广义相对论之3_Levi-Civita张量密度与推广的Kronecker符号
【doc】Levi—CiVita符号εijk在物理中的应用
Levi—CiVita符号εijk在物理中的应用第3期晋东南师专1995年9月LeviCiVita符号eijk在物理中的应用张拴珠(晋东南师专电子计算机系长治0460l1)在电动力学,量子力学,流体力学中经常要处理矢量的运算,当引入一个三阶各向同性张量即Le——泐符号em时,可以使一些较繁的数学运算得到简化,这对于教学很有帮助.本文通过具体例子来介绍e在物理中的应用.1i——符号e定义(1)爱因斯坦惯例:在同一项中凡是出现两次的指标就代表求和.在笛卡儿坐标系中,求和从1到3.求和指标也称为"哑指标".如aib.=a,bl+"2b2+n3b3.(2)符号定义f1i.J.k----1.2.3或为偶排列(ez3..2....2等)e.一{一1i.J.七=1.2.3再作奇排列(￡2￡321.e32等)l0i.J.七中有两个以上指标相同例如:s.一.=一enJ(3)e一6恒等式利用e的定义,容易证明下列恒等式成立:￡;?e,-I=66J_一6.一6e.j10m2d若i=￡,则有:eij-eij.=6其中6为克罗内尔(kronecker)符号…f0当睁jB~I1当i=J时2在场论中的应用在场论中,经常要遇到矢量的微分,求散度.梯度等运算,面对抽象的矢量运算,有时我们觉得难以下来,但通过上面引进的e讲符号,我们可以把矢量的运算转化为代数运算.这样,既简洁,又容易记,是一种很好的办法.根据上面的定义以及约定,可以写出下列结果:叉积…aXb=e,,.梯度=收穑日期}1995O6一O714晋东南师专1995焦散度一一a8.V'口一:--.旋度×%轰包含算子的运算:(.)一其中(i一1.2.3)为直角坐标基矢.例一:求证?()一?+.)证:?ca)=oGoa,)一警+n一差+nc?一?+?例二:求证:.(×)一(×)..(×i)证;?c×一b=一蓑:羡+a塞)一.爰6.一一cL一一I一(6^)_(eeja~一X").(e一(vX).一b--一a.(v×)例三求证:X()=(v)×+v×证:V=磬n)(筹+()一(v)×+v×例四:求证,v×(×)一(i.)一(v.)+(v.)一(.v)证明:vX(a—Xb一)===.I旦一e-.a(e~,.ab.3dd.-讲e.3at6差))-cOa.一蓍鼍一a差一(-g?V)一(V?)十(v?)一(?v)3在量子力学中的应用在量子力学中,经常遇到根据基本对易式求两个力学量之间的对易关系,由于有的力学量本身表示较复杂,因此需作较繁的运算,如果利用上面引进的em符号.则可大大地简化运算.用em符号把量子力学中的基本对易式写成如下形式:[j..z,]:如.[..户]一抽【j.户.[￡.,￡,]一ihem￡.第3期张拴珠Levi——ciVita符号e在物理中的应用15其中.,.,z.,(1,2,3)分别表示坐标,动量,角动量算符的分量.例一,设为粒子的角动量.F为另一力学量,求证:[.F]=OPF×P—r×F)一[(户)×芦一×户(-f)×-fi一;×(,_)],一—aP—i--+:+芳对动量空间的梯度.,一一--e.一(L+--e,一(2+--e一(2对坐标空间的梯度.ay证明,因为—r×p=eiJ^r[e,r]=ei[rJI,F—e{r[,F]+(』,F)p)J(_it篆t3F-一ia{e,e一_JOr)'一I,,':￡(×一P--一r×一OF)aPOr例二,求证,…eXr+rX—e=2it—r证明:l×r+r×l----e,e.J^l,I+e..r一e.[￡.JIlJrI+e.JI(ZIrJ—J.r.)]=..[￡.J^l,I+￡.j^lIrJ]一iheie.JI￡IJ.)r.~----e.[￡l,I一8.JIl,j]一ihei(--2d.J)r.:2ihr注意在第四步中,括号中第二项哑指标(J,七)对换.再根据e讲的反对称性得到了以上的结果.哑指标互换并不改变式子的本身意义.如:一aX—b—eiEijl(Ijb^'一一aX—babb—I—e10nI,引进讲符号也可以把泡利矩阵的对易式子写成:[.,一2..IJ^[.?]+一26.(反对易式子)上面两式相加可得:.』一+6例:求证一a(一a?)--一A~i—AX—a证明:(?)一—e.['A)--A']一e.(.J一A.)一P.[(.J+6.J)j—A.]:e.((A+d.j)厂A.)(下转第64页)64晋东南师专1995年体内,增加毒性.(4)肝功能损害时,因血清中自蛋白浓度降低,降低了药物与蛋白的结合率,以致血药浓度升高.(5肌梗塞,心功能不全时,肝内血流量减少,如慢心律,心得安等主要在肝脏内代谢的药物,因肝血流量减少,使血药浓度升高.此外,胃肠道功能,环境因素,遗传因素,个体差异,药物的相互作用等,均可影响血药浓度.在给老年人制定治疗方案时,以上诸因素都应进行考虑,对不良反应要有足够的估计,以收到最大的疗效,而使不良反应减少到最低限度.3.2严格用药原则,合理选择用药:临床医生应在明确治疗目的的前提下,有针对性的选用疗效可靠的药物,排除禁忌证,对老年患者尽可能选用温和的药物,品种宜少,并在临床观察中注意影响药物疗效的各种因素.取得疗效后,可及时停药.治疗无效时更换其他药,病人出现新主诉时要分辨原有疾病加剧或发生药源性疾病.应用抗生素时,如肾功能有损害,给药间隔时间可按半衰期推算.轻度损害时,链霉素,土霉素,卡那霉紊,庆大霉素,万古霉素等,皆需延长给药时间.肾脏中度损害时,头孢噻啶要延长给药间隔时间,其剂量应减少1/2～1/5量.肝功能损害时应避免使用或慎用主要在肝内代谢或对肝脏有损害的药物,如磺胺药,氯霉素,利富平, 洁霉素,两性霉素B等.老年结核病人,雷米封所致周围神经炎及肝毒性反应多见;乙胺丁醇可引起球后视神经炎,导致视力减退而不易察觉.链霉素对第8对颅神经有损害,老年人应避免使用.对6O岁以上的老人应尽量采取间歇治疗方案,严格掌握剂量,尽可能减少剂量,以减少毒性反应.度冷丁对老年人能产生危险的呼吸抑制,安眠药只宜短期使用.治疗高血压病时,不宜使血压下降过快过低,否则可致脑卒中.对70岁以上轻型高血压患者可不必用降压药,以非药物治疗观察.老年高血压患者常合并有心脏病,慢性肺疾息,糖尿病,同时服用多种药物,药物易出现交叉作用,且病人易服错,故尽可能用一种降压药.小量开始,缓慢加量,严密观察副作用.首选倍他乐克,Jo0毫克,每日一次,比首选利尿剂效果更好.此外,医生给病人采用药物治疗.叶.让病人自觉按医嘱服药,而且要经常进行随访,以便及时发现不可预测的不良反应.参考文献[1]黄凌燕徐叔云.老年人的药物不良反应.中级医刊.1990.7t47～48C2]马永江钱松溪.老年人泌尿系统的改变与疾病.中华老年医学杂志.1986.5(1):56～58[3]林修功.老年心血管病的用药原则与经验.实用内科杂志.1992.12(2)l69(上接第15页)一e.((..A)=e.f(.A.)=iA×(注意:和对易)由此可看出,引进符号e,对场论和量子力学中的某些运算确实可以简化,否则沉长的计算既费时间又易出错.其次,在张量的运算中引进em也是很方便的,在此就不作讨论了.参考文献:[1]曾谨言.量子力学.北京:科学出版社.1981。
Finsler几何统一场与信息物理学
- 1 -Finsler 几何统一场与信息物理学叶 鹰浙江大学信息资源管理研究所(310028)yye@摘 要： 将Finsler 几何的数学形式与物理意义相结合，确立了Finsler 几何统一场与信息物理学的数学表示。
用Finsler 几何中的Hilbert 形式作为统一场势A，以Chern 联络的曲率形式作为统一场强F，提出用TrF∧*F 代表的偶数维作用项和Chern-Simons 形式代表的奇数维作用项共同构成统一作用量，将序间、空间、时间对应的Cartan 张量作为真实物理状态，从而获得Finsler 几何中的信息物理统一场。
关键词： Finsler 几何；Finsler 空间；几何场论；统一场论；信息物理学1. 引 言1985年Asanov 曾对Finsler 几何中的相对论、宇宙论进行过探讨[1]，近年的研究揭示了Finsler 空间对物理学的重要意义[2-3]，参考主流数学物理研究的几何统一论、超弦理论和M 理论[4-6]，在笔者前期工作[7]和曹盛林教授研究成果[8-10]基础上赋予Finsler 几何以实在的信息物理意义，结果具有统一场论价值。
数学方法取自[11-12]。
2. Finsler 几何场Finsler 几何是Riemann 几何的自然拓广，或者说是没有二次限制的Riemann 几何，其中去掉齐性条件的Finsler 几何也称Lagrange 几何。
Finsler 几何相应于Riemann 几何的有关参量如下：对于纤维丛(E,p,B,F,G)(E 为丛空间，B 为底空间，p:E→B 是满连续映射，F 即纤维，G 是有效作用于F 上的变换群)，相应于切丛TM 上的Riemann 度规：2/121)(j i ij dx dx g d =τ (1)射影化切丛PTM 或球丛SM 上的Finsler 度规为：),...;,...(11n n dx dx x x f d =τ (2)其中f 是Finsler 函数。
爱因斯坦方程的物理意义
爱因斯坦方程的物理意义爱因斯坦方程是描述引力的爱因斯坦场方程，由阿尔伯特·爱因斯坦在广义相对论理论中提出。
它是一个十分重要的方程，用于描述宇宙的结构和演化，对理解宇宙引力的性质具有深远的物理意义。
在这篇文章中，我们将详细探讨爱因斯坦方程的物理意义。
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + g_{\mu\nu}\Lambda =\frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}在方程中，R_{\mu\nu}代表了黎曼曲率张量，g_{\mu\nu}是度规张量，R是黎曼标量，\Lambda是宇宙学常数，G是引力常数，c是光速，T_{\mu\nu}是能动张量。
首先，我们来看左侧的几何部分。
爱因斯坦方程通过黎曼张量来描述空间的曲率，就像曲面上的凹凸表面一样。
R_{\mu\nu}和R是度量了曲率的量，它们告诉我们空间是如何弯曲的。
如果没有物质存在，只有空间自身的曲率，那么方程左侧的结果就是0，即所谓的“真空场方程”。
这个方程表明时间和空间的弯曲是由能量和动量分布造成的。
其次，我们来看右侧的能量-动量部分。
T_{\mu\nu}是能量和动量的分布情况，它包含了物质在时空中的引力效应。
这个张量描述了物质在时空中的总能量、压力和流动，包括物质粒子的质量、能量、动量和压力等信息。
通过解爱因斯坦方程，我们可以了解物质如何影响时空几何，并进一步推断宇宙的演化历程。
在方程中还有一个宇宙学常数 \Lambda ，它描述了空间中不存在物质时的曲率。
宇宙学常数的引入旨在解决当时的宇宙膨胀问题，它可以使方程在物质不存在时有非零解。
不过，该常数的确切物理意义至今仍不明确，这是科学界的一个研究课题。
爱因斯坦方程的一个重要应用是它的解，即度规张量 g_{\mu\nu} 对应的时空几何形状。
解决这个方程是描述宇宙结构、引力波传播和黑洞形成等问题的关键。
例如，当应用到宇宙学领域时，通过对爱因斯坦方程进行求解，可以得到著名的弗里德曼方程，描述宇宙膨胀的历史和未来。
在引力理论中存在如下两类能动张量密度守恒定律12
写 在 开‘博’之 前在引力理论中存在如下两类能动张量密度守恒定律[1,2]:I, 0()()()M G x μμααμ∂=∂(1) 0()()M G μμαα= (2)II, ~0()()()M G x μμααμ∂+=∂ (3)~()()()G G G u x μμμβαααβ∂=-∂ (4) (()()G G u u x x μββμααββ∂∂=-∂∂)由于Lorentz 与Levi-Civita 赞同守恒定律I[3，4]，我们把它称为Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律；而爱因斯坦赞同守恒定律II[3，4]，我们把它称为爱因斯坦守恒定律。
1917-1918年Levi-Civita 等人曾同爱因斯坦就守恒定律I 和守恒定律II 孰更合理展开过一次重大学术争论[3,4]。
由于当时学术界对广义相对论的理解还不够全面和深入，也由于爱因斯坦的学术声望较高，争论的结果，爱因斯坦的观点占了上风。
以致直到今日，~()G μα及Eq.(3)都缺乏依照广义相对论的精神应当具有的协变性, 但爱因斯坦守恒定律却仍在引力理论中占着主流的地位；目前关于引力波、宇宙学、黑洞的研究，其主要理论都是建立在爱因斯坦守恒定律基础之上的。
近十余年来，本文作者曾对Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律进行了全面和深入的研究[1,2,4-15]; 作者发现, Eq.(1)与Eq.(3)在数学上是等价的, ()G μα与~()G μα具有等价类(equivalence class)的关系, 但Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律比起爱因斯坦守恒定律有着更为丰富的物理内含。
类如应用Lorentz 与Levi-Civita 守恒定律研究引力波、宇宙学和黑洞, 可分别得出: 所谓PSR1913+16双星公转周期变化之观测结果证实了引力波携带能量辐射的看法并不可信[6,7,11]; 宇宙起源于‘大爆炸’的标准模型可能并不真实[1，9，12]以及黑洞可能并不存在[10]等等。
广义相对论中度规行列式变分的推导
广义相对论中度规行列式变分的推导彭俊金;粟永真【摘要】在本文中,为了提供便于理解广义相对论中度规张量行列式变分问题的又一途径,直接由行列式基于各分量的基本定义出发,借助由逆变度规张量的变分与Levi-Civita符号的逆变指标取反对称操作而得到的恒等式,作者分别在三维与任意维度下推导了广义相对论中度规行列式的变分.在此基础上,进一步导出了度规张量各分量的代数余子式的具体表达式,并给出了度规张量与Levi-Civita张量的协变导数与李导数等.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(013)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】度规张量;Levi-Civita符号;广义相对论;变分原理【作者】彭俊金;粟永真【作者单位】贵州师范大学物理与电子科学学院,贵州贵阳550001;贵州师范大学求是学院理学系,贵州贵阳550014【正文语种】中文【中图分类】O0412.1由著名物理学家爱因斯坦(Einstein)创建的广义相对论被认为是一种引力现象几何化的理论。
基于等效原理，广义相对论的几何基础根植于德国数学家黎曼(Riemann)所创立的黎曼几何，因此，度规理所当然地成为广义相对论的一个基本几何量，决定着时空曲率等基本几何性质(黎曼几何中的曲率张量由度规张量来表示，甚至任何基于度规的几何对象沿光滑矢量的李导数均可由度规的李导数来表示)。
从某种意义上来说，经典广义相对论的研究最终都是聚焦于时空度规的确定与性质分析。
在探讨相对论性引力理论的过程中，有时不可避免地需要对时空度规进行扰动，这也导致度规及其行列式的变分在广义相对论及其修正引力理论中有着非常广泛的应用，如由拉氏量变分导出引力场运动方程、基于诺特定理定义引力理论的质量与角动量等守恒量以及通过度规扰动来研究引力波及其性质等诸多方面，正因为如此，在众多广义相对论的教程及其重要相关文献中，通常都会给出与度规张量行列式变分相关的讨论。
Kronecker符号和Levi-civita符号在电动力学中的应用
Kronecker符号和Levi-civita符号在电动力学中的应用周恒为;夏莉艳
【期刊名称】《伊犁师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(0)1
【摘要】介绍Kronecker符号和Levi-civita符号的定义、运算性质,并通过具体的实例给出它们的使用方法.
【总页数】4页(P24-27)
【作者】周恒为;夏莉艳
【作者单位】伊犁师范学院,物理与电子信息学院,新疆,伊宁,835000;伊犁师范学院,物理与电子信息学院,新疆,伊宁,835000
【正文语种】中文
【中图分类】O442
【相关文献】
1.广义Kronecker-δ符号在张量计算中的应用 [J], 秦华军;高朝邦
2.理解符号运用符号悦享符号——浅谈小学数学符号的有效应用 [J], 何爱贞;
3.由反对称化操作探究Levi-Civita与Kronecker符号的性质 [J], 彭俊金; 雷良建
4.Levi-Civita符号εijk在矢量算符运算中的应用 [J], 梁景辉
5.符号中的符号——论电影《三峡好人》中的符号化手法 [J], 周慧;余红平
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广义相对论
广义相对论广义相对论目录百科名片广义相对论（General Relativity），是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论，统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律，将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空，以取代传统对于引力是一种力的看法。
目录概况广义相对论是阿尔伯特●爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。
广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立的。
在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相关系，其关系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。
从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。
广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。
不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。
爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。
有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。
光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。
广义相对论还预言了引力波的存在，引力波已经被间接观测所证实，而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台（LIGO）这样的引力波观测计划的目标。
此外，广义相对论还是现代宇宙学膨胀宇宙论的理论基础。
三阶Levi_Civita张量在量子力学中的应用
三阶 Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ 张量在量子力学中的应用 －
徐晓梅 李云德
（ ） ） 云南师范大学物理系 云南 昆明 ６ 云南大学物理系 云南 昆明 ６ ５ ０ ５ ０ ０ ５ ０ ０ ９ １ （ （ ） 收稿日期 ： ２ ０ １ ２－ ０ ２－ ０ ９ 摘 要： 利用 Ｌ 讨论了量子力学 中 坐 标 、 动 量 及 角 动 量 的 对 易 关 系， 给出了相关 ｅ ｖ ｉ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ 张量及其基本性质 ， －Ｃ
（ ） ７ （ ） ８ （ ） ９ （ ） １ ０
利用上述 １ 原则上可以很方便地 ０ 个基本等式 ， 处理量子力学中有关矢量 、 张量算子的点乘积 、 叉乘 对易子等联合运算 ． 学生无需看习题解答即可完 积、 ］ 成文献 ［ 中第四章的大部分习题 ． 现举例说明 ２～４ 在下边的例题证明中用到了一些 上述公式的应用 ． 简单的恒等式 ， 如ｐ 这些 ｌ ｌ ε ｐｊ ＝０， ｐ ｐｊ ＝０． ｉ ｉ＝ ｉ ｋ ｉ ｊ ｊ ）～ （ ）很 容 易 得 到 证 式子从基本 对 易 关 系 式 （ ７ １ ０ 以下我们将列举 一 些 在 量 子 力 学 习 题 中 较 难 的 明． 习题 ， 说明用 Ｌ ｅ ｖ ｉ Ｃ ｉ ｖ ｉ ｔ ａ张量解题的方法 ． －
Ａ ·Ｂ ＝ ∑ＡαＢα ＝ＡαＢα ＝ＡαＢβ δ α β
α＝１
３
（ Ａ ×Ｂ） α ＝ ∑εαβγＡβＢγ ＝εαβγＡβＢγ
γ＝１ β，
， 作者简介 ： 徐晓梅 （ 女， 副教授 ， 硕士生导师 ， 主要从事大学物理教学和物理教学论研究工作 ． １ ９ ６ ３ － ）
— １ ６ —
广义相对论入门02-广义相对论的数学基础(上)20160506
dx′µ
=
∂x′µ ∂xα
dxα
∂x′µ
若
∂xα
≠ 0或∞ ，则有逆变换
并且有
dxα
=
∂xα ∂x′µ
dx′µ
克罗内克尔符号为
∂x′µ ∂xα ∂xα ⋅ ∂x′ν
∂x′µ = ∂x′ν
= δνµ
δνµ
=
⎧1 ⎩⎨0
µ =ν µ ≠ν
2、广义相对论中的张量 （1）标量：在坐标变换下不变的量。， （2）矢量（一阶张量）：在坐标变换下，与坐标微元具有相同变换的量。
广义相对论的数学基础主要为张量分析和微分几何中的黎曼几何。 张量的重要性在于其和坐标变换相联系。张量方程与坐标系的选取无关。
一、狭义相对论中的张量
狭义相对论都是在仿射空间中进行讨论。仿射空间是数学中的几何结构，这种结构是欧
式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法
dxµ′ ⋅ dx′µ = (dx1′)2 + (dx2′ (dx4′ )2
= aµα dxα ⋅ aµβ dxβ = aµα aµβ dxα dxβ
根据光速不变原理，以光信号联系的两个事件的四维时空间隔不变，即
dxµ′ ⋅ dxµ′ = dxα ⋅ dxα
则
aµα aµβ = δαβ
二阶张量： Tµ′ν = aµα aνβTαβ ；
n 阶张量： Tµ′νLλ = aµα aνβ Laλσ TαβLσ
n 阶张量的分量个数为维度的 n 次方。
二、广义相对论中的张量：即非线性、也非正交 1、广义坐标变换
( ) x′µ = x′µ xν
其中μ、ν=1、2、3、4 或μ、ν=0、1、2、3，一般 x0=ct，x4=ict。注意区分指标和指数。取 微分，得
张量初步
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij ★ 替换性：δij vj = vi (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
§
2.5
勒维{契维塔(levi{civita)符号εijk （排列符号）
★ 勒维{契维塔符号εijk （三阶反对称张量） εijk = +1 εijk = −1 εijk = 0 ★ 反对称性：εijk = −εjik (ijk = 123, 231, 312) (ijk = 213, 321, 132) (ijk = 112, 233, · · · )
逐
铁 简 单
T
点 （ （
§
2.3
二阶张量
★ 二阶张量：如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等； Tij = αil αjm Tlm ★ 二阶张量可以用一个矩阵来表示； ★ 张量的含义：Tij 分量：在j方向分量作用下的i方向的反应效果； ★ 张量的自由度：任何一个张量都可以分解为三个部分： ◆ 迹（标量）Tii 自由度为1 ◆ 无迹对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij (i = j) (i = j)
最好理解的广义相对论公式解读(上)
最好理解的广义相对论公式解读（上）大家好，今天给大家继续解读广义相对论我们在上个视频中给大家说了麦克斯韦方程组两组方程的张量形式，\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\mu_{0} J^{\nu} ，现在我们把它拿过来再简单说说， \partial_{\mu} 是微分张量写法，它所表达的意思是一个梯度算符，而且这是一个协变过程， \mu 代表了4组分量，也就是 \mu =1,2,3，4的意思；这与 J^{\nu} 表达的意思是相同， \nu 在这里也表示4组数据，即 \nu =1,2,3，4；只不过像 \partial_{\mu} 这种情况，我们叫它是（0,1）型协变张量，也就是说这几组矢量按照行的形式顺序排列的；像 J^{\nu} 这种情况，我们叫它是（1,0）型逆变张量，也就说这几组矢量是按照列的形式顺序排列的；F^{\mu\nu} 这是（2,0）型逆变张量，根据张量的运算规定，\mu\nu 这种重复出现的指标，我们叫它哑指标，它代表的是遍历求和；遍历求和就是把所包含的元素挨个的求和一次，本题中 \partial_{\mu}F^{\mu\nu} 恰好 \mu 这个指标重复出现了，所以就是把与 \mu 这个元素有关的量内积之后求一遍和，然后在结果中去掉 \mu 这个指标就可以了，这个方法我们称之为“爱因斯坦求和约定”接下来我们先看看广义相对论场方程的各项表达式的意思：方程左侧代表的是时空的曲率，右侧代表的是能流密度；下面我们详细说一说G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{C^{4}}T_{\mu\nu}其中： G_{\mu\nu} 称为爱因斯坦张量，实际上它就是R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R 张量差得到的结果；R_{\mu\nu} 是从黎曼曲率张量缩并而成的里奇（Ricci）曲率张量，它是描述时空弯曲的张量，表示空间弯曲程度。
广义相对论与引力理论
1
2 æ 1 1 dx m dxn ö ÷ 的固有时间：t = ò - ds 2 = ò d l ç g mn ç ÷ c a c a dl dl ø è é ù 1 b 1 b dx m dxn -1 ú ， d S = 0 ，由 用变分法证明：定义 S = ò d l L = ò d l êe (l ) g mn + l e ) ( ê ú l l 2 a 2 a d d ë û é æ ö t t ¶L t ¶L d æ ¶L ö ù ¶L ¢) - L (q, q éL (q¢, q ù ê ç ÷ ç ÷ú & & & d S =ò dt d q d q dt = + = ò )û ò ç & ÷ úd qdt t0 ë t0 ç t0 ê & ÷ ¶q è ¶q ø øû ë¶q dt è ¶q
广义相对论引力理论简介笔记
r r r re r r r r ¶B ¶E Maxwell eq.Ñ× E = , Ñ× B = 0,Ñ´ E = , Ñ´ B = m 0 ( J + e 0 ) e0 ¶t ¶t r r r r r ¶A 引入矢量势 A 和标量势 j ： B = Ñ´ A, E = -Ñj ¶t r 1 ¶j 1 协变规范条件：Ñ× A + 2 = 0, c 2 = c ¶t m 0e 0 r r 1 ¶2 ¶r ，其中， Wº - 2 则 W A = - m 0 J , Wj = +Ñ2 2 c ¶t e0 2 Lorentz 变换 t ¢ = g (t - xv / c ), x¢ = g ( x - vt ), g = 1 2 1- v 2 c m 则 x¢m = L mn xn + d m 。 引入 4 维时空坐标 x = (ct , x, y, z ) , m = 0,1, 2,3或xm = (- ct , x, y, z ) ，
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
主打 量子力学中常用的数学工具
1. 常用数学符号1.1 克雷内克符号克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为1,0,i j i ji jδ=⎧=⎨≠⎩ （A1-1）可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系*iji j dx ψψδ=⎰ （A1-2）1.2 列维·西维塔符号列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为1,123,231,3121,132,213,3210,i j ki jk i jk ε+=⎧⎪=-=⎨⎪⎩其它 （A1-3） 可以用来简洁地表示矢量积的分量关系,,,(),k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε⨯=⨯⋅=∑∑v v vvv （A1-4）1.3. 微分算符在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为11sin x y z r e e e e e e x y z r r r θϕθθϕ∂∂∂∂∂∂∇=++=++∂∂∂∂∂∂v v v v v v （A1-5）利用球坐标表达式r r re =v v，得到1sin r e e ϕθθθϕ∂∂⨯∇=-∂∂v v v （A1-6）上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。
（A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符22211sin sin sin θθθθθϕΩ∂∂∂∆=+∂∂∂ （A1-7） 与角动量平方相对应。
拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为222222222211r x y z r r rΩ∂∂∂∂∆=∇=++=+∆∂∂∂∂ （A1-8） 与动能相对应。
1.4 量子括号∧∧∧∧∧∧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡F G G F G F , 1.5 Dirac 符号一个算符夹在两个函数中间对全部空间的定积分的表示法：><≡≡><≡⎰n Am A Ad A nm n m n m |ˆ|)|ˆ|(|ˆ|ˆ*ϕϕϕϕτϕϕDirac 的括号记法（bracket notation ）该积分称作算符Â的矩阵元 另一种记法：mn n m A d A ≡⎰τϕϕˆ*Dirac 符号Dirac 把行式叫做左矢（bra vector 或Bra ）以< |表示；把列式叫右矢（ket vector 或ket ）以| >表示。
广义相对论具体公式
广义相对论具体公式广义相对论是由爱因斯坦在1915年提出的一种物理理论，它描述了引力的运动规律以及它与时空结构的关系。
广义相对论的核心是爱因斯坦场方程，它可以用来计算引力场的强度和分布。
广义相对论的具体公式是爱因斯坦场方程，它的形式如下：R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}在这个公式中，R_{\mu \nu}表示四维时空的曲率张量，g_{\mu \nu}表示时空的度规张量，R表示曲率标量，\Lambda表示宇宙学常数，G表示引力常数，c表示光速，T_{\mu \nu}表示能量-动量张量。
广义相对论的公式可以解释为以下几个方面：1. 曲率张量R_{\mu \nu}描述了时空的弯曲程度，它是由物质和能量分布引起的。
公式中的第一项R_{\mu \nu}表示曲率张量，它与时空的弯曲程度有关。
2. 曲率标量R是曲率张量的迹，它表示时空的整体曲率。
公式中的第二项-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}表示曲率标量与度规张量的乘积，它描述了时空的整体曲率对引力的贡献。
3. 宇宙学常数\Lambda是一个常量，它用来描述时空的整体性质。
公式中的第三项\Lambda g_{\mu \nu}表示宇宙学常数与度规张量的乘积，它描述了时空的整体性质对引力的贡献。
4. 引力常数G是一个基本物理常数，它决定了引力的强度。
公式中的第四项\frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}表示引力常数与能量-动量张量的乘积，它描述了物质和能量分布对引力的贡献。
广义相对论的公式描述了引力场的强度和分布，它可以用来解释许多重要的物理现象，比如黑洞、宇宙膨胀和引力透镜效应等。
通过求解爱因斯坦场方程，我们可以得到引力场的具体形式，进而预测和解释各种观测到的现象。
由反对称化操作探究Levi-Civita与Kronecker符号的性质
由反对称化操作探究Levi-Civita与Kronecker符号的性质彭俊金; 雷良建【期刊名称】《《中山大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(058)005【总页数】7页(P26-32)【关键词】Levi-Civita符号; Kronecker符号; 度规张量; 广义相对论【作者】彭俊金; 雷良建【作者单位】贵州师范大学物理与电子科学学院贵州贵阳550001; 贵州省射电天文数据处理重点实验室贵州贵阳550001【正文语种】中文【中图分类】O412.1Levi-Civita(简称L-C)符号(张量)是以著名的意大利籍数学与物理学家Tullio Levi-Civita的姓氏命名的一个量。
当时空或空间的维度为n时，L-C符号定义为一个含n个逆变或协变指标的完全反对称量[1-6]，并约定所有非零分量的取值为1或-1，而L-C张量由L-C符号乘上一个仅与度规张量行列式有关的因子得到。
它们在微分几何、群论、经典力学、电磁理论、量子力学、量子场论与广义相对论[1-6]等中有着非常广泛且重要的应用。
特别地，借助三维L-C符号可以很方便地描述经典力学、电动力学与量子力学等中的一些物理量与规律[7]。
而在L-C符号(张量)的众多应用中，时常会涉及到Kronecker delta符号(简称为Kronecker 符号)这一个数学与物理学中常见的重要量。
因此，掌握它们各自的性质与应用以及建立二者之间的联系都是值得关注的问题。
本文直接由度规行列式基于各分量的定义出发，借助于由Kronecker符号与L-C 符号之间取反对称化操作而得到的恒等式，推导得出L-C符号(张量)与Kronecker 符号之间的一个重要表达式。
为了深入理解重要表达式的意义，进一步探讨了如何由它导出文献中常见的两个重要推论；并在此基础上，分析了二者的性质并尝试给出其它证明方法。
本文结果有利于物理，特别是广义相对论学习者系统、全面地理解L-C符号(张量)与Kronecker符号的性质。
电动力学(数学基础)
细 论 ∇：原则上来说，有了Eq.(3.30)以及前面张量分析的基矢运算法则，便可以计算正交曲线坐 标系下任何形式的微分运算，但是这个过程中会涉及到联络的概念，比较难以计算，所以下面 来介绍一种较为简单的算法。 1 ∂ (3.34) ∇=e ˆi gi ∂µi 很明显，∇既是矢量又是线性算符，所以计算时可以分为两步： 1)忽略∇的矢量特征，仅把其当做算符作用于函数或矢量，但要保持等式的运算顺序； 2)再考虑∇是矢量，运用矢量公式进行计算，但要保证求导顺序的正确。 下面来看两个例子： ∇(A · B ) = ∇A (A · B ) + ∇B (A · B ) = B × (∇A × A) + (B · ∇A )A + A × (∇B × B ) + (A · ∇B )B = B × (∇ × A) + (B · ∇)A + A × (∇ × B ) + (A · ∇)B Eq.(3.35)利用了∇的算符特征，Eq.(3.36)利用了∇的矢量特性。 ∇ × (∇ × A) = ∇∇ × (∇ × A) + ∇A × (∇ × A) = ∇(∇A · A) − (∇ · ∇A )A = ∇(∇ · A) − (∇ · ∇)A ≡ ∇(∇ · A) − ∇2 A (3.40) Eq.(3.38)利用了∇的算符特征，Eq.(3.39)利用了∇的矢量特性。 一般我们用Eq.(3.40)来定义矢量的Laplacian。 因为电动力学经常碰到这类运算，所以应该熟悉这种计算方法，作为练习，大家可以尝试推导 书后附录一中的公式。 (3.38) (3.39) (3.35) (3.36) (3.37)
0
(2.5)
(2.6)
(2.7)
∂2ϕ ρ =− 2 ∂t 0
广义相对论之3_Levi-Civita张量密度与推广的Kronecker符号共25页文档
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
广义相对论之三
Levi-Civita张量密度与推广的Kronecker 符号
张宏浩
特别地，有
的证明之3
7
的证明之4
8
9
容易证明
10
11
证明：
可构造弯曲时空的Levi-Civita covariant tensor为
12
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14
同理，
15
根据定义，如下关系式显然成立
16
对张量的反对称化可表达为
17
18
19
20
21
因此
22
小结：
23
更一般地，对于d维流形，有 证明留给读者去完成
24
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来