Buffon投针试验

a
M x
m(G ) G的面积 P ( A) m( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a π aπ 2
π
蒲丰投针试验的应用及意义
根据频率的稳定性, 当投针试验次数n很大时, m 算出针与平行直线相交的次数m, 则频率值 即可 n 作为P( A)的近似值代入上式, 那么
定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
m( A) P( A) m( S )
(其中m( S ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件 A 的子区域的度量 ) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率.
投针试验的所有可能结果 与矩形区域 a S {( x, ) | 0 x , 0 } 2 中的所有点一一对应. 由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题. 所关心的事件
A {针与任一平行直线相交} 发生的充分必要条件为S中的点满足
b 0 x sin , 0 π 2
蒲丰投针试验
例 1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b(<a)的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.
解： 以x表示针投到平面上时, a 针的中点M 到最近的一条平行
M x
直线的距离, 表示针与该平行直线的夹角. 那么针落在平面上的位置可由( x, )完全确定.
几何概型
古典概型是关于试验的结果为有限且每个结果出现的 可能性相同的概率模型。一个直接的推广是：保留等 可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线 段，平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多 个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概 型.
定义：若对于一随机试验, 每个样本点出现是 等可能的, 样本空间S所含的样本点个数为无穷 多个, 且具有非零的, 有限的几何度量, 即0 m ( S ) , 则称这一随机试验是一几何概型的.
蒲丰资料
Georges Louis Leclerc Comte de Buffon Born: 7 Sept 1707 in Montbard, Côte d'Or, France Died: 16 April 1788 in Paris, France
2b P ( A) aπ
m 2b 2bn , π . am n aπ
利用上式可计算圆周率 π 的近似值.
历史上一些学者的计算 Smith De Morgan Fox Lazzerini Reina 时间 1850 1855 1860 1884 1901 1925 针长 0.8 0.6 1.0 0.75 0.83 0.5419 投掷次数 相交次数 π的近似值 5000 3204 600 1030 3408 2520 2532 1218 382 489 1808 859 3.1596 3.1554 3.137 3.1595 3.1415929 3.1795