2016_2017学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4
高中数学3.3 三角函数的积化和差与和差化积4 教案 新人教B版必修4
三角函数的积化和差与和差化积
（一）教学目标
1．知识目标：
1.梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。
2.运用这些公式进行简单的三角恒等变换,达到熟练掌握基础知识的目的。
2．能力目标：
1.通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类
比、推广、特殊化和化归思想方法。
2.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；
不同三角函数之间的变换。
3.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。
3．情感目标：通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆向思维和发散思
维能力。
（二）教学重点、难点
重点：梳理三角恒等变换公式体系，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；熟练恒等变换公式，解决简单问题的应用。
难点：公式推导，解决问题中观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法的渗透。
（三）教学方法
本节课是在上一节课（三角函数的积化和差，和差化积）的一项作业（做三角恒等变换的知识结构图的）基础上，梳理公式体系；总结在推导过程中使用的数学思想方法。
（四）教学过程
2
++
sin30)
-
2⎪⎭化异角为同角式、角和
形式
5
13
β⎫=⎪⎭)
＊同时还要强调公式的应用 通过完成此例题，严谨的解题思维，规范解题格。
数学人教B版必修4示范教案：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析
示范教案整体设计教学分析本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导了公式sinα＋sinβ＝2sin α＋β2cosα－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m＋log a n＝log a(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？推进新课新知探究提出问题(1)你能从两角和与差的正、余弦公式中发现些什么？(2)积化和差与和差化积公式的特点是什么？活动：考察公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.从公式结构上看，把cosαcosβ，sinαsinβ，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．从上面这四个公式，又可以得出sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ； sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ； cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ； cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y2.这样，上面得出的四个式子可以写成sinx ＋siny ＝2sin x ＋y 2cos x －y 2；sinx －siny ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cosx ＋cosy ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cosx －cosy ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式． 如图1所示．作单位圆，并任作两个向量图1OP →＝(cosα，sinα)，OQ →＝(cosβ，sinβ)．取的中点M ，则M(cos α＋β2，sin α＋β2)．连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON ⊥PQ. ∠xOM 和∠MOQ 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP →，ON →，OQ →之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cosα＋cosβ＝2cos α＋β2cos α－β2；sinα＋sinβ＝2sin α＋β2cos α－β2.讨论结果：略应用示例例 1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx ＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x)＝12(1＋38)＝1116.例 2已知cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，求证：cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4Asin 2B ＝1，∴cos 4A·sin 2B ＋sin 4A·cos 2B ＝sin 2B·cos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4A·cos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ，即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B.∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0. ∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证法二：令cos 2A cosB ＝cosα，sin 2AsinB ＝sinα，则cos 2A ＝cosBcosα，sin 2A ＝s inBsinα.两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B －α)＝1.∴B －α＝2kπ(k ∈Z )，即B ＝2kπ＋α(k ∈Z )．∴cosα＝cosB ，sinα＝sinB. ∴cos 2A ＝cosBcosα＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsinα＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4Bsin 2B ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1.例3 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x 2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得tan(π4＋x2)＝sin (π4＋x 2)cos (π4＋x 2)＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sinx2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得(cos x 2＋sin x2)2(cos x 2＋sin x 2)(cos x 2－sin x 2)＝1＋sinxcosx .证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sinxcosx ＝(cos x 2＋sin x 2)2(cos x 2＋sin x 2)(cos x 2－sin x 2)＝cos x 2＋sinx2cos x 2－sinx2. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2).课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本本节习题3—3A 组1～4，B 组1～4.设计感想 1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料 一、一道给值求角类问题错解点击． 解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sinα＝55，sinβ＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cosα＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴cosβ＝1－sin 2β＝31010. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝55<12，sinβ＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．二、如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦． (4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________. 2．已知tanα＝2，则cos2α等于( )A ．－13B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是：(1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k ∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cos A －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案： 1．－35 －45 2.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0, ∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0， 即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°，设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α.代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，可得1cos (60°＋α)＋1cos (60°－α)＝－22，即2cosα－3sinα＋2cosα＋3sinα＝－2，可化为4cos 2α＋2cos α－3＝0， 解得cosα＝22或－324(舍去)． ∴cos A －C 2＝22.6．原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝tan (60°－6°)tan6°tan (60°＋6°)tan42°tan78°tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝tan(60°－18°)tan18°tan(60°＋18°)tan54°＝tan54°tan54°＝1.。
《三角函数的积化和差与和差化积》教案3新人教B版必修4
《三角函数的积化和差与和差化积》教案3新人教B版
必修4
《三角函数的积化和差与和差化积》教案3新人教B版必修4
一、教学目的
1、能正确了解三角函数的积化和差的定义；
2、掌握三角函数的积化和差的基本计算方法及其应用；
3、理解“和差化积”的定义及其求解方法。
二、教学重点
1、认知三角函数的积化和差的定义；
2、掌握三角函数的积化和差的基本计算方法及其应用；
3、理解“和差化积”的定义及其求解方法。
三、教学难点
1、难点一：掌握三角函数积化和差的基本计算方法及其应用；
2、难点二：理解“和差化积”的定义及其求解方法。
四、教学过程
（一）讲授
1、三角函数的积化和差：积化和差是指将两个函数的乘积拆分成以一些函数为基准的两个函数的和差的形式，即将两个函数的乘积表达为f(x)与g(x)的和和差的形式，比如，三角函数的积化和差就是将两个三
角函数的乘积拆分成以一些三角函数为基准的两个三角函数的和差的形式，如
sin x∙cos x = （sin x+cos x）/2-（sin x-cos x）/2
2、和差化积：和差化积也是将函数的乘积拆分成以一些函数为基准
的两个函数的和差的形式，但是此时和差是指函数的和减去函数的差，而
非像积化和差一样是指函数的和减去函数差的积，比如
sin2 x× cos2 x = （sin x+cos x）2-（sin x-cos x）2
（二）练习。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教B版必修4
3.3 三角函数的积化和差与和差化积点，提高推理、运算能力．1．积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．【自主测试1－1】函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期是( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解析：∵y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝12⎩⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎭⎪⎬⎪⎫⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14，∴函数的最小正周期为π. 答案：B【自主测试1－2】sin 37.5°cos 7.5°＝__________.解析：si n 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin45°＋sin 30°)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14.答案：2＋142．和差化积公式sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y2；sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.名师点拨不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系而言，并不是指角的关系．和差化积公式的适用条件是什么？答：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．【自主测试2－1】sin 105°＋sin 15°等于( )A ．32B ．22C ．62D ．64解析：sin 105°＋sin 15°＝2sin 105°＋15°2cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62. 答案：C【自主测试2－2】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的最小值为________．解析：∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2cos x cos π4＝2cos x ，∴f (x )min ＝－ 2.答案：－ 21．和差化积与积化和差公式的作用剖析：(1)可从以下几方面来理解这两组公式：①这些公式都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系； ②三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解．(2)一般情况下，遇到正弦、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算．(3)和积互化公式的基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值. 正因为如此，“和积互化”是三角恒等变形的一种基本方法．在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式．往往这样就能发现解决三角函数问题的思路．为了能够把三角函数化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把12－cos α化为积的形式，可将12看作cos π3，再化为积．2．教材中的“探索与研究” 用向量运算证明和差化积公式．如图所示，作单位圆，并任作两个向量OP＝(cos α，sin α)，OQ＝(cos β，sin β)． 取PQ 的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2. 连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON ⊥PQ .∠xOM 和∠QOM 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP ，ON ，OQ之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2；sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.剖析：如图所示，P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，又M 为PQ的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫cosα＋β2，sin α＋β2. 又N 为OM 与PQ 的交点，则N 必为PQ 的中点，∠NOQ ＝α＋β2－β＝α－β2.①由N 为线段PQ 的中点，则N 点的坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋cos β2，sin α＋sin β2. ②在Rt△ONQ 中， |ON |＝|OQ |cos∠NOQ ＝cos α－β2.所以点N 的横坐标x ＝|ON |cos∠MOx ＝cos α－β2·cos α＋β2.点N 的纵坐标y ＝|ON |sin∠MOx ＝cos α－β2·sin α＋β2.由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β2＝cos α－β2cos α＋β2，sin α＋sin β2＝cos α－β2sin α＋β2.也就是cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.题型一 求值问题【例题1】(1)求sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值；(2)已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．分析：解答本题利用积化和差公式和和差化积公式，对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件求解．解：(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②∵sin α－β2≠0，∴由①②得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.题型二 化简问题【例题2】化简：4sin(60°－θ)sin θsin(60°＋θ)．分析：观察(60°－θ)与(60°＋θ)的和为特殊角，所以可用积化和差公式化简． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－cos 2θ ＝sin θ＋2sin θcos 2θ ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.反思此题依然是直接考查公式应用的题，对于这种题，解题公式的选取是关键． 题型三 证明三角恒等式【例题3】在△AB C 中，求证：sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ． 分析：先用降幂公式，再利用和差化积公式．证明：原式左边＝1－cos 2A 2＋1－cos 2B 2－1－cos 2C 2＝12＋12cos 2C －12(cos 2A ＋cos 2B )＝cos 2C －cos(A ＋B ) cos(A －B )＝cos C[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin A sin B cos C ＝右边． 故原式成立.题型四 恒等变换公式的综合应用【例题4】已知A ＋B ＝23π，求cos 2A ＋cos 2B 的最值．分析：将cos 2A ＋cos 2B 利用降幂公式、积化和差公式与和差化积公式化为正弦函数形式或余弦函数形式．解：原式＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B )＝12(2＋cos 2A ＋cos 2B ) ＝12[2＋2cos(A ＋B )cos(A －B )] ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )．所以当cos(A －B )＝－1时，原式取最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取最小值12.反思考查一个三角函数式的单调性、最值、周期或值域等问题，一般要化简为正弦函数或余弦函数形式，再进行求解．题型五 易错辨析【例题5】化简：cos 2θ＋cos 2(60°－θ)＋cos 2(60°＋θ)．错解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos 120°－2θ 2＋1＋cos 120°＋2θ 2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋2×2cos 60°·cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)．错因分析：解题过程中由于没有发现60°－2θ与120°＋2θ是互补关系，从而没有消去cos(60°－2θ)和cos(120°＋2θ)这两个值，得出的结果并未化简彻底．正解：原式＝1＋cos 2θ2＋1＋cos 120°－2θ 2＋1＋cos 120°＋2θ 2＝32＋12[cos2θ＋cos(120°－2θ)]＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12×2cos 60°cos(60°－2θ)＋12cos(120°＋2θ)＝32＋12cos(60°－2θ)＋12cos[180°－(60°－2θ)]＝32.1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的最小正周期是( )A ．π2 B ．2πC ．π4 D ．π答案：D2．在△AB C 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则这个三角形必是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：B3．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcosθ；⑤sin x sin y ＝12[cos (x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①②③④均不正确，⑤正确． 答案：B4．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的结果为( )A ．tan x2B ．tan 2xC ．tan xD ．－tan x解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos π4sin －x 2sin π4cos －x＝－tan x .答案：D5．sin 57°－sin 33°＋22cos 81°sin 69°＝__________.答案：226．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值－34. 答案：－347．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋sin 20°cos 50°＝1－12(cos 40°－cos 100°)＋12[sin 70°＋sin(－30°)]＝1－12×(－2)sin 70°sin(－30°)＋12sin 70°－14＝1－12sin 70°＋12sin 70°－14＝34.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和
3.3 三角函数的积化和差与和差化积教学分析本节主要包括利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导了公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．和差化积、积化和差不要求记忆，都在试卷上告诉我们，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度是一降再降．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生学好数学的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sin α＋sin β，sin α－sin β，cos α＋cos β，cos α－cos β的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m ＋log a n ＝log a (mn)，那么sin α＋sin β等于什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题你能从两角和与差的正、余弦公式中发现些什么？积化和差与和差化积公式的特点是什么？活动：考察公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.从公式结构上看，把cos αcos β，sin αsin β，sin αcos β，cos αsin β分别看成未知数解方程组，则容易得到如下结论：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．从上面这四个公式，又可以得出sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β； sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β； cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos αcos β； cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y2.这样，上面得出的四个式子可以写成sinx ＋siny ＝2sin x ＋y 2cos x －y2；sinx －siny ＝2cos x ＋y 2sin x －y2；cosx ＋cosy ＝2cos x ＋y 2cos x －y2；cosx －cosy ＝－2sin x ＋y 2sin x －y2.利用这四个公式和其他三角函数关系式，我们可把某些三角函数的和或差化成积的形式．教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式． 如图1所示．作单位圆，并任作两个向量图1OP →＝(cos α，sin α)，OQ →＝(cos β，sin β)．取的中点M ，则M(cos α＋β2，sin α＋β2)．连接PQ ，OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点且ON⊥PQ.∠xOM 和∠MOQ 分别为α＋β2，α－β2.探索三个向量OP →，ON →，OQ →之间的关系，并用两种形式表达点N 的坐标，以此导出和差化积公式cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2；sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.讨论结果：略应用示例例 1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x)＝12(1＋38)＝1116.例 2已知cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，求证：cos 4B cos 2A ＋sin 4Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B＝1，∴cos 4A·sin 2B ＋sin 4A·cos 2B ＝sin 2B·cos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4A·cos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ，即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B.∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0.∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B.∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证法二：令cos 2A cosB ＝cos α，sin 2A sinB ＝sin α，则cos 2A ＝cosBcos α，sin 2A ＝sinBsin α.两式相加得1＝cosBcos α＋sinBsin α，即cos(B －α)＝1.∴B－α＝2k π(k∈Z )，即B ＝2k π＋α(k∈Z )．∴cos α＝cosB ，sin α＝sinB.∴cos 2A ＝cosBcos α＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsin α＝sin 2B.∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4B sin 2B ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1.例3 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x 2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得tan(π4＋x 2)＝π4＋x 2π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx 2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝1＋sinxcosx.证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sinxcosx＝x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2). 变式训练求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ，此式右边就是tan2θ. 证明：原等式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝tan2θ.而上式左边＝sin4θ＋－cos4θsin4θ＋＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θθ＋sin2θ2cos2θθ＋cos2θ＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本本节习题3—3A 组1～4，B 组1～4.设计感想1．本节主要学习了怎样推导积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料一、一道给值求角类问题错解点击． 解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sin α＝55，sin β＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．二、如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦． (4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________. 2．已知tan α＝2，则cos2α等于( )A ．－13B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cosA －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案：1．－35 －452.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0, ∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0， 即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°，设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α.代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，可得1＋α＋1－α＝－22，即2cos α－3sin α＋2cos α＋3sin α＝－2，可化为4cos 2α＋2cos α－3＝0， 解得cos α＝22或－324(舍去)． ∴cos A －C 2＝22.6．原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan54°tan54°＝1.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.3 三角函数的积化和差与和差化积》4
解： 这种形式我们在前面见过， ，
所以，所求的周期 ，最大值为２，最小值为 ．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
教
学
小
结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
例２、求证：
（１）、 ；
（２）、 ．
证明：（１）因为 和 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
； ．
两式相加得 ；
即 ；
（２）由（１）得
①；
设 ，
那么
．
把 的值代入①式中得
．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
例２证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
重点
学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
难点
认识三角变换的特点，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．
课后
反思
3
三角恒等变换教学设计
备课人
秦翠平
授课时间
课题
人教B版高一数学必修四导学案：三角函数的积化和差与和差化积
三角函数的积化和差与和差化积公式学案学习目标:1． 了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程。
了解此组公式与两角和与差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。
2． 掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明。
逐步提高推理和运算能力。
知识连接:(1)复习： C αβ±： S αβ±： 。
课题引入：由以上公式请同学们自己推导出积化和差与和差化积公式，并记忆公式探索与研究：请同学们自己用向量知识证明和差化积公式：二、典型例题：例1：把cos3cos θθ+化成积的形式例2：已知180A B C ++=︒，求证：sin sin sin 4coscos cos 222A B C A B C ++=巩固练习:P151 练习A 1,2,3 练习B 1,2,3当堂检测：1．5cos cos 1212ππ-的值是 A B C D2．下列四个公式中，不正确的是A 1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =--+B 1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =-++C 1sin cos [sin()sin()]2x y x y x y =-++ D 1cos sin [sin()sin()]2x y x y x y =--+ 3．已知221cos cos 3αβ-=,那么sin()sin()αβαβ+-等于 。
A 13- B 13 C 16- D 164．2cos10sin 20cos 20︒-︒︒等于 。
课后深化提高： 1. 12sin 702sin170-︒︒= . 2．cos72cos36︒-︒= . 3．已知sin()sin()m αβαβ+-=,那么22cos cos αβ-等于4．5sincos 1212ππ= 。
5．cos(2)sin(2)33y ππθθ=+-的最大值是 。
【免费下载】新人教B版高中数学必修433三角函数的积化和差与和差化积教案
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和
3.3三角函数的积化和差与和差化积课堂导学三点剖析一、公式的推导及简单应用因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(4)(1)+(2)得:sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］;(1)-(2)得:cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］;(3)+(4)得:cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］;(3)-(4)得:sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］.以上得到的四个等式我们称为积化和差公式.设α+β=x,α-β=y,则α=2yx +,β=2yx -,代入积化和差公式得: sinx+siny=2sin 2y x +·cos 2yx -, sinx-siny=2cos 2yx +·sin 2yx -, cosx+cosy=2cos 2y x +·cos 2yx -, cosx-cosy=-2sin 2y x +·sin 2yx -.以上四式称为和差化积公式.【例1】 (1)把21+cos20°化成积的形式.(2)把sin84°cos132°化成和差的形式.思路分析:(1)21可化成cos60°,然后运用公式.(2)直接运用公式.解：(1)原式=cos60°+cos20° =2cos 22060︒+︒·cos 22060︒-︒=2cos40°·cos20°.(2)原式=21［sin(84°+132°)+sin(84°-132°)］ =21［sin216°-sin48°］ =-21sin36°-21sin48°.各个击破类题演练 1(1)求值:sin20°+sin40°-sin80°;(2)求值:2cos37.5°·cos22.5°.思路分析:(1)∵20°+40°=60°为特殊角,∴前两个先和差化积.(2)直接运用积化和差.解:(1)原式=2sin 24020︒+︒·cos 24020︒-︒-sin80° =2sin30°·cos10°-sin80°=cos10°-sin80°=sin80°-sin80°=0.(2)原式=cos(37.5°+22.5°)+cos(37.5°-22.5°) =cos60°+cos15°=21+cos(45°-30°) =21+cos45°cos30°+sin45°sin30° =21+222322+⨯×21 =21+42264246++=+. 变式提升 1已知sin(θ+6π)sin(θ-6π)=2011,求tanθ的值. 思路分析:等式左边运用积化和差公式. 解:∵sin(θ+6π)sin(θ-6π) =-21(cos2θ-cos 3π) =-21cos2θ+41. ∴-21cos2θ+41=2011. 解得cos2θ=-53. ∴sin2θ=±542cos 12±=-θ. ∴tanθ=545312sin 2cos 1±+=-θθ=±2. 二、运用公式化简或证明三角函数式运用公式进行三角变换是高考的基本要求,变换中要反复体会其中的内涵,灵活运用数学思想方法,从而加深对变换的理解.【例2】 求值:︒+︒+︒+︒10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2.思路分析:本题通过对公式的灵活运用使问题得到解决.运用的方法和公式分别为“切化弦”,两角和与差的正余弦,二倍角的升幂公式,注意寻求合理简捷的运算途径.解：原式==︒︒︒+︒︒+︒=︒︒+︒+︒5cos 210cos 10sin 310cos 80sin 50sin 25cos 2)10tan 31(80sin 50sin 2 ︒︒+︒=︒︒+︒+︒5cos 250cos 250sin 25cos 2)10sin 2310cos 21(250sin 2 ︒︒=︒︒+︒=5cos 95sin 25cos 2)50cos 2250sin 22(22=2. 温馨提示对于三角函数的和差化积,有时因为使用公式不同,或者选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.类题演练 2把cosx+cos2x+cos3x+cos4x 化成积的形式.思路分析：把cosx 与cos4x 看作一组，cos2x 与cos3x 看作一组进行和差化积. 解：原式=（cosx+cos4x ）+(cos2x+cos3x)=2cos25x cos 23x +2cos 25x cos 2x =2cos 25x ·(cos 23x +cos 2x )=4cos 25x cosxcos 2x . 变式提升 2 求证：2sin 4x+43sin 22x+5cos 4x-cos3xcosx=2(1+cos 2x). 证明：左=21（2sin 2x ）2+43sin 22x+45(2cos 2x)2-cos3xcosx =21(1-cos2x)2+43sin 22x+45(1+cos2x)2-21(cos4x+cos2x) =21(1-2cos2x+cos 22x)+43sin 22x+45(1+2cos2x+cos 22x)-21(cos4x+cos2x) =25+cos2x+cos 22x-21cos4x =25+cos2x+cos 22x-21(2cos 22x-1) =3+cos2x=3+2cos 2x-1=2(1+cos 2x)=右.∴等式得证.三、最值问题根据问题的具体特点,从变换已知条件和被求式的角度入手,进行双向变换,实现角度和函数名称双统一;然后利用所给的角的范围确定出相应三角函数值的范围,从而确定出所求函数的函数值的取值范围.【例3】 已知函数f(x)=sin(3π-x)·sinx·sin(3π+x)+a 的最大值为21,求实数a 的值. 思路分析:注意到角3π-x 和3π+x 这两个角的和为32π,所以可先运用积化和差公式.解：f(x)=sin(3π-x)·sinx·sin(3π+x)+a =21sinx·(cos2x -cos 32π)+a =21sinx·cos2x+41sinx+a =41(sin3x-sinx)+41sinx+a =41sin3x-41sinx+41sinx+a =41sin3x+a. ∵f(x)最大值为41+a, ∴41+a=21.∴a=41.类题演练 3求函数y=sinx ［sinx-sin(x+3π)］的最值及相应的x 值.解：y=sinx ［sinx-sin(x+3π)］=sinx·2cos(x+6π)sin(-6π) =-sinxcos(x+6π) =-21［sin(2x+6π)+sin(-6π)］ =-21sin(2x+6π)+41. ∵sin(2x+6π)∈［-1,1］,∴当sin(2x+6π)=-1,即x=k π-3π,k∈Z 时,y max =43;当sin(2x+6π)=1,即x=kπ+6π,k∈Z 时，y min =-41.变式提升 3求函数f(x)=sin 6x+cos 6x 的最小正周期和最大,最小值. 解:f(x)=sin 6x+cos 6x=(sin 2x)3+(cos 2x)3=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x+cos 4x-sin 2xcos 2x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x =1-43sin 22x=1-43×24cos 1x- =83cos4x+85.∵x∈R ,∴cos4x∈［-1,1］. ∴f(x)的最小正周期为2π,最大值为1,最小值为41.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 3.3 三角函数的积化和差与和差化积》8
《§三角函数的积化和差与和差化积》教案瓦房店市高级中学虞政华教学目标1、知识与技能目标：了解积化和差与和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化。
2、过程与方法目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简，体会换元法这一重要思想的应用。
3、情感态度与价值观目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质教学重难点重点是公式的推导与应用难点是公式的灵活应用教学手段：多媒体辅助教学教学班级：瓦房店市高级中学2021届高一年级八班（实验班）教学时间：2021年5月17日第3节地点：图书馆二楼多媒体教室学情分析本节课是高中数学人教B版必修三第三章三角恒等变换的最后新课，学生在此之前已经学习了三角函数的定义，诱导公式，和差角公式，二倍角公式及半角公式等相关知识，特别是本节课应用的和差角公式，学生已经熟练掌握，这就给本节课推导积化和差公式奠定了坚实的基础，高一函数部分曾经利用换元法求函数解析式，但时间较长，故在利用换元思想推导和差化积公式时，应对比函数部分进一步强化换元思想。
学生现阶段已对三角恒等变换的一些公式熟练掌握，但是如何灵活利用公式解题，还需要练习。
经过高一近一年的学习，学生自主学习的能力也在逐步提高，所以本节课可以采用启发式教学的模式，让学生自己动手推导公式，让学生在学习过程当中感受到利用已知学习未知的思想方法，这样也能更好的激发学生学习的兴趣，但是在整个教学过程当中，推导和差化积时的换元法是学生不易想到的，多数学生可能会利用拆角的方法利用方程组求解。
因此在教学时应努力引导学生应用换元思想。
而本节课的另一个难点是在得到公式之后如何灵活运用公式，解决问题，因为本节课的公式多且较难记忆，而公式不熟练是无法灵活应用的，所以如何能找到规律帮助学生掌握公式是本节课的重点，因此我给学生总结出了“SC，CS，CC，SS”及“SS，S-S，CC，C-C”的对应规律及对推导过程的强化，来帮助学生理解公式。
[推荐学习]高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积课堂探究学案新人教B版必修4
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3.3三角函数的积化和差与和差化积课堂探究探究一求值问题1．只有同名三角函数和(或差)才能化为积的形式．2．通常情况下遇积化和差，遇和差化积．【例1】求下列各式的值：(1)sin10sin20 cos10cos20︒+︒︒+︒；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°．分析：两题符合公式的形式，直接运用公式即可．解：(1) sin10sin20cos10cos20︒+︒︒+︒＝2sin15cos52cos15cos5︒︒︒︒＝tan 15°＝1cos30sin30-︒︒＝2－3．(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14．探究二化简问题【例2】化简下列各式：(1) cos cos(120)cos(120) sin sin(120)sin(120)A B BB A A+︒++︒-+︒+-︒-；(2) sin2sin3sin5sin32sin5sin7A A AA A A++++．解：(1)原式＝cos2cos120cossin2cos120sinA BB A+︒+︒＝cos cossin sinA BB A--＝2sin sin222cos sin22A B B AA B B A+-+-＝tan2A B+．(2)原式＝(sin sin5)2sin3 (sin3sin7)2sin5A A AA A A++++＝2sin3cos22sin3 2sin5cos2)2sin5A A AA A A++＝2sin 3(cos 21)2sin 5(cos 21)A A A A ++＝sin 3sin 5A A． 评注 问题(1)是对复杂的含不同角、不同函数的分式进行化简，它的化简过程是第一次化积出现特殊角，从而分子、分母都各为两项，再进行第二次化积，然后约分，达到化简目的．问题(2)的分子和分母均为三项，认真观察其角度特点，做好“配对”，然后化积，再与第三项“配对”有因子提出，再分子、分母约分，最后达到化简的目的．探究三 证明恒等式【例3】 求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin 3α． 分析：根据积化和差公式将左边变形整理，进行角的统一．证明：左边＝sin α·12⎛⎫- ⎪⎝⎭ (cos 120°－cos 2α) ＝14sin α＋12sin αcos 2α＝14sin α＋14[sin 3α＋sin(－α)] ＝14sin α＋14sin 3α－14sin α＝14sin 3α． 评注 本题考查积化和差公式的应用，本题证明的关键是向右边目标角的转化与统一． 探究四 与三角函数有关的综合问题【例4】 求函数y ＝sin x sin sin 3x x π⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最值． 解：y ＝sin x sin sin 3x x π⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin x ·2cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－sin x cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－1sin 2sin 266x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝－12sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋14， 因为sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈[－1,1]，所以当sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1， 即x ＝k π－3π，k ∈Z 时，y max ＝34； 当sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1，即x ＝k π＋6π，k ∈Z 时，y min ＝－14． 探究五 三角形中的应用【例5】 在△ABC 中，cos A ＋cos B ＝sin C ，求证：△ABC 是直角三角形．分析：看到和，想到和差化积，可以得到cos2A B +与cos 2A B -的关系，再利用半角公式可以得出关于cos A 和cos B 的因式．证明：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝cos A ＋cos B ．因为cos A ＋cos B ＝2cos 2A B +cos 2A B -， 所以2sin 2A B +cos 2A B +＝2cos 2A B +cos 2A B -． 因为cos 2A B +＝cos 2C π-＝sin 2C ≠0， 所以sin 2A B +＝cos 2A B -． 两边平方，得sin 22A B +＝cos 22A B -， 所以1cos()2A B -+＝1cos()2A B +-． 所以cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝0．所以2cos A cos B ＝0，所以cos A ＝0或cos B ＝0．因为A ，B 为△ABC 的内角，所以A ，B 中必有一个是直角．所以△ABC 为直角三角形．反思 本题证明三角形为直角三角形，既然没有边的相对位置关系，就从角入手，可以证明有一个角为直角，或者有两角互余，除了直接求度数，还可以从正弦值为1或余弦值为0得出直角的结论．。
高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积教案新人教B版必修4
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
-发放预习材料，引导学生提前了解三角函数积化和差与和差化积的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
-设计预习问题，如“积化和差与和差化积公式在生活中的应用”，激发学生思考，为课堂学习三角函数的内容做好准备。
教师备课：
-深入研究教材，明确教学目标和教学重难点。
-准备一些典型例题的解析图解，通过图解的方式让学生更清晰地看到解题步骤和思路。
-设计一些互动式电子白板练习，让学生可以在课堂上即时操作，增强互动性和参与感。
3.实验器材：
-虽然本节课不涉及物理实验，但如果条件允许，可以准备一些简单的实验器材，如直角三角形模型、角度测量仪等，用于直观展示三角函数中的角度关系。
- $\sin 30^\circ \cos 45^\circ - \cos 30^\circ \sin 45^\circ = \sin(30^\circ - 45^\circ)$
2.艺术性和趣味性：
回顾旧知：
-简要回顾上节课学习的三角恒等变换内容，帮助学生建立知识之间的联系。
-提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
-清晰、准确地讲解积化和差与和差化积的知识点，结合实例帮助学生理解。
-突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握三角函数积化和差与和差化积的基本概念和公式。
-学生能够运用积化和差与和差化积的公式进行三角函数的表达式转换和简化计算。
-学生通过课堂练习和课后作业，提高了对三角函数运算的熟练性和准确性。
-学生能够将实际问题中的角度关系转化为数学表达式，解决实际问题。
高中数学 第三单元 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教B版必修4
3.3 三角函数的积化和差与和差化积 学习目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用.知识点一 积化和差公式思考 根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整.①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝________________；②sin(α＋β)－sin(α－β)＝________________；③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝________________；④co s(α＋β)－cos(α－β)＝________________.在上述四个等式两边同乘以12，等号两端互换，就可以得出四个相应的积化和差公式. 梳理 积化和差公式(1)sin αcos β＝________________________________.(2)cos αsin β＝________________________________.(3)cos αcos β＝________________________________.(4)sin αsin β＝________________________________.知识点二 和差化积公式思考 在四个积化和差公式中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝________，β＝________，由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式： sin θ＋sin φ＝________________；sin θ－sin φ＝________________；cos θ＋cos φ＝________________________；cos θ－cos φ＝________________________.梳理 和差化积公式(1)sin x ＋sin y ＝2sinx ＋y 2 cos x －y 2， (2)sin x －sin y ＝2cosx ＋y 2 sin x －y 2， (3)cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2 cos x －y 2，(4)cos x －cos y ＝－2sin x ＋y2 sin x －y2.类型一 利用积化和差与和差化积公式化简求值例1 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.反思与感悟 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.跟踪训练1 求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.类型二 三角恒等式的证明例2 在△ABC 中，求证：sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝4sin A sin B sin C .反思与感悟 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.跟踪训练2 已知A ＋B ＋C ＝π，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C 2.1.sin 75°－sin 15°的值为( )A.12B.22C.32D.－122.sin 15°cos 165°的值是( )A.14B.12C.－14D.－123.sin 105°＋sin 15°等于( )A.32B.22C.62D.64 4.sin 37.5° cos 7.5°等于( )A.22B.24C.2＋14D.2＋245.在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围.1.本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系.2.和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系.答案精析问题导学知识点一思考 ①2sin αcos β ②2cos αsin β ③2cos αcos β ④－2sin αsin β 梳理 (1)12[sin(α＋β)＋sin(α－β)](2)12[sin(α＋β)－sin(α－β)](3)12[cos(α＋β)＋cos(α－β)](4)－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]知识点二思考 θ＋φ2 θ－φ2 2sin θ＋φ2cos θ－φ2 2cos θ＋φ2sin θ－φ22cos θ＋φ2cos θ－φ2－2sin θ＋φ2sin θ－φ2题型探究例1 解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)＝14－12sin 50°＋12cos 40°＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.跟踪训练1 解 原式＝cos 20°＋12＋(cos 100°＋cos 140°)＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12.例2 证明 左边＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C＝2sin 2A ＋2B 2cos 2A －2B 2＋sin 2C＝2sin(A ＋B )cos(A －B )－2sin(A ＋B )·cos(A ＋B ) ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝2sin C ·(－2)sin A －B ＋A ＋B 2·sin A －B －A ＋B2＝4sin A sin B sin C ＝右边．所以原等式成立．跟踪训练2 证明 ∵左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B－C 2·cos B ＋C2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C2＋sin B －C2＝2cos π－A 2·2sin B 2cos C2＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边．∴原等式成立．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.C5．解 由题意，得cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )] ＝12[sin(π－B )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )．∵－1≤sin(A －C )≤1，∴－14≤14－12sin(A －C )≤34，∴cos A sin C 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.。
《三角函数的积化和差与和差化积》教案新人教B版
数学：3.3《三角函数的积化和差与和差化积2》教案（新人教B版必修4）3.3 三角函数的积化和差与和差化积(一) 教学目标：1．知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化.2．能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明.3．情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.(二) 教学重点、难点本节重点是公式的推导和应用，难点是公式的灵活应用. (三) 教学方法观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法.(四) 教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习两角和与差的正弦、余弦公式让学生将两角和与差的正弦余弦公式写出来.①②③④复习旧知识同时为推导积化和差公式作准备.积化和差公式的推导推导积化和差公式：师：考察写出来的两角和与差的正弦、余弦公式这四个公式，你生：①式与②式两边分别相加和相减除以2得到：培养学生运用已有知识分析问题的能力和问题探究的能力，同时也是学生认识到了新公式产生的来龙去脉.教学环节教学内容师生互动设计意图③式与④式两边分别相加和相减除以2得到：师:这个公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将"积式"化为"和差"，有利于简化计算积化和差公式的应用教材练习A第2题学生做练习教师巡视检查让学生初步学会应用公式和化积差公式的推导推导和差化积公式：师：从上面的积化和差公式变形可以得到：左边是和差的形式，左边世纪的形式，设：后请同学们自己将上面四个市子进行整理，把，用，.换下来，学生整理后引导学生有积化和差公式和差化积公式，推导过程中运用带换法进行角的转化.通过组织学生分组讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生中和运用知识思考问题问题解决问题的能力.教学环节教学内容师生互动设计意图得到和差化积公式。
师：下面同学们看课本中的"探索与研究"，然后分组进行讨论看如何运用向量的知识来推导和差化积公式.组织学生讨论.师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用.可形象地记为"因式分解"和化积差公式的应用例1 化为积的形式。
高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积预习导航学案新人教B版必修4
3.3三角函数的积化和差与和差化积预习导航1．积化和差公式cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 名师点拨(1)积化和差公式的用处是将两角α，β正弦、余弦的积都化成±12[f (α＋β)±f (α－β)](*)的形式．(2)公式记忆方法：①如果两三角函数同为正弦或余弦，那么(*)式中“f ”表示余弦；②如果两三角函数一个为正弦一个为余弦 ，那么(*)式中“f ”表示正弦；③只有第二个式子中右端取“－”号，其余均是“＋”号．(3)积化和差公式中：同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半，等式左边为单角α，β，等式右边为它们的和差角． 2．和差化积公式设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝2x y +，β＝2x y -，这样，上面的四个式子可以写成sin x ＋sin y ＝2sin 2x y +cos 2x y -； sin x －sin y ＝2cos2x y +sin 2x y -；cos x ＋cos y ＝2cos 2x y +cos 2x y -； cos x －cos y ＝－2sin2x y +sin 2x y -． 名师点拨 1)记忆方法：公式左边全是同名函数的和或差，四个公式中前两个是正弦的和或差，后两个是余弦的和或差；右边积的系数前三个是“2”，第四个是“－2”；公式左边两角一个是x ，另一个是y ，右边积中两角前一个是两角和的一半，后一个是两角差的一半；正弦和的积式为正弦乘余弦，正弦差的积式为余弦乘正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦．(2)利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式时关键在于将同名称的正弦与余弦进行恰当组合．组合时遵循的原则是：①应尽量使两角的和(差)出现特殊角；②对于特殊角的三角函数应求出其值．(3)和差化积公式中：两三角函数的系数绝对值必须相同，且为同名，一次三角函数方可应用公式，若是异名需用诱导公式化为同名，若是高次，必须用降幂公式降为一次． 余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角x 与y ，等式右边为2x y +与2x y -的形式．。
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3.3 三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)[基础·初探]教材整理 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 149内容，完成下列问题. 1.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].2.和差化积公式：设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y2，β＝x －y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y2cos x －y2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cosx ＋y2cosx －y2； cos x －cos y ＝－2sinx ＋y2sinx －y2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( )(2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝32cos 10°cos 50°cos 70°＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos 60°＋cos 40°·cos 70° ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.[再练一题]1.求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值.【解】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值.【导学号：72010090】【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】 ∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.[再练一题]2.(2016·银川高一检测)已知sin α＝－45，π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tanα2的值.【解】 ∵π＜α＜32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2＜α2＜34π，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sinα2cosα2＝－2. [探究共研型]三角函数公式在解决三角形问题中的应用探究1 【提示】 注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等. 探究2 在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ 【提示】 在△ABC 中的三角关系：sin(A ＋B )＝sin C ， cos(A ＋B )＝－cos C ， sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ， cos(2A ＋2B )＝cos 2C .在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.【精彩点拨】 利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. 【自主解答】 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C2·cosB ＋C2＝2sin B ＋C2cosB ＋C2＋2sin B －C2cosB ＋C2＝2cosB ＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫sinB ＋C 2＋sinB －C 2＝4sin A2sin B2cos C2＝右边，∴原等式成立.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.[再练一题]3.在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )，即C 2＝90°－A ＋B2， ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B2·cos A －B2＋sin(A ＋B ) ＝2sinA ＋B 2·cosA －B 2＋2sinA ＋B2·cosA ＋B2＝2sinA ＋B 2⎝⎛⎭⎪⎫cosA －B2＋cosA ＋B 2＝2cos C 2·2cos A2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－B 2＝4cos A2cos B 2cos C2，∴原等式成立. [构建·体系]1.计算sin 105°cos75°的值是( ) A.12 B.14 C.－14D.－12【解析】 sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.【答案】 B2.sin 75°－sin 15°的值为( ) A.12 B.22C.32D.－12【解析】 sin 75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B. 【答案】 B3.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )【导学号：72010091】A.12B.14C.1D.22【解析】 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14.∴取最大值14.【答案】 B4.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________.【解析】 sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.【答案】13305.化简下列各式：(1)cos A ＋cos 120°＋B ＋cos 120°－B sin B ＋sin 120°＋A －sin 120°－A ； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A. 【解】 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos Bsin B ＋2cos 120°sin A＝cos A －cos Bsin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sinB －A 22cos A ＋B 2sinB －A2＝tanA ＋B2.(2)原式＝sin A ＋sin 5A ＋2sin 3Asin 3A ＋sin 7A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A＝2sin 3A cos 2A ＋12sin 5Acos 2A ＋1＝sin 3Asin 5A.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.22 B.24 C.2＋14D.2＋24【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】 C2.(2016·吉林高一检测)sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( )A.14B.12C.2D.4【解析】 原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°cos 20°＝2.【答案】 C3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A.－23B.－13C.13D.23【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝12(cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.【答案】 C4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形【解析】 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2， ∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋12cos C ， 即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 【答案】 B5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22C.32D.1【解析】 sin 20°＋s in 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C 二、填空题6.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是________. 【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝12⎩⎨⎧cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋⎭⎬⎫cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋cos 4x ＝12cos 4x －14.∴取最大值14.【答案】 147.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________. 【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________.【导学号：72010092】【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18° ＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18°＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝12.【答案】 12三、解答题9.(2016·济宁高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2. ∴y ＝tan A 2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2＝tan A 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 22cos B 2cos C 2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2. 因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变. 10.求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值. 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，∴取最大值34，取最小值－14. [能力提升]1.若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )A.－2π3B.－π3C.π3D.2π3 【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数，∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：2sin α＋β2cos α－β2 ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3. 【答案】 D2.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14 【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 【答案】 C3.sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°＝________.【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋ 32sin 100°－32sin 60°＝14－12cos 40°－12cos 20°＋32sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋32cos 10° ＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14. 【答案】 144.已知3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12， ∴32⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－sin π6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋sin π6， ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12， ∴sin 2α＝1.。