名校联考高中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

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四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知＜＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ．或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知＜＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0，＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ．则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ．或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π）．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0，）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0，）∪（ 4π 2π故答案为：[0，）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论＞△0，＝0 以及＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时，＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时，＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时，＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)．（1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时，数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列，此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。

2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高一下学期期中联考理科数学试题解析版

2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体下学期期中联考高一理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题给出的四个备选答案中，有且仅一个是符合题目要求的）1. 已知a＞b＞0，c≥d＞0，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴，因此＞．故选：A．2. 在数列{a n}中，若a1＝－2，且对任意n∈N＋有2a n＋1＝1＋2a n，则数列{a n}的前20项和为（）A. 45B. 55C. 65D. 75【答案】B【解析】分析：由题意首先确定数列为等差数列，然后利用等差数列前n项和公式即可求得最终结果. 详解：由数列的递推公式可得：，则数列是首项为，公比为的等差数列，其前项和为本题选择B选项.点睛：本题主要考查等差数列的定义，等差数列的前n项和公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. △ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，b＝2，B＝60°，若这个三角形有两解，则a的范围（）A. B. C. a＞2 D. a＜2【答案】A【解析】分析：由题意结合余弦定理将原问题转化为二次方程有两个不相等的实数根的问题，据此整理计算即可求得最终结果.详解：很明显，否则三角形只有一个解，且由余弦定理有：，即：，整理可得：，满足题意时，关于的方程有两个不同的实数解，据此有：，求解关于边长的不等式可得：，综上可得：a的范围是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角形解的个数问题，余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知数列{a n}满足，a1＝2，则a2018＝（）A. 2B. －3C.D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.详解：由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.本题选择B选项.点睛：周期数列是周期现象的应用，周期数列问题在高考中常出现．这类试题综合性强一般会融汇数列，数论，函数等知识解题，方法灵活多变，具有较高的技巧性．学生进行相关的培训，才能在应付这些试题时有比较好的把握．5. 设数列，，，，…，则是这个数列的（）A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项【答案】B【解析】分析：由题意首先归纳出数列的通项公式，然后结合通项公式即可求得最终结果.详解：数列即：，据此可归纳数列的通项公式为，令可得：，即是这个数列的第7项.本题选择B选项.点睛：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．6. 某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B 在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（）A. 500米B. 600米C. 700米D. 800米【答案】C【解析】在中，由余弦定理得AB2=5002+3002－2×500×300cos120°="490" 000．所以AB=700（米）．故选C．7. 等比数列{a n}的各项均为正数，且a1007a1012＋a1008a1011＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a2018＝A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B【解析】分析：由题意结合等比数列的性质首先求得，然后结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由等比数列的性质可得：，结合题意可知：，则：=.本题选择B选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．8. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[，]，则不等式x2－bx－a＜0的解集是（）A. （2，3）B. （，）C. （－∞，）∪（，＋∞）D. （－3，－2）【答案】D【解析】分析：由题意首先求得a,b的值，然后求解一元二次不等式即可求得最终结果.详解：ax2－bx－1≥0的解集是[，]，则：且，解得：，则不等式x2－bx－a＜0即，求解一元二次不等式可得：，表示为区间形式即.本题选择D选项.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，二次不等式与二次方程的区别于联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9. △ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，，b＝3，c＝2，则△ABC的面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由正弦定理首先求得sinC的值，据此可得sinA的值，最后利用面积公式即可求得最终结果.详解：由正弦定理有：，则：，，则，据此可得：，则：，结合面积公式有：.本题选择C选项.点睛：在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 5盏B. 4盏C. 3盏D. 2盏【答案】C【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：C．11. 如图，在△ABC中，D为边AC上的点，且AB＝AD，，BC＝2BD，则cosC的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得sinA的值，然后结合正弦定理求解sinC的值，进一步可得cosC的值. 详解：设，则：，在△ABD中，由余弦定理可得：，则在△ABC中，由正弦定理可得：，故，，即为锐角，据此可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n＝1，2，3，…，若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，，，则（）A. {S n}为递减数列B. {S n}为递增数列C. {S2n－1}为递增数列，{S2n}为递增数列D. {S2n－1}为递增数列，{S2n}为递增数列【答案】B【解析】因为，不妨设，；故；，，，；显然；同理，，，，，显然.【考点定位】本题考查创新型数列，在解题的过程中构使用海伦秦九韶公式进行计算，考查学生特殊到一般的数学思想.视频二、填空题（本题共4小题）13. 已知数列{a n}的前n项和为，则数列{a n}的通项公式a n＝________．【答案】【解析】分析：由题意分类讨论n=1和两种情况即可求得数列的通项公式.详解：当时，,当时，,且当时，，据此可得：数列{a n}的通项公式a n＝点睛：本题主要考查已知数列的前n项和求解其通项公式的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A处测得公路北侧有一山顶D在西偏北30°方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．【答案】【解析】分析：由题意结合所给的三视图利用正弦定理和直角三角形的三角函数值的定义整理计算即可求得最终结果.在△ABC中,由正弦定理可得：，即，.在Rt△BCD中,∠CBD=30°，∴tan30°=，∴DC=.即此山的高度CD＝m.点睛：解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.15. 已知S n是等差数列{a n}（n属于N＋）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11．其中正确命题的序号是________．【答案】①②【解析】分析：由题意结合等差数列的前n项和与通项公式之间的关系逐一考查所给命题的真假即可. 详解：由题意可得，，则，说法①正确；，说法②正确；，且，则，说法③错误；数列单调递增，且，据此可知数列{S n}中的最大项为S6，说法④错误.综上可得：正确命题的序号是①②.点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，，则角C＝________．【答案】【解析】由1＋＝和正弦定理得，cos A＝，∴A＝60°．由正弦定理得，＝，∴sin C＝．又c<a，∴C<60°，∴C＝45°．三、解答题（本大题共6小题，解答时写出必要的文字说明、验算步骤）17. 已知，求的值．【答案】【解析】略视频18. 已知{a n}为等差数列，前n项的和为S n（n∈N＋），数列{b n}是首项为2的等比数列且公比大于0，b3＋b5＝40，b2＝a4－6a1，S11＝11b4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式．（2）求数列{a2n b n}的前n项和．【答案】（1），；（2）【解析】分析：(1)设公差为，公比为，由题意可得，则，结合题意得到关于首项、公差的方程组可得，则 .(2)由题意可得：，错位相减可得其前n项和为.详解：(1)设公差为，公比为，，，即，，又，，又，即①由，即②解①②得 .(2),，设前项和为，则，，上述两式相减，得：==.点睛：本题的核心是考查错位相减求和的方法，一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．19. 解关于x的不等式mx2＋（2m－1）x－2＞0（m∈R）．【答案】见解析...........................详解：(i)当时，不等式为解得 .(ii)当时，不等式变形为，①若时，则，②若时，，③若时，，④当时，则 .综合上述知：当，当，当，当，当.点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．20. 已知a，b，c分别是△ABC角A、B、C的对边长，，．（1）求的最大值（2）若，，，求a值．【答案】（1）1；（2）2【解析】试题分析：（1）利用数量积坐标运算化简得到，进而求最值即可；（2），结合条件得到又，从而由正弦定理即可求出值. 试题解析：(1)=当时，取最大值1(2)即又由正弦定理得21. 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C；另一种是先从A 沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m／min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m／min，山路AC长为1260m，经测量，，．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）1040；（2）乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）【解析】试题分析：（1）根据两角和公式求得，再根据正弦定理即可求得的长；（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，分别表示出甲、乙二人行走的距离，根据余弦定理建立的二次函数关系，求出使得甲乙二人距离最短时的值；（3）根据正弦定理求得,乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达,设乙步行的速度为，由题意得,解不等式即可求得乙步行速度的范围.试题解析：（1）在中，因为，，所以，，从而．由正弦定理，得（）．（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得（）．乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．设乙步行的速度为，由题意得，解得，所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.视频22. 如图是由正整数构成的数表，用a ij表示i行第j个数（i，j∈N＋）．此表中a il＝a ii＝i，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n行的第二个数为b n（n≥2），求b n．（3）令，记T n为数列前n项和，求的最大值，并求此时n的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可得第6行为：6、16、25、25、16、6 ；(2)观察数表累加求和可得 .(3)结合 (2)的结论可得时，则，裂项求和可得，则，结合均值不等式的结论可得当且仅当时取得最大值.详解：(1)第6行为：6、16、25、25、16、6 ，(2)观察数表可知：，，，……，以上诸式相加得：，.(3)，，，，（当且仅当时取等号），，取最大值时.点睛：本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。

湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题[含答案]

湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，(2,4)OA =u u r ，(1,3)OB =uu u r，若点E 满足 3OC EC =uuu r uu u r，则点E 的坐标为11.(,)33A -- 11.(,)33B 22C.(,33--） 22.(,)33D2．已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，若22443,5,a b a b +=+=则77a b +等于 .7A .8B .9C .10D3．设4a b ⋅=r r ,若a r 在b r 方向上的投影为23, 且b r 在a r 方向上的投影为3, 则a r 和b r 的夹角等于.3A π.6B π2.3C π 2.33D ππ或4.设a ＜b ＜0，c ＞0，则下列不等式中不成立的是.c c A a b >B > ..C a c bc >- D.c c a b a >-5．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且1325++=n n T S n n ，则99b a的值为 17.52A 37.52B 67.52C 87.52D 6．ABC ∆中，1,a c =tan 2,tan B a cC c-=则角A 为 .2A π.3B π.4C π.6D π7.当4a <时，关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是 2549.,916A ⎛⎤⎥⎝⎦ 11.,42B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 57.,34C ⎛⎫⎪⎝⎭().3,4D 8．已知,0a b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是 9.5A 11.6B 7.5C.15D + 9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为，则ab 的最小值为 1.2A 1.3B 1.6C.3D10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10100,a >100910100,a a +<则满足10n n S S +<的正整数n 为.2017A .2018B .2019C .2020D 11.,P Q 为三角形ABC 中不同两点,若PA PB PC AB ++=uu r uu r uu u r uu u r ,350QA QB QC ++=u u r u u u r u u u r r,则:PAB QAB S S V V 为1.3A 5.7B 3.5C 7.9D12．已知G 点为ABC ∆的重心，设ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c 且满足向量BG CG ⊥uuu v uuu v，若tan sin a A b C λ=⋅，则实数λ=.2A .3B 2.3C 1.2D第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图所示，为了测量,A B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，,A B 分别在D 处的北偏西015、北偏东045方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C处的北偏西060方向，则,A B 两处岛屿间的距离为__________海里．14．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为 .15.已知ABC ∆中，点D 满足20BD CD +=uu u r uu u r r，过D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点,E F ，AE AB λ=uu u r uu u r ，AF AC μ=u u u r u u u r.若0,0,λμ>>则λμ+的最小值为________．16．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，8b =，且223cos 5ac B a b bc =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r 030,BAO ∠=则OA =uu r __________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-=r r r（1）若()(2),a kc b a +-r r r rP 求实数k 的值；（2）设(,),d x y =u r 且满足()(),a b d c +⊥-r r u r r 5d c -=ur r ，求.d u r18.(本小题满分12分）在ABC ∆中，,2,332sin==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,（1）求ABC ∠cos ；（2）求BC 和AC 的长.19.(本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； (2)若2,b =0,a ≥解关于x 的不等式()0.f x >20.(本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168,b b b b +==设数列{}n a 满足23123222...22.n b n n a a a a ++++=（1）求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和.n S21.(本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且24sin cos )sin 3A A B C A +=+(1)求A 的大小；(2)若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．22．(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11nn n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.数学参考答案：选择题： 1-5 C B A D D 6-10 C A A B B 11-12 C D 填空题：13．206 14．15 15.3＋223 16．6415解答题：17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-=r r r（1）若()(2),a kc b a +-r r r rP 求实数k 的值；（2）设(,),d x y =u r 且满足()(),a b d c +⊥-r r u r r 5d c -=ur r ，求.d u r（1）(34,2)a kc k k +=++r r，2(5,2)b a -=-r r，()(2),a kc b a +-r r r r P 5(2)2(34)k k -+=+得1613k =-；（5分）（2）()(),a b d c +⊥-r r u r r 5d c -=u r r 2224)4(1)06202(4)(1)5x y x x y y x y -+-===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎩（或或.（10分）18.(本小题满分12分）在ABC ∆中，,2,332sin==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,（1）求ABC ∠cos ；（2）求BC 和AC 的长.试题解析：（1）3133212sin 21cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=∠-=∠ABC ABC （4分）(2）设bDC a BC ==,则bAC b AD 3,2==在ABC∆中，ABC COS BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=2222,即,31224922⨯⨯⨯-+=a a b a a b 344922-+=①（6分）在ABC ∆中，bb BDA 2334244316cos 2⨯⨯-+=∠，由0cos cos =∠+∠BDA BDC得6322-=a b …②（10分）由①、②解得1,3==b a ，所以3,3BC AC ==（12分） 19.(本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； (2)若2,b =0,a ≥解关于x 的不等式()0.f x >解：(1)∵不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根，∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.（5分）(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)， ①当a ＝0时，f (x )＞0，即2x ＋2＞0，∴x ＞－1（6分） ②a ＞0，∴(x ＋1)(ax －a ＋2)＞0⇔(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a ＞0，（7分） (ⅰ)当－1＝a －2a，即a ＝1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；（8分） (ⅱ)当－1＞a －2a ，即0＜a ＜1时，解集为{x |x ＜a －2a或x ＞－1}；（10分）(ⅲ)当－1＜a －2a ，即a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞a －2a .（12分） 20. (本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168,b b b b +==设数列{}n a 满23123222...22.nb n n a a a a ++++=（1）求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和.n S（1）设的公差为，∵为单调递增的等差数列，∴且由得解得（4分）∴，，∴（6分）（2）由……① 得……② 得，∴，（9分）又∵不符合上式，∴（10分）当时，∵符合上式，∴（12分）21.(本小题满分12分）在锐角三角形ABC ,中,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且24sin cos 3)sin 33A A B C A +=+(1)求A 的大小；(2)若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．解：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①，∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②，（2分）又sin 2A ＝2sin A cos A ③，将①②③代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3，整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，（5分）又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3.（6分）(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形，∴2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，（8分）在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C ，∴c ＝2sin Csin B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B sin B＝3tan B＋1，（10分）又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1，4)，∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S△ABC∈⎝⎛⎭⎪⎫32，23.（12分） 22．(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若11n n n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，21(1)n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-.显然11a =也满足上式，所以21n a n =-.（2分）因为11n n n b a b n ++=，所以12112n n b n b n+-+==.又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.所以2nn b =.（4分）（2）由（1）可得112212n n n n n b c a n n -+===-，所以112n n n c -=.所以21231222n n n T -=++++L ，所以23111231222222n n n n n T --=+++++L ，两式作差，得231111*********n n n n T -=+++++-L 1122212212n n n n n -+=-=--所以1242n n n T -+=-. （8分）不等式()112n n n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-.当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为数列2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增，所以222min1144322n --⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减，所以212max 1144222n --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-.（12分）。

2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期数学期中考试试卷带详解

【答案】
【解析】
【分析】
通过换元，令则，将函数零点转化为函数的图象与直线有三个交点，利用数形结合求得的范围.
【详解】函数，，令则，函数恰有三个零点，可转化为函数的图象与直线有三个交点，如图：根据三角函数图象的性质可得，，所以，即，由，可得，所以的取值范围是 .
④ 图像关于中心对称;
⑤ 的最小正周期为 .
【答案】②③⑤
【解析】
分析：①根据可判断；②由、可判断；③ 时，，进而可得结论；④ 是奇函数图象关于对称，结合周期性可判断；⑤由
，利用周期公式可得结论.
详解：① ,
,
, 不是对称轴，①错误；
② ，，
，是的最小正周期，②正确；
③ 时，，
（1）求值；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在区间上存在零点，求实数k的取值范围.
18.已知满足，若其图像向左平移个单位后得到函数为奇函数．
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，角的对边分别为，且满足，求的取值范围．
【详解】的递减区间是，又，，所以，所以，所以 .
故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．

湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案

湖北省部分重点中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学（理）试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3a =2b =4B π=,则A =（）A ．6πB ．3π C ． 3π或23π D ．6π或56π2.若不等式28210++<ax ax 的解集是{71}-<<-x x ，那么a 的值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.已知等差数列{a n }满足a 3=3，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 5=（） A ．5B ．3C ．5或3D ．4或34.设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则z=x+4y 的最大值为（）A ．5B ．3C ．6D ．45.若数列{a n }的前n 项和Sn 满足S n =2a n ﹣n ，则（） A ．S n =2n+1﹣1 B ．a n =2n﹣1 C ．S n =2n+1﹣2 D ．a n =2n+1﹣36.设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7.在等差数列}{n a 中，48)(2)(31310753=++++a a a a a ，则等差数列}{n a 的前13项的和为（） A 、24 B 、39 C 、52 D 、1048.设a ＞0，b ＞02是4a与2b的等比中项，则21a b+的最小值为（） A ．22B ．8C ．9D ．109.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且n n A B =7453n n ++，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．510.下列函数中，最小值为4的函数是（）A ．y=x+B ．y=sinx+（0＜x ＜π）C ．y=ex+4e ﹣xD ．y=log 3x+4log x 311.已知ABC ∆3AC 3，3ABC π∠=，则ABC V 的周长等于（） A ．33+ B ．33．23+3312.已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=3f （x+2），当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣x 2+2x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的取值范围是（） A ．[1，32） B ．[1，32] C ．[32，2） D ．[32，2] 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.25，211，… …，则25是该数列的第项． 14.函数y=2﹣x ﹣4x的值域为． 15.设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{1na }的前10项的和为． 16.在△ABC 中，2sin22A =3sinA ，sin （B ﹣C ）=2cosBsinC ，则ABAC = ．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18~22题每题12分,共70分,解答题必须有解题过程）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设a=4，c=3，cosB=18．（1）求b 的值；（2）求△ABC 的面积．18. 已知不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}．（1）计算a 、b 的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19.已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2n a}的前n项和S n．20. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．22.已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．湖北省部分重点中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学（理）试卷参考答案1.C2.C3.C4.A5.B6.B7.C8.C9.D 10.C 11.A 12.A13.7 14.（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞） 15. 201116.113210.解：A．x＜0时，y＜0，不成立；B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立． C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．故选：C．12.解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，又∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴数列{an}是首项为1、公比为的等比数列，∴Sn=∈．故选：A．15. 解：∵数列{an }满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an =（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．16.解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．17. 解：（1）∵a=4，c=3，cosB=18．∴由余弦定理可得：b===．………5分（2）∵a=4，c=3，cosB=．∴sinB===，∴S△ABC=acsinB==．…………10分18. 解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴方程ax2+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；………………6分（2）由（1）得不等式为x2﹣x﹣＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根为：x1=﹣，x2=1；因而不等式x2﹣x﹣＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞1}．…………12分19.解：（Ⅰ）由题设知公差d，d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，则=，解得：d=1或d=0（舍去），an =a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，故{an }的通项an=n；……………………6分（Ⅱ）由题意知2n a=2n，由等比数列前n项和公式得Sn=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2，数列{2n a}的前n项和S n=2n+1﹣2．…………12分20. 解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，…………………2分整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．…………………4分∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．…………………5分（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，…………………7分等价于x＞25时，有解，…………………9分∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元…………………11分∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．…………………12分21.解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．…………6分（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．…………12分22.解：（1）∵数列{an }中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*，∴（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1（n≥2，n∈N*，），∴a2﹣a1=1，∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴an=n+1；…………4分（2）∵an=n+1；∴bn =an•2﹣n=（n+1）2﹣n，∴Tn=2×+3×+...+n+（n+1） (1)=2×+3×+...+n+（n+1） (2)（1）﹣（2）得： Tn=1++…+﹣（n+1），∴Tn=3﹣，……………………8分代入不等式得：3﹣＞2，即，设f（n）=﹣1，f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，∴f（n）在N+上单调递减，∵f（1）=1＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，∴当n=1，n=2时，f（n）＞0；当n≥3，f（n）＜0，所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*．……………………12分。

湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题+Word版含答案

数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于（）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列；（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =．（Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥；（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-；当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=．在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=．所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<，得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0，解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数，因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π），所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2），又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2），又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列，所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分（2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立，设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-，所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ，所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332，即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。

吉林省辽源市第五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

辽源五中2019－2020学年度高一下学期期中考试数学（文）试题一．选择题1.某镇有A 、B 、C 三个村，，它们的精准扶贫的人口数量之比为3:4:7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 村有15人，则样本容量为（） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80【答案】C 【解析】【分析】运用分层抽样的知识，A 村抽出15人，结合三个村的人口比例解出答案【详解】设A 、B 、C 三个村的人口分别为3,4,7x x x 则由题意可得334715x x x x n++= 解得70n = 故选C【点睛】本题主要考查了分层抽样法，解题的关键是掌握分层抽样的定义，属于基础题． 2.数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++D. 不存在【答案】C 【解析】【分析】利用累加法求得数列的通项公式.详解】依题意可知112,3n n a a n a -=+=，所以()()()123211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()221223n n =+-++⨯+()22221312n n n n +⨯=⨯-+=++. 故选：C【点睛】本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.3.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男生女生各500名（所有学生都参加了调查），现从所有喜欢数学的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为A. 16B. 32C. 24D. 8【答案】C 【解析】【分析】根据等高条形图可得到喜欢数学的女生和男生的比为1:3，再由分层抽样计算出抽取的男生人数．【详解】由等高条形图可知：喜欢数学的女生和男生的比为1:3，所以抽取的男生数为24人．故选C ．【点睛】本题考查高条形图与分层抽样，需掌握等高条形图的性质与分层抽样方法，属于基础题．4.在ABC ∆中，::3:5:7a b c =，那么ABC ∆是（） A. 直角三角形 B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 非钝角三角形【答案】B 【解析】因为::3:5:7a b c =，所以可设3,5,7a t b t c t === ，由余弦定理可得222925491cos 2352t t t C t t +-==-⨯⨯ ，所以120C = ，ABC ∆是钝角三角形，故选B.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理的应用以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 5.已知等差数列{}n a ，5127a a -=，35a =，则9a =（）A. 23B. 20C. 17D. 13【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列通项公式可得方程组111427,25,a d a a d +-=⎧⎨+=⎩得到11,2,a d =⎧⎨=⎩代入通项公式得917.a =【详解】由题意得111427,25,a d a a d +-=⎧⎨+=⎩⇒11,2,a d =⎧⎨=⎩ 所以91818217a a d =+=+⨯=，故选C.【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本运算能力． 6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（） A. 1 B. 1-C. 2D.12【答案】A 【解析】【分析】题目已知数列为等差数列，且知道某两项的比值，要求某两个前n 项和的比值，故考虑用相应的等差数列前n 项和公式，将要求的式子转化为已知条件来求解.【详解】()()199155959219552a a S a a S +⋅==⋅=+⋅，故选A. 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式和等差中项的应用.等差数列求和公式有两个，它们分别是()112n n n S na d -=+，和()12n n a a n S +⋅=.在解题过程中，要选择合适的公式来解决.本题中已知n a 项之间的比值，求n S 项之间的比值，故考虑用第二个公式来计算，简化运算.7.某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A.45B.12C.56D.37【答案】B 【解析】【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【详解】设小明到达时间为x ，当x 在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，根据几何概型概率计算公式得 201402P ==. 故选B.【点睛】本题考查求几何概型中长度型的概率，属于简单题．8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知151015192a a a a a ---+=，则19S 的值为（） A. 38 B. -19C. -38D. 19【答案】C 【解析】由等差数列的性质可知()1510151911951510102a a a a a a a a a a a ---+=+-+-=-=．即102a =-．()11919101919382a a S a +===-．故本题答案选Ｃ．9.根据如下样本数据得到的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，则下列判断正确的是（） x 2 3 4 56 y4.02.5-0.50.5-2A. ˆˆˆ0,0.94bb a <+= B. ˆˆˆ0,40.9bb a >+= C. ˆˆˆ0,0.94ab a <+= D. ˆˆˆ0,40.9ab a >+=【答案】D 【解析】【分析】先根据增减性得ˆ0,b<再求,x y 代入验证选项．【详解】因为随着x 增加，y 大体减少，所以ˆ0,b< 因为234564 2.50.50.524,0.955x y +++++-+-====，所以0.94b a =+，0,a ∴> 故选D【点睛】本题考查回归直线方程，考查基本分析判断能力，属基础题. 10.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知1cos (cos cos )2c A a B b A =+，ABC ∆3，26b c +=ABC ∆的外接圆面积为（）A. 4πB. 16πC. 24πD. 48π【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理化简1cos (cos cos )2c A a B b A =+，可得1sin cos (sin cos sin cos )2C A A B B A ⋅=⋅+⋅，化简即可得到3A π=，再利用三角形的面积公式以及余弦定理联立方程，可得23a =2sin aR A=，从而求得三角形外接圆的半径，即可得到面积【详解】因为1cos (cos cos )2c A a B b A =+，由正弦定理可得：1sin cos (sin cos sin cos )2C A A B B A ⋅=⋅+⋅即1sin cos sin()2C A A B ⋅=+由于在ABC ∆中，A B C π+=-，由诱导公式可得sin()sin A B C +=，所以1sin cos sin()2C A A B ⋅=+等价于1sin cos sin 2C A C ⋅=，由于在ABC∆中，(0,)Cπ∈，则sin0C≠，所以1cos2A=，因为在ABC∆中，(0,)Aπ∈，故3Aπ=由于ABC∆的面积为3，26b c+=，所以由三角形面积公式以及余弦定理可得：22213=sin22cos26bc Aa b c bc Ab c⎧⎪⎪=+-⋅⎨⎪+=⎪⎩解得：23a=所以由正弦定理可得2sinaRA=，解得：2R=，则ABC∆的外接圆的半径为2，其面积为4π故答案选A【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式在三角形中的应用，熟练掌握公式是解题的关键，考查学生基本的运算能力，属于中档题11.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是（）A. x x>甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B. x x>甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. x x<甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 D. x x<甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛【答案】B【解析】【分析】先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.【详解】由题得18+26+28+28+31+3382==63x 甲，12+18+19+25+26+32==226x 乙，所以x x >甲乙.从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，所以要派甲参加. 故选B【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设 A B C 、、为三角形三内角，且方程2(sin sin )(sin sin )sin sin 0B A x A C x C B -+-+-=有两相等的实根，那么角B （）A. 60B >︒B. 60B ≥︒C. 60B <︒D. 60B ≤︒【答案】C 【解析】【分析】根据方程有两相等实根可得判别式0∆=，在依据正弦定理把角换成边，化简得2a c b +=，代入余弦定理得23cos 12b B ac=⋅-，再根据2a c b +=两边平方，得出2b 与ac 的关系，进而推断出cos B 的范围.【详解】依题意有2(sin sin )4(sin sin )(sin sin )0A C B A C B ∆=----=，根据正弦定理得：2()4()()0a c b a c b ----=，即22224()0a ac c bc ac b ab -+---+=，化简得：22242440a c b ac ab ac +++--=，整理得：2(2)0a c b +-=，即2a c b +=，且a c ≠所以22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==22323122b ac b ac ac-==⋅-，因为()()2224b a c ac =+>，所以2b ac >，所以233111222b ac ⋅->-=，又因为1cos 1B -<<，所以1cos 12B <<，所以060B <<，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目. 二、填空题：13.数列1-，7，13-，19，25-，31…的通项公式______．【答案】()()165nn a n =-⋅- 【解析】【分析】先考虑{}n a 的通项公式，由此求得{}n a 的通项公式. 【详解】由于{}{}1,7,13,19,25,31,na =是首项为1，公差为6的等差数列，所以65n a n =-，所以()()165nn a n =-⋅-.故答案为：()()165nn a n =-⋅-【点睛】本小题主要考查根据数列的前几项猜想数列的通项公式，属于基础题.14.已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = 【答案】2n-10，8 【解析】当n=1时，2211198,1,9[9(1)(1)]210n n n a n a S S n n n n n -=-=->=-=-----=-,经检验当n=1时，也满足上式，因而210n a n =-,由52108,k a k <=-<所以7.59,,8k k N k *<<∈∴=.15.在某城市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：91，89，91，96，94，95，94.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为___. 【答案】2.8 【解析】【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为91，91，94，95，94，由此能得出所剩数据的平均值进而得到方差．【详解】∵七位评委为某选手打出的分数如下：91，89，91，96，94，95，94，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为91，91，94，95，94， ∴所剩数据的平均值为： ()19191949594935x =++++=，所剩数据的方差为：S 2＝15[（91﹣93）2+（91﹣93）2+（94﹣93）2+（95﹣93）2+（94﹣93）2]＝2.8．故答案为2.8．【点睛】本题考查一组数据的平均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数公式和方差公式的合理运用．16.已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1nn na b a +=，若对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，则实数a 的取值范围是____ 【答案】(9,8)-- 【解析】【分析】根据已知可求得数列{}n a 的通项，进而求得n b ，再由数列的性质可得a 的取值范围．【详解】由题得1n a n a =+-，则1111n n n a b a n a +==++-，对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，而11n a +-关于n 的单调性为1n a >-时单调递减，1n a <-时单调递减，且1n a>-时101n a >+-，1n a <-时101n a >+-．而10n =时，11n a +-最大，所以101a >-，且91a <-，故98a -<<-.【点睛】此题是关于数列单调性的问题，引用函数的单调性加以解决，但需考虑定义域是正整数集，难度属于中等．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a }的前n 项和224n S n n =-+（n *∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式：（2）当n 为何值时，n S 达到最大？最大值是多少？【答案】（1）225n a n =-+；（2）当12n =时，n S 取得最大值，且最大值为144 【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用二次函数的对称轴，求得当n 为何值时，n S 达到最大以及最大值. 【详解】（1）当1n =时，1123a S ==，当2n ≥时，()()211241n S n n -=--+-，所以1225n n n a S S n -=-=-+，当1n =时上式也符合. 故数列{}n a 的通项公式为225n a n =-+. （2）结合二次函数的性质可知，当24122n =-=-时，n S 取得最大值，且最大值为2122412144-+⨯=.【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等差数列前n 项和的最值，属于基础题. 18.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为12345，，，，的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次. （1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.【答案】（1）425P =（2）825【解析】【分析】（1）用列举法得到所有的基本事件数，然后根据古典概型概率公式可得事件发生的概率；（2）根据互斥事件的概率加法公式求解可得结果．【详解】（1）由题意得，该顾客有放回的抽奖两次的所有可能结果为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5).共有25种情况．设“该顾客两次抽奖后都没有中奖”为事件A ，则事件A 包含的结果为(1,1),(1,5),(5,1),(5,5)，共4种，所以4()25P A =．即该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率为425．（2）两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况： ①第一次奖金为100元，第二次没有获奖，其包含的情况为(3,1),(3,5)，概率为1225P =； ②第一次没中奖，第二次奖金为100元，其包含的情况为(1,3),(5,3)，概率为2225P =； ③两次各获奖金50元，包含的情况有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)，概率为3425P =．由互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为123825P P P P =++=，即该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为825．【点睛】（1）求古典概型概率的关键是得到基本事件的个数，常用的方法是列举法，解题时要分清抽取是有放回的还是无放回的，列举时要做到不重不漏．（2）对于一些复杂的事件，在求概率时可将其分解为若干个互斥事件的和来求解，然后利用概率的加法公式可得结果．19.某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在[40,100]内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组[60,70)的频数．并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）【答案】（1）18人，见解析；（2）众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分【解析】【分析】（1）先求出分数在[)60,70内的频率，再求第三组[)60,70的频数,补全频率分布直方图；(2)利用频率分布直方图中的众数、中位数和平均数的求解方法求解即可.【详解】（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在[)60,70内的频率为：()1100.0050.0150.0300.0250.0100.15f=-⨯++++=，所以第三组[)60,70的额数为1200.1518⨯=（人）．完整的频率分布直方图如图．（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分．由题得左边第一个矩形的面积为0.05，第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3，所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x,则0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5，所以x=75.所以中位数为75.又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：()()()()()()45100.00555100.01565100.01575100.0385100.02595100.0173.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）．所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频率频数的计算，考查众数中位数和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.己知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a +=+ （1）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列？说明理由．（2）求n a ．【答案】（1）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列，理由见解析；（2）631n a n =-. 【解析】【分析】（1）根据递推关系证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）由（1）求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由此求得n a . 【详解】（1）依题意122n n n a a a +=+，所以11112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项，公差为12的等差数列. （2）由（1）得()1111131132266n n n n a -=+-=-=，所以631n a n =-.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，属于基础题.21.的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2B AC +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =． 22.在ABC 中，a b c ，，分别为角A B C ，，cos 3sin tan c B b C a C ⎫-=⎪⎭. （1）求角A ；（2）若ABC 的内切圆面积为4π，求ABC 面积S 的最小值.【答案】(1)3π (2) 123【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到)3sin sin cos cos sin B C B C A -=，化简整理求出tan 3A =（2）根据题意，得到ABC 内切圆的半径为2，作出图形，记内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，得到43a b c =+-，由余弦定理得到()22243b c b c bc +-=+-，根据基本不等式，推出48≥bc ，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为cos 3sin tan c B b C a C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()3sin sin cos cos sin B C B C A -=即()3cos sin B C A -+=，所以3cos sin A A =，即tan 3A =，3A π∴=；（2）由题意知ABC 内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I ，,M N 为切点，则423AI AM AN ===，，从而43a b c =+-由余弦定理得(2223b c b c bc +-=+-，整理得)34883163bc b c bc +=+≥，解得48≥bc 或163≤bc （舍去），从而113sin 48123222S bc A =≥⨯⨯=，即ABC 面积S 的最小值为123【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.。

2019-2020学年安徽省宣城六校高一下学期期中联考数学试题解析版

2019-2020学年安徽省宣城六校高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．设a 、b 、c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（） A ．2a ab < B ．22ac bc >C ．b a a b> D ．11a b< 【答案】D【解析】根据不等式的性质可判断. 【详解】对于A ，a b >，当0a >时，2a ab >，故A 错误；对于B ，当0c时，22ac bc =，故B 错误；对于C ，不等式b aa b>等价于22b a >，不符，故C 错误；对于D ，0a b >>，11a b∴<，故D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.2．已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为 A ．t s > B ．t s ≥ C ．t s < D ．t s ≤【答案】D【解析】试题分析：化简s ﹣t 的结果到完全平方的形式（b ﹣1）2，判断符号后得出结论．解：s ﹣t=a+b 2+1﹣a ﹣2b=b 2﹣2b+1=（b ﹣1）2≥0，故有 s≥t ，故选D ．点评：本题考查完全平方公式的应用，用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论．3．设各项为正数的等比数列{}n a 中，若23a =，427a =，则q =（） A ．3B ．9C ．3±D ．9±【解析】分析：由等比数列的通项直接可求得q.详解：由各项为正数的等比数列{}n a 中，23a =，427a =，q>024293a q a q ⇒==⇒= 故选A.点睛：考查等比数列的通项公式，注意题目条件为正项等比数列，故公比大于零，属于基础题.4．若x 、y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值为（）A ．2-B ．1C ．7-D ．3-【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y =-，找出使得直线3z x y =-在x 轴上的截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即点()2,3A ，平移直线3z x y =-，当直线3z x y =-经过可行域的顶点A 时，直线3z x y =-在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 2337z =-⨯=-.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数最值的求解，一般通过平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 5．已知ABC ∆中，且11,2a b A ===则sin B =（） A．2BC ．14D ．12【答案】A【解析】利用正弦定理即可得到答案. 【详解】由正弦定理sin sin a b A B=，可得1sin 2sin 1b A B a ===故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理的简单运用，属于基础题.6．在等差数列{}n a 中，37=20=4-，a a ，则前11项和为（） A ．22 B ．44C ．66D ．88【答案】A【解析】由等差数列的通项公式表示已知，求得首项和公差，再代入等差数列前n 项和公式中，求得答案. 【详解】在等差数列{}n a 中，31171=22032=646a a d a a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩所以()()()111111111111111113262222S a d --=+⋅=⨯+⋅-= 故选：A 【点睛】本题考查等差数列中知三求二，主要应用到通项公式和前n 项和公式构建方程组求解，属于简单题.7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A ．72B ．48C ．27D ．36【答案】D【解析】由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角三角形，直角边长分别是4，6cm ，三棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长是3，利用体积公式得到结果【详解】由题可得直观图为三棱柱，故体积为：V Sh ==1463362⨯⨯⨯=，故选D. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题．8．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18C ．3D ．3【答案】C【解析】由三角形内角和求出C ∠，由三角形的性质求出边BC ，根据面积公式求出三角形面积. 【详解】由三角形内角和：30C ∠=，故三角形为等腰三角形，所以6AB BC ==，由三角形面积公式：166sin 932S B =⨯⨯⨯=. 故选C. 【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.9．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．32B ．3C ．3222+ D ．322+【答案】D 【解析】将12a b +化为()1223b a a b a b a b ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求最小值.【详解】因为1a b +=，故()121223b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得222b a a b+≥，当且仅当21,22a b =-=-时等号成立，故12a b+的最小值为322+. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意利用“1”的代换构造积为定值的形式，本题属于基础题.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -中，过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．故选A ．【点睛】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题．11．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且2435462144a a a a a a ++=，则35a a +等于（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B【解析】根据等比数列中等比中项的性质，将等式化简，即可由各项大于0得解. 【详解】由等比数列性质可知2435462144a a a a a a ++=，可化为()()2233552144a a a a ++=，即()235144a a +=，因为0n a >，所以3512a a +=，故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列中等比中项性质的简单应用，属于基础题.12．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =++，()n N *∈，则当2020n T <时，n 的最大值为（） A ．9B ．10C ．11D ．24【答案】A【解析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.【详解】∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-, ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n nb -=,∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---，∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤，则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.二、填空题13．已知不等式组0230x y x y x -≥⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则平面区域的面积是________．【答案】16【解析】作出不等式组的可行域，求出交点，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】作出不等式组0230x y x y x -≥⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如图（阴影部分）：则8AB =，点()1,1C -到直线3x =的距离为4，所以平面区域的面积114841622S AB =⨯=⨯⨯=. 故答案为：16 【点睛】本题考查了不等组表示的平面区域，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且30a ≠，若533a a =，则95S S =______. 【答案】275【解析】由等差数列的性质可得955395S a S a =，代入相应值即可. 【详解】依题意，19951553992552a a S a a a S a +⨯==+⨯，又533a a =，∴95927355S S =⨯=. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，等差数列的性质，属于基础题.15．一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个菜园面积最大时，这个矩形菜园的长为________．【答案】9【解析】设这个矩形菜园的长为x ，则宽为18x -，求出面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】设这个矩形菜园的长为x ，则宽为18x -，所以这个菜园面积21818812x x Sx x，当且仅当18x x =-，即9x =时，等号成立. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a C b C c B =+，则C =________. 【答案】3π 【解析】利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果. 【详解】由正弦定理可知，2sin cos sin cos sin cos sin A C B C C B A =+= ()1,0,,sin ,cos 2A C A C π∈∴≠=，即3C π=. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.三、解答题17．解下列不等式：（1）2540x x -+-≥；（2）2103x x +>-．【答案】（1）[]1,4；（2）()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求解. （2）利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】（1）22540540x x x x -+-≥⇒-+≤()()41014x x x ⇒--≤⇒≤≤，所以不等式的解集为[]1,4. （2）()()21021303x x x x +>⇒+->- 3x ⇒>或12x <-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、分式不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35．（1）求b ；（2）求∠A ．【答案】（1）5b =；（2）∠A ＝120°. 【解析】由正弦定理求得b ，由余弦定理求得cos ∠A ，进而求出∠A 的值．【详解】（1）由正弦定理得sin b B ＝sin c C可得， c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533⨯＝5．（2）由余弦定理得cos A ＝2222c b a c b+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为()0,180A ︒︒∈，所以∠A ＝120°．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b 的值，是解题的关键．19．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 和n S ；（2）令n n S b n=，()n N *∈，求证数列{}n b 是等差数列．【答案】（1）21n a n =+；22n S n n =+；（2）证明见详解.【解析】（1）利用等差数列的性质求出等差数列的首项与公差，再利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求解.（2）利用等差数列的定义即可证明.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由5726a a +=，则6226a =，所以613a =，又37a =，则6337313a a d d =+=+=，解得2d =，所以3127a a d =+=，解得13a =，所以()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，()2211322n n n S na d n n n n n -=+=+-=+. （2）由（1）可得2n n S b n n ==+， ()()11221n n b b n n +-=++-+=，所以数列{}n b 是等差数列.【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式、前n 项和公式、等差数列的定义，需熟记定义，属于基础题.20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=.（1）求A ；（2）若4a =，ABC ∆的面积为b c +.【答案】（1）3π；（2）8. 【解析】(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为ABC ∆的面积为1sin 24bc A bc ==16bc =，因为222,4b c a bc a +-==，所以2232b c +=，所以8b c +==.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.21．已知二次函数满足()()20f x ax bx c a =++≠，满足()()12f x f x x +-=，且()01f =．（1）函数()f x 的解析式；（2）若当[]1,1x ∈-时，不等式()3f x x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）2a > 【解析】（1）利用待定系数法即可求解.（2）由（1）分离参数可得241a x x >-+-，只需当[]1,1x ∈-时，()2max 41a x x >-+-即可.【详解】（1）由()()20f x ax bx c a =++≠，()01f =，则1c =，又()()12f x f x x +-=，则()()2211112a x b x ax bx x ++++---=，整理可得22ax a b x ++=，即220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x x =-+. （2）当[]1,1x ∈-时，不等式()3f x x a >-恒成立，即241a x x >-+-在[]1,1x ∈-恒成立，设()241g x x x =-+-，对称轴2x =，开口朝下，所以()g x 在[]1,1-上单调递增，所以()()max 11412g x g ==-+-=，所以2a >.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数值，属于基础题.22．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .【答案】(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30.【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因为124,,S S S 成等比数列，所以()()2111462a a d a d ⋅+=+．所以212a d d =．因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1a 1,d 2，所以21n a n =-．（2）因为()()3311212122121nb n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．要使20n m T <对所有n N *∈都成立，则有3202m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30．【考点】等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．。

浙江省丽水市发展共同体(松阳一中、青田中学等)2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

2020年5月高一期中考试数学学科试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题部分（共60分）注意事项：1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题纸上；2．每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．sin 70cos40cos70sin 40-o o o o = （）A ．12-B ．12C ．2-D ．22．若实数a,b,c,d ∈R ,则下列说法正确的是（） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则33a b >D ．若0a b <<，则11a b< 3．已知集合{}2|20x x x =--<A ，{}|ln 1x x =<B ，则⋂A B = ( )A ．1|x x e e ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．1|2x x e ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|12x x -<<D ．{}|1x x e -<< 4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =（）A ．．．6 D ．75．将函数2sin(2)4y x π=+的图象向左平移8π个单位长度，则所得函数（） A ．是奇函数 B ．其图象以4x π=为一条对称轴C ．其图象以02π（，）为一个对称中心 D ．在区间02π（，）上为单调递减函数 6．已知α、β为锐角，3cos 5α=，1tan()3β-α=，则tan β= （） A ．913 B ．139 C ．13D ．3 7．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60o 方向航行45km 后，看见灯塔A 在船的正西方向，则此时船与灯塔A 的距离是（） A． B ．15km C ．30km D． 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足10a >，914S S =，则（） A ．0d > B ．n S 的最大值为23SC ．120a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为239．如图，在ABC ∆中，已知点D 是BC 延长线上的一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =u u u r u u u r ，34AE AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λ= （）A ．14-B ．14C ．13-D ．1310．在递减的等差数列{}n a 中，满足113a =，21324a a a =-，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和的最大值为（）A ．1143 B ．24143 C ．613 D ．241311．已知向量a r 与单位向量e r 所成的角为60o，且满足对任意的t ∈R ，恒有a te a e -≥-r r r r ，则(12)(xa x e x +-∈R)r r的最小值为（）A ．13B ．12 C．2 D．312．已知数列{}n a 满足112a =，21()n n n a a ba n *+=+∈N ，则下列说法错误．．的是（） A ．当1b =-时，1n n a a +> B ．当1b =-时，12n n a a +≤C ．当2b =时，134n n a -> D ．当2b =时，12n n a a +≤第Ⅱ卷非选择题部分（共90分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上； 2．作图时，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

2019-2020学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷（附答案解析）

2019-2020学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷（附答案解析）2019-2020学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．（4分）若2arcsin（x﹣2）＝，则x＝．2．（4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6＝17，且a3，a11，a43成等比数列，则d ＝．3．（4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6＝4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝．4．（4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是．5．（4分）在△ABC中，a2+b2﹣mc2＝0（m为常数），且+＝，则m的值是．6．（4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝．7．（4分）已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+4c的最小值为9．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2﹣12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则的最小值．10．（4分）在等差数列{a n}中，若S10＝100，S100＝910，S110＝．11．（4分）设函数f（x）＝，函数g（x）＝，则方程f （x）＝g（x）根的数量为个．12．（4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且＝，则使得为整数的正整数k有个．13．（4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为．14．（4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M＝a201+a202+a203+…+a401的最大值为．二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15．（3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝5π，则cos （a2+a8）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．16．（3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝2，B，A，C 成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．17．（3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A．{λa n}（λ为常数）B．{a n+b n}C．{a n2﹣b n2}D．{{a n?b n}}18．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝15，b＝24，A＝60°，则这样的三角形解的个数为（）A．1B．2C．0D．不确定19．（3分）已知函数，下列说法中错误的是（）A．函数f（x）的定义域是B．函数f（x）图象与直线没有交点C．函数f（x）的单调增区间是D．函数f（x）的周期是220．（3分）函数y＝cos（2x+），x∈[0，]的值域为（）A．[0，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣，] 21．（3分）函数y＝sin x，x的反函数为（）A．y＝arcsin x，x∈[﹣1，1]B．y＝﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]C．y＝π+arcsin x，x∈[﹣1，1]D．y＝π﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝b2+c2﹣4，a＝2，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．2πD．4π23．（3分）已知曲线，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C224．（3分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1﹣x2|的最小值为，则φ等于（）A．B．C．D．25．（3分）若等比数列{a n}的前n项和S n＝3（2n+m），则a12+a22+…+a n2＝（）A．B．4n﹣1C．3（4n﹣1）D．无法确定26．（3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．27．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f （x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A．恒为负数B．恒为正数C．恒为0D．可正可负28．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sin x﹣a cos x 的一条对称轴可以为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝。

2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的代码填入答题卡上.） 1. 化简sin600°的值是A.12B.12-3 D. 32. 角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝A.55 B.255 C ．525 3. α是第二象限角，则2α是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第一象限角或第三象限角D.第一象限角或第二象限角 4.已知扇形的弧长是4cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是A.1B.2C.4D.1或45．甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是A ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定B ． x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C ． x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D ． x x >甲乙，乙比甲成绩稳定 6.如图，给出的是计算11111246822+++++L 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. 11i <B. 11i >C. 22i <D. 22i >7. 已知圆221:23460C x y x y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切8. 某数据由大到小为10, 5, x ,2, 2, 1,其中x 不是5,该组数据的众数是中位数的23,该组数据的标准差为A. 3B.4C. 5D. 69．若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为 A ．23 B ．25 C ．35 D ．31010.若a 是从区间0,3[]中任取的一个实数，则12a <<的概率是A ．23 B ．56 C ．13 D ．1611.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.7512.已知圆C ：22240x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以44a a(,-)为中点的弦长为（）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．）13. 某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取50岁以上职工人数为． 14．若32)sin(-=-απ, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是___________．15. 在[]4,3-上随机取一个实数m ，能使函数在R 上有零点的概率为．16．已知直线l ： (0)y kx k =>，圆221:(1)1C x y -+=与222:(3)1C x y -+=，若直线l 被圆C 1，C 2所截得两弦的长度之比是3，则实数k = .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17题10分，其余均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）（Ⅰ）求值：()tan150cos 210sin 60sin(30)cos120︒-︒-︒o o；（Ⅱ）化简：sin()cos()tan(2)cos(2)sin()tan()απαπαπαπαα-+++--.18. （本小题满分12分）某公司为了解下属某部门对企业职工的服务情况，随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分，得到的频率分布表如下：（Ⅰ）求出频率分布表中m 、n 位置的相应数据，并画出频率分布直方图； (Ⅱ)同一组中的数据用区间的中点值作代表，求这50名职工对该部门的评分的平均分. 19. （本小题满分12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.20．（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（结果保留两位小数）参考公式：1221ˆ=ni i i nii x ynx y bxnx ==-⋅-∑∑， ˆˆa y bx=-. 参考数据：5162.7i i i x y ==∑，52155i i x ==∑.21．（本小题满分12分）已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=. （Ⅰ）求sin cos x x -的值；（Ⅱ）求24sin cos cos x x x -的值. 22．（本小题满分12分）已知圆C 过点M (0，－2)，N (3，1)，且圆心C 在直线x ＋2y ＋1＝0上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)过点(6,3)作圆C 的切线，求切线方程；(Ⅲ)设直线:l y x m =+，且直线l 被圆C 所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆C 1过原点，求直线l 的方程.2019-2020学年山东省潍坊市下学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：DBCCB BDADC DA二、填空题13. 19 14.255- 15.3716.13三、解答题17.解：（Ⅰ）原式=00000tan30cos30) sin30(cos60)---（-）(-sin60tan60 3.=-=-…………………………………………5分（Ⅱ）原式sin(cos)tan sin cos tan=1cos sin(tan)cos sin tanαααααααααααα--==---.………………………………10分18.解:(Ⅰ)频率分布表如下:50(515128)10m=-+++=，…………………………………………3分150.350n==，………………………………………6分频率分布直方图如图所示：…………………………………………9分（Ⅱ）x =550.1650.2750.3850.24950.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯76.6=. …………………………………………12分19.解：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2.……4分（II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种. ………………………8分（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == …………………………………………12分 20．解：（Ⅰ） 11+2+3+4+5=35x =（）， 17+6.5+5.5 3.8 2.2)55y =++=（，………………2分5162.7i ii x y==∑，52155i i x ==∑.所以51522162.7535ˆ 1.235559i ii ii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ=5( 1.23)38.69ay bx =---⨯=，………………4分所以所求的回归直线方程为ˆ 1.238.69yx =-+.…………………………………………6分（Ⅱ）年利润……………………9分所以 2.72x ≈时，年利润z 最大. …………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）因为1sin cos 5x x +=，所以112sin cos 25x x +=， 242sin cos 25x x =-，…………………………………………3分因为02x π-<<，所以sin 0, cos 0x x <>，所以sin cos 0x x -<，249(sin cos )12sin cos 25x x x x -=-=，所以7sin cos 5x x -=-.…………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 5x =-，4cos 5x =， 3tan 4x =-. …………………………………………9分24sin cos cos x x x -2224sin cos cos sin cos x x xx x-=+ 24tan 1tan 1x x -=+6425=-.…………………………………………12分22.解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－D2－E ＋1＝0，4－2E ＋F ＝0，10＋3D ＋E ＋F ＝0，解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. ……………………………………4分（Ⅱ）圆C 的方程为22(3)(2)9x y -++=, 当斜率存在时，设切线方程为3(6)y k x -=-，则3=，解得815k =，所以切线方程为83(6)15y x -=-，即81530x y --=. ………………7分当斜率不存在时，6x =.所以所求的切线方程为81530x y --=或6x =. ……………………8分（Ⅲ）直线l 的方程为y ＝x ＋m .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0，y ＝x ＋m ，消去y 得2x 2＋2(m －1)x ＋m 2＋4m ＋4＝0，(*)………………………………………9分∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 2＋4m ＋42，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2.∵AB 为直径，∴∠AOB ＝90°，∴|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0，……………………………11分即m 2＋4m ＋4＋m (1－m )＋m 2＝0，解得m ＝－1或m ＝－4. 容易验证m ＝－1或m ＝－4时方程(*)有实根．所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝x －4.………………12分。