2016_2017学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4

3.3 三角函数的积化和差与和差化积

1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)

2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)

[基础·初探]

教材整理 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 149内容，完成下列问题. 1.积化和差公式：

cos αcos β＝1

2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；

sin αsin β＝－1

2[cos(α＋β)－cos(α－β)]；

sin αcos β＝1

2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；

cos αsin β＝1

2[sin(α＋β)－sin(α－β)].

2.和差化积公式：

设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y

2

，β＝

x －y

2

.这样，上面的四个式子可以写成，

sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y

2cos x －y

2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cos

x ＋y

2

cos

x －y

2

； cos x －cos y ＝－2sin

x ＋y

2

sin

x －y

2

.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( )

(2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________

[小组合作型]

积化和差与和差化积公式在

给角求值中的应用

(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.

【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.

【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝1

2(sin 90°－sin 50°)

－1

2

(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋1

2cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14

. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝

3

2

cos 10°cos 50°cos 70°

＝

32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1

2cos 60°＋cos 40°·cos 70° ＝38cos 70°＋3

4cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋3

8(cos 110°＋cos 30°) ＝

38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316

.

给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.

[再练一题]

1.求sin 2

20°＋cos 2

50°＋sin 20°·cos 50°的值.

【解】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)

＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－1

4

＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋1

2sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34

.

积化和差与和差化积公式在

给值求值中的应用

(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－1

3

，求

sin(α＋β)的值.

【导学号：72010090】

【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】 ∵cos α－cos β＝1

2，

∴－2sin

α＋β

2

sin

α－β2

＝1

2

.① 又∵sin α－sin β＝－1

3，

∴2cos

α＋β

2

sin

α－β

2＝－13

.②