图像几何变换ppt课件
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几何变换思想-PPT
第一,对一些概念得准确把握
平移、旋转、轴对称变换与生活中物体得平移、旋转和轴对 称现象不是一个概念。数学来源于生活,但不等于生活,是生活现 象得抽象和概括。生活中得平移和旋转现象往往都是物体得运动, 如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体得运动,都可以 称为平移现象或旋转现象。而中小学中得几何变换都是指平面图 形在同一平面得变换,也就是说原图形和变换后得图形都是平面 图形,而且都在同一平面内。几何中得平移、旋转和轴对称现象 来自于生活中物体得平移现象、旋转现象和轴对称现象,如果把 生活中这些物体画成平面图形,并且在同一平面上运动,就可以说 成是几何中得平移、旋转和轴对称变换了。
3、几何变换思想得具体应用 图形变换作为空间与图形领域得重要
内容之一,在图形得性质得认识、面积公 式得推导、面积得计算、图形得设计和欣 赏、几何得推理证明等方面都有重要得应 用。
小学数学中几何变换思想得应用
4、几何变换思想得教学 (1)课程标准关于图形变换得数学要求
课程标准关于图形变换得内容和目标分为以下几个层次:
以保持,但通过改变其位置,组合成新得图形,便于计算和证 明。
(3)反射变换 在同一平面内,若存在一条定直线L,使对于平面
上得任意一点P及其对应点P′,其连线PP′得中垂线 都是L,则称这种变换为反射变换,也就是常说得轴对 称,定直线L称为对称轴,也叫反射轴。
轴对称有如下性质: ①把图形变为与之全等得图形,因而面积和
(1)射线PP’得方向一定;(2)线段PP＇得长度一 定,则称这种变换为平移变换。也就是说一个图 形与经过平移变换后得图形上得任意一对对应点 得连线相互平行且相等。
平移变换有以下一些性质: ①图形变为与之全等得图形,因而面积和周长
不变。 ②在平移变换之下两点之间得方向保持不变。
图像几何变换(旋转和缩放)
图像几何变换的重要性
图像几何变换可以帮助我们更好地理 解和分析图像内容，例如在人脸识别 、目标检测和跟踪、遥感图像处理等 领域。
通过变换可以纠正图像的畸变，提高 图像的清晰度和可读性，从而改善图 像的质量。
图像几何变换的应用场景
医学影像处理
在医学领域，通过对医学影像进行几何变换，可以更好地 观察和分析病变部位，提高诊断的准确性和可靠性。
图像旋转
图像旋转的基本概念
图像旋转是指将图像围绕一个点 进行旋转的操作。这个点被称为
旋转中心或原点。
旋转角度是旋转的度数，通常以 度（°）为单位。
旋转可以是顺时针或逆时针方向， 取决于旋转角度的正负值。
图像旋转的算法实现
图像旋转可以通过多种算法实现，其 中最常用的是矩阵变换和插值算法。
插值算法通过在旋转过程中对像素进 行插值，以获得更平滑的旋转效果。 常用的插值算法包括最近邻插值、双 线性插值和双三次插值等。
矩阵变换算法通过将图像表示为一个 矩阵，并应用旋转矩阵来计算旋转后 的像素坐标。
图像旋转的优缺点
优点
图像旋转可以用于纠正倾斜的图像、 增强图像的视觉效果、实现特定的艺 术效果等。
缺点
图像旋转可能会改变图像的比例，导 致图像失真或变形。此外，对于大尺 寸的图像，旋转操作可能需要较长时 间和较大的计算资源。
双线性插值和双三次插值等。
重采样算法
重采样算法通过重新计算每个像 素的灰度值来实现图像缩放。这 种方法通常比插值算法更精确，
但计算量较大。
多项式拟合算法
多项式拟合算法通过拟合原始图 像中的像素点，然后根据多项式 函数来计算新的像素值。这种方 法适用于对图像进行复杂变换的
情况。
图像缩放的优缺点
反比例函数与几何图形变换PPT
反比例函数与几 何图形变换
目录
• 反比例函数的基本概念 • 反比例函数与几何图形的关系 • 反比例函数在几何图形变换中的
应用 • 反比例函数在解决几何问题中的
应用 • 反比例函数在实际生活中的应用
01
反比例函数的基本概念
反比例函数的定义
01
反比例函数：形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
总结词
总结词
在圆中，面积与半径之间也存在反比例关系。当圆的 半径增加时，其面积会减小；反之亦然。反比例函数
同样可以用来描述这种关系。
详细描述
反比例函数可以用于描述圆面积与半径之间的关系。
03
反比例函数在几何图形变 换中的应用
平移变换
平移变换
将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
函数被称为反比例函数。
02
反比例函数的定义域为$x neq 0$， 值域为全体实数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，位于第 一和第三象限或第二和第四象限。
当$k > 0$时，图像位于第一和第三象 限；当$k < 0$时，图像位于第二和第 四象限。
反比例函数的性质
01
02
03
奇函数
由于$f(-x) = frac{k}{-x} = -frac{k}{x} = -f(x)$， 反比例函数是奇函数。
在经济学中的应用
供需关系
在经济学中，供给与需求之间存在反比关系。当一种商品的需求增加时，供给会 相应减少，反之亦然。这种关系决定了市场价格的形成和变化。
投资回报率
投资回报率与投资风险之间也存在反比关系。高回报往往伴随着高风险，而低风 险则可能带来较低的回报。这一关系在个人理财和投资决策中具有指导意义。
目录
• 反比例函数的基本概念 • 反比例函数与几何图形的关系 • 反比例函数在几何图形变换中的
应用 • 反比例函数在解决几何问题中的
应用 • 反比例函数在实际生活中的应用
01
反比例函数的基本概念
反比例函数的定义
01
反比例函数：形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
总结词
总结词
在圆中，面积与半径之间也存在反比例关系。当圆的 半径增加时，其面积会减小；反之亦然。反比例函数
同样可以用来描述这种关系。
详细描述
反比例函数可以用于描述圆面积与半径之间的关系。
03
反比例函数在几何图形变 换中的应用
平移变换
平移变换
将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
函数被称为反比例函数。
02
反比例函数的定义域为$x neq 0$， 值域为全体实数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，位于第 一和第三象限或第二和第四象限。
当$k > 0$时，图像位于第一和第三象 限；当$k < 0$时，图像位于第二和第 四象限。
反比例函数的性质
01
02
03
奇函数
由于$f(-x) = frac{k}{-x} = -frac{k}{x} = -f(x)$， 反比例函数是奇函数。
在经济学中的应用
供需关系
在经济学中，供给与需求之间存在反比关系。当一种商品的需求增加时，供给会 相应减少，反之亦然。这种关系决定了市场价格的形成和变化。
投资回报率
投资回报率与投资风险之间也存在反比关系。高回报往往伴随着高风险，而低风 险则可能带来较低的回报。这一关系在个人理财和投资决策中具有指导意义。
图像的几何变换ppt课件
在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这 也是一种插值算法， 称为最邻近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。
17
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2、图像比例缩放
最简单的比例缩小是当 fx=fy=1／2时，图像被缩到一 半大小，此时缩小后图像中的(0， 0)像素对应于原图 像中的(0， 0)像素； (0， 1)像素对应于原图像中的(0， 2)像素； (1， 0)像素对应于原图像中的(2， 0)像素， 依此类推。
因此，2D图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标 （Hx, Hy, H），其中H表示非零的任意实数，当H＝1 时，则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。
由点的齐次坐标（Hx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：
x Hx y Hy
11
H
比例缩放前后两点P0(x0, y0)、P(x, y)之间的 关系用矩阵形式可以表示为：
x
fx
0
0
x
0
y 0
fx
0
y
0
1
0
0
0
1
其中fx,fy>1为放大， fx,fy<1 为缩小。
15
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2、图像比例缩放
放大 后
(x , y) (x0 , y0)
O
x
缩放 前
6
多见于影视特技及广告的制作。
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1.1齐次坐标
设点P0(x0,y0)进行平移后，移到P(x,y),其中x方向的 平移量为x,y方向的平移量为y。那么，点P(x,y) 的坐标为：
x x0 x y y0 y
图形与几何课件ppt
• 图形种类：介绍圆形、正方形 、长方形、三角形等基本图形 的形状、大小、颜色等基本属 性
• 图形分类：根据图形的形状、 大小、颜色等属性对图形进行 分类和命名
图形表示
总结词：掌握图形的 基本表示方法和符号 语言
详细描述
• 符号语言：介绍图 形表示中常用的符 号语言，如点、线 、面、角等
• 图形表示方法：描 述如何用符号语言 来表示图形的形状 、大小、位置等几 何特征
06
总结与展望
课件内容
01
02
03
04
05
直线、射线、 线段
理解直线、射线、线段的 定义和性质，掌握它们的 表示方法。
角的概念
理解角的概念，掌握角的 度量方法和表示方法。
相交线与平行 线
理解相交线与平行线的概 念，掌握它们的性质和应 用。
三角形
四边形
理解三角形的概念，掌握 三角形的性质和应用。
理解四边形的概念，掌握 四边形的性质和应用。
作学习能力。
组织有效的教学活动
示范与讲解
通过示范和讲解，让学生了解图形与几何的基本概念和技能，以及如何应用这些概念和技 能解决问题。
实践活动
组织学生进行实践活动，如测量、绘图等，让学生在实践中学习和掌握图形与几何的知识 。
互动与讨论
组织学生进行互动和讨论，鼓励学生互相学习和交流，加深对图形与几何知识的理解和掌 握。
引入新的教学方法
可以引入一些新的教学方法，如项目制学习、合作学习 等，以更好地激发学生的学习兴趣和主动性。
拓展知识面
在未来的教学中，可以适当地拓展知识面，引入一些更 深入的内容，如几何定理的证明、图形的组合等。
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中考数学第8单元《几何变换、投影与视图》课件
第37课时┃ 京考探究
当 OACB 是正方形的时候．如果过 B 作 BE⊥ x 轴， 过 A 作 AF⊥x 轴，那么△BOE≌△ AOF.AF＝ OE，OF＝ BE， 即 A 点的横坐标的绝对值＝ B 点的纵坐标的绝对值， A 点的纵坐标的绝对值＝ B 点的横坐标的绝对值， 即 a＝ d 且 b＝－ c 或 b＝c 且 a＝－ d.
平移定 义及性 质应用
2012
平移定 义及性 质应用
2013 你来猜
解答
平移 作图
平移 作图
第37课时┃ 京考探究
热考精讲
► 热考一 运用平移概念解题
例 1 [2012·本溪 ] 下列各网格中的图形是用其图 形中的一部分平移得到的是 ( ) C
第37课时┃ 京考探究
[解析] 平移是指一个图形沿某一方向的平行移动，所以 选项A、选项B和选项D都不可以由平移变换得到．选C. 变式题 [2011· 益阳] 如图37－2，将△ABC沿直线AB 向 右 平 移 后 到 达 △ BDE 的 位 置 ， 若 ∠ CAB ＝ 50° ， ∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________ 30° ．
第37课时┃ 京考探究 ► 热考四 图形平移性质应用
例 4 如图 37－ 5，将 Rt△ ABC 沿斜边 AB 向右平移得到 Rt△ DEF(D 点在线段 AB 内移动 )， DF 交 BC 于 P.已知∠ A＝ 60°， AC＝ 1，联结 DC、 CF、 FB. 1 (1)当 AD＝ 时，求图中阴影部分三角形的面积； 2 (2)当 D 点移到 AB 的中点时， 请你猜想四边形 CDBF 的形 状，并说明理由．
第37课时┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
定义
平移
医学图像处理4几何变换
函数a(x, y)和b(x, y)唯一地描述了空间变换 。
Medical Image Processing
5
一、图像的位置变换
图像的平移（translation）：是将图像中所有的点 都按照指定的平移量水平、垂直移动。
x' x x
y'
y
y
Medical Image Processing
Medical Image Processing
22
图像的插值
最简单的方法：行插值或是列插值方法：
» 找出当前行的最小和最大的非空白点的坐标，记作： (i,k1)、(i,k2)。
»在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空 点的像素值等于前一点的像素值。
»同样的操作重复到所有行。
经过插值处理之后，图像效果就变得自然。
Medical Image Processing
3
图像的几何变换
几何变换的需求
受成像系统拍摄角度 及失真的影响 几何变换不改变像素 值，而是改变像素所 在的位置 又称几何校正
主要内容及要点
图像的位置变换
» 平移、镜像、旋转、 插值等
图像的形状变换
» 缩小、放大、错切变 换、几何畸变的校正 等
Medical Image Processing
y'
0.5x
0.866y
x'min 0.866 0.5*3 0.634
x'max 0.866 *3 0.5 2.098
y'min 0.866 0.5 1.366 y'max 0.866 *3 0.5*3 4.098
Medical Image Processing
5
一、图像的位置变换
图像的平移（translation）：是将图像中所有的点 都按照指定的平移量水平、垂直移动。
x' x x
y'
y
y
Medical Image Processing
Medical Image Processing
22
图像的插值
最简单的方法：行插值或是列插值方法：
» 找出当前行的最小和最大的非空白点的坐标，记作： (i,k1)、(i,k2)。
»在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空 点的像素值等于前一点的像素值。
»同样的操作重复到所有行。
经过插值处理之后，图像效果就变得自然。
Medical Image Processing
3
图像的几何变换
几何变换的需求
受成像系统拍摄角度 及失真的影响 几何变换不改变像素 值，而是改变像素所 在的位置 又称几何校正
主要内容及要点
图像的位置变换
» 平移、镜像、旋转、 插值等
图像的形状变换
» 缩小、放大、错切变 换、几何畸变的校正 等
Medical Image Processing
y'
0.5x
0.866y
x'min 0.866 0.5*3 0.634
x'max 0.866 *3 0.5 2.098
y'min 0.866 0.5 1.366 y'max 0.866 *3 0.5*3 4.098
图像几何变换PPT课件
取取整整后后，，该该点点在在新新图图的的(2(,22,)1上)上。。
必须进行后处理操作。
2021
29
图像旋转后处理
——旋转后的隐含问题分析
图像旋转之后，出现了两个问题： 1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻
像素之间只能有8个方向（相邻为45度），如下图所示。 2）会出现许多的空洞点。
如右图有： (1,3)、(1,3); (2,1)、(2,4); (3,2)、(3,4)； (4,2)、(4,3)。
2021
32
图像旋转的后处理 —— 插值
2）在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空 点的像素值等于前一点的像素值。
3）同样的操作重复到所有行。
2021
33
图像旋转的后处理
—— 插值效果分析
8
图像放大
图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作 ，但是，从信息处理的角度来看，则难易程 度完全不一样。
图像缩小是从多个信息中选出所需要的信息 ，而图像放大则是需要对多出的空位填入适 当的值，是信息的估计。
2021
9
图像放大
—— 实现思路
最简单的思想是，如果需要将原图像放大为k 倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像 中对应的k*k大小的子块中。
2021
19
图像的镜像
所谓的镜像，通俗地讲，是指在镜子中所 成的像。其特点是左右颠倒或者是上下颠 倒。
镜像分为水平镜像和垂直镜像。
2021
20
图像的水平镜像
水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）
xy''xy(水平镜像 )
-3 -2 -1 0 1 2 3
因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进 行镜像计算之后，再进行坐标的平移。
第四章 遥感图像处理――几何校正PPT课件
22
三种内插方法比较
方法 1
优点 简单易用，计算量小
缺点
处理后的影像亮度具有不连 续性，影响精确度
精度明显提高，特别是对亮度 计算量增加，且对影像起到
2
不连续现象或线状特征的块状 平滑作用，从而使对比度明
化现象有明显的改善。
显的分界线变得模糊。
3
更好的影像质量，细节表现更 为清楚。
工作量很大。
23
18
像元灰度值重采样
校正前后图像的分辨率变化、像元点位置相对变化引 起输出图像阵列中的同名点灰度值变化。
x X
P(X,Y) Y
纠正后影像
p(x,y) y
纠正前影像
19
最近邻法
—以距内插点最近的观测点的像元值为所求的像元值。
影像中两相邻点的距离为1，即 行间距△x＝1，列间距△y=1，取与 所计算点(x,y)周围相邻的4个点，比 较它们与被计算点的距离，哪个点距 离最近，就取哪个的亮度值作为 （x,y）点的亮度值f（x，y）。设该 最近邻点的坐标为（k,l）,则
一是指平台在运行过程中，由于姿态、地球曲 率、地形起伏、地球旋转、大气折射、以及传 感器自身性能所引起的几何位置偏差。
二是指图像上像元的坐标与地图坐标系统中相 应坐标之间的差异。
3
引起遥感图像几何变形的因素
一、遥感平台位置和运动状态变化的影响
旁向位移的影响 速度变化即航向位移的影响
高度变化的影响—地面分辨率不均匀 俯仰变化的影响
21
三次卷积内插法
取与计算点（x，y）周 围 相 邻 的 16 个 点 ， 与 双 向 线 性内插类似，可先在某一方 向上内插，每4个值依次内插 4次，求出f（x，j-1），f(x， j ） ， f(x,j+1) ， f(x,j+2) ， 再根据这四个计算结果在另 一 方 向 上 内 插 ， 得 到 f(x ， y）。
三种内插方法比较
方法 1
优点 简单易用，计算量小
缺点
处理后的影像亮度具有不连 续性，影响精确度
精度明显提高，特别是对亮度 计算量增加，且对影像起到
2
不连续现象或线状特征的块状 平滑作用，从而使对比度明
化现象有明显的改善。
显的分界线变得模糊。
3
更好的影像质量，细节表现更 为清楚。
工作量很大。
23
18
像元灰度值重采样
校正前后图像的分辨率变化、像元点位置相对变化引 起输出图像阵列中的同名点灰度值变化。
x X
P(X,Y) Y
纠正后影像
p(x,y) y
纠正前影像
19
最近邻法
—以距内插点最近的观测点的像元值为所求的像元值。
影像中两相邻点的距离为1，即 行间距△x＝1，列间距△y=1，取与 所计算点(x,y)周围相邻的4个点，比 较它们与被计算点的距离，哪个点距 离最近，就取哪个的亮度值作为 （x,y）点的亮度值f（x，y）。设该 最近邻点的坐标为（k,l）,则
一是指平台在运行过程中，由于姿态、地球曲 率、地形起伏、地球旋转、大气折射、以及传 感器自身性能所引起的几何位置偏差。
二是指图像上像元的坐标与地图坐标系统中相 应坐标之间的差异。
3
引起遥感图像几何变形的因素
一、遥感平台位置和运动状态变化的影响
旁向位移的影响 速度变化即航向位移的影响
高度变化的影响—地面分辨率不均匀 俯仰变化的影响
21
三次卷积内插法
取与计算点（x，y）周 围 相 邻 的 16 个 点 ， 与 双 向 线 性内插类似，可先在某一方 向上内插，每4个值依次内插 4次，求出f（x，j-1），f(x， j ） ， f(x,j+1) ， f(x,j+2) ， 再根据这四个计算结果在另 一 方 向 上 内 插 ， 得 到 f(x ， y）。
二维图形几何变换-PPT
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算(θ很小)
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
光栅变换
任意角度得Байду номын сангаас栅旋转变换:
旋转的 象素阵列
A
1A 3
光栅网格
2
n
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上得覆盖率](Gray(x)表示某点得灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上得覆盖率+ Gray(2) × A在2上得覆盖率+ Gray(3) × A在3上得覆盖率
光栅变换
光栅比例变换:
n
∑ [Gray(i) × Si] Gray(A)= i=1
n
∑ Si
i=1
缩小时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1/2,Xy=1/2
(b)原图
12
1
43
2
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1,Xy=3/2
G=(G1+G2+G3+G4)/4
G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
O
x0
x
图6-9 坐标系间的变换
坐标系之间得变换
分析: y
y'
p,也即p' x'
函数图象的变换PPT
总结词
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
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算f(u0, v)
f(u0, v) = S(1+α)f(u －1, v)+S(α) f(u,
v)+
f(u+2, v)
S(1-α) f(u+1, v)+ S(2-α)
同理可得f(u , v-1), f(u , v+1), f(u , v+2) 22
三种方法比较
优点 最近邻法 简单快速
双线性插值 法
三次内插法
14
重采样
• 问题：
– 对输出离散图像使用逆映射函数得到的采样位 往往与输入离散图像坐标不相重合
• 解决方法：
1.将输入离散图像转换成一个连续的表面，即图 像重建过程
2.重建后，便可以在任意位置对其进行采样
• 图像重采样的两个步骤：
1.图像重建
2.采样
15
灰度插值方法
• 最近邻法 • 双线性插值法 • 三次内插法
16
出点 (u0, v0)的灰度值 (a)最近邻法； (b)双线性插值法；(c)三次内 插法
17
最近邻法
• 将与(u0, v0)点最近的整数坐标(u, v)点的灰度
值取为(u0, v0)点的灰度值
18
双线性插值法
• 用线性内插方法，根据(u0, v0)点的四个相
邻点的灰度值，插值计算出(u0, v0) 点的灰
5
几何变换
• 由两个基本操作组成
1.坐标的空间变换 2.灰度内插
6
坐标的空间变换
• (u, v)是原图像中像素的坐标 • (x, y)是变换后图像中像素的坐标 • 例如，变换(x, y) = T{(u, v)} = (u/2, v/2)
7
坐标的空间变换
8
仿射变换
• 根据矩阵T中元素所选择的值，可对一组坐标
2.然后将其收缩，使它准确地与原图像匹配，收 缩后的750×750网格的像素间隔要小于原图像 的像素间隔
3.在原图像中按照某种方式寻找合适的像素，经 过相应运算后得到750×750网格中所有的新像 3
Байду номын сангаас
前向映射和反向映射
• 定义原图像为输入图像，变换后图像为输出图
像
• 前向映射定义：
– 扫描输入图像的像素，并在每个位置(u, v)计算 输出图像中相应像素的空间位置(x, y)
偏移变换
• 水平偏移变换
– x = u + shv –y = v
• 垂直偏移变换
–x = u – y = svu + v
13
灰度内插
• 重采样：
1.对输出图像中每个像素使用逆映射，将结果映 射到输入图像
2.由此产生的结果为一重采样栅格，该栅格表明 了对输入图像重采样的位置
3.对输入图像在这些点进行采样，并将采样值赋 给相应的输出像素
度值f(u0, v0)
• 步骤：
1.先根据f(u, v)及f(u+1, v)插值求f(u0, v)
f(u0, v) = f(u, v) + α[f(u+1, v) － f(u, v)]
2.再根据f(u, v+1)及f(u+1, v+1)插值求f(u0,
v+1)
f(u0, v+1) = f(u, v+1) + α[f(u+1,
• 前向映射问题：
1.输入图像中的两个或更多个像素可被变换到输 出图像中的同一位置，那么如何把多个输出值 合并到一个输出像素问题？
2.输出图像中某些像素可能没有相应的输入图像 4
前向映射和反向映射
• 反向映射定义：
– 扫描输出图像的像素，并在每个位置(x, y)计算 输入图像中的相应位置，然后使用内插方法决 定输出像素的灰度值
能够得到满意 的插值效果
精度高，能保 持较好的图像 边缘
缺点 当(u0, v0)点相邻像 素灰度值相差很大 时，这种方法产生 较大的误差 图像轮廓会有些模 糊，计算量增大 计算量最大
23
图像配准
• 图像配准的过程实际上是寻求两幅图像相同场
景在空间位置上对准的过程。
• 具体来说，将同一场景区域，在相同或不同时
• 用插值函数 • 三次内插法采用该函数的三次近似多项式
21
三次内插法步骤
1. 计算α = u0 －⌊u0⌋和β = v0 －⌊v0⌋，根据函数 S(x)求得S(1+α), S(α), S(1-α), S(2-α)和S(1+β),
S(β), S(1-β), S(2-β)
2. 根据f(u－1, v), f(u, v), f(u+1, v), f(u+2, v)计
[f(u+1, v+1)+f(u, v) － f(u, v+1) － f(u+1, v)] αβ+ f(u, v)
= au0+bv0+cu0v0+d 其中，a, b, c, d是4个系数
20
三次内插法
• 根据(u0, v0)点的16个相邻点的灰度值，插值
计算出(u0, v0) 点的灰度值f(u0, v0)
25
例子
26
图像配准技术的应用
• 图像配准的应用范围涉及遥感图像处理、计算
机视觉、医学应用、目标识别、环境监测、天 气预报、地理信息处理等领域。
v+1) － f(u, v+1)]
19
双线性插值法
– 其中α = u0 －⌊u0⌋，β = v0 －⌊v0⌋
– ⌊x⌋表示其值不超过x的最大整数
• f(u0, v0)的插值计算可改写为：
f(u0, v0) = [f(u+1, v) － f(u, v)]α+[f(u, v+1) － f(u, v)] β+
点 (u, v)做平移、比例、旋转或偏移。
9
平移变换
• x = u + δx • y = v + δy
10
比例变换
• x = cxu • y = cyv
11
旋转变换
• 以原点为旋转中心
– x = ucosθ － vsinθ – y = usinθ + vcosθ
• 以图像中指定点为旋转中心？
12
间、相同或不同视角、由同种或不同传感器获 取的两幅或者多幅图像在同一坐标系下进行空 间位置的最佳迭合过程称为图像配准。
24
图像配准
• 有两幅图像，分别是输入图像和输出图像，但
从输入图像产生输出图像的特定变换未知
• 问题提出：估计变换函数，用来配准两幅图像 • 输入图像：希望变换的图像 • 参考图像：想要配准输入图像的图像
第4章 图像几何变换
1
内容
• 图像平移变换 • 图像比例变换 • 图像旋转变换 • 图像偏移变换 • 图像配准 • 图像镜像变换 • 图像剪切变换
2
几何变换例子
• 例：一幅大小为500×500像素的图像要放大
1.5倍到750×750像素。如何变换？
• 方法：
1.创建一个假想的750×750网格，它与原图像有 相同的间隔
f(u0, v) = S(1+α)f(u －1, v)+S(α) f(u,
v)+
f(u+2, v)
S(1-α) f(u+1, v)+ S(2-α)
同理可得f(u , v-1), f(u , v+1), f(u , v+2) 22
三种方法比较
优点 最近邻法 简单快速
双线性插值 法
三次内插法
14
重采样
• 问题：
– 对输出离散图像使用逆映射函数得到的采样位 往往与输入离散图像坐标不相重合
• 解决方法：
1.将输入离散图像转换成一个连续的表面，即图 像重建过程
2.重建后，便可以在任意位置对其进行采样
• 图像重采样的两个步骤：
1.图像重建
2.采样
15
灰度插值方法
• 最近邻法 • 双线性插值法 • 三次内插法
16
出点 (u0, v0)的灰度值 (a)最近邻法； (b)双线性插值法；(c)三次内 插法
17
最近邻法
• 将与(u0, v0)点最近的整数坐标(u, v)点的灰度
值取为(u0, v0)点的灰度值
18
双线性插值法
• 用线性内插方法，根据(u0, v0)点的四个相
邻点的灰度值，插值计算出(u0, v0) 点的灰
5
几何变换
• 由两个基本操作组成
1.坐标的空间变换 2.灰度内插
6
坐标的空间变换
• (u, v)是原图像中像素的坐标 • (x, y)是变换后图像中像素的坐标 • 例如，变换(x, y) = T{(u, v)} = (u/2, v/2)
7
坐标的空间变换
8
仿射变换
• 根据矩阵T中元素所选择的值，可对一组坐标
2.然后将其收缩，使它准确地与原图像匹配，收 缩后的750×750网格的像素间隔要小于原图像 的像素间隔
3.在原图像中按照某种方式寻找合适的像素，经 过相应运算后得到750×750网格中所有的新像 3
Байду номын сангаас
前向映射和反向映射
• 定义原图像为输入图像，变换后图像为输出图
像
• 前向映射定义：
– 扫描输入图像的像素，并在每个位置(u, v)计算 输出图像中相应像素的空间位置(x, y)
偏移变换
• 水平偏移变换
– x = u + shv –y = v
• 垂直偏移变换
–x = u – y = svu + v
13
灰度内插
• 重采样：
1.对输出图像中每个像素使用逆映射，将结果映 射到输入图像
2.由此产生的结果为一重采样栅格，该栅格表明 了对输入图像重采样的位置
3.对输入图像在这些点进行采样，并将采样值赋 给相应的输出像素
度值f(u0, v0)
• 步骤：
1.先根据f(u, v)及f(u+1, v)插值求f(u0, v)
f(u0, v) = f(u, v) + α[f(u+1, v) － f(u, v)]
2.再根据f(u, v+1)及f(u+1, v+1)插值求f(u0,
v+1)
f(u0, v+1) = f(u, v+1) + α[f(u+1,
• 前向映射问题：
1.输入图像中的两个或更多个像素可被变换到输 出图像中的同一位置，那么如何把多个输出值 合并到一个输出像素问题？
2.输出图像中某些像素可能没有相应的输入图像 4
前向映射和反向映射
• 反向映射定义：
– 扫描输出图像的像素，并在每个位置(x, y)计算 输入图像中的相应位置，然后使用内插方法决 定输出像素的灰度值
能够得到满意 的插值效果
精度高，能保 持较好的图像 边缘
缺点 当(u0, v0)点相邻像 素灰度值相差很大 时，这种方法产生 较大的误差 图像轮廓会有些模 糊，计算量增大 计算量最大
23
图像配准
• 图像配准的过程实际上是寻求两幅图像相同场
景在空间位置上对准的过程。
• 具体来说，将同一场景区域，在相同或不同时
• 用插值函数 • 三次内插法采用该函数的三次近似多项式
21
三次内插法步骤
1. 计算α = u0 －⌊u0⌋和β = v0 －⌊v0⌋，根据函数 S(x)求得S(1+α), S(α), S(1-α), S(2-α)和S(1+β),
S(β), S(1-β), S(2-β)
2. 根据f(u－1, v), f(u, v), f(u+1, v), f(u+2, v)计
[f(u+1, v+1)+f(u, v) － f(u, v+1) － f(u+1, v)] αβ+ f(u, v)
= au0+bv0+cu0v0+d 其中，a, b, c, d是4个系数
20
三次内插法
• 根据(u0, v0)点的16个相邻点的灰度值，插值
计算出(u0, v0) 点的灰度值f(u0, v0)
25
例子
26
图像配准技术的应用
• 图像配准的应用范围涉及遥感图像处理、计算
机视觉、医学应用、目标识别、环境监测、天 气预报、地理信息处理等领域。
v+1) － f(u, v+1)]
19
双线性插值法
– 其中α = u0 －⌊u0⌋，β = v0 －⌊v0⌋
– ⌊x⌋表示其值不超过x的最大整数
• f(u0, v0)的插值计算可改写为：
f(u0, v0) = [f(u+1, v) － f(u, v)]α+[f(u, v+1) － f(u, v)] β+
点 (u, v)做平移、比例、旋转或偏移。
9
平移变换
• x = u + δx • y = v + δy
10
比例变换
• x = cxu • y = cyv
11
旋转变换
• 以原点为旋转中心
– x = ucosθ － vsinθ – y = usinθ + vcosθ
• 以图像中指定点为旋转中心？
12
间、相同或不同视角、由同种或不同传感器获 取的两幅或者多幅图像在同一坐标系下进行空 间位置的最佳迭合过程称为图像配准。
24
图像配准
• 有两幅图像，分别是输入图像和输出图像，但
从输入图像产生输出图像的特定变换未知
• 问题提出：估计变换函数，用来配准两幅图像 • 输入图像：希望变换的图像 • 参考图像：想要配准输入图像的图像
第4章 图像几何变换
1
内容
• 图像平移变换 • 图像比例变换 • 图像旋转变换 • 图像偏移变换 • 图像配准 • 图像镜像变换 • 图像剪切变换
2
几何变换例子
• 例：一幅大小为500×500像素的图像要放大
1.5倍到750×750像素。如何变换？
• 方法：
1.创建一个假想的750×750网格，它与原图像有 相同的间隔