常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)

请自行证明
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七、圆域函数的傅里叶变换
F [circ( x + y )] =
2 2
J 1 ( 2πρ )
ρ
一阶第一类贝塞尔函数 普遍型：
x2 + y2 J 1 ( 2πaρ ) )] = F [circ( a ρ 半径
请自行证明
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七、step函数的傅里叶变换
1 1 F [step( x )] = + δ ( u) j 2πu 2
√ √
δ T (t ) =
l = −∞
∑ δ (t − lT )
t − ( )2
+∞
2π T
k = −∞
∑ δ (ω − k
π τe
−(
+∞
2π ) T
ωτ
2
e
τ
)2
√
[u (t +
τ
2
) − u (t −
τ
)] cos ω t 0 2
τ
2
[ Sa
(ω + ω )τ 0 2
+∞ k
+ Sa
(ω − ω )τ 0 2
᷊᷉㘇〞ⰵ䇇⹹㻖
㪉 [ f ( x)] F (P ) 䋓䇱
³
f
f
f ( x) dx
F (0)
³
f
f
F (P ) dP
f (0)
᷊᷉ I᷉[᷊㤛㼀㻣㘇〞⭩䇻 F (0) ᷍㒄㠖⭩䇻凵 㭞⭥㚽㑠䐖ᷜ ᷊᷉ F ( P ) ⭥㤛㼀㻣㘇〞䋓⭩䇻 f (0) ᱄
2
普遍型
F [δ ( x − x0 )] = ?
由位移定理： F
[δ ( x − x0 )] = F [δ ( x )]• exp(− i 2πux0 )
= exp(− i 2πux0 )
一个位于 x0 点的
经傅氏变换
物理意义
δ ( x − x0 )
F.T.
光脉冲
exp(− i 2πux0 )
一束 空间频率为 u 的 单位振幅平面波
a + jω (a + jω ) 2 + ω 02
e − at sin ω 0tu (t ), Re{a} > 0
te − at u (t ), Re{a} > 0 t k −1e − at u (t ), Re{a} > 0 (k − 1)!
ω0 (a + jω ) 2 + ω 02
1 ( a + jω ) 2 1 ( a + jω ) k 1 ,τ > 0 (τ − jt ) 2 2πωe −τω u (ω )
常用函数的傅里叶变换
f ( x) G ( x) F (P )
1
2
exp( Sx 2 ) x exp( Sx ) cos(Sx)
exp( SP ) 2 jP exp( SP )
2
1 1 1 [G ( P ) G ( P )] 2 2 2 1 j 1 jG G ( P ) [G ( P ) G ( P )] 2 2 2
请自行证明 提示： 利用关系式
2step( x ) - 1 = sgn( x )
以及傅里叶变换的定理进行推导
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ࡳ஝ሀؐওު஛
˄˅㓯ᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F^g x ` G f x , F^h x ` ˄⌒Ⲵਐ࣐৏⨶˅ ࡉᴹ F^Dg x Eh x ` DG f x EH f x
2πj k
dk δ (ω ) dω k
u (ω )
√
u (t ) tu (t )
1 1 δ (t ) − 2 j 2πt
√
⎧ 1, t > 0 sgn(t ) = ⎨ ⎩− 1, t < 0 δ (t − t 0 )
cos ω 0t sin ω 0t
2 jω
e
− jωt 0
1
π
,t ≠ 0
0
π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω − ω 0 )]
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
W
√
⎧ ⎪ 1, t < τ f (t ) = ⎨ ⎪ ⎩0, t > τ ⎧ ⎪1 − t τ , t < τ f (t ) = ⎨ 0, t > τ ⎪ ⎩
τSa (
ωτ
2
)
π
Sa (Wt )
⎧ ⎪ 1, ω < W F (ω ) = ⎨ ⎪ ⎩0, ω > W ⎧ ⎪1 − ω W , ω < W F (ω ) = ⎨ 0, ω > W ⎪ ⎩
䋓䇱ᷛ
³
f
f
f ( x ) g * ( x ) dx
³
f
f
F ( P ) G * ( P ) dP
˄ ˅‫ڵ‬䟼ਦ〟࠶ᇊ⨶˖൘࠭ᮠ g x,y Ⲵ਴ њ䘎㔝⛩кᴹ
F -1 F ^g x,y ` FF
-1
^g x,y ` g x,y
FF ^g x,y ` F -1 F -1 ^g x,y ` g x, y
相对偶的连续傅里叶变换对 连续时间函数 f (t ) 傅里叶变换 F (ω ) 1 t
tk
重 要
√ √
δ (t )
d δ (t ) dt
1 jω
2πδ (ω )
j 2π d δ (ω ) dω
√
dk δ (t ) dt k
( jω ) k
1 + πδ (ω ) jω
jπ d 1 δ (ω ) − 2 dω ω
jπ [δ (ω + ω 0 ) − δ (ω − ω 0 )]
e jω t δ (t + t0 ) + δ (t − t0 )
⎧− j , ω > 0 F (ω ) = ⎨ ⎩ j, ω < 0 2πδ (ω − ω 0 )
2 cos ωt 0
j 2 sin ωt0
√
δ (t + t 0 ) − δ (t − t0 )
√
√
τSa 2 (
ωτ
2
)
W Wt Sa 2 ( ) 2π 2
√
e − at u (t ), Re{a} > 0
e
−a t
1 a + jω
2a ω + a2
2
1
τ − jt
τ
t +τ 2
2
2πe −τω u (ω ),τ > 0
, Re{a} > 0
πe −τ ω ,τ > 0
√ √
e − at cos ω 0tu (t ), Re{a} > 0
证明请查阅有关参考书
comb 函数
4
三、矩形函数的傅里叶变换
根据定义
F [rect( x )] = ?
x 1, rect = a 0 , 1/2
-1/2
F [rect( x )] =
1/ 2
∞
−∞
∫ rect( x ) • exp(− j 2πux )dx
=
1 = exp(− j 2πux ) − j 2πu sin(πu) = 结论： πu
GG ( P )
sin(Sx) comb( x)
comb( P )
rect( x) tri( x)
cir (r )
sinc( P )
sinc 2 (P ) J1 ( U )
1
一、δ 函数的傅里叶变换： 设： [δ ( x )] = ∆ ( u ) ，
由卷积定理知： 等号两边作 傅里叶变换：
[g ( x )] = G ( u)
˄˅ᑅ㢢Հ˄3DUVHYDO˅ᇊ⨶˖ F ^g x ` G f x ྲ᷌ ࡉᴹ˖ f f 2 2 g x dx G f ³f ³f x dx
䈕ᇊ⨶㺘᰾ؑਧ൘オฏ઼ᰦฏⲴ㜭䟿ᆸᚂDŽ
ࣿሯ֛ນၓު஛
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ [ g ( x)] G ( P )
[ f ( x) g ( x)] F (P ) G(P )
总结
表 6.3
f (t ) = 1 2π
+∞ −∞
常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系
dω F (ω ) =
+∞ −∞
∫ F (ω )e
jωt
∫ f (t )e
− jωt
dt
重 要
连续傅里叶变换对 连续时间函数 f (t ) 傅里叶变换 F (ω )
਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ⴨〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
H fx
˄˅⴨լᙗᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` ˄㕙઼᭮৽╄ᇊ⨶˅ 1 § fx · F ^g ax ` G¨ ¸ ࡉᴹ a © a ¹ ˄অ㕍㹽ሴˈ㕍ゴ㹽ሴਈᇭ˅
G f x
˄˅ս〫ᇊ⨶˖ྲ᷌ F ^g x ` G f x ࡉᴹ F ^g x a ` G f x exp j 2Sf x a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴᒣ〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴ⴨〫
㵍㬒⫇䊻㰖⳦巛㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ
㠞䄧巛㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠 [ 巛 P 㡑䔘䇤᱄ 㪉
[ f ( x)] F (P ) 䋓
x0 ½ ­ a ® f [ ( x r )]¾ a ¿ ¯ b
ax r x0 [f( )] b
x0 b b exp(r j 2S P ) F ( P ) a a a
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换 仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
0
]
k = −∞
∑F e
k
+∞
jkω 0t
2π
k = −∞
∑ F δ (ω − kω
)
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
f (t ) =
1 2π
+∞ −∞
∫ F (ω )e
jωt
dω
F (ω ) =
+∞
−∞
∫ f (t )e
+∞
− jωt
dt
f (0) =
1 2π
∫
+∞
−∞
F (ω )dω
F (0) = ∫−∞ f (t )dt
ሩ࠭ᮠ⴨㔗䘋㹼↓ਈᦒ઼䘶ਈᦒˈ䟽ᯠᗇ ࡠ৏࠭ᮠ˗㘼ሩ࠭ᮠ⴨㔗䘋㹼є⅑↓ਈᦒ ᡆ䘶ਈᦒˈᗇࡠ৏࠭ᮠⲴĀ‫ۿ・ق‬āDŽ
૟৕ު஛
$᷏㉎〞Ⰹ㏎ 㪉
[ f ( x)] F (P ), [ g ( x)] G( P ) ᷍
䋓䇱ᷛ [ f ( x) g ( x)] F (P )G(P ) %᷏㉎〞Ⰹ㏎
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维 留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
推导一维情况
Gaus(x) = exp[- πx2] F [Gaus(x) ]= F { exp[- πx2]}
∞ 2 x π exp[] • exp[− j 2πux ]dx ∫
=

−∞
= exp[- πu2] = Gaus(u)
结论：
Gaus（x）
F.T.
Gaus（u）
7
五、余弦函数的傅里叶变换
结论:余弦函数的傅里叶变换是 δ 函数组合
-u0
Baidu Nhomakorabea
0
u0
8
u
六、三角形函数的傅里叶变换
推导 一 维 情 况
F [Λ ( x )] = ?
已知
Λ ( x ) = rect( x ) ∗ rect( x )

= F [rect( x )] •F [rect( x )]
F [ Λ ( x )] = F [rect( x ) ∗ rect( x )] = sinc( u) • sinc( u)
F.T.
g( x ) ∗ δ ( x ) = g( x )
F.T. F.T.
G( u) • ∆ ( u) = G( u)
即：
∆ ( u) = 1
F [δ ( x )] = 1
（1-55）
F [1] = δ ( x )（1-56）
物理意义
一个
光脉冲
的傅氏变换
是一束 空间频率为 0 的 单位振幅平面波 反之亦然
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )dx
a x ≤ 2 其它

rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a
sin(πau) = a πau
= a sinc( au)
证明：根据相似性定理
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四、高斯函数的傅里叶变换
F [cos（2πu0x） ]
∞
其中 u0 = 1 / Τ
Τ 为周期
=
−∞
∫ [cos2πu
0
x ] • exp[− j 2πux ]dx
1 = ∫ [exp( j 2πu0 x ) + exp(- j 2πu0 x ) ] 2 F (u) −∞ 1/2 • exp[− j 2πux ]dx
∞
1 = [δ ( u − u0 ) + δ ( u + u0 )] 2