数字图像变换

2 M 1
M 1
M 1
F (u) f ( x)W2uMx f (2x)W2uM(2x) f (2x 1)W2uM(2x1)
x0
x0
x0
偶离散点
奇离散点
10.2.2 快速离散傅立叶变换
2 M 1
M 1
M 1
F (u) f ( x)W2uMx f (2x)W2uM(2x) f (2x 1)W2uM(2x1)
Fo(1 )
F(5 ) － W81
F
(6)
Fe
(2)
W82
Fo
(2)
F (7) Fe (3) W83Fo (3)
F (1) Fe (1) W81Fo (1) F (5) Fe (1) W81Fo (1)
10.2.2 快速离散傅立叶变换
F F
(0) (1)
Fe (0) W80Fo (0) Fe (1) W81Fo (1)
10.2.2 快速离散傅立叶变换
于将是一个N点F的(u离) 散 傅Fe立(u叶) 变W换2uM分F解o (成u)两个N／2短序列的离
散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变
换Fe(u)和Fo(u) 。
F F
(0) (1)
Fe (0) W80Fo (0) Fe (1) W81Fo (1)
f=w/2 A
波形的频域表示
幅频特性
相频特性
1
2
0.75
3/2
0.5
0.25
/2
f 1/2 1/ 3/2 2/
1/2 1/ 3/2 2/ f
10.1 频域世界与频域变换
幅频特性 A
相频特性
1
2
0.75
3/2
0.5
0.25
/2
f 1/2 1/ 3/2 2/
1/2 1/ 3/2 2/ f
Ai ( fi ) fi 212fi 2
Foe(0) Foe(1)
Foo(0)
W 0 Fe(0) 8
W 2 Fe(1) 8
－W 0 8
Fe(2)
－ W 2 Fe(3)
8 W0
Fo(0)
8
W 2 Fo(1) 8
－W 0 Fo(2) 8
Foo(1)
F (3) －W 2 o
8
8点DFT的蝶形流程图
f (0 )
W80
Fee(0 )
W80
Fe(0 )
Fe (3) Fee(1) W82Feo(1)
Fo Fo Fo
(0) (1) (2)
Foe (0) W80Foo (0) Foe (1) W82Foo (1) Foe (0) W80Foo (0)
Fo
(3)
Foe
(1)
W82
Foo
(1)
Fee(0)
Fee(1) Feo(0) Feo(1)
F F
(0) (1)
Fe (0) W80Fo (0) Fe (1) W81Fo (1)
F (0 4) Fe (0) W2uM Fo (0) F (1 4) Fe (1) W2uM Fo (1)
F(2) Fe (2) W82Fo (2)
F (2 4) Fe (2) W2uM Fo (2)
f (5 )
－W80
Foe(1 )
W82
Fo(1 )
F(5 ) － W81
f (3 )
W80
Foo(0 )
－W80
Fo(2 )
F(6 ) － W82
f (7 )
－W80
Foo(1 )
－W82
Fo(3 )
F(7 ) －W83
10.2.2 快速离散傅立叶变换
例： 0 1 0 2 0304
0506
0708
x0 y0
f (x, y)
1
M 1 N 1
F (u, v, y)e j2 (ux / M vy/ N )
MN u0 v0
10.2.1离散傅立叶变换
二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为
| F (u, v) | R2 (u, v) I 2 (u, v)
(u, v) arctan I (u, v)
R(u, v) E(u,v) R2(u,v) I 2(u,v)
式中，R(u, v)和I(u, v)分别是F(u, v)的实部和虚部。
10.2.2 快速离散傅立叶变换
离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。研究离散傅 立叶变换的快速算法（Fast Fourier Transform， FFT）是 非常有必要的。
介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT），它 是1965年Cooley和Tukey首先提出的。
10.2.2 快速离散傅立叶变换
二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维 离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶 变换的快速算法即可。改写公式：
N 1 WN
F (u) f (x)WN ux x0
A=0.5, = , f=1/
y3=0.25sin(4x+ 3/2) A=0.25,= 3/2 , f=2/
y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3/2) x[0,4]
10.1频域世界与频域变换
y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3/2) x[0,4]
10.2傅里叶变换:
三：离散函数的傅里叶变换
假定以间隔Δx对一个连续函 数f(x)均匀采样，离散化为一 个序列 {f(x0), f(x0+Δx),…, f[x0+(N－1)Δx]}（如图3.3所 示），则将序列表示
f(x)=f(x0+Δx) 式中x假定为离散值0，1， 2，…，N 1。换句话说， 序列 {f(0),f(1),f(2),…,f(N－1)} 表示取自该连续函数N个等 间隔的抽样值。
F F
(0) (1)
Fe (0) W80Fo (0) Fe (1) W81Fo (1)
Fe(1 )
蝶形运算单元
F(1 )
F (2) Fe (2) W82Fo (2)
W81
F F
(3) (4)
Fe (3) Fe (0)
W83Fo (3) W80Fo (0)
F (5) Fe (1) W81Fo (1)
i
(
fi
)
2
log
2
4f
i
y(x) Ai sin(2fi x i )
i0
10.2傅里叶变换:
一：周期函数的傅里叶变换：
f1(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
直流 分量
基波分量 n =1
谐波分量 n>1
1
2
T1
n1
7
10.2傅里叶变换:
1：周期函数的频谱分析
x0
x0
x0
W 2ux 2M
(e j 2 / 2M )2ux
(e j2 / M )ux
WMux
M 1
M 1
F (u) f (2x)WMux f (2x 1)WMuxW2uM
x0
x0
M 1
定义
Fe (u) f (2x)WMux
x0
u, x 0,1, , M 1
even 偶
M 1
Fo (u) f (2x 1)WMux u, x 0,1, , M 1 odd奇 x0
n1
由欧拉公式
其中
f (t )
F (n 1 )e jn1t
n
F (0)
a0
F引(n入了1)负频12率(an
jbn )
F (n1)
1 2
(an
jbn )
9
10.2傅里叶变换:
二：非周期函数傅立叶变换分析式：
F (w)
f (t )e jwt dt
f
(t)
1
2
F ( ).e jt d
第十章数字图像变换
数字图像处理的方法分为两类：空间域处理法和频域法。
空间域：计算复杂、费时，甚至难以实现。 频域：运算速度高、可用滤波技术简化运算。
图像变换可以将图像从空间域转换到频率域，然后 在频率域对图像进行各种处理，再将所得到的结果进行 反变换，即从频率域变换到空间域，从而达到图像处理 的目的。
f(0)
W 0 Fe (0)
4
f(2)
－ W 0 Fe (1)
4
f(1)
W 0 F o(0)
4
f(3)
－ W 0 Fo(1)
4
F (0) W0
4 F (1)
W1 4
－W40 F (2)
F (3) － W1
4
10.2.2 快速离散傅立叶变换
0102 0304 0506 0708
3 i -3 -i 0 3 04 0 5 06 0 7 08
F(3) Fe (3) W83Fo (3)
F (3 4) Fe (3) W2uM Fo (3)
F
(4)
Fe
(4)
W84 Fo
(4)
F (u
M
)
Fe
(u
M
)
W2uMM
Fo
(u
M
)
F(5) Fe (5) W85Fo (5)
M
M
f (2x)WM(uM ) x W2uMW2MM
f (2x)WM(uM ) x
式中，WN=e-j2π／N ，称为旋转因子。
WN = e-j2π／N =cos(2π／N )-j sin(2π／N ) (以N为周期)
式中很多 W系ux 数相同，不必进行多次重复计算。
10.2.2 快速离散傅立叶变换
FFT的推导过程：
设N为2的正整数次幂， 即
N 2n n 1,2,
令M=N/2,离散傅立叶变换可改写成如下形式：
Fe(0) Fe(1)
F (2) Fe (2) W82Fo (2)
Fe(2)
F F
(3) (4)
Fe (3) W83Fo (3) Fe (0) W80Fo (0)
Fe(3) Fo(0)
F (5) Fe (1) W81Fo (1)
Fo(1)
F
(6)
Fe
(2)
W82
Fo
(2)
Fo(2)
F (7) Fe (3) W83Fo (3)
Fo(3)
F(0) W80
F(1) W81
F(2) W82
F(3) W83
F(4) －W80
F(5) －W81
F(6) －W82
F(7) －W83
10.2.2 快速离散傅立叶变换
Fe(u)和Fo(u)都是4点的DFT，对它们再按照奇偶进行分组
Fe Fe Fe
(0) (1) (2)
Fee(0) W80Feo(0) Fee(1) W82Feo(1) Fee(0) W80Feo(0)
F
(6)
Fe
(6)
W86
Fo
(6)
x0
x0
M
M
f (2x)WMuxWMMx W2uM f (2x 1)WMuxWMMx
F(7) Fe (7) W87Fo (7)
x0 M
x0 M
f (2x)WMux W2uM f (2x 1)WMux
x0
x0
Fe (u) W2uM Fo (u)
10.2.2 快速离散傅立叶变换
0
0
3
0
－1 0
1
3
-i i
-3 －1
2
－1 -1
-i i
10.2.2 快速离散傅立叶变换
3 i -3 -i 0 3 04 0 5 06 0 7 08
3 i -3 -i 7 i -7 -i 0 5 06 0 7 08
第十章 图像变换
10.1 频域世界与频域变换 10.2 傅立叶变换 10.3 离散余弦变换 10.4 离散沃尔什哈达玛变换 10.5 小波变换简介
10.1 频域世界与频域变换
任意波形可分解为正弦波的加权和
y1 = Sin(x + /2)
A=1, = /2, f=1/ 2
y2=0.5sin(2x+ )
直流 系数
a0
1 T1
t0 T1 f (t ).dt
t0
余弦分量
系数
an
2 T1
t0 T1 t0
f (t).cos n1t.dt
正弦分量
系数
bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t).sin n1t.dt
8
10.2傅里叶变换:
2：周期函数的复指数级数
由前知
f1(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
F(0 ) W80
f (4 )
－W80
Fee(1 )
W82
Fe(1 )
F(1 ) W81
f (2 )
W80
Feo(0 )
－W80
Fe(2 )
F(2 ) W82
f (6 )
－W80
Feo(1 )
－W82
Fe(3 )
F(3 ) W83
f (1 )
W80
Foe(0 )
W80
Fo(0 )
F(4 ) － W80
10.2.1离散傅立叶变换
被抽样函数的离散傅里叶变换定义为
反变换为
N 1
F (u) f (x)e j2ux/ N
x0
f (x)
1
N 1
F (u)e j2ux / N
N u0
在二维的情况下，离散的傅里叶变换对表示为
M 1 N 1
F(u, v)
f (x, y)e j2 (ux/ M vy/ N )
第十章图像变换Байду номын сангаас
图像处理中应用正交变换，进行如图像增强、
复原、编码、描述和特征提取。 正交变换 ：
正弦型变换：傅里叶变换、余弦变换和正弦变换。 方波型变换：哈达玛（Hadamarn）变换、沃尔什 （ Walsh）变换、斜变换、小波变换。 基于特征向量的变换：主要包括Hotelling变换、K－L变 换和SVD变换。
F (2) Fe (2) W82Fo (2)
设N=23
F F
(3) (4)
Fe Fe
(3) (4)
W83Fo (3) W84Fo (4)
F (5) Fe (5) W85Fo (5)
F
(6)
Fe
(6)
W86 Fo
(6)
F (7) Fe (7) W87Fo (7)
10.2.2 快速离散傅立叶变换