蝴蝶定理
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不会飞的蝴蝶
——蝴蝶定理
在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：
过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结
CF和ED交AB于Q、P。
求证：PM=MQ。
由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为
“蝴蝶定理”。
这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。
登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。
158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。下面仅举四例与读者共同欣赏。
证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，
PM=y。又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别
为S1、S2、S3、S4。
因为∠E =∠C ，∠D =∠F ，∠CMQ =∠PMD ，∠FMQ =∠PME ，
所以有
1
4433221S S S S S S S S ⋅⋅⋅=1， 即 PME
PM AE FMQ MF MQ F FQ MF D DP DM PMD MD MP CMQ MQ MC C CQ MC E EM PE sin sin sin sin sin sin sin sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =22
)()(PM FQ CQ MQ DP PE ⋅⋅⋅⋅=1。
就是 PE ·DP ·(MQ )2=CQ ·FQ ·(MP )2。
由相交弦定理有
CQ ·FQ =BQ ·QA
=(a -x )(a+x )
=a 2-x 2，
PE ·DP =AP ·PB
=(a -y )(a+y )
=a 2-y 2，
所以有 (a 2-y 2)x 2=(a 2-x 2)y 2，
即 a 2y 2=a 2x 2，
∵ x 、y 都是正数，
∴ x=y ，
即 PM =MQ 。
这就是斯特温的证明方法。
证法二：（反证法）仍采用证法一的各种记法。
假设QM >MP ，即 x >y 。