2020年高考数学专题04三角函数与解三角形(文理合卷)

2020年高考数学压轴必刷题

专题04三角函数与解三角形(文理合卷)

1．【2019年天津理科07】已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的

最小正周期为2π，且g（），则f（）＝（）

A．﹣2 B．C．D．2

【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，

则f（x）＝A sin（ωx）

将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝A sin（ωx）

∵g（x）的最小正周期为2π，

∴2π，得ω＝2，

则g（x）＝A sin x，f（x）＝A sin2x，

若g（），则g（）＝A sin A，即A＝2，

则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（22sin2，

故选：C．

2．【2019年新课标3理科12】设函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点

②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点

③f（x）在（0，）单调递增

④ω的取值范围是[，）

其中所有正确结论的编号是（）

A．①④B．②③C．①②③D．①③④

【解答】解：当x∈[0，2π]时，∈[，]，

∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，

∴，

∴，故④正确，

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，

下面判断③是否正确，

当x∈（0，）时，∈[，]，

若f（x）在（0，）单调递增，

则，即ω＜3，

∵，故③正确．

故选：D．

3．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：

①f（x）是偶函数

②f（x）在区间（，π）单调递增

③f（x）在[﹣π，π]有4个零点

④f（x）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（）

A．①②④B．②④C．①④D．①③

【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，

则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，

当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，

由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，

由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③

错误，

当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，

故正确是①④，

故选：C．

4．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由题意d，

tanα，

∴当sin（θ+α）＝﹣1时，

d max＝13．

∴d的最大值为3．

故选：C．

5．【2017年天津理科07】设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）

A．ω，φB．ω，φ

C．ω，φD．ω，φ

【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，

又f（）＝2，f（）＝0，得，

∴T＝3π，则，即．

∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），

由f（），得sin（φ）＝1．

∴φ，k∈Z．

取k＝0，得φπ．

∴，φ．

故选：A．

6．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）

A．11 B．9 C．7 D．5

【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，

∴，即，（n∈N）

即ω＝2n+1，（n∈N）

即ω为正奇数，

∵f（x）在（，）上单调，则，

即T，解得：ω≤12，

当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；

当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9，

故选：B．

7．【2013年新课标2理科12】已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）

A．（0，1）B．C．D．

【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为1，

由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），

由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故0，故点M在射线OA上．

设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．

①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．

②若点M在点O和点A之间，此时b，点N在点B和点C之间，

由题意可得三角形NMB的面积等于，

即，即，可得a0，求得b，

故有b．

③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．

设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|，