1虚位移原理与达朗贝尔原理

理想约束情况，式中的Fi为质点系的主动力
证明平衡条件的必要性与充分性
必要性。当质点系保持平衡时，其中任一质点也 平衡。作用于该质点的主动力的合力Fi与约束力 的合力Fci相平衡，由汇交力系的平衡条件得
Fi Fci 0
给质点系一组虚位移，其中该质点的虚位移为 ri。 上式两边同乘以ri得
( xB x A ) ( y B y A ) b
2 2
2
对其作变分运算，得到
( xB x A )(δxB δx A ) ( y B y A )(δy B δy A ) 0
容易验证上述虚位移满足此约束条件
（2）由广义力的表达式得相应于广义坐标1、2的广 义力
4.虚位移原理
虚位移原理/虚功原理，它更一般、概括地给出了 质点系平衡的充分必要条件。 定义：具有双面、定常、理想约束的质点系，保持 平衡的充分必要条件是，作用于该质点系的所有主 动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零
W F r (F x
i i ix i i
Hale Waihona Puke Baidu
i
Fiyyi Fizzi ) 0
rA rB rB Q1 F1 F2 F θ1 θ1 θ1 y A y B x B F1 F2 F θ1 θ1 θ1 Fa cosθ1 ( F1 F2 )a sin θ1
rA rB rB Q2 F1 F2 F θ 2 θ 2 θ 2 y A y B x B F1 F2 F θ 2 θ 2 θ 2 Fb cosθ 2 F2 b sin θ 2
质点系进入运动的质点上力的虚功都大于零，而其 余平衡的质点上力的虚功均等于零。将质点系的所 有虚功相加得
F r F
i i i i
ci
ri 0
理想约束时，上式成为
F r
i i
i
0
它与原假设“虚功总和等于零”矛盾。故质点系必 然保持平衡。
虚功方程是一个代数方程，却包含了质点系的多个 平衡关系。将各质点的虚位移通过广义虚位移表示， 得到 n n k ri W Fi ri Fi q q j i 1 i 1 j 1 j
充分性。反证法。设主动力的虚功总和等于零，但 质点系不平衡。则质点系至少有一个质点将进入运 动状态，以其中一个质点Mj为例。由质点动力学定 律知，其小位移将沿主动力Fj和约束力Fcj的合力方 向。对于定常约束情况，实际的微小位移也是一个 虚位移，记为rj，于是有虚功
F j r j Fcj r j 0
xB a sin θ1 b sin θ2
y B a cosθ1 b cosθ2
其虚位移通过广义虚位移表示为
x A x A δx A δθ1 δθ2 a cosθ1δθ1 θ1 θ 2 y A y A δy A δθ1 δθ2 a sin θ1δθ1 θ1 θ 2
x y l 0
2 2 2
O
x
θ
这是几何、定常的、双面的、 完整的约束。
y
M 图1.1
对于质点M来说，它是一个 外约束。
例如图1.2所示，半径为R的圆轮在平面上沿直线纯 滚动。
y

C v x 图1.2
O
解： 轮受到平面的两个约束： 其一是轮心C到平面的距离不变： ycR=0 vR =0 几何、定长、双面、完整的约束
x B x B δx B δθ1 δθ2 a cosθ1δθ1 b cosθ 2 δθ2 θ1 θ 2
y B y B δy B δθ1 δθ2 a sin θ1δθ1 b sin θ 2 δθ2 θ1 θ 2
该虚位移满足约束条件。例如杆AB的约束方程为
高等动力学
应祖光
yingzg@zju.edu.cn
一 虚位移原理与达朗贝尔原理
1 2 3 4 5 约束及其分类
自由度与广义坐标
虚位移、虚功与广义力 虚位移原理 达朗贝尔原理
1.约束及其分类
基本概念
质点系：由n个质点通过一定的联系组 成的研究系统
位形：质点系各质点在同一时刻的位置 构成
约束：对于质点系位形和运动的限制或 限制条件 分为内约束、外约束
A

vC D F1 vD F F1
′
B
vBx
x
y
图1.4
解： 三角形ACD可看作刚体。结构的自由度由刚体 ACD的角坐标1、杆BC的角坐标2和点C的坐标xC、 yC减去铰C和支座B的三个约束确定，为4-3=1。
选取铰B的x坐标为广义坐标，则广义虚位移为 xB。 （1）用虚速度法计算虚位移。
铰B的虚位移为xB。
i 1,2,, n
广义速度：广义坐标关于时间的导数
系统各个质点的速度通过广义速度表示为
xi xi xi qj t j 1 q j
k
yi yi yi qj t j 1 q j
k
)
z i z i zi qj t j 1 q j
真实位移：由随时间演变的真实运动所决定，于主动力、
时间、约束等均相关，是唯一确定的
虚位移通常有多种。对于定常约束情况，系统的无 限小的真实位移是虚位移之一。对于非定常约束情 况，系统的真实位移不一定是虚位移。
(2)广义虚位移：广义坐标相应的虚位移(qj)，相互 独立。
各个质点的矢量坐标相应的虚位移相互不完全 独立，通过广义虚位移表示为
广义坐标：确定系统位形所需的独立参变量
它是代数量，可以是具有明确物理意义的线坐 标、角坐标，也可以不具有任何意义，但便于 描述系统位形。
完整系统的广义坐标数等自由度。k=3n-s个广 义坐标通常记为q1, q2, …, qk
系统各个质点的直角坐标或矢量坐标通过广义坐标 表示为
xi xi (q1 , q2 ,, qk ; t ) yi yi (q1 , q2 ,, qk ; t ) zi zi (q1 , q2 ,, qk ; t ) ri ri (q1 , q2 ,, qk ; t )
y
F1 图1.3
解：摆的自由度由铰A与B的坐标xA、yA、xB、yB减去 两根杆的约束确定，为4-2=2。 选取角度1、2为广义坐标如图所示，广义虚位 移1、2相互独立。 （1）用解析法计算虚位移。铰A与B的坐标通过 广义坐标表示为
x A a sin θ1
y A a cosθ1
显然，它们不具 有明确的物理 意义
例1.2平面桁架结构如图1.4所示，杆长AC=BC=a， CAD=CBD=，杆CD铅直，ADB水平，A端为固定铰支 座，B端为滑动铰支座。铰D受铅直力F与水平力F1作用，铰 B受水平力作用，在图示状态平衡，各杆重不计。求：（1） 铰B与D的虚位移xB、xD、yD；（2）结构的广义力。 C
k
ri ri ri qj t j 1 q j
k
i 1,2,, n
例如图1.1所示的单摆，在Oxy平面内摆动。 解：确定球的位置需要x、y坐标，但受到杆的一个
完整约束，则摆的自由度为2-1=1。
选取角坐标作为广义坐标，直角坐标可表示为：
，
x l sin θ
y l cosθ
约束方程或约束不等式：描述约束的数 学表达式
根据约束的性质，从不同角度将约束 分类如下：
a
b c 几何约束与运动约束
定常约束与非定常约束
双面约束与单面约束 完整约束与非完整约束
d
例:如图1.1所示的单摆，由杆OM和球M组成，摆长 为l，在Oxy平面内摆动。
x
O θ
y
M 图1.1
球的运动受到杆的约束，约束方程为 解：
Fi ri Fci ri 0
对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的 等式。将这些等式相加得
F r F
i i i i
ci
ri 0
在理想约束条件下，约束力在虚位移上所作的虚功 总和等于零，则上式成为
F r
i i
i
0
它说明质点系的主动力在虚位移上所作的虚功总和 等于零。
v Dx δx D δx B 0 v Bx
δy D
v Dy v Bx
1 δx B δx B cot α 2
（2）由虚功的表达式
W F r Q q
i i j i j
j
得结构相应于广义坐标xB的广义力
1 Q ( Fδy D F1δx D F1' δx B ) δx B 1 F cot α F1 2
(4)广义力：力Fi的相应于广义坐标qj、代数量、 不一定具有明确的物理意义
Q j Fi (ri / q j )
虚功可表示为各个广义力与广义虚位移乘积之和。 有势力作用时，势能 V V (ri ) V (ri (q j )) ,广义力
n ri V ri V Q j Fi q j q j q j i 1 i 1 ri n
j 1,2,, k
(5)理想约束：系统的约束力在任何虚位移上所作 的功之和等于零。
计算系统满足约束条件的虚位移的两种主要方 法：解析法、虚速度法
例1.1平面双摆如图1.3所示，直杆OA与AB的长度分别为a、 b，两杆于A端通过光滑铰连接，O端为固定铰支座。铰A与B 分别受y轴方向的力F1、F2与x轴方向的力F作用，在图示状 态平衡，各杆重不计。求：（1）铰A与B的虚位移xA、yA、 xB、yB；（2）摆的广义力。 O θ1 θ2 F F2 x
，
ri δri δq j j 1 q j
k
i 1,2,, n
(3)虚功：力在虚位移上所作的功(W)，也是假想 的、不同于真实的元功
k ri ri q j W Fi ri Fi q j Fi q j j 1 q j j 1 k
其二是轮心C速度与角速度的比例关系： 运动约束
通过积分可转化为几何约束 x R c=0 完整约束
Pfaff型约束
一类典型的微分约束，其约束方程为
A (x , x
i 1 i 1
n
2
,, xn )dxi 0
为完整约束的充分必要条件：
A j Ak Ai x k x j Ak Ai Aj x x k i Ai A j Ak x j xi 0
i, j, k 1,2,, n
三变量Pfaff型约束
A( x, y, z)dx B( x, y, z)dy C ( x, y, z )dz 0
为完整约束的充分必要条件：
B C A B C A A z y B x z C y x 0
y

C
v x 图1.2
O
1.两变量的Pfaff型约束 2.满足条件(1.8)
完整约束
本课程内容限于完整约束情况
2.自由度与广义坐标
基本概念
自由度：确定系统位形所需的最少参量数或 独立参量数 它等于确定系数位形的代数坐标数减去约束 方程数。如：
s个 完整约束
含n质点的 质点系
系统自由度 k=3ns
设铰B的虚速度为vBx，由杆BC平面运动的速度投影 定理，得到铰C与B虚速度的关系
vBx cosα vC cos(90 2α)

再由刚体ACD定轴转动的角速度，得到铰D与C虚速 度的关系
v Dy vC a a cosα
两式消去vC，得到
v Dy
1 v Bx cot α 2
而铰D的水平虚速度vDx=0。则铰D的虚位移通过铰B 的虚位移表示为
O x θ y M 图1.1
速度也可通过广义速度表示为
x lθ cosθ
y lθ sin θ
3.虚位移、虚功与广义力
基本概念
(1)虚位移：某瞬时、质点或质点系满足约束条 件的任何无限小位移
区别虚位移与真实位移
虚位移：ri
不同于真实位移、是假想的，与真实运动、主运动、时间 无限小的变更或变分 等无关，只受约束限制