第5章 气体动理论

15
推导中用到的统计概念和统计假设: 1.平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有:
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
2.气体分子相互碰撞时,一个分子失去多少动量必有另 一个分子得到相同的动量. 分子相互碰撞导致分子与器壁碰撞的次数增加和 减少的机会是相同的, 推导未考虑分子间的相互碰撞. 讨论: ① 压强公式将宏观量 p 和微观量 值联系在一起 ② 注意推导中的思维方法 16
vrms v
2
3kT m
3RT RT 1.73 M M
8kT v= m
8RT RT 1.60 M M
2kT 2RT RT vp 1.41 m M M
vp v v
2
24
讨论：
(1) 三种速率的大小关系：
f ( v)
v v vp
2
o
（2） 三种速率皆与 T 成正比， 与 m 成反比；
d 2 f ( v) 0 2 dv
得
RT 2kT 2 RT 1.41 vp M m M
22
2. 平均速率
速率区间足够小时，可以认为该区间 d Ni 个分子具有相同的速率 v 。其速率之和为 v d N 。 则
i
i i
v v i 附近 d v
v1dN1 v2dN 2 vi dN i vn dN n v N N vdN v Nf ( v)dv 0 0 v f ( v) dv v 0 N N
(3) 与系统所处宏观条件有关. (4) 存在起伏(涨落) .
2. 概率的定义
实验总观测次数为N ,其中出现结果A 的次数为NA 事件A 出现的概率
NA W lim N N
10
3. 概率的基本性质 W lim N A
N
N
(1)
0 W 1
W=0为不可能事件;
W=1为必然事件.
W WK WJ
---- 概率乘法定理
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二、理想气体的压强公式
利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动 建立理想模型 得到
利用统计规律处理大量粒子的行为
(1)气体分子看成质点 推导:理想气体微观模型.
(2)除碰撞外,忽略其它力
(3)完全弹性碰撞
思路: 压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生. 压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁
热学规律。 1
第 五 章 气体动理论
大量微观粒子组成的宏观体系 热力学系统（简称系统）： 宏观量: 描述系统整体特征的物理量 如: 微观量: 气体的 V, P, T, ...
描述系统中单个粒子特征的物理量 如: 粒子的
m, p, v ,
2
5-1 理想气体状态方程 一、 物质的分子构成
单位面积上的平均冲量.
12
理想气体的压强：是由大量分子不断碰撞容器壁而产生，它 等于容器壁单位面积、单位时间所受到的平均冲量。
设 边长分别为 x、y 及 z 的长方体容器中有 N 个全同的质量为 m 的气体分子，计算 A1壁面所受压强 .
y
A2
vi
-mvix
A1
viy
y
z x
o
vi z
vi
vi x
vp
v
v
v2
（3） 一般讨论速率分布时用 v p , 碰撞问题时用 计算分子能量时用
v,
v2 。
25
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
O2 H2
o
v p1 v p 2
v
o
vp 0 vpH
v
N2 分子在不同温度下 的速率分布
同一温度下不同气体 的速率分布
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例2 已知分子数 N ，分子质量 ，分布函数 f ( v) 。求 （1）速 率在 vp ~ v 间的分子数； （2）速率在 v ~ 间所有分子动能 p 之和。 解： 速率在
dN f ( v) N dv
dN N f (v) dv
f ( v) 称为速率分布函数
表示在温度为 T 的平衡状态下，速率在 v 附近 单位速率区间的分子数占总数的百分比 。 气体分子速率分布律
dN N f ( v) dv
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讨论:
f (v)曲线下面积的物理意义 f (v) f
(vp)
(1)寛度为dv的窄条面积:
温度：处于同一平衡态的所有热力学系统都具有一个共 同的宏观性质，定义为温度。
——温度反映了组成系统的大量微观粒子的无规则运动的
剧烈程度，从统计物理角度看，热力学系统的温度是分子 平均平动动能的量度。 处于热平衡的所有热力学系统都具有相同的温度。
7
五 理想气体状态方程
理想气体、平衡态
m PV RT M
5-3 理想气体分子速率分布律
一、气体分子速率分布律
分子速率分布图
dN f ( v) = N dv
N ：分子总数
dN / N
o
v v dv
v
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d N 为速率在 v v dv
dN N
区间的分子数。
表示速率在 v v dv 区间的分子数 占总数的百分比 。
dN N , dv
k：波尔兹曼常数 8
5-2 理想气体的压强与温度 一、统计规律性
1. 统计规律
--- 大量偶然事件整体所遵从的规律.

2 x
2 vx
1 2 vix N i
2 2 v2 vx v2 v y z
平衡状态下分子沿任何 方向的运动都不占优势 所以
1 2 v v v v 3
2 y 2 z
2 1 2 2 1 2 p n m v n k p nm v 3 2 3 3 1 2 m v 为分子的平均平动动能 其中 k 2
o
mvix
z
x
13
y
A2
x方向动量变化
vi
-mvix
A1
y
z x
pix mvix mvix
2mvix
分子施于器壁的冲量 单位时间碰撞次数
o
mvix
z
x
2mvix vix 2x
单个分子单位时间施于器壁的冲量
2 mvix
x
大量分子对器壁碰撞的总效果 ： 恒定的、持续的力的作用 。 大量分子总效应
1、物质是由大量分子构成的，分子之间存在着间隙。 阿伏伽德罗常数：1 mol 任何气体所含的分子数目均相同。
NA 6.0221367(36) 1023 mol1
分子数密度（ n ）：单位体积内的分子数目。 例：常温常压下
n氮 2.471019 / cm3
2、构成物质的大量分子在作永不停息的热运动 扩散现象 布朗运动
n k 的统计平均
三、理想气体的温度
p nkT 2 p n t 3
t
3
2
kT
温度是气体分子平均平动动能的量度，具有统计意义。 反映了组成系统的大量微观粒子的无规则运动的剧烈程度。
说明：
（1）温度是描述系统平衡态宏观性质的物理量；
（ 2 ）温度反映了系统的大量微观粒子无规则运动的剧烈程度； （3）温度是一个统计概念，只能用来描述大量分子的集体状 态，对单个分子谈论它的温度没有意义。 17
v dv
2
f ( v)
dN f ( v) Ndv
o
v
21
三、三种统计速率
1. 最概然速率
vp （最可几速率）
dv 的分子数最多)
--- f(v)-v曲线极大值所对应的速率
vp 的物理意义： vp 附近概率密度最大
（同样速率间隔dv, 速率在 vp -- vp+
根据速率分布函数，由
df ( v ) 0 dv
m
v v dv 间的分子数
v
p
dN Nf ( v)dv

（1） v
1 Nf ( v)dv （2）v mv 2 Nf ( v)dv p 2
例3 用总分子数 N ，气体分子速率 v 和速率分布函数 f ( v) 表示 下列各量：（ 1 ）速率大于 v0 的那些分子的平均速率； (2) 多次观 v0 的几率。 察某一分子的速率，发现其速率大于
dN v f ( v) d v N
(2)v1-v2区间的面积:

v2
v1
f ( v) d v
v2
v1
dN
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N v1 v2 N
o
vp v1
v
2
v
v~v+dv
0
(3)曲线下总面积:


0
f ( v) d v
dN N
N 1 N
N
v2 v1
N f (v)dv
表示速率位于 v1
3
例: 常温和常压下的氧分子的平均速率 平均碰撞次数：
v 450m/s
z ~ 1010 / s
~ 107 m
平均自由程：
——由于分子热运动的这种无序性，只能应用其统计规律来 研究分子热运动的宏观特性。 3、分子之间存在着相互作用力 当 r r0 时，分子力主要 表现为斥力；当 r r0 时，分 子力主要表现为引力。
第二篇 热 学
热学： 研究大量微观粒子组成的宏观体系 的热运动现象及其规律的科学。 热现象： 一切与温度有关的宏观现象 ——大量微观粒子无规则的运动的结果 热力学：以实验定律为基础研究宏观热现象及其规律。 从物质的微观结构出发，以每一个微观粒子遵循 统计物理： 的力学规律为基础，利用统计规律，导出宏观的
v
0
8kT v f (v)dv πm
kT RT v 1.60 1.60 m M
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3. 方均根速率
v2
v
2

N
0
v dN N
2
2


0
v 2 Nf ( v)dv N


0
3kT v f (v)dv m
2
vrms
v
3kT m
RT 3RT 1.73 M M
加尔顿板实验:
单个粒子运动----偶然事件 (落入那个槽) 大量粒子运动-----统计规律(粒子在槽中的分布) 不矛盾 单个粒子遵循牛顿定律; 大量粒子遵从统计规律 -- 牛顿运动定律无法说明 9
统计规律特点: (1) 对大量偶然事件有效, 对少量事件不适用。
(2) 是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律.
v2 区间的分子数。
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二、麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦分布函数 麦克斯韦速率分布律
m 32 f ( v) 4 π ( ) e 2 πkT
mv 2 2 kT
v
2
m 32 dN Nf ( v)dv = 4πN ( ) e 2πkT
——理想气体在平衡态下， 各速率区间分子数的分布 。
mv2 2 kT
2 ix
——单位时间 N 个粒子对器壁总冲量.
2 ix
Nm 2 mv v m Nm 2 vx vix x x i x x i N i
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Nm 2 器壁 A1所受平均冲力 F vx x Nm F 2 气体压强 vx p yz xyz
v v v +v
2 2 x 2 y 2 z
三、平衡态
在不受外界影响的条件下，系统的宏观状态不随时间 平衡态： 而改变的状态。 动态平衡
5
系统处于平衡态时，系统的宏观量具有稳定值，而 单个粒子的微观量在不断变化。 统计物理认为 : 在平衡态下系统的宏观量是在测量时间内 ,
系统所有微观状态中相应的微观量的统计平均值。
四、热平衡
两个热力学系统通过相互传递能量（热传递）达到一个 共同的平衡态。 热力学第零定律： 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力 学系统处于热平衡，则它们彼此处于热平衡。 6
F
r0 ~ 10 10 m
o
d
r0
分子力
r
d 为分子的平均有效直径。
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二、宏观状态参量
P, V, T 热力学系统
P：压强。单位为帕斯卡（Pa）, 1Pa=1N/1m2 V：体积、容积。单位为 m3、l、ml。 T：热力学温度、绝对温度、开氏温度
T 273.15 t K t 为摄氏温度，单位为 C
R 8.31J mol 1 K 1
理想气体状态方程另一种表达式：
P nkT
Nmi PV N A kT N A mi N P kT P nkT V
m PV RT M
N A 6.02 1023 mol 1 R k 1.38 10 23 JK 1 NA
(2) A,B为互斥事件,不可能同时出现,则出现A或B的总概率:
W WA WB
归一化条件:
n n
--- 概率叠加原理
对所有可能发生的事件的概率之和必定为1.
Ni Ni N Wi lim 1 或 N N N N i 1 i 1
dw 1
(3) J,K为相容事件(可同时出现 ），则同时发生J和K的概率.