数学奥林匹克题解E组合数学 E1存在性问题071-080

E1-071 n（＞3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明，总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同．

【题说】 1987年全国联赛二试题3．

【证】用英文字母表示选手，用M A表示A的对手集，并假定A是赛过场次最多（若有并列的可任选一名）的选手．若命题不成立，则存在B、C，使得去掉A后B、C的对手集相同．由于M B≠M C，

所以A恰与B、C中一个赛过，不妨设B∈M A、C M A．

同样存在D、E，D∈M C、E M C，去掉C后，D、E的对手集相同．因

为A M C，所以D不是A；又D∈M C，所以D∈M B，即B∈M D=M E∪{C}，

从而B∈M E．C M E，而去掉A后，B、C的对手集相同，因此E=A．

于是M A=M E=M D\{C}，即M A比M D少一个元素C，与A为赛过场次最多的假设矛盾．命题得证．

E1-072一个俱乐部中有3n+1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．

【题说】 1987年匈牙利数学奥林匹克题3．

【证】将人看作平面上的点，得到一个有3n+1个点的图（假定任意三点都不在一直线上），当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．

自一点引出的3n条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n条红线，

角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．

E1-073 在一块平地上有n个人，对每个人，他到其他人的距离均不相同，每人都有一把水枪，当发出火警信号时，每人用枪击中距他最近的人，当n为奇数时，证明至少有一个人身上是干的．当n为偶数时，此结论是否正确？

【题说】第十九届（1987年）加拿大数学奥林匹克题4．

【证】设n=2m-1，对m进行归纳，

m=1，结论显然正确．

假设n=2k-1时结论正确，对于2k+1个人，其中距离最近的两人设为A、B．剩下的2k-1人中，依归纳假设，有一个人C身上是干的．因AC＞AB，BC＞AB．故把A、B考虑进去时，C身上仍是干的．

若n是偶数，则结论不成立．例如n=2m个人站成两排，同排两两相距均大于1米，前后两人相距1米．那么当火警信号发出后，前后两人互射，谁也免不了挨水枪．

E1-075在第一行中写有19个不超过88的自然数，第二行写有88个不超过19的自然数，我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明：可以从上述两行数中各选出一段来，使得这两段数的和相等．

【题说】第二十二届（1988年）全苏数学奥林匹克八年级题4．

【证】设a1，a2，…，a19为第一行数；b1，b2，…，b88是第二行数．

记 A（i）=a1+…+a i B（i）=b1+…+b i

假定 A（19）≥B（88）

（对于A（19）＜B（88）的情形可类似处理）对于每个i，记n i=min{n；A（n）≥B（i），1≤n≤19}

根据假设，这样的n i是存在的．我们来考察88个差数A（n i）-B（i）．显然它们的值为整数，且都在0至87之间，这是因为

如果这88个差数互不相同，则它们之中必有一个为0，于是我们的命题获证．

否则，这88个差数中至少有某两个相等，不妨设

i1=l，i2=k，l＜k

使得

A（n l）-B（l）=A（n k）-B（k）

于是就有

A（n l）-A（n k）=B（l）-B（k）

显然，题意中的19、88可以换成任意自然数．

E1-076 将8×8方格纸板的一角剪去一个2×2正方形，问余

下的60个方格能否剪成15块形如的小纸片？

【题说】第四届（1989年）东北三省数学邀请赛二试题3．

【解】如图a，在余下的60个方格中填上1与-1，从左到右每列正负相间．显然任一块剪下的纸片中，四个数的和为2或-2．

若能剪成15块，设其中和为2的有x块，和为一2的有y块，则

这方程组的唯一解x=y=15／2不是整数，这就表明不可能剪成15块所述形状的纸片．

【别解】若将小方格如图b填上1和-1，则任一块剪下的纸片中数字之和为1或-1．于是15块数字总和不为0，但整个图b 数字之和为0．矛盾．

E1-077 有五只猴子和五个梯子．每个梯子的顶端各放一根香蕉．梯子之间有若干绳子相连．每条绳子连接两个梯子，任一梯子的同一级上没有两条绳子，开始时五只猴子位于不同梯子底端．它们沿梯子向上爬，遇到绳子就沿它爬到另一端，然后继续上爬．求证：无论有多少绳子，最后每只猴子都各拿到一根香蕉．

【题说】第二十一届（1989年）加拿大数学奥林匹克题4．

【证】甲数学归纳法．当绳子根数为0时，结论显然成立．设有n根绳子，其中一根绳子连结第一个梯子的A与第二个梯子的B，而A以下不再有绳子．我们将第一个梯子从A、第二个梯子从B锯下来，并将第一个梯子下段接于第二梯子上段，作为第一个梯子；第二个梯子下段接于第一个梯子上段，作为第二个梯子．这样便归结于（n-1）根绳子的情况．

E1-078某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次．求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同．

【题说】第十八届（1989年）美国数学奥林匹克题2．

【证】作一个图G：20个顶点A1，…A20，表示20个选手，14条边表示14场比赛，顶点A i的次数（由它出发的边数）为d i （i=1，2，…，20）．则