数学人教版 九年级上学期月考知识点汇总
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第二十二章 二次函数 知识点一：二次函数的定义 1.二次函数的定义： 一般地，形如 y ax2 bx c（ a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次 函数． 其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、 对称轴、顶点 2.二次函数 y ax h2 k 的图象与性质
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完 全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
（3）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：
.已知图象上三点或三对（x, y），的值，通常
选择一般式.
②顶点式：
.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故 2a
如果b 0时，对称轴为 y 轴； 如果 b 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；
a
如果 b 0（即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a
③c的大小决定抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的位置 当 x 0时，y c ，所以抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ），故 如果c 0，抛物线经过原点； 如果c 0 ,与 y 轴交于正半轴；
方程有两个 相等实数解
方程没有实 数解
6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识 （1） y 轴与抛物线 y ax2 bx c 得交点为(0,c) . （2）与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax2 bx c 有且只有一个交 点( h , ah 2 bh c ). （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两 个交点的横坐标 x1、x2 ，是对应一元二次方程 ax2 bx c 0的两个实 数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；
若 一 元 二 次 方 程 x2 px q 0 的 两 个 根 为 x1 , x2 则 有
x1 x2 p , x1x2 q
若 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 有 两 个 实 数 根 x1 ， x2 则 有
x1
x2
b a
, x1x2
c a
22.3 实际问题与一元二次方程
22.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程 ，如果 ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac 0 ， 那么方程的两个根为 x b b2 4ac ，这个公式叫做一元二次方
2a
程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切；
③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离.
（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0
个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax2 bx c k 的两个实数根.
③交点式：
.已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常
选择交点式.
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法： ，∴顶点是 ，对称 y ax2 bx c a x
b
2
4ac
b2
（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
2a 4a
轴是直线 x b . 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y ax h2 k
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，
则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x， 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a(1 x)2 b
（3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关 元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程.
b 2a
，4ac 4a
b2
当 x b 时，y 随 x的增大而增大；当 x b 时，y 随 x的增大而减小；
2a
2a
当 x b 时， y 有最大值 4ac b2 ．
2a
4a
4. 二次函数常见方法指导
（1）二次函数 y ax2 bx c 图象的画法
①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）
； h，k
②可以由抛物线 y ax2经过适当的平移得到.
具体平移方法如下：
y=ax2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位
（1）当二次函数的图象与 x轴有两个交点，这时
，则
方程有两个不相等实根；
（2）当二次函数的图象与 x轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实根；
（3）当二次函数的图象与 x轴没有交点，这时
，则方
程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方
程的关系：
的图象
的解
方程有两个 不等实数解
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪
些是未知量以及它们之间的等量关系.
（2）设：是指设元，也就是设出未知数.
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应
用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关
系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案. 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1， x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分 别为 x-2,x+2.
如果c 0 ,与 y 轴交于负半轴.
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
5.函数 y ax2 bx c ，当 y 0 时，得到一元二次方程 ax2 bx c 0 ，那么
一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x轴交点的横坐标，
因此二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情
况.
利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定其开
口方向对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描
点画图.
②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴的交点，
顶点.
（2）二次函数图象的平移
平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式 y axh2 k ，确定其顶点坐标
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为
b 2a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
，
当 x b 时，y 随 x的增大而减小；当 x b 时，y 随 x的增大而增大；
2a
2a
当 x b 时， y 有最小值 4ac b2 ．
2a
4a
（2）当a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b ，顶点坐标为 2a
．
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线 x h . ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称 图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对 称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线 y ax2 bx c 中， a,b,c 的作用
① a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax2 中的 a 完全一样. ②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置
22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另 一边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如 x2 a(a 0) 的 方程，根据平方根的定义可解得 x1 a x2 a . （2）直接开平方法适用于解形如 x2 p 或（mx a）2 p(m 0) 形式的方 程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方 根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平 方根是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使 二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边 直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次 方程，求出原方程的根. 知识点二 配方法解一元二次方程
方法名称 直接开平方法
配方法 公式法 因式分解法
理论依据 平方根的意义
适用范围 形如 或 x2 p （mx n）2 p( p 0)
完全平方公式
所有一元二次方程
配方法
所有一元二次方程
当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一
次因式的积的一元二次方程.
22.2. 4 一元二次方程的根与系数的关系（了解）
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一 般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式： ax2 bx c 0(a 0)，一般 a 化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2 4ac 的值； ④若 b2 4ac 0 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解， b2 4ac 0 ，则方程无实数根. 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2 4ac 叫做方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式，通常用希腊字 母△表示它，即 b2 4ac ,
22.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一 次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方 程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解. 知识点二 用合适的方法解一元一次方程
（1）二次函数基本形式 y ax2 的图象与性质：a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小
（2） y ax2 c 的图象与性质：上加下减
（3） y ax h2 的图象与性质：左加右减
（4）二次函数 y axh2 k 的图象与性质
3. 二次函数 y ax2 bx c 的图像与性质
（1）当
九年级数学月考知识点汇总
第二十一章 一元二次方程
22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数 的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式 方程. 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax2 bx c 0(a 0) 其中， ax2 是二次项， a 是二次项 系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方 程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义是解方程 过程中验根的依据.
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方 法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完 全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
（3）用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：
.已知图象上三点或三对（x, y），的值，通常
选择一般式.
②顶点式：
.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故 2a
如果b 0时，对称轴为 y 轴； 如果 b 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；
a
如果 b 0（即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a
③c的大小决定抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交点的位置 当 x 0时，y c ，所以抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ），故 如果c 0，抛物线经过原点； 如果c 0 ,与 y 轴交于正半轴；
方程有两个 相等实数解
方程没有实 数解
6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识 （1） y 轴与抛物线 y ax2 bx c 得交点为(0,c) . （2）与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax2 bx c 有且只有一个交 点( h , ah 2 bh c ). （3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两 个交点的横坐标 x1、x2 ，是对应一元二次方程 ax2 bx c 0的两个实 数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；
若 一 元 二 次 方 程 x2 px q 0 的 两 个 根 为 x1 , x2 则 有
x1 x2 p , x1x2 q
若 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 有 两 个 实 数 根 x1 ， x2 则 有
x1
x2
b a
, x1x2
c a
22.3 实际问题与一元二次方程
22.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程 ，如果 ax2 bx c 0(a 0) b2 4ac 0 ， 那么方程的两个根为 x b b2 4ac ，这个公式叫做一元二次方
2a
程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切；
③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离.
（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0
个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax2 bx c k 的两个实数根.
③交点式：
.已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常
选择交点式.
（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法： ，∴顶点是 ，对称 y ax2 bx c a x
b
2
4ac
b2
（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
2a 4a
轴是直线 x b . 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y ax h2 k
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，
则这个三位数是 100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x， 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a(1 x)2 b
（3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关 元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来， 建立一元二次方程.
b 2a
，4ac 4a
b2
当 x b 时，y 随 x的增大而增大；当 x b 时，y 随 x的增大而减小；
2a
2a
当 x b 时， y 有最大值 4ac b2 ．
2a
4a
4. 二次函数常见方法指导
（1）二次函数 y ax2 bx c 图象的画法
①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）
； h，k
②可以由抛物线 y ax2经过适当的平移得到.
具体平移方法如下：
y=ax2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax 2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
y=a(x-h)2
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位
（1）当二次函数的图象与 x轴有两个交点，这时
，则
方程有两个不相等实根；
（2）当二次函数的图象与 x轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实根；
（3）当二次函数的图象与 x轴没有交点，这时
，则方
程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方
程的关系：
的图象
的解
方程有两个 不等实数解
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪
些是未知量以及它们之间的等量关系.
（2）设：是指设元，也就是设出未知数.
（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应
用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关
系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解：就是解方程，求出未知数的值. （5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合 题意. （6）答：写出答案. 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1）数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1， x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分 别为 x-2,x+2.
如果c 0 ,与 y 轴交于负半轴.
知识点三：二次函数与一元二次方程的关系
5.函数 y ax2 bx c ，当 y 0 时，得到一元二次方程 ax2 bx c 0 ，那么
一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x轴交点的横坐标，
因此二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情
况.
利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定其开
口方向对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描
点画图.
②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴的交点，
顶点.
（2）二次函数图象的平移
平移步骤：
① 将抛物线解析式转化成顶点式 y axh2 k ，确定其顶点坐标
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为
b 2a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
，
当 x b 时，y 随 x的增大而减小；当 x b 时，y 随 x的增大而增大；
2a
2a
当 x b 时， y 有最小值 4ac b2 ．
2a
4a
（2）当a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b ，顶点坐标为 2a
．
的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线 x h . ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称 图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对 称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线 y ax2 bx c 中， a,b,c 的作用
① a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax2 中的 a 完全一样. ②b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置
22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另 一边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如 x2 a(a 0) 的 方程，根据平方根的定义可解得 x1 a x2 a . （2）直接开平方法适用于解形如 x2 p 或（mx a）2 p(m 0) 形式的方 程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方 根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平 方根是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使 二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边 直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次 方程，求出原方程的根. 知识点二 配方法解一元二次方程
方法名称 直接开平方法
配方法 公式法 因式分解法
理论依据 平方根的意义
适用范围 形如 或 x2 p （mx n）2 p( p 0)
完全平方公式
所有一元二次方程
配方法
所有一元二次方程
当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一
次因式的积的一元二次方程.
22.2. 4 一元二次方程的根与系数的关系（了解）
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一 般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式： ax2 bx c 0(a 0)，一般 a 化为正值 ②确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2 4ac 的值； ④若 b2 4ac 0 则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解， b2 4ac 0 ，则方程无实数根. 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2 4ac 叫做方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式，通常用希腊字 母△表示它，即 b2 4ac ,
22.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一 次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方 程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因 式、平方差公式和完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④解一元一次方程即可得到原方程的解. 知识点二 用合适的方法解一元一次方程
（1）二次函数基本形式 y ax2 的图象与性质：a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小
（2） y ax2 c 的图象与性质：上加下减
（3） y ax h2 的图象与性质：左加右减
（4）二次函数 y axh2 k 的图象与性质
3. 二次函数 y ax2 bx c 的图像与性质
（1）当
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第二十一章 一元二次方程
22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数 的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式 方程. 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax2 bx c 0(a 0) 其中， ax2 是二次项， a 是二次项 系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方 程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义是解方程 过程中验根的依据.