梁的挠曲线和变形计算课件
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材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得:
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得:
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知:q、l、 EI,求:yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
第四章(弯曲挠度3-Lu)
§4-9 用积分法计算梁旳挠度与转角
对于等截面梁,EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
(b)
q
B
(d)
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件:x = 0 ,w1= 0。 x = l ,w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件:x = a ,w1′= w2′, w1= w2
由连续条件,得:C1= C2, D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如:
p
A
B
p A
边界条件: wA=0 wB=0
边界条件: wA=0 θA=0
对于等截面梁,EI = 常数。
E I w "= - M (x)
EIw EI M ( x )dx C
EIw [ M (x)dx]dx Cx D
式中C, D 由梁支座处旳已知位移条件即位 移边界条件拟定。
HOHAI UNIVERSITY
EIw EI M ( x )dx C
C wc2(q)
c 2 (q)
HOHAI UNIVERSITY
3o 求 c、wc
A
c c (F ) c1(q) c2 (q)
F
C (F)
C (F )
B
C
qa 3 qa 3 qa 3
4 EI 6 EI 3EI
qa 3 4 EI
(b)
q
B
(d)
C
wc1(q) c1 (q )
wc wc (F ) wc1(q) wc2 (q)
EI 2
Fb 2l
x2
F 2
(
x
a
)2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
HOHAI UNIVERSITY
F
边界条件:x = 0 ,w1= 0。 x = l ,w2= 0。
a
b
A
CD
Bx
x
y
l
连续条件:x = a ,w1′= w2′, w1= w2
由连续条件,得:C1= C2, D1= D2
EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
如:
p
A
B
p A
边界条件: wA=0 wB=0
边界条件: wA=0 θA=0
材料力学-梁的挠度ppt课件
(1)
dx
6
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f (x) 0 f
1 M z (x)
(1)
EI z
1
f (1
(x) f 2)
3 2
小变形
f (x)
M<0
f
f (x) 0
x
f ( x) M z ( x) EI z
EIf (x) ( (M (x))dx)dx C1x C2
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
8
支点位移条件:
fA 0 fB 0
连续条件: fC fC
fD 0 D 0
或写成 fC 左 fC 右
光滑条件: 讨论:
C C
或写成 C 左 C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条
件)确定。
④优点:使用范围广,直接求出较精确;缺点:计算较繁。 9
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解: 建立坐标系并写出弯矩方程
连续光滑条件:
当x x l时,y y ,
1
2
1
2
1
2
代入以上积分公式中,解得:
C1
Fl 2 12EI
,C2
5Fl 2 6EI
,D1
0,D2
Fl 3 4EI
《梁的挠度及转角 》课件
长度、弯曲刚度等因素。
有限元分析
在现代工程分析中,有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元,可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下,对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素,通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文,文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ,单击此处添加正文,文字是您思想的提炼,为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小,从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果,提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析;
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致, 证明了理论的正确性和实用性;
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标,应加强监测和理论研究,以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法:理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料,了解工程概况和梁的结构特点 ; 2. 进行理论计算,预测梁的挠度和转角;
案例分析方法与步骤
3. 实地监测,获取梁 的实际挠度和转角数 据;
有限元分析
在现代工程分析中,有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元,可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下,对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素,通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文,文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ,单击此处添加正文,文字是您思想的提炼,为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小,从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果,提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析;
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致, 证明了理论的正确性和实用性;
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标,应加强监测和理论研究,以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法:理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料,了解工程概况和梁的结构特点 ; 2. 进行理论计算,预测梁的挠度和转角;
案例分析方法与步骤
3. 实地监测,获取梁 的实际挠度和转角数 据;
第章 梁的弯曲变形ppt课件
2. 求积分常数
P D
A
M1(x) C
M2(x) PB
(1)支点位移条件:
vD 0 D 0
vA 0 vB 0
(2)连续条件: vC vC 或写 vC 左 成 vC 右
(3)光滑条件:
C
C
或 写 C左 成C右
编辑版pppt
21
编辑版pppt
vC左 vC右
C左 C右
vC左 vC右
A
A
l
RA
x1
x2
a
F
C
b
B B x
RB
E I2 F 2 lbx 2 2F 2(x 2 a )2F 6 lb(l2 b 2) (3)
E I v 2 F 6 lb x 2 3 F 6(x 2 a )3 F 6 lb (l2 b 2 )x 2 (4)
编辑版pppt
31
EIv1F 6lbx1 3F 6lb(l2b2)x1 E I2F 2lbx2 2F 2(x2a)2F 6lb(l2b2)
应点的切线的斜率。
编辑版pppt
13
§10-2 挠曲线的近似微分方程
推导纯弯梁横截面正应力时,得到挠曲线的曲
率公式: 1 M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响,也可
用上式计算横力弯曲梁的变形:
P
1 M(x)
D
(x) EIz
以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然,在
纯弯曲时,曲率为常数,其挠曲线为一圆弧。在横力
挠度转角挠曲线挠度方程转角方程边界条件挠度转角挠曲线挠度方程转角方程边界条件连续条件光滑条件连续条件光滑条件教学重点教学重点1挠度转角的概念2积分法求梁的挠度和转角3叠加法求梁指定截面的挠度和转角挠度和转角44刚度条件的应用刚度条件的应用教学难点教学难点1挠曲线微分方程的建立2挠度转角函数的确定要求
材料力学-梁的挠度 PPT
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程,并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解:1.外力分析:求支座约束反力。 研究梁ABC,受力分析如图,列平衡方程:
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加(逐段刚化法)
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件:
fA 0 fB 0
连续条件: fC fC
光滑条件: 讨论:
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条
件)确定。
④优点:使用范围广,直接求出较精确;缺点:计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解:
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的,可以询问和交
对于等截面直梁,挠曲线近似微分方程可写成如下形式:
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第九章 梁的弯曲变形
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形,梁不但要满足强 度条件,还要满足刚度条件,即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围,否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线:图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下,将产生平面弯 曲,变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线, 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分:
积分一次得转角方程:
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程:
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件(梁中已知的截面 位移)确定:
0 , y 0 简支梁: y A B
悬臂梁: 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数,通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度, 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁,跨度为l,受均布载荷 q作用,梁的抗弯曲刚度EI已知,求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解:梁的弯矩方程为:
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号,微分 方程式应取正号,即: 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件:梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形,梁不但要满足强 度条件,还要满足刚度条件,即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围,否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线:图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下,将产生平面弯 曲,变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线, 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分:
积分一次得转角方程:
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程:
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件(梁中已知的截面 位移)确定:
0 , y 0 简支梁: y A B
悬臂梁: 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数,通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度, 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁,跨度为l,受均布载荷 q作用,梁的抗弯曲刚度EI已知,求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解:梁的弯矩方程为:
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号,微分 方程式应取正号,即: 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件:梁的变 形是线弹性的小变形。
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《梁的挠度及转角 》课件
静载荷
载荷大小和方向不随时间变化,转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化,需要考虑时间因素 对转角的影响,计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载,可能导致梁发生大变形和 瞬时转角,需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词:实际应用
详细描述:梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题,特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等,使挠度和转角在一个 合理的范围内,以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计,通过优化截面尺寸和材料分 布,显著降低了挠度,提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计,通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸,有效控制了转角,增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计,综合考虑挠度和转角的 影响,优化了整体结构,实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下,梁的挠度值可能 较大,需要考虑动载荷对挠度的影 响,可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中,梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用,需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件, 通过数学公式计算转角。
实例分析一:简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型,其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角,以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
载荷大小和方向不随时间变化,转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化,需要考虑时间因素 对转角的影响,计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载,可能导致梁发生大变形和 瞬时转角,需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词:实际应用
详细描述:梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题,特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等,使挠度和转角在一个 合理的范围内,以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计,通过优化截面尺寸和材料分 布,显著降低了挠度,提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计,通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸,有效控制了转角,增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计,综合考虑挠度和转角的 影响,优化了整体结构,实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下,梁的挠度值可能 较大,需要考虑动载荷对挠度的影 响,可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中,梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用,需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件, 通过数学公式计算转角。
实例分析一:简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型,其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角,以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
《梁的变形计算》课件
塑性变形计算需要考虑材料的 屈服点和应力应变曲线等参数 。
塑性变形计算方法适用于梁在 长期受力作用下的变形计算, 但精度也相对较低。
03
梁的变形实例分析
简支梁的变形计算
简支梁的变形计算公式
结果分析
$f = frac{M}{EI}$,其中$M$为梁所 受的弯矩,$E$为弹性模量,$I$为梁 的惯性矩。
根据计算,该简支梁在集中力偶作用 下的挠度为0.12m。
计算实例
以跨度为6m,截面为矩形(高 200mm,宽300mm)的简支梁为例 ,计算其在跨中作用集中力偶 M=10kN·m时的挠度。
连续梁的变形计算
1 2 3
连续梁的变形计算公式
对于等跨连续梁,其最大挠度可按简支梁计算; 对于不等跨连续梁,需按弹性理论或实验方法确 定。
结果分析
根据计算,该悬臂梁在集中力偶作用下的挠度为0.15m。
04
梁的变形与结构安全
梁的变形对结构安全的影响
梁的变形会导致结构 承载能力下降,影响 结构安全。
梁的变形会导致结构 疲劳损伤,缩短结构 使用寿命。
梁的变形会导致结构 稳定性降低,容易发 生失稳和倒塌。
防止梁的变形的措施
加强梁的支撑和约束,提高梁的 刚度和稳定性。
THANKS
感谢观看
新型材料的梁的变形研究
总结词
研究新型材料(如碳纤维、玻璃纤维等)对梁的变形特性的 影响。
详细描述
随着新型材料的广泛应用,研究其在梁结构中的变形行为对 于工程应用具有重要意义。需要深入探讨新型材料的梁在受 力过程中的变形规律、破坏模式和承载能力等方面的特性。
高温环境下梁的变形研究
总结词
研究高温环境下梁的变形行为和热应力分布。
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学:
1
r (x)
=±(1+ww2)3/2
± w w (1+ 2)3/2
=
M(x) E Iz
M < 0,w > 0
M > 0,w < 0
取负号!
- w w (1+ 2)3/2
=
M(x) E Iz
w w (1+ 2)3/2
=-
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=-
DB段(a≤x≤l): M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时:
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时: w1 0 x = l 时: w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段( 0≤ x ≤ a ):
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段( a ≤ x ≤ l ):
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁,若挠曲线上无拐点, 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3:悬臂梁如图,已知F、a,M=0.5 Fa,
梁的弯曲刚度 EI 为常数,试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
梁的挠和转角及挠曲线近似微分方程PPT课件
三、梁的挠曲线近似微分方程
在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为
1M EI
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
5
第5页/共9页
在横力弯曲下,梁的横截面上除弯矩M=M(x)外,还有剪力FS=FS(x),剪 力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往 大于横截面高度h的10倍,此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计,而有
在图示坐标系中,挠度w向下为正,向上为负; 顺时针转向的转角为正,逆时针转向的转角为负。
1
第1页/共9页
思考题:梁的截面位移与变形有何区别?有何联系? 答:梁的截面位移是指:截面形心的线位移和截面相对其原来位置的角位移, 即挠度和转角。梁的变形体现在梁轴线的变化:梁的各截面发生位移,导致 梁变形;梁的各截面形心的线位移所描述的曲线即为变形后的轴线。
x
1
x
M x
EI
注意:对于有些l/h>10的梁,例如工字形截面等直梁,如同在核电站中会遇到 的那样,梁的翼缘由不锈钢制作,而主要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量 较小的复合材料制作,此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
6
第6页/共9页
从几何方面来看,平面曲线的曲率可写作
1
x
w 1 w2
3/ 2
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线曲 率的大小)有关,也与支座约束的条件有关。图a和图b所示两根梁,如果它 们的材料和尺寸相同,所受的外力偶之矩Me也相等,显然它们的变形程度 (也就是挠曲线的曲率大小)相同,但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不 同。
4
第4页/共9页
(方案)梁的挠度和转角.ppt
答案 D
演示课件
2、挠曲线的特征:光滑连续曲线(2)
FA=0
A
C
D
FB=0
MCD=const
B 答案 D
演示课件
2、挠曲线的特征:光滑连续曲线(3)
FA=0
FB=P
A
MBD=const
M
B
M
B
pl
p
pl
C
B
D
p
pl
p
答案C
pl
p
p
pl
pl
演示课件
3、挠曲线的近似微分方程
(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系
支座反力,分段列弯矩方程; 分段的原则:
①凡载荷有突变处(包括中间支座),应作为分段点;
②凡截面有变化处,或材料有变化处,应作为分段点;
③中间铰视为两个梁段间的联系,此种联系体现为两部分之间 的相互作用力,故应作为分段点;
演示课件
第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程,并对其积分 两次
y
p
c
c
w
x
x
1、度量弯曲变形的两个量:
(1)挠度:梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线 位移ω称为挠度。(工程上的一般忽略水平线位移)
(2)转角:梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所 转过的角位移θ称为转角。ห้องสมุดไป่ตู้演示课件
第八章 弯曲变形 /一、弯曲变形的量度及符号规定
梁的挠度和转角 2、符号规定:
演示课件
(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程
2 2
d2 dx2
=
M(x) EI
d2 dx2
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a A RA x1 x2 l P C b B RB
Segment CB:
b M ( x2 ) Px 2 P( x2 a) l
( a x2 l )
(2) The equation of the deflection curve Segment AC
0 x1 a
b Px1 l
RA
1 ql 3 q 4 ql3 qx 3 y ( x x x) (l 2lx 2 x3 ) EI 12 24 24 24EI
(3) Maximum deflection and maximum angle of rotation
5ql 4 yC y | l x 384 EI 2
(g)
Continuity conditions:
y1 |x1 a y2 |x2 a ,
C1 C2 ,
y1' |x1 a y '2 |x2 a
(i)
(h)
Substituting (b), (c) ,(e) and (f) into (h),
D1 D2
Substituting (g) into (c) and (f) , and using (i), we get
(挠曲线的近似微分方程)
Beam deformation ---- The integration method
(梁的变形 -- 积分法)
Beam deformation ---- The method of superposition
(梁的变形 -- 叠加法)
Rigidity condition under bending
Boundary conditions:
(c)
y x0 0,
ql C , 24
'
3
y xl 0
y q A
3
Substituting them into (c), we have
D0
B
x x l RB
1 ql 2 q 3 ql y ( x x ) EI 4 6 24 q (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24EI
The analysis and design of statically indeterminate structures.
6.2 Deflection and Angle of Rotation of Beam Sections
The deflection curve :
y A x l θ θ
Example 2 A simply supported beam carries a uniformly distributed load q. Solution: (1) bending moment equation
ql R A RB 2
A
x y q B x
qx2 ql qx2 M ( x) R A x x 2 2 2
y A l a P B x
y1 xa y2
x a
Angle of rotation
y b P B x
1 xb 2 xb
or
A
l
xb y2 y1
x b
Example 1 A cantilever beam carries a load P at point B.
浙江大学紫金港校区西1-203 2008-03-23
Chapter 6 Deformations of Beams
Deflection and angle of rotation of beam sections
(梁横截面的挠度与转角)
Approximate differential equation of the deflection curve
(弯曲的刚度条件)
Statically indeterminate beams
(静不定梁)
6.1 Introduction
Minimize or prevent the bending deformations
Make use of the bending deformations
N
Solution:
(1) determine bending moment equation
M ( x) P(l x) Pl Px (2) Determine the equations of deflection and angle of rotation
EIy" M ( x) Pl Px
and y
Discussion:
(1) Both y and are the most fundamental parameters
which depict the deformations of beam.
l l ~ y max 1000 250
Small deformation (2) Convention of sign
dx
small ) 2 1
d2 y 2 dx
d y M ( x) 2 EI dx
2
d y M ( x) 2 EI dx
y y
2
M>0
M<0
x x
O
d y 0 2 dx
2
O
d2 y 0 2 dx
d 2 y M ( x) 2 EI dx
or
d2 y EI 2 M ( x) dx
'' EIy1 M ( x1 )
(a)
a A RA x1 P C b B RB
2 b x ' (b) EIy1 P 1 C1 l 2 3 b x1 (c) EIy1 P C1 x1 D1 l 6 Segment CB a x2 l b '' EIy2 M ( x2 ) Px2 P( x2 a) l
M EI 1
(Pure bending)
l x) EI
Using the mathematical relation
1 ( x)
d2 y dx 2
dy 1 ( ) dx
3 22
(
dy
y
A
θ
C
B’ θ
C
yC
C
B
x
x
l
P
if
x-axis: right
y-axis: upwards
y θ
Upwards, positive Downwards, negative Counterclockwise, Clockwise,
6.3 Approximate Differential Equation of the Deflection Curve
Substituting them into (b) and (c ), we get C =D=0
y'
1 P Px ( Plx x 2 ) (2l x) A EI 2 EI 1 Pl 2 P 3 Px2 y ( x x ) (3l x) EI 2 6 6 EI
y B x l P x yB
(3) maximum deflection and maximum angle of rotation (x=l)
Pl 2 B 2 EI
max
y max
Pl 2 2 EI
(clockwise)
Pl3 yB 3EI
Pl 2 3EI
(downwards)
Example 3 A simple beam carries a concentrated
force P.
Solution: (1) bending moment equation
b a RA P, RB P l l Segment AC: b M ( x1 ) Px1 (0 x1 a) l
RA
l
RB
(2) The equation of the deflection curve
2 ql qx EIy" x 2 2
(a)
Integrating twice in x, we obtain 3 ql qx ( b) EIy' x 2 C 4 6
ql 3 qx4 EIy x Cx D 12 24
C1 C2 Pb 2 (l b 2 ) 6l
a A RA x1 x2 l
P C
b B RB
D1 D2 0
Segment AC
'
0 x1 a
a A RA x1 x2 l P C b B RB
Upon Integration, we get
EI const
dy EI M ( x)dx C dx
Integrating once again,
dy f 2 ( x) dx
EIy M ( x)dxdx Cx D
y = f 1 ( x)
1. boundary conditions (边界条件) rigidly fixed support
y A
y f ( x)
dy tg y dx
θ
C
The equation of the deflection curve
small
tg
B’
dy y dx
The equation of the angle of rotation
θ x l
C
yC
C
B P
x
The relationship between
Segment CB:
b M ( x2 ) Px 2 P( x2 a) l
( a x2 l )
(2) The equation of the deflection curve Segment AC
0 x1 a
b Px1 l
RA
1 ql 3 q 4 ql3 qx 3 y ( x x x) (l 2lx 2 x3 ) EI 12 24 24 24EI
(3) Maximum deflection and maximum angle of rotation
5ql 4 yC y | l x 384 EI 2
(g)
Continuity conditions:
y1 |x1 a y2 |x2 a ,
C1 C2 ,
y1' |x1 a y '2 |x2 a
(i)
(h)
Substituting (b), (c) ,(e) and (f) into (h),
D1 D2
Substituting (g) into (c) and (f) , and using (i), we get
(挠曲线的近似微分方程)
Beam deformation ---- The integration method
(梁的变形 -- 积分法)
Beam deformation ---- The method of superposition
(梁的变形 -- 叠加法)
Rigidity condition under bending
Boundary conditions:
(c)
y x0 0,
ql C , 24
'
3
y xl 0
y q A
3
Substituting them into (c), we have
D0
B
x x l RB
1 ql 2 q 3 ql y ( x x ) EI 4 6 24 q (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24EI
The analysis and design of statically indeterminate structures.
6.2 Deflection and Angle of Rotation of Beam Sections
The deflection curve :
y A x l θ θ
Example 2 A simply supported beam carries a uniformly distributed load q. Solution: (1) bending moment equation
ql R A RB 2
A
x y q B x
qx2 ql qx2 M ( x) R A x x 2 2 2
y A l a P B x
y1 xa y2
x a
Angle of rotation
y b P B x
1 xb 2 xb
or
A
l
xb y2 y1
x b
Example 1 A cantilever beam carries a load P at point B.
浙江大学紫金港校区西1-203 2008-03-23
Chapter 6 Deformations of Beams
Deflection and angle of rotation of beam sections
(梁横截面的挠度与转角)
Approximate differential equation of the deflection curve
(弯曲的刚度条件)
Statically indeterminate beams
(静不定梁)
6.1 Introduction
Minimize or prevent the bending deformations
Make use of the bending deformations
N
Solution:
(1) determine bending moment equation
M ( x) P(l x) Pl Px (2) Determine the equations of deflection and angle of rotation
EIy" M ( x) Pl Px
and y
Discussion:
(1) Both y and are the most fundamental parameters
which depict the deformations of beam.
l l ~ y max 1000 250
Small deformation (2) Convention of sign
dx
small ) 2 1
d2 y 2 dx
d y M ( x) 2 EI dx
2
d y M ( x) 2 EI dx
y y
2
M>0
M<0
x x
O
d y 0 2 dx
2
O
d2 y 0 2 dx
d 2 y M ( x) 2 EI dx
or
d2 y EI 2 M ( x) dx
'' EIy1 M ( x1 )
(a)
a A RA x1 P C b B RB
2 b x ' (b) EIy1 P 1 C1 l 2 3 b x1 (c) EIy1 P C1 x1 D1 l 6 Segment CB a x2 l b '' EIy2 M ( x2 ) Px2 P( x2 a) l
M EI 1
(Pure bending)
l x) EI
Using the mathematical relation
1 ( x)
d2 y dx 2
dy 1 ( ) dx
3 22
(
dy
y
A
θ
C
B’ θ
C
yC
C
B
x
x
l
P
if
x-axis: right
y-axis: upwards
y θ
Upwards, positive Downwards, negative Counterclockwise, Clockwise,
6.3 Approximate Differential Equation of the Deflection Curve
Substituting them into (b) and (c ), we get C =D=0
y'
1 P Px ( Plx x 2 ) (2l x) A EI 2 EI 1 Pl 2 P 3 Px2 y ( x x ) (3l x) EI 2 6 6 EI
y B x l P x yB
(3) maximum deflection and maximum angle of rotation (x=l)
Pl 2 B 2 EI
max
y max
Pl 2 2 EI
(clockwise)
Pl3 yB 3EI
Pl 2 3EI
(downwards)
Example 3 A simple beam carries a concentrated
force P.
Solution: (1) bending moment equation
b a RA P, RB P l l Segment AC: b M ( x1 ) Px1 (0 x1 a) l
RA
l
RB
(2) The equation of the deflection curve
2 ql qx EIy" x 2 2
(a)
Integrating twice in x, we obtain 3 ql qx ( b) EIy' x 2 C 4 6
ql 3 qx4 EIy x Cx D 12 24
C1 C2 Pb 2 (l b 2 ) 6l
a A RA x1 x2 l
P C
b B RB
D1 D2 0
Segment AC
'
0 x1 a
a A RA x1 x2 l P C b B RB
Upon Integration, we get
EI const
dy EI M ( x)dx C dx
Integrating once again,
dy f 2 ( x) dx
EIy M ( x)dxdx Cx D
y = f 1 ( x)
1. boundary conditions (边界条件) rigidly fixed support
y A
y f ( x)
dy tg y dx
θ
C
The equation of the deflection curve
small
tg
B’
dy y dx
The equation of the angle of rotation
θ x l
C
yC
C
B P
x
The relationship between