立体几何中球的综合问题

立体几何中球的综合问题

一、选择题

1．(优质试题年高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的

正方形，则该圆柱的表面积为（ ）

A ．

B ．12π

C ．

D ．10π

【答案】B

【解析】∵过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为

，所以该圆

柱的表面积为2212ππ⨯⨯+⨯=．故选B ． 2．三棱柱111ABC A B C -的各个顶点都在球O 的球面上，且

11,AB AC BC CC ===⊥平面ABC 。若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ）

A ．16

B ．1

3

C ．12

D ．1 【答案】C 【解析】11,2,,AB AC BC AB AC CC ===∴⊥⊥

平面ABC ,三棱柱111A B C A B C -内接球O ,O ∴为距形11BCC B 的中心, 设球O 半径为r ,

则243,2r r ππ=∴=

,即2OC r ==,∴三棱柱的高

1h ==,∴三棱柱的体积1111122ABC V S h ∆==⨯⨯⨯=,故选

C 。

3．球O 的球面上有四点,,,S A B C ，其中,,,O A B C 四点共面，ABC ∆是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S ABC -的体积的最大值为（ ）

A ．

C ．．4

【答案】A

【解析】设球心和ABC ∆的外心为O ，延长CO 交AB 于点P ，则由球的对称性可知AB PD ⊥，继而由面SAB ⊥面ABC 可得⊥PD ABC ∆所在的平面，所以PD 是三棱锥的高；再由,,,O A B C 四点共面可知O 是ABC ∆的中心，故3

32,33==R OP ，当三棱锥的体积最大时，其高为1)33()332(22=-=PD ，故三棱锥的体积的最大值为331243312=⨯⨯⨯，应选A 。

4．如图所示，直四棱柱1111D C B A ABCD -内接于半径为3的半球O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长为

（ ）

A ．1

B ．2

C ．

3 D ．2

【答案】D

【解析】设x AB =,则21213,22x BB x OB -==

,所以直四棱柱的体积为22213x x V -=,令

t x =-2213,则2226t x -=,则t t t t V 62)26(32+-=-=,故)1)(1(6662/+--=+-=t t t V ,所以当1=t 时,即

2=x 时,体积V 最大.故应选D.

5．在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长

AB =S ABC -的外接球的表面积为（ ）

A ．6π

B ．12π

C ．32π

D ．36π

【答案】B

【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．

取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，

∵SB ⊂平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ⇒SB ⊥SA 且SB ⊥AC ，

∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，

∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直． ∵底面边长

AB =∴侧棱SA=2，

∴正三棱锥S-ABC 的外接球的直径为：

2R R =∴=， ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是2412S R ππ==，故选：B ．

二、填空题

6．（优质试题年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】9π2

【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ， 外接球直径为

34427923,πππ3382

R V R ====⨯=.

7．底面是同一个边长为a 的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为R 。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为βα、，则()βα+tan 的值是 。 【答案】a

R 334-. 【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图.

如图可知，底面ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，SD BC ⊥，MD BC ⊥，故SDA ∠和MDA ∠即为二面角αβ和； 设SM 交平面ABC 于点P ，易知P 点在AD 上，且为ABC 的重心. 2SM R =,AB a =

，2

AD a =

，2=323PA a a =⨯

，1=326PD a a =⨯， (

)222222tan tan 6tan 1tan tan 31123

SP MP R PD SD PD SM PD PD SP MP a a PD SP MP PD PA a PD PD αβαβαβ++⋅⋅+======--⋅-⋅--⋅-.

8．已知三棱锥ABC P -的所有棱长都相等，现沿PC PB PA ,,三条侧