2020年四川省南充市高考数学第三次适应性试卷(理科)

2020年四川省南充市高考数学第三次适应性试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x+2)(x+3)≥0}，B={x|x<0}，则A∩B=()A. [−3,−2]B. (−∞,−3]∪[−2,+∞)C. (−∞,−3]D. (−∞,−3]∪[−2,0)2.若z=1−2i，则z⋅z−+1=()A. −6B. 6C. −6iD. 6i3.设a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−3,4)，c⃗=(3,2)则(a⃗+2b⃗ )⋅c⃗=()A. (−15,12)B. 0C. −3D. −114.(x√y −y√x)6的展开式中，x3的系数等于()A. −15B. 15C. 20D. −205.今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，则每个城市至少有一名医生的概率为()A. 34B. 23C. 12D. 146.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π2)，且此函数的图象如图所示，则点(ω,φ)的坐标是()A. (4,π2) B. (4,π4) C. (2,π2) D. (2,π4)7.已知函数f(x)=x−e x ln|x|，则该函数的图象大致为()A.B.C.D.8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积等于8，a =5，tanB =−43，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 5√65B. 5√652C. 5√654D. 5√6589. 在直角梯形ABCD 中，∠ADC =∠DAB =∠ACB =90°，△ADC 与△ABC 均为等腰直角三角形，且AD =1，若将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D −ABC ，则当三棱锥D −ABC 的体积取得最大时其外接球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π10. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)=2−f(−x)，且函数f(x +1)是偶函数，当x ∈[−1,0]时，f(x)=1−x 2，则f(20203)=( )A. 109B. 119C. 139D. 16911. 抛物线C 1：x 2=2py(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23−y 2=1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p =( )A. √316B. √38C. 2√33D. 4√3312. 已知函数f(x)={2x −1,(x ≤0)f(x −2)+1,(x >0)，把函数g(x)=f(x)−12x 的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和S n ，则S 10=( )A. 45B. 55C. 90D. 110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“∀x >0,x 2+x >1”的否定是______．14. 若sin(45°+α)=√55，则sin2α=______．15. 已知直线ax +y −1=0与圆C ：(x −1)2+(y +a)2=1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为______．16. 已知函数f(x)=ae x −x +2a 2−3的值域为M ，集合I =(0,+∞)，若I ⊆M ，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1=1，且2a 2，a 4，3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：°C)的数据，如下表：(1)求出y 与x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6°C ，请用所求回归方程预测该店当日的营业额．附：回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(ni=1x i y i )−nxy −∑x i 2n i=1−n(x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．19.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=π，四边形ABEF为直角梯形，BE//AF，3∠BAF=π，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．2(1)求证：AC⊥平面ABEF．(2)求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．20.已知两点A(−2,0)、B(2,0)，动点P与A、B两点连线的斜率k PA，k PB满足k PA⋅k PB=−1．4 (Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程；(Ⅱ)若H是曲线E与y轴正半轴的交点，则曲线E上是否存在两点M，N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M、N有几对；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=(x +a)lnx ，g(x)=x 2e x，曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y −3=0平行．(1)求证：方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p ，q 中的较小者)，求m(x)的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数,t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，曲线C 3：ρ=2√3cosθ． (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，A 、B 都异于原点O ，求|AB|的最大值．23. 已知函数f(x)=2|x +1|+|x −2|．(1)求f(x)的最小值；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a +b +c =m ，求证：b 2a+c 2b+a 2c≥3．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|(x+2)(x+3)≥0}={x|x≤−3或x≥−2}，B={x|x<0}，则A∩B=(−∞,−3]∪[−2,0)．故选：D．求出集合A，再由B={x|x<0}，能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z=1−2i，∴z⋅z−+1=|z|2+1=(√12+(−2)2)2+1=6．故选：B．由已知结合z⋅z−=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查平面向量的坐标运算．属基础题．先求出向量a⃗+2b⃗ ，然后再与向量c⃗进行点乘运算即可得到答案．【解答】解：∵a⃗+2b⃗ =(1,−2)+2(−3,4)=(−5,6)，(a⃗+2b⃗ )⋅c⃗=(−5,6)⋅(3,2)=−3，故选C4.【答案】B【解析】解：(√y√x)6的展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅(√y )6−r⋅√x)r=(−1)r⋅C6r⋅x6−3r2⋅y3r2−3，由6−3r2=3，得r=2；∴(√y√x )6的展开式中，x3的系数为(−1)2⋅C62=15．故选：B．写出二项展开式的通项公式，由x的指数等于3求出r的值，即可求出答案．本题考查了二项式系数的性质应用问题，解题的关键是灵活应用二项展开式的通项公式，是基础题．5.【答案】A【解析】解：我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，基本事件总数n=23=8，每个城市至少有一名医生包含的基本事件个数m=C32A22=6，则每个城市至少有一名医生的概率p=mn =68=34．故选：A．基本事件总数n=23=8，每个城市至少有一名医生包含的基本事件个数m=C32A22=6，由此能求出每个城市至少有一名医生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由图可知，T2=7π8−3π8=π2，∴T=π．由周期公式可得2πω=π，则ω=2．再由五点作图的第三点可得2×3π8+φ=π，解得φ=π4．∴点(ω,φ)的坐标是(2,π4)． 故选：D ．由函数的图象求出函数的半周期，从而求得ω值，再由五点作图的第三点求得φ的值，则答案可求． 本题考查了由y =Asin(ωx +φ)的部分图象求函数解析式，关键是由五点作图中的某一点求φ得值，是中档题．7.【答案】A【解析】解：由题意f(1)=1，f(3)=3−e 2ln3<0，故排除B ，D ， 又f(−3)=−3−e −2ln3<0，排除C ， 故选：A ．利用特殊点，代入计算，排除，即可得出结论． 本题考查函数的图象，考查排除法的运用，比较基础．8.【答案】D【解析】解：因为tanB =−43，B 为三角形的内角， 所以sinB =45，cosB =−35，又因为S △ABC =12acsinB =12×5c ×45=8， 所以c =4，由余弦定理可得，cosB =−35=25+16−b 22×5×4，解可得，b =√65， 由正弦定理可得，2R =bsinB =√6545=5√654故R =5√658． 故选：D ．由已知结合同角基本关系及三角形的面积公式可求c ，然后结合余弦定理及正弦定理即可求解 本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．9.【答案】A【解析】解：直角梯形ABCD中，∠ADC=∠DAB=∠ACB=90°，△ADC与△ABC均为等腰直角三角形，且AD=1，所以AB=2，BC=√2，AC=√2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D−ABC，如图所示：即当平面ABC⊥平面ADC时，三棱锥D−ABC的体积取得最大值，过E作OE⊥平面ACD交AB于O，由于平面ABC⊥平面ADC，所以EO⊥AC，即O为AB的中点，所以O为△ABC的中心，即为三棱锥D−ABC的外接球的球心．所以半径r=OA=OB=OC=OD=1，则S球=4π⋅12=4π．故选：A．首先利用折叠问题的应用求出三棱锥体的体积取得最大值时的面面垂直的条件，进一步求出外接球的半径，最后求的球的表面积．本题考查的知识要点：面面垂直的性质，球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：因为f(x)=2−f(−x)，且函数f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)+f(−x−1)=2且f(x−1_=f(−x−1),可得，f(−x+1)+f(−x−1)=2，即f(x+1)+f(x−1)=2，所以f(x+2)+f(x)=2，f(x+4)+f(x+2)=2，两式相减可得f(x+4)=f(x)，即函数的周期T=4，因为当x∈[−1,0]时，f(x)=1−x2，则f(20203)=f(168×4+43)=f(43)=f(1+13)=f(1−13)2−f(−23)=2−59=139故选：C ．由已知结合函数的奇偶性进行转化，然后结合已知区间上的函数解析式即可求解． 本题主要考查了综合利用函数的性质求解函数值，属于中档试题．11.【答案】D【解析】解：抛物线C 1：x 2=2py 的焦点坐标为F(0,p2). 双曲线C 2：x 23−y 2=1的左焦点为(−2,0)．则抛物线的焦点与双曲线的左焦点的连线所在直线方程为y−0p 2−0=x+20+2， 即p2x −2y +p =0①.设该直线交抛物线于M(x 0,x 022p)，则C 1在点M 处的切线的斜率为x 0p ． 由题意可知x 0p=−ba =−√33，得x 0=−√33p ，代入M 点得M(−√33p,p 6)把M 点代入①得：−√36p 2−p 3+p =0． 解得p =4√33． 故选：D ．由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出曲线在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p 的关系，把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值．本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12.【答案】C【解析】解：当0<x ≤2时，有−2<x −2≤0，则f(x)=f(x −2)+1=2x−2， 当2<x ≤4时，有0<x −2≤2，则f(x)=f(x −2)+1=2x−4+1， 当4<x ≤6时，有2<x −2≤4，则f(x)=f(x −2)+1=2x−6+2， 当6<x ≤8时，有4<x −1≤6，则f(x)=f(x −2)+1=2x−8+3，以此类推，当2n <x ≤2n +2(其中n ∈N)时，则f(x)=f(x −2)+1=2x−2n−2+n ，∴函数f(x)=2x的图象与直线y=12x+1的交点为：(0,1)和(−1,12)，由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f(x)=2x和y=12x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f(x)=2x−1和y=12x的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点(0,0)，(−1,−12).即当x≤0时，方程f(x)−12x=0有两个根x=−1，x=0；当0<x≤2时，由函数图象平移可得g(x)=f(x)−12x的零点为1，2；以此类推，函数y=f(x)与y=12x在(2,4]，(4,6]，…，(2n,2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g(x)=f(x)−12x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2(n−1)，前10项的和为S10=10×0+10×9×22=90．故选：C．由分段函数解析式得到函数f(x)在x>0时的分段解析式，首先求得函数g(x)=f(x)−12x在(−2,0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g(x)=f(x)−12x在(0,2]，(2,4]，(4,6]，…，(2n,2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．本题考查了分段函数的应用，考查了函数零点的判断方法，考查了等差数列的和的求法，是中档题．13.【答案】∃x0>0,x02+x0≤1【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x>0,x2+x>1”的否定是：∃x0>0,x02+ x0≤1．故答案为：∃x0>0,x02+x0≤1．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14.【答案】−35【解析】解：∵sin(45°+α)=√22×(sinα+cosα)=√55，∴sinα+cosα=√105，∴两边平方可得1+sin2α=25，∴sin2α=−35．故答案为：−35．由已知利用两角和的正弦函数公式可求sinα+cosα=√105，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式即可计算求解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】−1或1【解析】解：∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C(1,−a)到直线ax+y−1=0的距离d=rsin45°，即2=√22，整理得：1+a2=2，即a2=1，解得：a=−1或1，故答案为：−1或1由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．16.【答案】(−∞,1]【解析】解：由题意可得f(x)的最小值小于等于0，f′(x)=ae x−1，若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，当x→−∞时，f(x)→+∞，当x→+∞时，f(x)→−∞，故f(x)的值域R，满足题意，若a>0，则易得函数在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增，所以当x=−lna时，函数取得极小值f(−lna)=lna−2+a2，令g(a)=lna −2+a 2，则g′(a)=4a +1a >0恒成立， 故g(a)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0， 要使得g(a)≤0，则a ≤1， 故0<a ≤1，综上可得，a 的范围(−∞,1] 故答案为：(−∞,1]由题意可得f(x)的最小值小于等于0，先对函数求导，然后结合a 的范围即可求解．本题主要考查了利用导数求函数的值域，对参数分类讨论是求解问题的关键，属于中档试题．17.【答案】解：(1)由2a 2，a 4，3a 3成等差数列，得2a 4=2a 2+3a 3，即2q 3=2q +3q 2， ∵q >1，解得q =2． ∴a n =2n−1；(2)b n =2na n =2n ⋅2n−1=n ⋅2n ． ∴T n =1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，2T n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1， −T n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1，∴T n =(n −1)⋅2n+1+2．【解析】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．(1)由等比数列的通项公式与等差数列的性质列式求得q ，则通项公式可求；(2)把数列{a n }的通项公式代入b n =2na n ，再由错位相减法求数列{b n }的前n 项和T n ．18.【答案】解：(1)由已知n =5，则x −=1n ∑x i n i=1=355=7，y −=1n ∑y i n i=1=455=9，∑(n i=1x i y i )=287，∑(n i=1x i y i )−nx −y −=287−5×7×9=−28，∑x i 2n i=1−n(x −)2=295−5×72=50， ∴b ̂=∑(ni=1x i y i )−nxy −∑x i 2n i=1−n(x −)2=−2850=−0.56，a ̂=y −−b ̂x −=9−(−0.56)×7=12.92；∴所求的回归方程是ŷ=−0.56x +12.92；…(8分) (2)由b̂=−0.56<0，知y 与x 之间是负相关； 将x =6代入回归方程，计算ŷ=−0.56×6+12.92=9.56， 可预测该店当日的销售量为9.56(千克).…(12分)【解析】(1)计算平均数和回归系数，即可写出回归方程；(2)由b ̂<0知y 与x 之间是负相关，利用回归方程计算x =6时y ^的值即可． 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．19.【答案】(1)证明：在三角形ABC 中，∵AB =1，BC =2，∠CBA =π3，∴AC 2=BA 2+BC 2−2BA ⋅BC ⋅cos∠CBA =3， ∴AC 2+BA 2=BC 2，即AB ⊥AC ． 又∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥平面ABEF ；(2)解：由平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，∠BAF =π2，AF ⊂平面ABEF ， 可得AF ⊥平面ABCD ， 又由(1)知AC ⊥平面ABEF ．以A 为坐标原点，分别以AB ，AF ，AC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(0,0，√3)，D(−1,0，√3)，E(1,2，0)，F(0,3，0)， DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−√3)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,−√3)， 设平面DEF 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −√3z =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +3y −√3z =0，取z =4，得n ⃗ =(√3,√3,4)； AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0)是平面ABCD 的一个法向量． 设平面ABCD 与平面DEF 所成锐二面角为θ，则cosθ=|cos <n ⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |⋅|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√33+3+16×3=√6622． 即平面ABCD 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为√6622．【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．(1)证明AB ⊥AC ，再由已知结合平面与平面垂直的性质可得AC ⊥平面ABEF ；(2)以A 为坐标原点，分别以AB ，AF ，AC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．分别求出平面DEF 与平面ABCD 的一个法向量，即可得解．20.【答案】解：(1)设动点P 的坐标为(x,y)，因为斜率k PA ，k PB 存在，故x ≠±2，则k PA =y x+2，k PB =yx−2，又动点P 与A 、B 两点连线的斜率k PA ，k PB 满足k PA ⋅k PB =−14， 所以y x+2×y x−2=−14，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 2=1，(x ≠±2)(2)设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为y =kx +1，(不妨设k >0)则HN 所在直线的方程为y =−1k x +1，联立{y =kx +1x 2+4y 2=4，消去y 得，(1+4k 2)x 2+8kx =0， 求得交点M(−8k 1+4k 2,−8k 21+4k 2+1)，(另一交点H(0,1))，∴|HM|=√(−8k 1+4k2)2+(−8k 21+4k2)2=8k√1+k 21+4k 2，同理，得|HN|=8√1+k 24+k 2，由|HM|=|HN|，得k(4+k 2)=1+4k 2， ∴k 3−4k 2+4k −1=0⇒(k −1)(k 2−3k +1)=0，解得：k =1或k =3±√52．当HM 斜率k =1时，HN 斜率−1； 当HM 斜率k =3−√52时，HN 斜率−3−√52；当HM 斜率k =3+√52时，HN 斜率−3+√52．综上所述，满足条件的点M 、N 有3对．【解析】(1)设点P 的坐标为(x,y)(x ≠±2)，求PA 、PB 的斜率，利用k PA ×k PB =−14化简可得动点P 的轨迹E 的方程；(2)设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为y =kx +1，(不妨设k >0)，则HN 所在直线的方程为y =−1k x +1，确定交点M 的坐标，求出HM 、HN 的长，利用|HM|=|HN|，即可求得结论．本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出HN 、HM 的长，利用|HM|=|HN|进行求解，属于较难题．21.【答案】解：(1)由题意知，曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)=2，又f′(x)=lnx +ax +1，所以a =1． 设ℎ(x)=f(x)−g(x)=(x +1)lnx −x 2e x，当x ∈(0,1]时，ℎ(x)<0，又ℎ(2)=3ln2−4e =ln8−4e >1−1=0， 所以存在x 0∈(1,2)，使ℎ(x 0)=0． 因为ℎ′(x)=lnx +1x +1+x(x−2)e x，当x ∈(1,2)时，0>x(x −2)=(x −1)2−1>−1， e x >e ，所以0<1e x <1e ，所以x(x−2)e x>−1e ，所以ℎ′(x)>1−1e >0，所以当x ∈(1,2)时，ℎ(x)单调递增，所以方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根．(2)由(1)知，方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根x 0，且x ∈(0,x 0)时，f(x)<g(x)， 又当x ∈(x 0,2)时，ℎ′(x)>0，当x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0， 所以当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0， 所以当x ∈(x 0,+∞)时，f(x)>g(x)， 所以m(x)={(x +1)lnx,0<x ≤x 0x 2e x,x >x 0，当x ∈(0,x 0)时，若x ∈(0,1]，则m(x)≤0；若x ∈(1,x 0]，由m′(x)=lnx +1x +1>0，可知0<m(x)≤m(x 0)， 故当x ∈(0,x 0]时，m(x)≤m(x 0). 当x ∈(x 0,+∞)时，由m′(x)=x(2−x)e x ，可得当x ∈(x 0,2)时，m′(x)>0，m(x)单调递增； x ∈(2,+∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减． 可知m(x)≤m(2)=4e 2，且m(x 0)<m(2)． 综上可得，函数m(x)的最大值为4e ．【解析】(1)根据题意，由导数的几何意义可得f′(1)=2，又f′(x)=lnx +ax +1，所以a =1，设ℎ(x)=f(x)−g(x)=(x +1)lnx −x 2e x ，由函数零点存在定理可得存在x 0∈(1,2)，使ℎ(x 0)=0，进而分析函数ℎ(x)的单调性，即可得答案；(2)根据题意，分析可得m(x)的表达式，分段求出m(x)的导数，分析其单调性，据此分析可得答案． 本题考查利用导数分析函数的单调性以及最值，关键是掌握导数的几何意义．22.【答案】解：(I)由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ．同理由C 3：ρ=2√3cosθ.可得直角坐标方程：x 2+y 2=2√3x ， 联立{x 2+y 2−2y =0x 2+y 2−2√3x =0，解得{x =0y =0或{x =√32y =32， ∴C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)，(√32,32).(2)曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数,t ≠0)，化为普通方程：y =xtanα，其中0≤α≤π，α≠π2； 当α=π2时，为x =0(y ≠0)，其极坐标方程为：θ=α(ρ∈R,ρ≠0)， ∵A ，B 都在C 1上，∴A(2sinα,α)，B(2√3cosα,α).∴|AB|=|2sinα−2√3cosα|=4|sin(α−π3)|，当α=5π6时，|AB|取得最大值4．【解析】(I)由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把{ρ2=x2+y2y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2√3cosθ.可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．(2)由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠π2；α=π2时，为x=0(y≠0).其极坐标方程为：θ=α(ρ∈R,ρ≠0)，利用|AB|=|2sinα−2√3cosα|即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2|x+1|+|x−2|，当x<−1时，f(x)=−2(x+1)−(x−2)=−3x∈(3,+∞)；当−1≤x<2时，f(x)=2(x+1)−(x−2)=x+4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)=2(x+1)+(x−2)=3x∈[6,+∞)；综上，f(x)的最小值为m=3；(2)a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m=3，又因为b2a +c2b+a2c+(a+b+c)=(b2a+a)+(c2b+b)+(a2c+c)≥2(√b2a ⋅a+√c2b⋅b+√a2c⋅c)=2(a+b+c)，当且仅当a=b=c=1时，取“=”，所以，b2a +c2b+a2c≥a+b+c，即b2a +c2b+a2c≥3．【解析】(1)讨论x的取值，脱去函数f(x)的绝对值，求出f(x)的最小值m；(2)根据a+b+c=m=3，利用基本不等式求出b2a +c2b+a2c+(a+b+c)的最小值，即可证明结论成立．本题考查了求含绝对值函数的最小值问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．。