出，Gabor 展开式将信号()t s 展开成了平移和调制窗函数的离散集合，我们仍然可以看出当窗函数已经选定的情况下，时间采样间隔T 和频率采样间隔Ω的选取是否恰当必然影响到了Gabor 展开的完备性、唯一性和数据完整性，所以Gabor 提出保证其完备性的必要条件是π2≤ΩT ，即过采样Gabor 展开或者临界采样Gabor 展开，在实际应用当中，离散Gabor 展开一般都是需要过采样的。

为了使Gabor 基函数具有更好的时间频率局域性能，Gabor 选择了高斯函数。对于Gabor 基函数()t g mn 的选择，只要时频采样网格足够多，即处于π2>ΩT 过采样状态下，基函数可以是任何形式。有很多性能很好的窗函数可以用来构造Gabor 基函数，最常用的窗函数是矩形函数和高斯函数。

Gabor 展开的思想在很大程度上开创了时频分析的先河，近年来许多学者在Gabor 展开的离散化和有限化方面作了大量的研究工作，其中包括运用解析方法来进行临界采样Gabor 展开，运用框架理论来进行过采样Gabor 展开等等，现在Gabor 展开己经在暂态信号检测，时变滤波，图像信号处理等领域取得了成功的应用。

3.小波变换

在短时傅立叶变换和Gabor 展开中我们都使用了固定的时间窗函数，这就引出了时间分辨率和频率分辨率的概念，时间分辨率和频率分辨率是一对矛盾。根据海森堡的测不准原理，即时间窗函数的长度越长，频率分辨率就越高，而对于

时间分辨率则越差。为了平衡时间分辨率和频率分辨率这个矛盾，可以采取对存在高频分量的部分采用高的时间分辨率和低的频率分辨率，而对于低频分量则采用高的频率分辨率和低的时间分辨率的方法，这就是多分辨分析的思想。

小波变换是一种在时间-尺度平面内，利用多分辨率分析思想分析非平稳号的方法。所谓小波，就是一个满足容许条件()⎰∞∞

-=0t ϕ的一个函数族()t b a ,ϕ

()t b a ,ϕ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-a b t a ϕ1 0,,≠∈a R b a 可以看出函数族是由窗函数()t ϕ在时间上平移b ，在尺度上伸缩a ，再乘上归一化因子a 1后的结果，所以非平稳信号()t s 的连续小波变换定义为 ()()()()()[]t t S dt t t s b a WT b a b a s ,,*,,ϕϕ==⎰∞∞

- 其中*ϕ是小波基函数ϕ的共轭。

将小波变换和短时傅立叶变换两者的基函数相比较，可以看出，小波变换基函数的尺度参数决定了小波变换的多分辨分析特性，即利用时间-尺度联合函数来分析非平稳信号的“变焦距”法，以达到分析信号局部特性的目的。

小波变换由于其本身分辨力的优良吐能，因此一经提出，很快就成了非平稳信号分析和处理的一大热点，经过近20年的发展，小波变换取得了突破性的发展，形成了多分辨分析，框架和滤波器组三大完整丰富的小波变换理论体系。现在小波变换己经被广泛地应用在信号的奇异性检测、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等等诸多领域、在分形和混沌理论中也有了很多的应用。

以上是线性时频的几种表示，它们采用基于被分析信号和具有时频局部特性的基本分析或综合函数之间的内积或扩展方法而实现的。魏格纳-威利变换(Wigner-Ville ，WVD)和Cohen 类则是采用对信号的双线性乘积进行核函数加权平均的方法来实现的非线性时频表示，它们表示的是信号的能量密度分布。 4魏格纳-威利变换

WVD 是一种二次型变换，具有许多优良的性质，但当分析多频率成分的信时，由于是二次型变换，不可避免地出现交叉项干扰，这是它的缺点，围绕这个问题，许多学者提出了改进形式，以及新的时频分布。后来，L.Cohen 将这些时频分布统一为双线性时频分布理论，给出了一个统一的数学公式，通过选取同的核函数，可以得到不同的时频分布，其中WVD 是最简单的形式。确定性时间连续信号的WVD 定义为:

()ττττd e t s t s t WVD j s Ω-∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=Ω⎰22,*