椭圆定义与性质(全)

O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
2.椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
练习：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
(1) x 2 y 2 1 (4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?
(1)由于绳长固定，所以点M到两
M
个定点的距离和是个定值
F1
F2
（2）点M到两个定点的距离和要大
于两个定点之间的距离
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （ 2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
MF1 MF2 2a F2
F1
(2a>2c)
小结：椭圆的定义需要注意以下几点
1.平面上----这是大前提 2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C
思考：
1.当2a>2c时,轨迹是（ 椭圆 ） 2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段．
设点 列式
设M（x,y）是曲线上任意一点； 由限制条件，列出几何 等 式，写出适 合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程 化简 f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
两类标准方程的对照表
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
来自百度文库
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，
F1 0
F2
x
由椭圆的定义得，限制条件：MF1 MF2 2a
代入坐标 MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0).
椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F2
M
ox
F1
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
a2 cx a (x c)2 y2
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0), b2 x2 a2 y 2 a2b2
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
k
y2
16 k
1
练习：
1.方程 x2 y2 1表示焦点在x轴上的椭圆， a3
则a的范围为( a>3 )。 2.方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆
b9 则b的范围为( 0<b<9 )。
3.已知方程 x2 + y表2 =示1焦点在x轴 4m
中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标
x2
y2
+ =1
25 16
x2
y2
+ =1
144 169
x2
y2
m2 + m2 + 1 = 1
答：在 X 轴（-3，0）和（3，0） 答：在 y 轴（0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
星系中的椭圆
——仙女座星系
——“传说中的”飞碟
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 考 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在.
4.当c=0时,轨迹为圆．
♦ 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？
以圆心O为原点，建立直角坐标系
y
设圆上任意一点P(x，y)
P(x, y)
•
r
OP r x2 y2 r
•
O
x 两边平方，得
x2 y2 r2
求曲线方程的方法步骤是什么？
建系 建立适当的直角坐标系；
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=__8_.
上的椭圆，则m的取值范围是 . (0,4)
变式：已知方程
x2 + y2 = 1 m - 1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范
围是
.
(1,2)
2、 已知椭圆的方程为： x2 y2 1，请填空： 25 16
(1) a=_5_，b=_4_，c=_3_，焦点坐标为_(-_3_,_0_)、__(_3_,_0_)，焦距等于_6_.