离散--组合数学递推关系与生成函数剖析

第i个人的左边, 有(n-1)*s(n-1,k)种方法
第四部分
组合数学
13/81
第二类Stirling数
n元集定义k个等价类的方法数; n个人分成k组的方法 数; n个不同的球恰好放入k个相同的盒子的方法数
根据第n个人是否单独构成一个组, 分两类处理: 第一类: 前n-1个人构成k-1个非空组, 有S(n-1,k-1)种方法; 第二类: 前n-1个人构成k个非空组, 第n个人加入任意一 个组中, 有k*S(n-1,k)种方法
对应的组合问题 将n恰好无序拆分成m部分 将n无序拆分成t个部分(t≤m) x1+x2+…+xm=n正整数解 x1+x2+…+xm=n非负整数解 第二类Stirling数 第二类Stirling数性质 第二类Stirling数性质 乘法法则
第四部分
组合数学
17/81
第四部分
组合数学
14/81
例 映上函数(满射)的个数
设A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn}. 令 Pi 表示 bi 不在函数值域 中的性质 (1≤i≤n), N(Pi)表示满足性质Pi的函数的数量, N(Pi’) 表示不满足性质Pi的函数的数量. 注意到一个函数是满射当且仅当没有性质Pi (1≤i≤n). 则
离散数学
第四部分 组合数学
递推关系
序列与递归定义
第四部分
组合数学
2/81
k阶常系数线性齐次递推关系
第四部分
组合数学
3/81
k阶常系数线性非齐次递推关系
第四部分
组合数学
4/81
生成函数
序列
的生成函数
第四部分
组合数学
5/81
不定方程解的个数: 基本模型
第四部分
组合数学
6/81
不定方程解的个数: 扩展模型
12/81
第一类Stirling数
n元集分作k个环排列的方法数; n个人分成k组, 每组内 再按特定顺序围圈的分组方法数
根据第n个人是否单独构成环排列, 分两类处理:
第一类: n单独可以构成一个环排列; 前n-1个人构成k-1个 非空环排列, 有s(n-1,k-1)种方法
第二类: 前n-1个人构成k个非空环排列, 而第n个人插入
第四部分
组合数学
7/81
多重集的r组合
第四部分
组合数学
8/81
指数生成函数
序列
的指数生成函数
பைடு நூலகம்
第四部分
组合数学
9/81
多重集的r排列
第四部分
组合数学
10/81
正整数拆分: 无序
将给定的正整数N表示成若干个无序的正整数之和 不允许重复 允许重复
定理 N允许重复无序拆分成至多 r 个数的方案数 = N允许重复无序拆分成不大于正整数 r 的方案数
映上函数计数与第二类Stirling数
从m元集A到n元集B的映上函数可以如下产生: 把A中的m个元素恰好分配到n个相同的盒子中;
每个盒子中的元素都对应相同的函数值, 将B中 元素分配给n个盒子
放球问题小结
球标 盒标 允空 放球方法数 否否 否 否否 是 否是 否 否是 是 是否 否 是否 是 是是 否 是是 是
第四部分
组合数学
11/81
正整数拆分: 有序
将给定的正整数N表示成若干个有序的正整数之和
定理 将N允许重复地有序拆分成 r 个部分的方案数为 C(N－1,r－1)
推论 将对N做任意重复的有序拆分的方案数为2N-1
不允许重复有序拆分: 先进行不允许重复无序拆分; 将拆分后各部分做全排列
第四部分
组合数学