2019汕头一模理科数学(教师版)

2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|log 0},{|2}A x x B x x =>=≤，则A B =（ ）A ．{|2}x x ≤B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤≤D ．{|12}x x <≤1．答案：D解析：22{|log 0log 1}{|1},{|2},{|12}A x x x x B x x A B x x =>==>=∴=<≤≤．2．已知,i R a ∈是虚数单位，复数2i1ia z +=+，若z =a = （ ） A ．0B ．2C ．2-D ．1 2．答案：A解析：22i 2i2,44,01i 1ia a z a a ++=====+==++． 3则X 的数学期望()E X =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．23．答案：B 解析：由841127927m +++=，得29m =，所以8421()01231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 4．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a b +与向量c 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．答案：D解析：(3,3)a c k -=-，因为()//a c b -，所以(3)331k -⨯=⨯，解得2k =，当2k =时，()(4,4),(2,2),0a b b a b c +==-∴+⋅=，所以向量a b +与向量c 的夹角为2π． 5．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)5．答案：B解析：由抛物线的定义可知该圆必过抛物线的焦点(2,0)．()y g x=的图象，则()g x在,88-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．1-B．C．12-D．06．答案：A解析：5()sin2sin233412g x f x x xππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3,88xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以522,1233xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52122xππ-=-，即24xπ=-时，min()1g x=-．7．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．320B．340C．920D．9407．答案：C解析：6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有3620C=个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有：1339C=个，所以所求概率为920．8．在正方体1111ABCD A B C D-中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线1AO，下列说法正确的是（）A．11//AO D C B．1AO BC⊥C．1//AO平面11B CD D．1AO⊥平面11AB D 8．答案：C解析：选项A，连接1A B，则11//A B D C，因为1A B与1AO相交，所以A错；选项B，取AB中点E，连接1,A E OE，则//OE BC，在1AEO△中，190A EO∠=︒，所以1AO与OE不垂直，所以1AO 与BC 不垂直，B 错； 选项C ，设11111AC B D O =，连接1CO ，则11CO AO ，所以四边形11AO CO 是平行四边形， 所以11//AO CO ，又因为1AO ⊄平面11B CD ，1CO ⊂平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD ，C 正确； 选项D ，连接1AC ，易证得，1AC ⊥平面11AB D ，所以1AO 与平面11AB D 不垂直，D 错．ABCDA 1B 1C 1D 1OABCDA 1B 1C 1D 1OEABCDA 1B 1C 1D 1OO 1ABCDA 1B 1C 1D 1O9．若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()+∞ B ．(1,)+∞C ．)+∞D ．[1,)+∞9．答案：C解析：由题意，,22x ππ⎛⎫∀∈-⎪⎝⎭，()(sin cos )0x f x e x x a '=-+-≤恒成立，即 cos sin 4a x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭≥恒成立，当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， cos ,1,(424x x ππ⎛⎤⎛⎫⎛⎫∴+∈-+∈- ⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎦，所以实数a 的取值范围是)+∞． 10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，与双曲线的渐近线交于,C D 两点，若35AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦10．答案：B解析：渐近线方程为b y x a =±，将x c =代入，得2,,,,bc bc bc C c D c CD a a a ⎛⎫⎛⎫-∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， AB 为双曲线的通径，22b AB a =，因为35AB CD ≥，所以22325b bca a⋅≥，即35b c ≥，则22222992525b c c a c ⇒-≥≥，即221625c a ≥，则22516e ≥，则54e ≥． 11．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,30,ABC ABC APC ∠=︒△的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为（ ） A ．323π B ．43π C ．64π D ．4π11．答案：A解析：因为PA ⊥平面ABC ，所以是圆柱模型，设,AC m PA h ==，则12,42APC S hm hm ==∴=△，设ABC △外接圆半径为r ，P ABC -的外接球半径为R ，则2sin 30mr =︒，r m =，所以22242h R r rh ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭≥，即R 的最小值为2，所以外接球的体积的最小值为323π．12．定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足1()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[ln ,0]ππ-12．答案：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．，2222sin cos 44cos 2sin 2sin 22sin cos 2444cos sin 4442tan 22443162511tan 94ππααππππαααααππααπαπα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭===⎛⎫+++ ⎪⎝⎭15．在25(1)ax x -+的展开式中，3x 的系数为30，则实数a 的值为 ． 15．答案：1-解析：展开式中含3x 的项为22320313121335521()()1()()(1020)C ax x C C ax x a a x ⋅-⋅+⋅-⋅=--，所以3102030a a --=，3230a a ++=，2(3)(1)0a a a -++=，所以1a =-．16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,1a b c a =，且2(2)cos cos 1bc A ac B b -+=-，则ABC △面积的最大值为 ．16解析：由2(2)cos cos 1bc A ac B b -+=-，得2(cos cos )12cos c b A a B b A ++=+，所以2212cos c b A +=+，故221cos 2c b A +-=，又由余弦定理，222cos ,12c b a A a bc+-==，故1bc =，又221211cos 222c b bc A +--==≥，所以sin 2A ≤，故1sin 24ABC S bc A =△≤仅当1b c ==即ABC △为等边三角形时等号成立，所以ABC △面积的最大值为4． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <． 17．解析：（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，………………………………………………1分 当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， 1112(1)21n n n S n a a ---=-+-②……………………2分 -①②，得112(1)22n n n n n a na n a a a --=--+-，即1(1)n n na n a -=+，………………………………3分所以11n n a a n n -=+，且1122a =，………………………………………………………………………………4分 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，………………………………………………………………………………5分 112n a n =+，即1()2n n a n N *+=∀∈．……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得12n n a +=，所以22144114(1)(1)1n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪+++⎝⎭，…………………………8分 所以22224444234(1)n T n =+++++，………………………………………………………………9分4444122334(1)n n <++++⨯⨯⨯+，…………（没写也不扣分）……………………………………10分111111141223341n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………………………………………11分14141n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．……………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60,ABC E ∠=︒是BC 中点，F 是PC 上的点．（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 的所成角的正弦值为15？若存在，请求出PF PC的值，若不存在，请说明理由． ABCDPF M18．解析：（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC △是正三角形， E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，……………………………………………………………………1分 又//,AD BC AE AD ∴⊥，……………………………………………………………………………2分PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，…………………………………………3分又,PAAD A AE =∴⊥平面PAD ，………………………………………………………………4分又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD ．……………………………………………………5分 （2）以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设2AB AP ==，则AE =则(0,0,0),,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A C D P E M ，………………………………6分设,2)PF PC λλ==-，则(0,0,2),2),,22)AF AP PF λλλ=+=+-=-，……7分 又(3,0,0)AE =，设(,,)n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则303(22)0n AE x n AF x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，取z λ=，得22,n λλ=-（0，），……………………………………………………………………9分 设直线EM 与平面AEF 所成角为θ，由(,1)EM =，得：1sin cos ,55EM n EM n EM nθ⋅====⋅．………………………………………10分化简得：2101340λλ-+=，解得12λ=或45λ=， 故存在点F 满足题意，此时PF PC 为12或45．………………………………………………………………12分B19．（本小题满分12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布(32,16)N ．（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x （人）与年收益增量y （万元）的数据如下：该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：ˆ 4.111.8yx =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：y a =的附近，对人工投入增量x 做变换，令t =则y b t a =⋅+，且有7722.5,38.9,()()81.0,()3.8t y t t y y t t ==--=-=．（i ）根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程（精确到0.1）；（ii ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．附：若随机变量2(,)Z N μσ～，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，100.99870.9871≈；样本(,)(1,2,,)i i t y i n ⋯＝的最小二乘估计公式为：121()()ˆˆˆ,()nii i nii tt y y bay bt tt ==--==--∑∑， 另，刻画回归效果的相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑19．解析：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量(32,16)N ξ～，则32,4μσ==，…………………1分 由正态分布的对称性可知，111(20)[1(2044)][1(33)](10.9974)0.0013222P P P ξξμσξμσ<=-<<=--<<+=-=，…3分设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g 的牡蛎为X 只，故(10,0,0013)X B ～，…4分 故10(1)1(0)1(10.0013)10.98710.0129P X P X =-==--=-=≥，所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性仅为1.29%．……………………5分 （2）（i ）由772112.5,38.9,()()81.0,()3.8iiii i t y t t y y tt ====--=-=∑∑，有71721()()81.0ˆ21.33.8()iii i i t t y y bt t ==--==≈-∑∑，………………………………………………………………6分 且ˆˆ38.921.3 2.514.4ay bx =-=-⨯≈-，……………………………………………………7分 所以，模型②中y 关于x 的回归方程为ˆ14.4y= ………………………………………………8分（ii ）由表格中的数据，有182.479.2>，即772211182.479.2()()iii i y y y y ==>--∑∑…………………………9分模型①的2R 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．……………………………………10分 当16x =时，模型②的收益增量的预测值为ˆ21.314.421.3414.470.8y==⨯-=（万元），…………………………………………11分 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．……………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，点A 在椭圆C 上，12AF =，1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若,P Q 的中点为N ，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得MN PQ ⊥？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 20．（1）由12c e a ==，得2a c =，……………………………………………………………………1分 122,22AF AF a ==-，………………………………………………………………………………2分在12AF F △中，由余弦定理得：2221212122cos AF AF AF AF A F F +-⋅=，代入化简得2440a a -+=，………………………………………………………………………………3分解得2a =，从而1c =，2223b a c =-=，………………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………………………5分 （2）存在这样的点M 符合题意．设112200(,),(,),(,)P x y Q x y N x y ，由2(1,0)F ，设直线PQ 的方程为(1),0y k x k =-≠，…………………………………………6分由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k +-+-=，…………………………………………7分 22222(8)4(43)(412)144(1)0k k k k ∆=--+-=+>，由2122843k x x k +=+，得212024243x x k x k +==+，………………………………………………8分又点N 在直线PQ 上，所以2002243(1)14343k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭，……………………9分 所以22243,4343k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．若有MN PQ ⊥，则22230143443MNk k k k k m k --+==--+，……………………………………………………10分 整理得221k m ==，…………………………………………………………………………11分12分已知2()(2)(0)2x f x ax ax x e a =-++->． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在3个零点，求实数a 的取值范围．21．解析：（1）()(2)(1)()x x x f x ax a e x e x e a '=-+++-=--……………………………………1分 因为0a >，由()0f x '=，得11x =或2ln x a =．……………………………………………………2分 （i ）当0a e <<时，1ln a >，在(,ln )a -∞和(1,)+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在(ln ,1)a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，…………………………………………………………3分 （ii ）当a e =时，1ln a =，在(,)-∞+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，……………………4分（iii ）当a e >时，ln 1a >，在(,1)-∞和(ln ,)a +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在(1,ln )a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，…………………………………………………………5分（2）211()(2)(2)22x x f x ax ax x e x x e ⎛⎫=-++-=--+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 有一个零点2x =．……………………………………………………………………………6分 要使得()f x 有3个零点，即方程10(2)2x ax e x -+=≠有2个实数根， 又方程120(2)(2,0)2x xe ax e x a x x -+=≠⇔=≠，令2()(2,0)x e h x x x=≠，………………7分 即函数y a =与()y h x =图像有两个交点，令22222(1)()0x x x xe e e x h x x x --'===，得1x =……………………………………………………8分 ()h x 的单调性如表：2(,)e +∞在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y a αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）设P 是曲线C 上的一个动点，若点P 到直线l 的距离的最大值为2，求a 的值； （2）若曲线C 上任意一点(,)x y 都满足2y x +≥，求a 的取值范围．22．解析：（1）依题意得曲线C 的普通方程为22()4x y a +-=，……………………………………1分因为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 4ρθρθ-=，因为cos ,sin x y ρθρθ==， 因为直线l 的直角坐标方程为4y x -=，即40x y -+=，…………………………………………2分所以圆心(0,)C a 到直线l 3分22=，…………………………………………………………………4分因为0a >，解得8a =．………………………………………………………………………………5分（2）因为曲线C 上任意一点(,)x y 都满足2y x +≥2，…………………………7分所以2a -≥2a -≤2a +≥9分又0a >，所以a 的取值范围为[2)++∞．…………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()22()f x x k x k =++-∈R ．（1）若4k =，求不等式2()24f x x x --≥的解集；（2）设4k <-，当[1,2]x ∈-时都有2()24f x x x -+≥，求k 的取值范围．23．解析：（1）因为4k =，所以()242f x x x =++-，所以32,2()6,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-⎨⎪+>⎩≤≤…1分 当2x <-时，由2()24f x x x --≥，得23224x x x ----≥，即220x x +-≤，得12x -≤≤． 所以不等式无解………………………………………………………………………………………………2分当22x -≤≤时，由2()24f x x x --≥，得2624x x x +--≥，即23100x x --≤，得25x -≤≤．所以22x -≤≤………………………………………………………………………………………………3分 当2x >时，由2()24f x x x --≥，得23224x x x +--≥，即2560x x --≤，得16x -≤≤， 所以26x <≤…………………………………………………………………………………………………4分 综上所述，不等式2()24f x x x --≥的解集为：{|26}x x -≤≤．…………………………………5分 （2）因为4k <-，所以22k->，…………………………………………………………………………6分 因为[1,2]x ∈-，所以()32f x x k =-+-，………………………………………………………………7分 因为2()24f x x x -+≥在[1,2]-上恒成立，所以23224≥x k x x -+--+，即220≤x x k +++，………………………………………………8分 令2()2([1,2])g x x x k x =+++∈-，依题意可知()0≤g x 恒成立，所以(2)0≤g ，即8≤k -，…………………………………………9分 所以k 的取值范围为(,8]-∞-．…………………………………………………………………………10分。