南京市初二数学上学期第二次月考试卷

南京市初二数学上学期第二次月考试卷 一、选择题
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A ．2-与2
B ．2-与38-
C ．2-与12-
D ．2-与()22-
2．摩托车开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油量y （升）与它工作时间t （时）之间函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列志愿者标识中是中心对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC DCB ∆≅∆的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．BE CE =
C ．AC DB =
D ．A D ∠=∠ 5．7的平方根是（ ）
A ．±7
B ．7
C ．－7
D ．7 6．已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩
，则在同一平面直角坐标系中，两函数y ＝x ＋5与y ＝﹣12
x ﹣1的图像的交点坐标为（ ） A ．（﹣4，1） B ．（1，﹣4） C ．（4，﹣1） D ．（﹣1，4） 7． 4的平方根是( )
A ．2
B ．±2
C ．16
D ．±16
8．一辆货车从甲地匀速驶往乙地用了2.7h ，到达后用了0.5h 卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地速度的1.5倍，货车离甲地的距离y （km ）关于时间x （h ）的函数图象如图所示，则a 等于（ ）
A ．4.7
B ．5.0
C ．5.4
D ．5.8
9．已知A (a ，b )，B (c ，d )是一次函数y =kx ﹣3x +2图象上的不同两个点，m =(a ﹣c )(b ﹣d )，则当m ＜0时，k 的取值范围是( )
A ．k ＜3
B ．k ＞3
C ．k ＜2
D ．k ＞2
10．下列说法中，不正确的是（ ）
A ．2﹣3的绝对值是2﹣3
B ．2﹣3的相反数是3﹣2
C ．64的立方根是2
D ．﹣3的倒数是﹣13
二、填空题
11．如图，点O 是边长为2的等边三角ABC 内任意一点，且OD AC ⊥，OE AB ⊥，OF BC ⊥，则OD OE OF ++=__________．
12．如图，直线l 1：y ＝﹣
12
x +m 与x 轴交于点A ，直线l 2：y ＝2x +n 与y 轴交于点B ，与直线l 1交于点P （2，2），则△PAB 的面积为_____．
13．如图，等边△OAB 的边长为2，以它的顶点O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.若直线y =x +b 与△OAB 的边界总有两个公共点，则实数b 的范围是____.
14．已知一次函数()12y k x =-+，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___．
15．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．
16．已知点(,)P m n 在一次函数31y x =-的图像上，则2296m mn n -+=___________.
17．已知某地的地面气温是20℃，如果每升高1000m 气温下降6℃，则气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式为_____．
18．将一次函数2y x =-的图象平移，使其经过点（2，3），则所得直线的函数解析式是______．
19．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝4，AC ＝2，且△ABD 的面积为2，则△ABC 的面积为_________．
20．化简：23(3)2716--+=_____．
三、解答题
21．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ，ADE ∆与CFE ∆全等吗？试说明理由.
22．如图,已知ABC ∆各顶点的坐标分别为()3,2A -,()
4,3B --,()1,1C --,直线l 经过点()1,0-,并且与y 轴平行,111
A B C ∆与ABC ∆关于直线l 对称.
(1)画出111
A B C ∆,并写出点1 A 的坐标 . (2)若点()P m n ,是ABC ∆内一点,点1P 是111 A B C ∆内与点P 对应的点,则点1P 坐标 .
23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7×13－6×14＝7，17×23－16×24＝7，不难发现，结果都是7．
①请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
②请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
24．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD=DE ．
（1）若∠BAE=40°，求∠C 的度数；
（2）若△ABC 周长为15cm ，AC=6cm ，求DC 长．
25．（新知理解）
如图①，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP BP +的值最小. 作法:作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '交直线l 于点P ，则点P 即为所求. （解决问题）
如图②，AD 是边长为6cm 的等边三角形ABC 的中线，点P 、E 分别在AD 、AC 上，则PC PE +的最小值为 cm;
（拓展研究）
如图③，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠.(保留作图痕迹，并对作图方法进行说明)
四、压轴题
26．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；
（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；
（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式．
27．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，3BC =．
（1）求直线AC 的解析式；
（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在
最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．
28．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足
|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
29．观察下列两个等式：5532321,44133
+=⨯-+=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对
5(3,2),4,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
都是“白马有理数对”． （1）数对3(2,1),5,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
中是“白马有理数对”的是_________； （2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；
（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由． （4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）
30．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．
(1)求P 点的坐标；
(2)求△APB 的面积；
(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相反数的性质判断即可；
【详解】
A中-2=2，不是互为相反数；
B382
-=-，不是相反数；
C中两数互为倒数；
D中两数互为相反数；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相反数的性质应用，准确分析是解题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
由题意根据剩余油量等于油箱中的原有的油量减去用去的油量，列出y、x的关系式，然后根据一次函数的图象选择答案即可．
【详解】
解：∵油箱中有油4升，每小时耗油0.5升，
∴y=4-0.5x，
∵4-0.5x≥0，
∴x≤8，
∴x的取值范围是0≤x≤8，
所以，函数图象为：
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一次函数的图象，比较简单，难点在于根据实际意义求出自变量x的取值范围．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、是中心对称图形，故选项正确；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【详解】
A．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B．∵BE=CE，
∴∠DBC=∠ACB．
∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C．∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出
△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错
误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解答此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据乘方运算，可得一个正数的平方根．
【详解】
）2＝7，
∴7．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根，利用了乘方运算求一个正数的平方根，注意一个正数有两个平方根．6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【详解】
解：∵二元一次方程组
5
22
x y
x y
-=-
⎧
⎨
+=-
⎩
的解为
4
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x＋5与y＝﹣1
2
x﹣1的图像的交点坐标为：（-
4,1）
故选：A.
【点睛】
本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平方根的意义求解即可，正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
【详解】
∵(±2)2=4,
∴4的平方根是±2,即
2
±.
故选B.
【点睛】
本题考查了平方根的意义，如果个一个数x的平方等于a，即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据路程、速度和时间的关系题意可得甲地到乙地的速度和从乙地到甲地的时间，再由货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，列出方程组求得从乙地到甲地的时间t，进而求得a的值．
【详解】
解：设甲乙两地的路程为s，从甲地到乙地的速度为v，从乙地到甲地的时间为t，
则
2.7
1.5
v s
vt s
=⎧
⎨
=⎩
解得，t＝1.8
∴a＝3.2+1.8＝5（小时），
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像的应用、方程组的应用，根据一次函数图像以及路程、速度和时间的关系列出方程组是解答本题的关键．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
将点A，点B坐标代入解析式可求k−3＝b d
a c
-
-
，即可求解．
【详解】
∵A(a，b)，B(c，d)是一次函数y=kx﹣3x+2图象上的不同两个点，∴b=ka﹣3a+2，d=kc﹣3c+2，且a≠c，
∴k﹣3=b d
a c -
-
．
∵m=(a﹣c)(b﹣d)＜0，∴k＜3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−3＝b d a c --
是关键，是一道基础题．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
分别根据实数绝对值的意义、相反数的定义、立方根的定义和倒数的定义逐项解答即可．【详解】
解：A，故A选项不正确，所以本选项符合题意；
B，正确，所以本选项不符合题意；
C82，正确，所以本选项不符合题意；
D、﹣3的倒数是﹣1
3
，正确，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数的绝对值、相反数、立方根和倒数的定义，属于基础知识题型，熟练掌握实数的基本知识是解题关键．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
过点A作AG⊥BC于点G，由等边三角形的性质求出BG的长，再根据勾股定理求出AG的长；连接OA，OB，OC，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：过点A作AG⊥BC
【解析】
【分析】
过点A作AG⊥BC于点G，由等边三角形的性质求出BG的长，再根据勾股定理求出AG的长；连接OA，OB，OC，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：过点A作AG⊥BC于点G，连接OA，OB，OC，
∵AB=AC=BC=2，
∴BG=1
2
BC=1，
∴22
21
3
∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC,
∴1
2
AB×（OD+OE+OF）=
1
2
BC•AG，
∴3．
3
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，以及勾股定理，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：把点P（2，
解析：【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A
（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】
解：把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，
得，m＝3，n＝﹣2，
∴直线l1：y＝﹣1
2
x+3，直线l2：y＝2x﹣2，
对于y＝﹣1
2
x+3，令y＝0，得，x＝6，
对于y＝2x﹣2，令x＝0，得，y＝﹣2，
∴A（6，0），B（0，﹣2），
∵直线l1：y＝﹣1
2
x+3与y轴的交点为（0，3），
∴△PAB的面积＝1
2
×5×6﹣
1
2
×5×2＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了两直线相交与平行问题，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
13．【解析】
【分析】
由题意，可知点A坐标为（1，），点B坐标为（2，0），由直线与△OAB的边界总有两个公共点，有截距b在线段CD之间，然后分别求出点C坐标和点D坐标，即可得到答案.
【详解】
解
解析：231
b
-<<-
【解析】
【分析】
由题意，可知点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，0），由直线y x b
=+与△OAB 的边界总有两个公共点，有截距b在线段CD之间，然后分别求出点C坐标和点D坐标，即可得到答案.
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥x轴，
.∵△ABC是等边三角形，且边长为2，
∴OB=OA=2，OE=1，
∴22
213
AE-=
∴点A为（13B为（2，0）；
当直线y x b
=+经过点A（13ABC边界只有一个交点，
则1b +=1b =，
∴点D 的坐标为（1）；
当直线y x b =+经过点B （2，0）时，与△ABC 边界只有一个交点，
则20b +=，解得：2b =-，
∴点C 的坐标为（0，2-）；
∴直线y x b =+与△OAB 的边界总有两个公共点时，截距b 在线段CD 之间，
∴实数b 的范围是：21b -<<
；
故答案为：21b -<<
.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，掌握直线与等边三角形有一个交点是临界点，注意分类讨论. 14．k ＜1．
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得k
解析：k ＜1．
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得k ＜1，
故答案是：k ＜1．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．
15．【解析】
【分析】
不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y1=kx+b 在y2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．
【详解】
解：不等式的解集是．
故答案为：．
【点
解析：1x <-
【解析】
【分析】
不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y 1=kx+b 在y 2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．
【详解】
解：不等式()0kx b x a +-+>的解集是1x <-．
故答案为：1x <-．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．1
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可．
【详解】
把x=m ，y=n 代入y=3x-1，
可得：n=3m-1，
把n=3m-1代入
=
=
=．
故答案为：1.
【
解析：1
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标性质直接代入求出即可．
【详解】
把x=m ，y=n 代入y=3x-1，
可得：n=3m-1，
把n=3m-1代入2296m mn n -+
=223196())31(m m m m -+--
=2229186196m m m m m -++-+
=1．
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质，正确代入点的坐标求出是解题关键．
17．t=﹣0.006h+20
【解析】
【分析】
根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．
【详解】
∵每升高1000m 气温下降6℃，
∴每升高1m 气温下降0.006℃，
∴气温
解析：t=﹣0.006h+20
【解析】
【分析】
根据题意得到每升高1m 气温下降0.006℃，由此写出关系式即可．
【详解】
∵每升高1000m 气温下降6℃，
∴每升高1m 气温下降0.006℃，
∴气温t （℃）与高度h （m ）的函数关系式为t=﹣0.006h+20，
故答案为：t=﹣0.006h+20．
【点睛】
本题考查了函数关系式，正确找出气温与高度之间的关系是解题的关键．
18．【解析】
试题分析：解：设y=x+b ，
∴3=2+b，解得：b=1．
∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．
考点：一次函数
点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其
解析：1y x =+
【解析】
试题分析：解：设y=x+b ，
∴3=2+b ，解得：b=1．
∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．
考点：一次函数
点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．
19．3；
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，
解析：3；
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵S△ABD=2
∴1
2
AB•DE=2，
又∵AB=4
∴1
2
×4×DE=2，解得DE=1，
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC ∴DF=DE=1，
∴S△ACD=1
2
AC•DF=
1
2
×2×1=1，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=2+1=3
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．20．4
【解析】
【分析】
根据算数平方根和立方根的运算法则计算即可．
【详解】
解：
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了算数平方根和立方根的计算，熟记运算法则是解题的关键． 解析：4
【解析】
【分析】
根据算数平方根和立方根的运算法则计算即可．
【详解】
3344=-+=
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了算数平方根和立方根的计算，熟记运算法则是解题的关键．
三、解答题
21．证明见解析.
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质证明A C ∠=∠，ADE CFE ∠=∠ ，然后根据“AAS ”即可证明ADE ∆与CFE ∆全等.
【详解】
解：AED CFE ∆≅∆，
∵//FC AB ，
∴A ACC ∠=∠，ADE CFE ∠=∠ ，
在AED ∆与CFE ∆中
A ACF ADE CFE DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AED CFE ∆≅∆.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．(1) (1,2) ； (2) ()2,m n --.
【解析】
【分析】
(1)根据轴对称的性质找到各点的对应点，然后顺次连接即可，画出图形即可直接写出坐标.
(2)根据轴对称的性质可以直接写出1P .
【详解】
(1)如图所示：
直接通过图形得到1A (1,2)
(2) 由题意可得：由于()P m n ,与1P 关于x=-1 对称
所以()12,P m n --.
【点睛】
此题主要考查了轴对称作图的知识，注意掌握轴对称的性质，找准各点的对称点是关键.
23．（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知数据求出即可；
（2）利用数字之间的变化规律得出一般式，进而验证即可．
【详解】
（1）例如11×17-10×18=7；3×9-2×10=7；
（2）设最小的一个数为x ，其他三个分别为x+1，x+7，x+8，则:
（x+1）（x+7）-x （x+8），
=x 2+8x+7-x 2-8x ，
=7．
【点睛】
此题考查了数字的变化规律，整式的混合运算，由特殊到一般，利用日历表中数字的特点得出一般性结论解决问题．
24．（1）35°；（2）4.5cm.
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC=8cm，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC，BD=DE
∴AD垂直平分BE，
∵EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=40°，
∴∠AED=70°，
∴∠C=1
2
∠AED=35°；
（2）∵△ABC周长15cm，AC=6cm，
∴AB+BE+EC=9cm，
即2DE+2EC=9cm，
∴DE+EC=DC=4.5cm．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．
25．（1）2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF⊥AB时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根据勾股定理，求得CF的长即可得出PC+PE的最小值；
（2）根据轴对称的性质进行作图．
方法1：作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，连接BP，则
∠APB=∠APD．
方法2：作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，连接DP，则∠APB=∠APD．
试题解析：（1）【解决问题】
如图②，作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，
当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
当CF⊥AB时，CF最短，此时BF=1
2
AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=2222
=63=33
BC BF
--（cm），
∴PC+PE的最小值为33cm；
（2）【拓展研究】
方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB=∠APD．
方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P 即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．
四、压轴题
26．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．
【解析】
【分析】
（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；
（2）通过证明PCQ BQC
≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．
【详解】
解：（1）CP=3t，BQ=8-t；
（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ
∵CD∥AB
∴∠PCQ=∠BQC
又∵CQ=QC
∴PCQ BQC
≅
∴∠PQC=∠BCQ
∴PQ∥BC
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M
∵AC=BC，CM⊥AB
∴AM=11
84
22
AB=⨯=（cm）
∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒
∵CM⊥AB
∴∠AMC=90︒
∴∠ACM=45︒
∴∠A=∠ACM
∴CM=AM=4（cm）
∴
11
8t4162 22
BCQ
S BQ CM t ==⨯-⨯=-
因此，S与t之间的关系式为S=16-2t．
【点睛】
此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．
27．（1）y =34-
x +3；（2）y =34
x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】
【分析】 （1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；
（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，
故A (0，3)，C (4，0)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，
点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：
340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以直线AC 的解析式为：y =34
-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，
设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，
点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：
-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34
x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．
（3）
点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，
由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，
此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），
此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，
点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：
34
x -3=3， x =8，
故P 点坐标为(8，3)，
||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．
【点睛】
本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．
28．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-
⎪⎝⎭；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明． 【详解】
解：（1）21280a b a b --+-=， 又∵|21|0a b --≥280a b +-，
|21|0a b ∴--=，280a b +-=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩
， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦
， 化简，得3||42
t =， 解得，83
t =±
， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
；
（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示，
则ECD CEF ∠=∠，
2BCE ECD ∠=∠，
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，
过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示，
则OGP BPE
∠=∠，
PE平分OPB
∠，
OPE BPE
∴∠=∠，
OGP OPE
∴∠=∠，
由平移得//
CD AB，
//
OG FE
∴，
FEP OGP
∴∠=∠，
FEP OPE
∴∠=∠，
CEP CEF FEP
∠=∠+∠，
CEP CEF OPE
∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE
∴∠=∠-∠，
3()
BCD CEP OPE
∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
29．（1）
3
5,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（2）2；（3）不是；（4）（6，
7
5
）
【解析】【分析】
（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对
3
(2,1),5,
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
分别代入1
a b ab
+=-计算即
可判断；
（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．
【详解】
（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，
∴-2+1≠-3，
∴（-2，1）不是“白马有理数对”，
∵5+3
2
=
13
2
，5×
3
2
-1=
13
2
，
∴5+3
2
=5×
3
2
-1，
∴
3
5,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是“白马有理数对”，
故答案为：
3 5,
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（2）若(,3)
a是“白马有理数对”，则
a+3=3a-1，
解得：a=2，
故答案为：2；
（3）若(,)
m n是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，那么-n+（-m）=-（m+n）=-（mn-1）=-mn+1，
∵-mn+1≠ mn-1
∴（-n，-m）不是“白马有理数对”，
故答案为：不是；
（4）取m=6，则6+x=6x-1，
∴x=7
5
，
∴（6，7
5
）是“白马有理数对”，
故答案为：（6，7
5
）．
【点睛】
本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．
30．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）3
2
；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．
【解析】
【分析】
（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；
（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+1
2
|，所以|x+
1
2
|＝
3
2
，解
得即可．【详解】
解：（1）由
21
2
y x
y x
=+
⎧
⎨
=--
⎩
，解得
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
所以P（﹣1，﹣1）；
（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2
∴A（0，1），B（0，﹣2），
则S△APB＝1
2
×（1+2）×1＝
3
2
；
（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣1
2
，
∴C（﹣1
2
，0），
设T（x，0），
∴CT＝|x+1
2 |，
∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝1
2
•|x+
1
2
|•（1+1）＝|x+
1
2
|，
∴|x+1
2
|＝
3
2
，
解得x＝1或﹣2，
∴T(1，0)或(﹣2，0)．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．。