06机械振动基础
机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
《机械振动基础》期末复习试题5套含答案.doc
中南大学考试试卷2005 - 2006学年上学期时间门o分钟《机械振动基础》课程32学时1.5学分考试形式：闭卷专业年级：机械03级总分100分，占总评成绩70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空题（本题15分，每空1分）1＞不同情况进行分类，振动（系统）大致可分成，（）和非线性振动；确定振动和（）；（）和强迫振动；周期振动和（）；（）和离散系统。
2、在离散系统屮，弹性元件储存（）,惯性元件储存（），（）元件耗散能量。
3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。
4、叠加原理是分析（）的振动性质的基础。
5、系统的固有频率是系统（）的频率，它只与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。
二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。
（10分）2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。
（10分）3、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（20分）4、多自由系统振动的振型指的是什么？（10分）三、计算题（本题30分）图1 2、图2所示为3自由度无阻尼振动系统。
（1）列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；（2）设k t[=k t2=k t3=k t4=k9 /, =/2/5 = /3 = 7,求系统固有频率（10 分）。
13 Kt3四、证明题（本题15分）对振动系统的任一位移{兀},证明Rayleigh商R（x）=⑷严⑷满足材 < 尺⑴ < 忒。
{x}\M\{x}这里，［K］和［M］分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，®和①，分别是系统的最低和最高固有频率。
（提示：用展开定理{x} = y{M} + y2{u2}+……+ y n{u n}）3 •简述无阻尼单自由度系统共振的能量集聚过程。
（10 分） 4.简述线性多自由度系统动力响应分析方法。
（10 分）中南大学考试试卷2006 - 2007学年 上 学期 时间120分钟机械振动 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级： 机械04级 总分100分，占总评成绩 70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空（15分，每空1分）1. 叠加原理在（A ）中成立；在一定的条件下，可以用线性关系近似（B ） o2. 在振动系统中，弹性元件储存（C ）,惯性元件储存（D ） , （E ）元件耗散 能量。
机械振动基础
机械振动基础1. 引言机械振动是工程中一个重要的概念，在各种机械设备中都会出现振动现象。
了解机械振动的基础知识对于设计、分析和维护机械系统都至关重要。
本文将介绍机械振动的基本概念、分类以及振动分析的方法。
2. 机械振动的概念机械振动是指机械系统中物体在某一参考点附近以往复运动的方式进行振荡。
振动可由外力引起，也可由机械系统本身的结构、弹性特性或制动装置等因素引起。
机械振动可分为自由振动和受迫振动两种形式。
自由振动是指机械系统在无外力作用下，自身的动力系统引起的振动。
受迫振动是指机械系统在外力作用下，强制性地以某种频率进行振动。
3. 机械振动的分类根据振动的特性和产生机制，机械振动可分为以下几类：3.1 自由振动自由振动是机械系统在无外力作用下，由于初位置、初速度或初形状等因素引起的振动。
在自由振动中，机械系统会按照一定的频率（固有频率）和振幅进行振动，直至最终停止。
3.2 受迫振动受迫振动是机械系统在外力作用下进行的振动。
外力的作用可能是周期性的，也可能是随机的。
受迫振动的频率与外力的频率相同或有一定的关系。
3.3 维持振动维持振动是指机械系统中某个部件受到外力作用后，振动会持续存在，没有衰减的现象。
维持振动往往是由于机械系统的频率与外力频率非常接近或相同。
3.4 阻尼振动阻尼振动是指机械系统在振动过程中，由于能量的损耗而逐渐减小振幅的过程。
阻尼可以分为线性阻尼和非线性阻尼两种形式。
4. 振动分析方法为了对机械系统中的振动进行分析和评估，需要采用相应的振动分析方法。
以下是几种常用的振动分析方法：4.1 振动传感器振动传感器是用来检测机械系统中的振动信号的装置。
常用的振动传感器包括加速度传感器、速度传感器和位移传感器等。
这些传感器能够测量机械系统中的振动信号，并将其转化为电信号供后续分析。
4.2 频域分析频域分析是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
通过对振动信号进行傅里叶变换等数学处理，可以将振动信号转化为频谱图并分析其中的频率成分和幅值。
机械振动基础
Td
T
1 2
① 阻尼对振动周期的影响
由
Td
T
1 2
Td T
所以，阻尼使自由振动的周期变长。
☆ 阻尼使周期变长的程度
当 = 0.05 时，Td = 1.00125 T，增大 0.125%; 当 = 0.3 时， Td = 1.048 T ，增大 4. 8 %
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
则此一半长度的弹簧的刚度系数是多少？
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
4 其它类型的单自由度振动系统
■ 扭振系统 扭杆（扭转刚度 kt ） 扭簧产生的力矩:
扭簧
M kt
运动微分方程:
JO kt
kt 0
JO
n2
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
■ 摆振系统
微分方程：J0 mgl k(0 b)b
n c , 2m
2 n
k m
将方程化为标准形式:（阻尼系数n）
x 2nx n2 x 0
■阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
x ert
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
x 2nx n2 x 0
■ 阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
A为振幅， 为初相位角。
设初始条件为: t 0时, x x0, x x0
则有: A
x02
x02
n2
,
tan
x0n
x0
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
3 、弹簧的并联和串联
并
机械振动基础知识培训PPT(86张)
设 t 0 时 x ， x 0 ， v v 0 x A nconst ()
x0Asin; v0Ancos
A
x02v022 n
,tannx0
v0
PAG 15
§4-1 单自由度系统的自由振动
例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
x
mg
方程解表示为 xC 1co nts C 2sin n t
C1、C2为积分常数，由初始条件确定
PAG 7
§4-1 单自由度系统的自由振动
方程解表示为 xC 1co nts C 2sin n t
设A C12C2 2
tanC1
C2
l0 st
微分方程的解 xAsi nnt()
弹性力F
h
PAG 16
§4-1 单自由度系统的自由振动
⑷ 系统振动的固有频率
物块沿x轴的运动微分方程 mdd22 xtmsgink(0x)
0
mgsin
k
mdd2t2x kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k 0.81000
m
0.5
PAG 12
§4-1 单自由度系统的自由振动
固有频率的确定方法：
方法一: n
k m
方法二：弹簧质量系统平衡时 mgkst
k m
g
st
n
g
st
方法三：已知系统的运动微分方程 Add2t2x Bx0
n
B A
PAG 13
§4-1 单自由度系统的自由振动
机械振动基础 ppt课件
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
3. 按系统特性（自由度数目）分类： → 单自由度系统的振动； → 多自由度系统的振动； → 弹性体振动。
4. 按描述系统的微分方程分类： → 线性振动； → 非线性振动。
§2.1 振动概述 2.1.1 机械振动及其分类
5. 按振动位移的特征分类： → 扭转振动； → 直线振动。
机电设备故障诊断
机电设备故障诊断
(Remote Fault Diagnosis)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机电设备故障诊断
第二章 机械振动基础
本章内容：
○ 振动概述 ○ 机械振动系统的建模基础 ○ 机械系统的自由振动响应 ○ 机械系统的强迫振动响应
§2.1 振动概述 “大振动”现象
坐汽车、火车、轮船时的振动，有时会使人颠簸得难受
J
D
扭振模型
n Kt J
n ——系统扭转振动的固有频率
其中， Kt ——扭转刚度 J ——转动惯量
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 几点重要结论：
1. 单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简 谐振动，其振动频率只取决于系统本身的结构特性 (因此称之为固有频率)，而与初始条件无关；振动 的振幅和初相位与初始条件有关。
家里的冰箱电扇空调因振动而产生的噪音使人心烦意乱
§2.1 振动概述 “大振动”现象
印尼海啸汶川大地震美国新奥尔良唐山地震遗址 飓 风
机械振动基础
相位关系：加速度领先速度90º; 速度领先位移90º。
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
2. 非简谐周期振动
xt xt nT
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
3. 准周期振动
x t Asin 2 fit i i 1
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 一、无阻尼自由振动
1、直线振动 振动微分方程的标准形式：
直线振动模型
其解为： x n2 x 0 x Asin nt
A ——振幅
——初相位，与初始条件有关
n ——固有频率，与系统结构特 性有关，与初始条件无关。
§2.3 机械系统的自由振动响应
三种情况讨论：
阻尼比：
n n
① n n ， 1 ：强阻尼状态；
② n n ， 1 ：弱阻尼状态；
③ n n ， 1 ：临界阻尼状态。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.2 自由振动的响应分析 二、有阻尼自由振动
1、强阻尼状态下的响应
xt
C e n n2 n2 t 1
x C e C e n n2 n2 t 1
6. 按频率范围分类： → 低频振动（ <1KHz ）； → 中频振动（ 1~10KHz ）； → 高频振动 ( >10KHz )。
本章只讨论有限自由度的线性振动
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
1. 简谐周期振动
§2.1 振动概述 2.1.2 机械振动按其输出的分类
1. 简谐周期振动
P62：简单元件的刚度计算公式
§2.2 机械振动系统的建模基础
机械振动基础
其中： B0 F0
K n
——静变位
c ——阻尼比 n 2 mK
——频率比 n
§2.4 机械系统的强迫振动响应
2.4.1 简谐激励下的强迫振动 振动特性分析：
1. 系统在简谐激振力作用下的强迫振动是与激 振力同频率的简谐振动； 2. 强迫振动的振幅和相位差都只取决于系统本身 的物理性质和激振力的特性，而与初始条件无关，初 始条件只影响瞬态振动；
§2.1 振动概述
2.1.1 机械振动及其分类
定义：受外界条件的影响，机械系统围绕其平衡位置 做往复运动。 输 入(Input) 激 励(Excitation) 1) 2) 3) 输 出(Output) 响 应(Response)
系
统
推断系统的传递特性。(系统辨识) 推断导致该输出的输入量。 (反求) 推断和估计系统的输出量。(预测)
二、振动系统力学模型三要素
3. 阻尼：在振动、冲击和噪声领域主要有：
→ 粘性阻尼（线性阻尼）；
→ 干摩擦阻尼（库伦阻尼）； → 结构阻尼（材料内阻）。
§2.3 机械系统的自由振动响应
2.3.1 自由振动的响应分析 一、无阻尼自由振动 1、直线振动 振动微分方程的标准形式： 其解为：
x x 0
→ 单自由度系统的振动；
→ 多自由度系统的振动；
→ 弹性体振动。
4. 按描述系统的微分方程分类：
→ 线性振动；
→ 非线性振动。
§2.1 振动概述
2.1.1 机械振动及其分类
5. 按振动位移的特征分类：
→ 扭转振动；
→ 直线振动。 6. 按频率范围分类： → 低频振动（ <1KHz ）；
→ 中频振动（ 1~10KHz ）；
第II篇 第4章 机械振动基础
F1 F2 d st , m g F1 F2 k1 k2
m g (k1 k2 )d st keq k1 k2
即 m g keqd st
mg , d st k1 k2
(等效弹簧刚度系数）
mg , 或 d st keq
则此并联系统的固有频率为
0
扭振系统 由刚体转动微分方程有
d 2 J O 2 k t dt
kt 令 ，则 JO
2 0
kt
JO
O
d 2 2 0 dt 2
例题4 图示结构中，不计质量的杆 OA在水平位置处于平衡，若k、 m、a、l 等均为已知。 求：系统微振动的固有频率 解：取静平衡位置为其坐标原点， 由刚体转动微分方程，有
l a O F mg k
d ka 0 2 dt JO
2 2
m
A
k a k 0 a JO l m
d 2 J O 2 m glcos Fa cos dt
F k (d st a sin )
考虑到微转角，则 cos 1, sin 在静平衡位置处，有
x C1 cos0t C2 sin 0t C1 , C2 积分常数
令:
2 A C12 C2 , tan C1 / C2
x A sin(0t )
x A sin(0t )
无阻尼自由振动是简谐振动
2. 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。
4. 振动的分类：
按振动系统的自由度分类
机械振动培训课件
混合控制技术是将主动控制技术和被动控制技术结合起来，以实现更好的减振效果。
该技术可以综合利用主动控制技术的快速响应和被动控制技术的可靠性，提高减振效果并降低能耗。
混合控制技术需要复杂的系统设计和集成，但其在实际工程中的应用越来越广泛。
03
02
01
利用振动的原理，使物料在输送管道或设备中产生连续的抛掷运动，从而实现物料的定向输送。
振动输送
利用不同物质在振动过程中产生的不同运动轨迹，将物料分成不同粒度的组分。
振动筛分
通过施加周期性的激振力，使被压实材料内部产生交变应力，从而使材料颗粒之间发生相对位移，达到紧密排列的效果。
振动压实
利用振动原理使物料在模具中产生周期性的压力和位移，从而实现制品的成型和脱模。
振动成型
机械振动理论
02
描述一个自由度系统在振动时的运动规律和特性。
总结词
单自由度系统振动是机械振动中最基本的模型之一，它描述了一个单一自由度（如弹簧-质量系统）在振动时的运动规律和特性。通过分析系统的质量和阻尼，可以确定系统的固有频率、振型等参数，进而研究系统在不同激励下的响应。
详细描述
总结词
机械振动培训课件
汇报人：
2024-01-01
机械振动基础机械振动理论机械振动分析方法机械振动控制技术机械振动实验技术机械振动案例研究
目录
机械振动基础
01
机械振动是指物体在一定位置附近所做的往复运动。它具有周期性，即物体在振动过程中会不断重复相同或相似的运动轨迹。
机械振动定义
描述物体离开平衡位置的最大距离，通常用正弦或余弦函数表示。
数据处理
【精品课件】机械振动基础
而产生的振动 随机振动 :系统在随机激励作用下的振动
单自由度系统振动 多自由度系统振动 连续系统振动
线性振动 非线性振动
第15-1节
单自由度振动的线性化方程
单自由度系统的微振动
微振动 — 质系在它的稳定平衡位形附近的 微幅振动。也称为线性振动。
Ah
例3
以物块的静平衡
位置O为坐标原
点，建立坐标系。
受力图如图示。
物块的运动微分
方程为：
x
解
x
o
A
h
F
O
mg N
m x m gsin k(0x) x p2x 0 p40rad/s
初始条件为：x 0 0 3 .0 6 m m ,x 02 g h 1 .4 m /s
A x 0 2 x 0 2 /p 2 3 5 . 1 m m , a r c t a n ( p x 0 / x 0 ) 0 . 0 8 7 r a d
坐标原点取在静平衡位置
m xm gk(sx)
k
mxkx
mxkx0
O'
k
l0
O
s
m x l0
s
xAsin(pta)
m
x
返回
固有频率的计算方法
运动微分方程法
x p2x 0
静变形法
p k kg g
m mg s
能量法 xAsin(pt)
T1mA2p2cos2(pt) V1kA2sin2(pt)
2
2
机械振动基础
振动是工程中常见的现象 汽车在不平的路面上颠簸 发动机运转 结构物受阵风、波浪或地震的作用
机械振动学基础知识阻尼比与振动系统的稳定性
机械振动学基础知识阻尼比与振动系统的稳定性机械振动学是研究物体在受到外界力作用下产生的振动运动规律的学科。
在振动系统中，阻尼比是一个非常重要的参数，它直接影响着振动系统的稳定性。
在本文中，我们将介绍机械振动学的基础知识，阻尼比与振动系统稳定性之间的关系，并探讨如何利用阻尼比来提高振动系统的性能。
1. 机械振动学基础知识在机械振动学中，振动是物体围绕平衡位置作周期性的往复运动。
振动系统一般由质量、弹簧和阻尼器组成。
质量与弹簧之间联系紧密，质量的振动会导致弹簧受力变化，从而产生振动。
而阻尼器则消耗振动系统的能量，影响振动的幅度和频率。
2. 阻尼比与振动系统的稳定性阻尼比是指振动系统中阻尼器对振动系统的影响程度的大小。
阻尼比越大，阻尼器消耗能量的能力越强，振动幅度越小，系统的稳定性越高。
反之，阻尼比越小，振动幅度越大，系统的稳定性越差。
因此，阻尼比是影响振动系统稳定性的一个关键参数。
3. 阻尼比对振动系统的影响当阻尼比小于某一临界值时，振动系统会出现自激振动现象，即振幅不断增大直至系统失稳。
此时系统呈无阻尼振动状态，频率与自然频率相同。
而当阻尼比大于这一临界值时，振动系统会趋于稳定，振动幅度逐渐减小，最终趋于平衡状态。
因此，阻尼比的选择对振动系统的稳定性至关重要。
4. 利用阻尼比提高振动系统性能在实际工程中，可以通过调节阻尼比的大小来提高振动系统的性能。
选择合适的阻尼比可以有效减小振动幅度，提高系统的稳定性和可靠性。
此外，还可以通过改变弹簧的刚度和质量的大小等参数来优化振动系统的设计，实现更好的工作效果。
在机械振动学中，阻尼比与振动系统的稳定性密切相关。
合理选择阻尼比可以提高振动系统的性能，减小振动幅度，保证系统稳定运行。
因此，工程师们在设计振动系统时应充分考虑阻尼比这一重要参数，以确保系统的正常工作和长久稳定性。
通过不断研究和实践，我们可以更好地理解和应用机械振动学的基础知识，提高工程设计的水平和技术水平。
机械振动基础总结
7. 受迫振动的响应和激励力在低频范围内同相，在高频范围内反相，阻尼越小，同相和反相的现象越明显；增大阻尼，
相位差逐渐向趋近 π /2；共振时的相位差为 π /2，与阻尼无关。
f.简谐波分析方法就是通过傅氏变换把周期激励转化为一系列基频数倍数的简谐波激 励叠加，对吗？（对） 简谐波分析方法是通过傅氏变换把周期激励转化为一系列基频数倍数的简谐波激 励叠加，再求出每个频率分量激励产生的响应，再将这些响应叠加，得到周期激励产 生的响应 g. 脉冲激励响应包含了暂态和稳态成分？（对） 由于本人水平有限,<<总结>>当中难免有错误和不当之处，自行修改。 2012 年 06 月 25
简谐激励作用下受迫振动稳态响应的特征 摘自《振动力学》，刘延柱等，高等教育出版社
1. 稳态响应是与激励力频率相同的简谐振动。
2. 振幅和相位均由系统本身和激励力的物理性质确定，与初始条件无关。
3. 激励力频率远小于固有频率时振幅接近于弹簧静形变，激励力频率远大于固有频率时振幅趋近于 0。
4. 对于无阻尼系统，激励力频率等于固有频率时，受迫振动的振幅无限增大，称作共振现象。
5. 对于有阻尼系统，激励力频率趋近于固有频率时振幅也急剧增大。将振幅取极大值时激励频率定义为共振频率，因此
有阻尼系统的共振频率略小于固有频率，共振区内的振幅特性曲线称作共振峰。
6. 共振时振幅受阻尼系数的影响显著，阻尼较小时振幅急剧增大，阻尼较强时振幅变化平缓，当时振幅无极值。因此系
统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度可通过共振时的振幅放大因子体现，称作系统的品质因数。
2π ω
， 无阻尼振动固有频率 ωn ，阻尼振动固有频率ωd = 1 − ξ2 ωn
c.欠阻尼是振动振幅衰减的振动，过阻尼也是吗？ 欠阻尼是振动振幅衰减的振动，过阻尼都不是振动。 d.线形系统简谐激励稳态响应频率等同于激励频率相位滞后的简谐振动吗？(对) 受简谐激励的系统的稳态响应也是简谐的,其振动频率等于激励的频率,激励与响应之 间有一相位差φ,称为响应的相角。 （P26） e.稳态响应振幅和相位与系统和初始条件有关，对吗？（错）
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（振幅共振曲线） （速度共振曲线）
塔科马海峡桥的倒塌
无悔无愧于昨天，丰硕殷实 的今天，充满希望的明天。
t
阻尼的应用
6.3.2 受迫振动
x
1. 受力分析
弹性力 阻尼力
kx
x
周期性干扰力
F F0 sin t
l0
x
F kx N
F ' μx p
F0 sin t
2. 受迫振动的微分方程
mx kx μ x F0 sin t (令： 0
k ； n ；
m
2m
f F0 ） m
x 2nx 2x f sint 0
（2）速度共振(速度振幅取极值)
（1）位移共振(振幅取极值)
共振频率 : r 02 2n2
共振振幅 :
Br 2n
f
02 n2
（2）速度共振(速度振幅取极值)
vm B
f ( 2 02 )2 4n2 2
共振频率 : 0
共振速度振幅 :
vm
f 2n
共振的应用和危害
如何减小共振的影响 … 示教演示
6.2.2 同方向不同频率谐振动的合成 拍
1. 分振动 : x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
2. 合振动 : x x1 x2
当 (ω2 ω1) t时,2kπ
A 有最大值 A A1 A2 当 (ω2 ω1) t (时2k，1) π
A有最小值 A A1 A2
ω2
2Acos( 2 1)t cos( 2 1)t
2
2
当 2 1 时 , 2 - 1 2 + 1 ，令 x A(t)cos t
其中 A(t) 2Acos( 2 1 t)
2
随 t 缓变
cos t cos( 2 1 t)
2
随 t 快变
结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
3. 拍的现象 x1
Aa cos( t a )
6.1.2 谐振动的振幅、周期、频率和相位 1. 振幅 A 2. 周期T 和频率 v v = 1/T (Hz)
m Ox
3. 相位 (1) ( t + ) 是 t 时刻的相位
(2) 是 t =0 时刻的相位 —— 初相
相位的意义: x(t) Acos(ω t )
当 2 1 2kπ
两振动步调相同,称同相。
当 2 1 (2k 1)π
两振动步调相反 , 称反相。
m1
A1 x
A2
o
- A2
- A1
A1 x
A2
o
-
AA12
O
x
m2
x1
同相
x2
T
t
x1 反相
T
x2
t
6.1.3 振幅和初相位的确定
x(t) Acos(ω t ) v ω Asin(ω t )
J
J
T 2
J mgh
单 摆
T 2
l g
振动方程 0 cosω t
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距 离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有 相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点。
求 质点运动的周期和振幅。Fra bibliotekAO B
x
解 由题意可知，AB的中点为平衡位置，周期为
v Asin(t ) a 2 Acos( t )
❖ 相位确定了振动的状态.
❖ 相相位每改变 2 振动重复一次,相位 2 范围内变化,状态不重复.
x
A
= 2
O
t
-A
❖ 相位差
x1 A1 cos(1t 1) x2 A2 cos(2t 2 ) (2t 2) (1t 1) 2 1（当2 1时）
第6章 机械振动基础
本章内容：
6.1 简谐振动 6.2 简谐振动的合成 6.3 阻尼振动和受迫振动简介
6.1 简谐振动
6.1.1 简谐振动
定义: x(t) Acos(ω t )
x是描述位置的物理量,如 y , z 或 等.
特点: (1)等幅振动
(2)周期振动 x(t) x(t T )
谐振子 1. 受力特点 机械振动的力学特点
3.受迫振动微分方程的稳态解为:
x Bsin(ω t )
其中，振幅 B 及受迫振动与干扰力之间的相位差β分别为：
B
[(ω2
f ω02 )2
4n2ω2
]1/ 2
tan 2nω
ω02 ω2
结论:
振幅 B 及受迫振动与干扰力之间的相位差β都
与起始条件无关。
讨论:
（1）位移共振(振幅取极值)
T = 42 = 8 (s)
设平衡位置为坐标原点，则 xA 6cm xB 6cm
设 t = 0 时，质点位于平衡位置，则振动方程可写为
x Acos(t ) Acos(2π t π)
2
82
t = 1 时, 质点位于B点, 所以 6 Acos(2 )
82
A 6 2 cm
6.2 谐振动的合成
O
t
x2
O
t
x
O
t
拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即 v (ω2 ω1) / (2π)
拍原理的应用
v2 v1
6.2.3 两个相互垂直谐振动的合成 利萨如图
y
1.分振动 x A1 cos( t 1) y A2 cos( t 2 )
x
2. 合运动
x2 A12
y2 A22
2
1 4
kA2
2. 势能
EP
1 kx2 2
1 kA2 2
cos2 ( t
)
3. 机械能
E Ek
EP
1 kA2 2
（简谐振动系统机械能守恒）
6.1.5 谐振动旋转矢量表示法 特点:直观方便.
tA
· · a
t+
vo
x
t=0 x
x(t) Acos(t ) v Asin(t ) Acos( t )
3. 几种阻尼振动模式
（1）小阻尼 （2）临界阻尼 （3）大阻尼
（1）小阻尼 ( n2 < 2 )
X
x Aent cos( ω02 n2t )
Aent
T ' 2 T
O
t
2 n2
（2）临界阻尼( n2 = 2 ) （3）大阻尼( n2 > 2 )
X
大阻尼
在过阻尼和临界阻尼时无振动.
O
临界阻尼
x A1
y A2
cos( 2
1)
sin 2 (2
1)
讨论 当 = 2 − 1= k (k为整数)时:
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
0
x y 0 A1 A2
当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数)时：
x2 A12
y2 A22
1
x2 A12
y2 A22
2
x A1
y A2
1. 分振动
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
2. 合振动
x x1 x2 Acos( t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
A2 A 2 1
2 A1
O
1
x2 x
x1x1
x2
x
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
线性恢复力 F kx
m m Ox
2. 动力学方程
F kx ma
x(t) Acos(ω t )
d2x dt2
2x
0
其中 为 固有(圆)频率 ω k m
3. 速度和加速度
动力学方程
v ω Asin(ω t )
ω Acos(ω t )
2
Av cos( t v )
a 2 Acos( t π )
x0 Acos v0 ω Asin
A
x02
v
2 0
2
arctan( v0 ) x0
注意:如何确定最后的 .
6.1.4 谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
1. 动能
Ek
1 mv 2 2
1 kA2 sin2 ( t
2
)
Ek max
1 kA2 2
Ek min 0
Ek
1 T
t T t
Ek dt
A2
A ω1
(ω2 ω1) t
ω2t
O
ω1t
A1
x2 x
x1x1
x2
x
合振动振幅的频率为:
(ω2 ω1) T 2π
v
2 1 2
v2
v1
结论：合振动 x 不再是简谐振动
振幅相同不同频率的简谐振动的合成
1. 分振动 :
x1 Acos1t x2 Acos2t
2. 合振动 :
x x1 x2 Acos1t Acos2t
6.2.1 同方向同频率谐振动的合成
1. 分振动 : x1 A1 cos( t 1)
2. 合振动 :
x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
( A1 cos1 A2 cos2 )cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 )sin t
(1)若两分振动同相,即 2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强， 当 A1=A2 时 , A=2A1
(2)若两分振动反相,即 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…)