五年级奥数题及答案：蚂蚁爬洞穴问题(中等难度)-最新教育文档

合集下载

专题训练蚂蚁爬行的最短路径(含答案)分解

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ．故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．16．正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ，所以MC =21BC =1，在直角三角形中AM==．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

解：将盒子展开，如图所示：AB =CD =DF +FC =21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ．故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D 1，根据两点之间线段最短， MD =MC +CD =1+2=3， MD 1= 132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；第7题1AB A 1B 1D CD 1C 124所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是。

数学宝藏寻找之旅(数学谜题解答)

数学宝藏寻找之旅（数学谜题解答）在我们踏上数学宝藏寻找之旅之前，我们先来回顾一下数学的魅力。

数学是一门独特而又神秘的学科，它不仅存在于我们日常生活的方方面面，还深刻地影响着我们的思维方式和创造力。

因此，对于数学的探索和理解是非常重要的。

在这次数学宝藏寻找之旅中，我们将解答一些经典的数学谜题，挖掘数学的宝藏，一起探索数学的奇思妙想。

1. 谜题一：蚂蚁爬杆假设有一根长度为1米的杆子，上面有一只蚂蚁。

蚂蚁每次只能沿着杆子爬行，一次爬行的距离是1厘米，并且每次都会选择向左或者向右爬行，但不会在同一次行动中改变方向。

那么，蚂蚁从杆子中心出发，到达杆子两端的期望时间是多少？解答：我们可以将蚂蚁的行动过程抽象为一个数轴，其中数轴的中点是杆子的中心，左边是负方向，右边是正方向。

蚂蚁每次爬行都会向左或者向右移动1厘米，所以在每一次爬行后，蚂蚁都还停留在原来的位置上。

因此，无论蚂蚁选择向左还是向右，它都需要1厘米的时间来回到杆子的中心。

所以，蚂蚁从杆子中心出发，到达杆子两端的期望时间等于蚂蚁回到杆子中心的时间，即1厘米。

2. 谜题二：三个数的平均数假设有三个整数a、b和c，且它们的和是2019。

如果我们按照以下公式计算它们的平均数：(平均数) = (a + b + c) / 3那么，a、b和c的三个可能的取值分别是多少？解答：根据题意，我们可以列出方程：a +b +c = 2019由于a、b和c都是整数，我们可以观察到，2019除以3的余数只可能是0、1或者2。

因此，我们可以得出结论：- 当余数为0时，即2019能被3整除时，a、b和c可以取任意值，只要它们的和等于2019即可。

- 当余数为1时，假设a为余数为0的情况下，a = 673，那么b和c的和必须等于2018。

在这种情况下，b和c可以取200、818，或者任意其他满足要求的组合。

- 当余数为2时，假设a为余数为0的情况下，a = 674，那么b和c的和必须等于2017。

五年级下册数学扩展专题练习行程比例解行程问题C级全国通用

比例解行程问题知识框架比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时来表示，大体可分为以下两种情况：间、路程分别用v,v；st,t；s乙乙乙甲，甲甲1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

s?v?t?ss甲甲甲甲乙，这里因为时间相同，即,所以由t?t?t?tt?，?乙甲乙甲s?v?tvv?乙乙乙乙甲svss甲甲甲t 乙内的路程之比等于速度比，得到，甲乙在同一段时间??t?vvsv乙乙乙甲2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

s?v?t?甲甲甲s?s?ss?v?t，s?v?t，由，这里因为路程相同，即?乙乙乙乙甲甲甲甲s?v?t?乙乙乙vt甲s乙t?t?sv?v?上的时间之比等于速度比的反比。

，得，甲乙在同一段路程?乙乙甲甲tv乙甲例题精讲两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到地出发，在、 1】甲、乙两人同时【例BAA之间行走方向不会改变，已知两地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在地、达ABAB 那么第二次相遇的地点米，米，第三次的相遇点距离地人第一次相遇的地点距离地8001800BB。

地距离BBBCA地时，459点分到达8地。

甲点出发，乙8点45甲【巩固】、乙两人都从分出发。

乙地经地到CCB地。

问：到达甲已经离开分。

两人刚好同时到达地20地时是什么时间？某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10 2】【例分，遇到了这个骑自行车的人。

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展 (1)

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。

那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图：A B A B在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路径，如(1)A →A ′→B ；(2)A →B ′→B ；(3)A →D →B ；(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB爬行最近。

现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬行路线是否都最短呢？我们不妨看一个具体的：问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块．．．的．下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？A B如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ，由于这个圆柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。

不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1＋4×2＝9 m ，确实比沿着侧面爬行短一些。

反思实际上，这和我们的直觉是一致的。

不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。

当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路2）路程最近？为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出：（1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）当时，线路2行程短一些。

小学五年级奥数题及答案

在日常生活和解答数学问题时，经常要进行计算，在数学课里我们学习了一些简便计算的方法，但如果善于观察、勤于思考，计算中还能找到更多的巧妙的计算方法，不仅使你能算得好、算得快，还可以让你变得聪明和机敏。

例1：计算：9.996＋29.98＋169.9＋3999.5解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算，但是，这几个数每个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数“凑整”以后，就容易计算了。

当然要记住，“凑整”时增加了多少要减回去。

9.996＋29.98＋169.9＋3999.5=10＋30＋170＋4000－（0.004＋0.02＋0.1＋0.5）=4210－0.624=4209.376例2：计算：1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01解：式子的数是从1开始，依次减少0.01，直到最后一个数是0.01，因此，式中共有100个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个数……这样的顺序排列的。

由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以考虑每4个数为一组添上括号，每组数的运算结果是否也有一定的规律？可以看到把每组数中第1个数减第3个数，第2个数减第4个数，各得0.02，合起来是0.04，那么，每组数（即每个括号）运算的结果都是0.04，整个算式100个数正好分成25组，它的结果就是25个0.04的和。

1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01=（1＋0.99－0.98－0.97）＋（0.96＋0.95－0.94－0.93）＋…＋（0.04＋0.03－0.02－0.01）=0.04×25=1如果能够灵活地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算：1＋0.99－0.98－0.97＋0.96＋0.95－0.94－0.93＋…＋0.04＋0.03－0.02－0.01=1＋（0.99－0.98－0.97＋0.96）＋（0.95－0.94－0.93＋0.92）＋…＋（0.03－0.02－0.01）=1例3：计算：0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.8＋0.9＋0.10＋0.11＋0.12＋…＋0.19＋0.20解：这个算式的数的排列像一个等差数列，但仔细观察，它实际上由两个等差数列组成，0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.8＋0.9是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.1，而0.10＋0.11＋0.12＋…＋0.19＋0.20是第二个等差数列，后面每一个数都比前一个数多0.01，所以，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。

勾股定理中蚂蚁爬行问题的七种情况

勾股定理中蚂蚁爬行问题的七种情况彻底破解蚂蚁爬行问题：请划分你的做题区域：愉悦区、奋战区和极限区本系列文章摘自买书赠送的电子资料.更多文章见本号小号：春熙初中数学1.长方体中爬行，一个点到达相对的另外一个点在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。

如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。

这边不再介绍展开图法，直接利用数据来进行求解。

例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。

先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。

这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。

2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。

例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。

本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。

3.在圆柱体中爬行半圈或一圈在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。

例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？4.正方体表面爬行蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。

例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？本题点A为正方形的中心，因此到四条边的距离都是边长的一半。

行程问题之蚂蚁相遇的奥数题及答案参考

行程问题之蚂蚁相遇的奥数题及答案参考
一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行.这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米.它们每爬行1秒，3秒，5秒…(连续的奇数)，就调头爬行.那么，它们相遇时已爬行的时间是多少秒?
分析：
道题难在蚂蚁爬行的方向不断地发生变化，那么如果这两只蚂蚁都不调头爬行，相遇时它们已经爬行了多长时间呢?非常简单，由于半圆周长为：1.26÷2=0.63米=63厘米，所以可列式为：1.26÷2÷(5.5+3.5)=7(秒);我们发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循的，它们每爬行1秒、3秒、5秒、…(连续的.奇数)就调头爬行.每只蚂蚁先向前爬1秒，然后调头爬3秒，再调头爬5秒，这时相当于在向前爬1秒的基础上又向前爬行了2秒;同理，接着向后爬7秒，再向前爬9秒，再向后爬11秒，再向前爬13秒，这就相当于一共向前爬行了1+2+2+2=7(秒)，正好相遇.
解答解：
它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为：
1.26÷2=0.63(米)=63(厘米);
如不调头，它们相遇时间为：
63÷(3.5+5.5)=7(秒);
根据它们调头再返回的规律可知：
由于1-3+5-7+9-11+13=7(秒)，
所以13+11+9+7+5+3+1=49(秒)相遇.
答：它们相遇时已爬行的时间是49秒.
点评：完成本题关健是发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循.。

史上最难奥数题及答案

史上最难奥数题及答案奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项面向中学生的国际性数学竞赛。

它以难度高、题目新颖而著称。

下面是一道被广泛认为具有挑战性的奥数题目及其答案。

题目：在一个无限大的棋盘上，有一只蚂蚁从左上角的格子出发，它只能向右或向下移动。

如果蚂蚁在第 \( n \) 行第 \( m \) 列到达终点，那么它总共需要走 \( n + m - 1 \) 步。

现在，给定两个正整数\( n \) 和 \( m \)，求蚂蚁到达终点的最短路径有多少条。

答案：这个问题可以通过组合数学中的组合数来解决。

蚂蚁到达终点的最短路径数等于从 \( n + m - 1 \) 步中选择 \( n - 1 \) 步向下走的方法数，这可以用组合数公式表示为：\[ C(n + m - 1, n - 1) = \frac{(n + m - 1)!}{(n - 1)!(m - 1)!} \]这里的 \( C \) 表示组合数，\( ! \) 表示阶乘。

这个公式计算了从总步数中选择向下走的步数的所有可能组合。

例如，如果 \( n = 3 \) 和 \( m = 4 \)，那么蚂蚁需要走 \( 3 +4 - 1 = 6 \) 步。

最短路径数为：\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1}= 15 \]因此，蚂蚁到达终点的最短路径有 15 条。

这个问题的关键在于理解蚂蚁的移动规则，并将其转化为组合数问题。

通过这种方法，我们可以计算出任何给定的 \( n \) 和 \( m \) 下的最短路径数。

专题训练蚂蚁爬行的最短路径(含答案)教学文案

蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．AB= 51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．AB4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ．故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．AB1216．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC=21BC=1，在直角三角形中AM= = ．7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。

解：将盒子展开，如图所示：AB=CD=DF+FC=21EF+21GF=21×20+21×20=20cm．故选C．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为.解：将正方体展开，连接M 、D 1，根据两点之间线段最短， MD =MC +CD =1+2=3， MD 1= 132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；第7题1A BA1B1D CD1C124所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。

蚂蚁爬行模型(原卷版)

专题20 蚂蚁爬行模型蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。

蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。

模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A 到点B 的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。

如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。

分类讨论示意图展开图最短距离小结前+上AB=√a 2+（b +c ）2=√a 2+b 2+c 2+2bc最小值取决于ab ，bc ，ac 的大小左+上AB=√b 2+（a +c ）2=√a 2+b 2+c 2+2ac前+右AB=√c 2+（a +b ）2=√a 2+b 2+c 2+2ab模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形分类讨论示意图展开图最短距离爬行半圈最短距离=√（Πr ）2+h 2爬行一圈最短距离=√（2Πr）2+h2模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。

示意图展开图作法最短距离点A’为点A关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B的垂直距离为h，则问题转化为将军饮马问题求解AB=√（Πr）2+h2模型四：蚂蚁爬楼梯问题问题示意图展开图最短距离如图，三级台阶的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求最短路程AB=√[(3+2)×3]2+202 =25模型五：蚂蚁爬圆锥问题问题示意图展开图最短距离如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A位置，食物在母线BC的中点点D处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A向点D处爬行觅食，路线如图所示，求最短距离先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求AD长【培优过关练】1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为4cm 的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（）cm ．A ．B ．4C ．D ．62．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点A 是棱长为2的正方体的一个顶点，点B 是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A B ，两点间的距离为（）AB C D 3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径3dm R =，母线5dm l =，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，150COB ∠=，D 为VB 上一点，VD =，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C 爬到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A ．B ．C ．15dm 2D ．4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．85．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面的B点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）A BC D．106．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（）cm ．A．9B．14C D．7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线P A中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．πB C．D．2π8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）B．13cm C．D．cmA9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．B．25C．5D．3510．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．B C．D．211．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为93、和1,A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．812．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为____．13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高18 厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、4厘米．若一只蚂蚁从A点出发沿着长方体的表面爬行到棱BC的中点M处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行_____s．19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到CD的中点E，请你求出这条线路的最短路径．21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm的正方形，高为20cm；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A 开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B ，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C 缠绕到点D ，点D 与点E 的距离是5cm ，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角A ∠的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也就确定了，我们把这个比值记作()T A ，即()CT A A BCA A ∠=∠=的对边(底边)的邻边(腰) ，当60A ∠=︒时，如()601T ︒=．(1)()90T ︒= ，()120T ︒= ，()T A 的取值范围是；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径14PQ =，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：()1400.53T ︒≈，()()700.8735 1.66T T ︒≈︒≈，） 25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为12cm ，B 为母线OC 的中点，点A 在底面圆周上，AC 的长为4cm π．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A 爬行到点B 的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A ②设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点1C处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到1C处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图4所示，且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．27．（2023春·八年级课时练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？。

蚂蚁爬桶的数学题目

蚂蚁爬桶的数学题目
蚂蚁爬桶的数学题目
蚂蚁爬桶
如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？
解答：我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的`对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理， AF2=（AC+CE）2+EF2
＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．。

五年级下册图中蚂蚁爬行路线的相同之处是蚂蚁都是沿

五年级下册图中蚂蚁爬行路线的相同之处是蚂蚁都是沿在图中，蚂蚁在沿着路线爬。

“我们看到的是蚂蚁在路上爬行。

”我回答，“为什么？”“我们看到的是蚂蚁爬过的地方都有一段路程，但是实际上有很多段路程都被它绕过了。

”我补充说。

我也可以用这个解释来说明，为什么图中只出现了蚂蚁的一小部分爬过的路，而其他地方是沿着路线爬过去的。

1.“有一段路程都被它绕过了。

”我接着说。

这句话让我想起了一句老话：“千里之堤，溃于蚁穴。

”这就是我们常说的“千里之堤毁于蚁穴”吧。

蚂蚁之所以会成为最大的“蛀虫”，就是因为它们把自己的蚁巢建在了最重要的路段上。

我们人类为了方便，也采用了同样的方法。

我们人类用水、电、煤等来发电，需要消耗大量资源，如果发电不是为了自己生活更方便和舒适，而是为了让别人感到舒服时，那么这种方法就有问题了。

因为发电是在人们不方便或者危险得时候做的，所以就必须要占用很多人的时间，而且还要付出大量劳动和金钱。

当然啦，这还不是最糟糕的情况。

有的人还会说了：“你们人类这么聪明，一定能发明出更好的发电方法来！”那么你知道吗？2.“蚂蚁爬过的地方都有一段路程，这段路程很长，蚂蚁必须要绕开这段路程才能到达目的地。

你想想看，这个路程有多长？“我问你个问题，你认为这个路程里最长的一段路程是多少呢？”蚂蚁用自己的脚沿着路线走了很长时间。

我觉得，这个答案也很好理解，因为它绕过去的距离并不短就对了。

蚂蚁的每一步走得都很辛苦，它走了一段路却又发现不了哪里还有更短、更难走的路可以去爬。

这就是我们平时说的“条条大路通罗马”呀！3.“蚂蚁很小，它需要花费大量时间来走完这条路。

”我又补充了一句。

这句话是对的，因为如果蚂蚁要走完全程，它需要很长的时间。

从图中我们可以看出，图中有两个地方是蚂蚁在行进过程中经过的路线。

一段是蚂蚁自己走过来的路，另一段就是其他地方被它绕过去的。

这两段路程，蚂蚁都走了将近1/3。

为什么？因为它们都会绕过很多段路程。

那我们继续看下去。

【数学文化】帮蚂蚁找捷径

帮蚂蚁找捷径
——巧用平面展开图解空间问题有许多空间问题，在空间直接考虑，非常困难，如果把几何体进行平面展开，就可将空间问题转化为平面问题，使问题迎刃而解．下面这道题中的小蚂蚁遇到了点问题，它要从长方体的一个顶点爬到另一个顶点，而且走过的路程要最短，大家帮帮它吧！
例：长方体中，，，一只蚂蚁从沿着表面爬到点，蚂蚁所爬过的最短距离是（）
A．B．C．D．
今有以下四种解法，你认为哪种解法是正确的？
解法1：蚂蚁从到，再从到，爬的最短距离为，应选A；
解法2：如图1将侧面以为轴转到与平面重合，连结交于，蚂蚁从到，再从到．此时爬的最短距离为，应选B；
解法3：如图2将侧面以为轴转到与平面重合，连结交于，蚂蚁从到，再从到．此时爬的最短距离为，应选C；
解法4：如图3将侧面以为轴转到与平面重合，连结交于，蚂蚁从到，再从到．此时爬的最短距离为，应选D．
解法4：显然距离最短，应选D．
小结：我们知道平面内两点之间线段最短，只可惜我们的问题是在空间讨论，那么能不能把问题由空间转化到平面呢？这时想到将长方体的面展成平面图形，再进行计算比较，看看哪种展法距离最短，即为所求．容易出现的错误是三种展开方法考虑不全．反思：在空间立体中求解一些问题，可能有的同学会感到不那么得心应手，这时候我们就要想办法，将不熟悉的知识变成我们所熟悉的，转化一下思维方式，比如本题利用展开图的处理．。

关于蚂蚁爬井问题的探讨

关于蚂蚁爬井问题的探讨
题目：有一口井深1米，在井底有一只蚂蚁向上爬，已知蚂蚁白天爬30厘米，晚上又下滑20厘米，求蚂蚁爬出这口井需要几天？
解：蚂蚁白天爬30厘米，晚上又下滑20厘米，则蚂蚁实际一天爬了10厘米，所以有100÷10=10（天）
分析，正常思维下这样解并没有什么问题，但是在解题中我们要联系实际情况，不能拘泥于思维定势。

正解：需要8天。

前7天爬了70厘米，而第八天它已经刚好爬到井口了，你说它还会掉下去吗？
深度探索：有没有这样一种情况呢？我们假设第八天它刚好爬到井口却精疲力竭又掉下去了20厘米，那么此时蚂蚁爬出井口就需要9天了，你认为呢？。

勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)之欧阳索引创编

欧阳索引创编
2021.02.02
勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最
短路线问题
欧阳家百（2021.03.07）
班别：_____________姓名：_________________学号：_________
1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( )
A.20cm
B.10cm
C.14cm
D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱
爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少?
3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．（Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（）（A ）1cm ＜l ＜3cm （B ）2cm （C ）3cm 这样的最短路径有6_________条．（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明）
4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4
个侧面绕
一圈到达爬到B点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。

若从A点开始绕4个侧面两圈爬到B点，最短路径长为____________。

欧阳索引创编
2021.02.02。

爱数学，爱阅读系列（二十七）——蚂蚁爬绳问题

如能，需多长时间？如不能，请说明理由。
想一想：大楼有几层
王老师最近搬进了教师宿舍大楼。一天王老师在阳台上往下看，下面有3个阳台，往上看，上面有五个阳台。你说王老师住在几楼？教师宿舍大楼共有几层呢？
一绳长1m一蚂蚁从绳的一端爬向另一端速度为每秒1cm同时绳子以每秒10cm的速度均匀伸长
爱数学，爱阅读系列（二十七） ——蚂蚁1m，一蚂蚁从绳的一端爬向另一端，速度为每秒1cm，同时绳子以每秒10cm的速度均匀伸长。蚂蚁能否达到绳的另一端？（假设绳子质量无限好，蚂蚁寿命无限长。）