椭圆定义与性质(全)
椭圆
1.焦点在X轴时，标准方程为：
2.焦点在Y轴时，标准方程为：
椭 圆 上 任 意 一 点 到 F 1 ， F 2 距 离 的 和 为 2 a ， F 1 ， F 2 之 间 的 距 离 为 2 c 。 而 公 式 中 的 b ²= a ²- c ²。 b 是 为 了 书 写 方 便 设定的参数。
应用
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）： 将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共 点，显然他们是截面与球的切点。 设两点为F1、F2 对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2 则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点已知长轴与短轴尺寸，两焦点焦距尺规作图法 用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆 例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3. 1．求椭圆C的方程. 2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值.
在坐标轴内，动点（ ）到两定点（ ）（ ）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。
注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。
椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。
方程
参数方程
标准方程
极坐标
在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标 轴。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。
本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。
其中，a为椭圆的半长轴。
二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。
这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。
2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。
当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。
3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。
4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。
这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。
三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。
2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。
3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。
总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。
通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。
椭圆总结(全)
椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
二、 方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。
椭圆知识点与性质大全
椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内,到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆,其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点,定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义. ２、椭圆的简单性质３、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地,若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-，其中ce a=. 4、通径过椭圆()222210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线,交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径,且22b AB a=.P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形，其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为:24ABF C a ∆=,面积为212y y c S ABF -=∆.７、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上；若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内．8、直线与椭圆的位置关系直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>；l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=;l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<．9、焦点三角形外角平分线的性质(＊）点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点， M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交椭圆()222210x y a b a b +=>>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E 为CD 的中点，则2122b k k a=-.11、中点弦的斜率()()000,0M x y y ≠为椭圆()222210x y a b a b +=>>内的一点，直线l 过M 与椭圆交于,A B 两点,且AM BM =，则直线l 的斜率2020ABb x k a y =-.12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若A 、B 为椭圆C :()222210x y a b a b+=>>上的两个动点,O 为坐标原点,且OA OB ⊥.则2211||||OA OB +=定值2211ab+．【典型例题】例1、直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是____＿__＿__． 【变式1】已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围＿_________. 【变式2】椭圆12222=-++m x m y 的两个焦点坐标分别为___＿＿_____.【变式1】已知圆()11:221=++y x O ,圆()91:222=+-y x O ,动圆M 分别与圆1O 相外切，与圆2O 相内切.求动圆圆心M 所在的曲线的方程.【变式２】已知ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -,ABC ∆的周长为1８，则顶点C 的轨迹方程为__________.【变式３】已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.例3、若P 是椭圆13422=+y x 上的点，1F 和2F 是焦点，则 （1)21PF PF ⋅的取值范围为____＿＿___＿. (2）12PF PF ⋅的取值范围为__________.(3）2212PF PF +的取值范围为__＿__＿＿_＿_.【变式１】点(,)P x y 是椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是1PF 的中点,且12PF =,O 为坐标原点,则OM =_______.【变式２】点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且20F M MP ⋅=,则动点M 的轨迹方程为__＿__＿__．例４、已知椭圆2212516x y +=内有一点()2,1A ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求PA PF +的最大值与最小值____＿_____．【变式】若椭圆171622=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,过点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则B AF 2∆的周长为＿＿____＿__＿．例5、12,F F 是椭圆221x y +=的焦点，点P 为其上动点,且1260F PF ∠=︒,则12F PF ∆的面积是＿_____＿_＿＿.【变式】焦点在轴x 上的椭圆方程为2221(0)x y a a +=>,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点B ，使得122F BF π∠=，那么实数a 的取值范围是____＿___．例6、已知椭圆2212x y +=， （1)求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;（3)过(21)A ，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.（4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.例7、已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例8、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．例9、已知定点()2,0A -，动点B 是圆64)2(:22=+-y x F （F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF于P .(１）求动点P 的轨迹方程； （２)直线13+=x y 交P 点的轨迹于,M N 两点，若P 点的轨迹上存在点C ，使,OC m ON OM ⋅=+求实数m的值；例10、已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ),过点(),0A a -,()0,B b 的直线倾斜角为6π,原点到该直线的距离为23．(１）求椭圆的方程;（2)斜率大于零的直线过()1,0D -与椭圆交于E ,F 两点,若DF ED 2=,求直线EF 的方程;（3)是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ,Q 两点,以PQ 为直径的圆过点(1,0)D -?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．例１1、若AB是经过椭圆2212516x y+=中心的一条弦点,12,F F分别为椭圆的左、右焦点，求1F AB∆的面积的最大值.【变式1】已知直线l与椭圆2213xy+=交于A B、两点，坐标原点O到直线l的距离为2,求AOB∆的面积的最大值.【变式3】已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标; （２）若30<<a 且||PA 的最小值为１,求实数a 的值.【变式4】如图，椭圆的中心在原点,()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>交线段AB 于点D ，交椭圆于,E F 两点.(1)若6ED DF =,求直线的斜率k ；D(2)求四边形AFBE 的面积S 的最大值．【变式５】椭圆()222104x y b b +=>的一个焦点是()1,0F - (1）求椭圆的方程;(2）已知点P 是椭圆上的任意一点,定点M 为x 轴正半轴上的一点,若PM 的最小值为85，求定点M 的坐标； (3)若过原点O 作互相垂直两条直线，交椭圆分别于,A C 与,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.【变式6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点()),的距离之和为４，设点P的轨迹为曲线C，直E-，且与曲线C交于,A B两点．线l过点(1,0)（１)求曲线C的方程;(2)以AB为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过,求此时直线l的方程，若不能，说明理由.∆的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由．（3）AOB例12、已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为４. (1）求椭圆C 的方程；(２)已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问,是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈,MA MB ⋅为定值,若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【变式1】过椭圆22182x y +=长轴上某一点(),0S s (不含端点）作直线l （不与x 轴重合)交椭圆于,M N 两点,若点(),0T t 满足：8OS OT ⋅=，求证:MTS NTS ∠=∠.【变式２】已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上，长轴长为４，且点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （１)求椭圆C 的方程；(２)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．【变式3】如图，A 为椭圆()2222+10x y a b a b =>>上的一个动点，弦,AB AC．当AC x ⊥轴时，恰好123AF AF =(1）求ca的值 （２）若111AF F B λ=,222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值;若不是,说明理由.【变式4】线段,A B 分别在x 轴,y 轴上滑动，且3AB =,M 为线段AB 上的一点,且1AM =，M 随,A B 的滑动而运动（１）求动点M 的轨迹方程E ;(2）过N 的直线交曲线E 于,C D 两点，交y 轴于P ,1PC CN λ=,2PD DN λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值；若不是,说明理由.2F 1F【变式5】如图,已知椭圆C ：22221x y a b+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ,过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y轴分别交于,D E 两点,且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.(１）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点)的面积为2S .试问:是否存在直线AB ，使得12S S =?说明理由.xyO A B1F D GE2F【变式6】已知椭圆C 的方程为22212x y a +=(0)a >,其焦点在x 轴上，点Q 为椭圆上一点. (1)求该椭圆的标准方程;（2)设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-,求证:22002x y +为定值； （3)在(2)的条件下探究:是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.例１3、椭圆的一个顶点(0,1)A -，焦点在x 轴上,右焦点到直线0x y -+的距离为3.(1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同两点,M N ，当AM AN =时，求实数m 的取值范围.【变式1】已知A 、B 、C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三点，其中()A ,BC 过椭圆的中心,且0AC BC ⋅=，2BC AC =.(1)求椭圆的方程;(２）过点()0,M t 的直线l （斜率存在时)与椭圆交于两点,P Q ,设D 为椭圆与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =.求实数t 的取值范围.。
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)
椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）1.概述椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。
2.椭圆的定义椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。
椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。
3.椭圆的性质椭圆具有以下性质：半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。
半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。
焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。
离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e 表示。
焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。
0)，焦点F2的坐标表示为(ae。
0)。
4.特殊椭圆4.1 圆当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。
圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。
4.2 扁圆当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。
扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。
4.3 扇形扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。
扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。
4.4 椭圆柱体椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。
椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。
5.应用领域椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：天文学：描述轨道和行星运动。
工程学：设计轮廓和曲线。
密码学：用作加密算法的基础。
6.结论椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。
我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
有关椭圆的所有知识点
有关椭圆的所有知识点
1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
2. 椭圆的性质：
（1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点；
（3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab；
（4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，
y=b\sin t$$
3. 椭圆的标准方程：
（1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
（3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-
k)^2}{b^2}=1$$
4. 椭圆的对称性：
（1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴；
（2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$
（3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切的关系。
本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。
一、定义椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。
具体而言，对于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。
二、性质1. 椭圆的长短轴在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。
椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的线段。
长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。
离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c是焦距。
当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。
当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。
当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。
3. 椭圆的焦点性质椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。
这一性质也可以用来定义椭圆。
4. 椭圆的几何形状在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。
与圆相比，椭圆的形状更加扁平。
椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。
5. 椭圆的焦平面性质椭圆与焦平面有着特殊的关系。
如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。
这个点就是椭圆的焦点平面上的点。
6. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。
一般而言，我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。
通过参数方程，可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。
结语：椭圆作为几何学中的一种重要形状，具有独特的定义和性质。
椭圆的基本概念与性质
椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍椭圆的基本概念和性质，包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。
1.椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度（主轴）的点的轨迹。
2.椭圆的标准方程以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。
可以看出，a表示椭圆离心率对应的焦距长度，b表示椭圆的短半轴长度。
3.焦点和直径椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性，它是椭圆离心率定义的核心。
可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a（c为焦点到原点的距离），求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。
椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。
对于以坐标原点为中心的椭圆，直径的长度为2a。
4.椭圆的离心率椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。
离心率的取值范围为0到1，离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。
椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比，即e = c/a。
5.椭圆的轨迹椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。
在天体力学中，行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。
椭圆的轨迹具有许多独特的性质，例如对称性、曲率等。
6.椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多重要的应用。
例如，在通信中，为了提高信号传输的质量和距离，卫星轨道通常选择为椭圆轨道。
此外，椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。
总结：椭圆作为几何图形中的重要一员，具有许多独特的概念和性质。
通过本文的介绍，我们了解到椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨迹和应用。
对于几何学的学习和实际应用，理解和掌握椭圆的基本概念与性质至关重要。
椭圆的定义及性质
椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为
.
解析:设椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
c
a
3 5
=1(a>b>0),则已知 b 4,
a2 b2
c2,
a 5, 解得 b 4,
c 3,
所以椭圆方程为 x2 y2 =1. 25 16
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性 顶点
范围
焦点 焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
椭圆关于x轴、y轴、原点对称.
yy B2
AA11
AA2 2
O O
x
在
x2 a2
y2 b2
BB11
1中令y=0， 可得x= a
从而：A1(-a,0),A2(a,0)
同理：B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴: 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴: 长为2b
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结【椭圆】一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。
二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、两种标准方程可用一般形式表示：或者 mx2+ny2=1 三、椭圆的性质（以为例） 1、对称性：对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，。
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。
和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
② 因为，所以的取值范围是。
越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。
③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。
即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：6、椭圆的内外部（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，，五、其他结论 1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , )5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。
高中椭圆的知识点总结
高中椭圆的知识点总结椭圆是数学中的一个重要概念，具有很多应用。
在高中数学中，椭圆也是一个必修的内容，考试中经常会涉及到相关的知识点。
在本文中，我们将对高中椭圆的知识点进行总结和归纳。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于定长2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2被称作椭圆的焦点，定长2a被称为椭圆的长轴，长轴的中点O被称为椭圆的中心，距离中心最远的两点A和B被称为椭圆的顶点，椭圆的离心率为e=(F1F2)/2a。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, 其中a>b>0，a为长轴长度，b为短轴长度。
当椭圆的中心不在坐标原点时，可通过平移变换将其移到原点，然后再求解方程。
三、椭圆的性质1. 椭圆的中心位于坐标原点或者与坐标轴的交点上。
2. 椭圆的长轴是平行于x或y轴的直线，短轴是垂直于长轴的直线。
3. 椭圆的离心率e=(F1F2)/2a, e<1。
4. 椭圆的焦点与顶点之间的距离F1A、F2B互相相等，且等于椭圆的长轴长度2a。
5. 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于定长2a。
6. 椭圆的面积为πab。
7. 椭圆的周长无法用初等函数表示，通常用级数来表示。
四、椭圆的几何意义椭圆的几何意义可以简单地用两条绳子相互交错吊起一个重物来表现。
在两条绳子构成的平面上，可以画出一个椭圆形的轨迹，此时重物到两条绳子的距离之和为定值2a，而椭圆的顶点即为两条绳子的交点。
五、椭圆的应用椭圆具有很多应用，在物理、工程、天文学、生物学等领域中经常会涉及到。
1. 通讯卫星轨道：通讯卫星通常被放置在椭圆轨道上，使得其在地球上的可见度更广，信号传输距离更长。
2. 医学图像：医学图像中的组织轮廓通常是椭圆形的，因此椭圆形适用于医学图像处理。
3. 自动打标机：自动打标机通常采用椭圆形的摆线轮廓来控制字母和数字的运动轨迹。
4. 椭圆滤波器：椭圆滤波器是一种常用的数字信号处理技术，用于高通、低通、带通、带阻等滤波。
椭圆知识点性质大全
椭圆知识点性质大全椭圆是数学中的一个重要概念，具有丰富的性质和应用。
下面是关于椭圆的知识点性质的详细介绍：1.定义：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
2.基本元素：椭圆由两个焦点和连接两个焦点的线段组成。
以及连接焦点和椭圆上任意一点的线段，这条线段称为半径。
3.中心：椭圆的两个焦点的中点称为椭圆的中心，位于椭圆的对称轴上。
4.对称轴：椭圆上与两个焦点的连线垂直的直线称为椭圆的对称轴。
对称轴上的中心对称的两个点称为对称点。
5.长轴：椭圆的两个焦点所在的直线称为椭圆的长轴，长轴的长度称为椭圆的长轴长度。
6.短轴：椭圆的长轴的中垂线称为椭圆的短轴，短轴的长度称为椭圆的短轴长度。
7.半焦距：椭圆的长轴长度的一半称为椭圆的半焦距，半焦距与离心率之间存在关系。
8.离心率：椭圆的离心率是一个正实数，表示离心率与半焦距的比值。
离心率小于1时，椭圆为椭圆体；离心率等于1时，椭圆为抛物线；离心率大于1时，椭圆为双曲线。
9.焦点定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
10.顶点定理：椭圆上的任意一点到离它最近的直线的距离等于椭圆的离心率与该点到两个焦点的距离之差的绝对值。
11.弦的性质：椭圆上任意两个焦点之间的直线称为弦。
椭圆上任意一点到两个焦点的连线与该点的切线所围成的角等于椭圆上该点与焦点所在的主半径所围成的角。
12.切线的性质：椭圆上任意一点的切线与焦点连线的夹角等于椭圆上该点与焦点所在的主半径的夹角。
13.弦愈的结论：椭圆上通过两个焦点且长度相等的弦所对的两条弦是相等的。
14.垂线的性质：椭圆上任意一点的垂线与两个焦点所在直线的夹角等于该点与两个焦点所在的主半径的夹角。
15.渐屈线性质：椭圆上任意一点到两个焦点所连的线段与该点的切线所围成的角是一个常数，称为渐屈线角。
渐屈线角的大小与离心率有关。
16.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程是描述椭圆上的点坐标的方程，通常用参数t表示角度。
椭圆的定义与性质
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于例3 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程知识点二（知椭圆的简单几何性质） 【知识梳理】由椭圆方程12222=+by a x () 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)一、范围: 从标准方程得出122≤a x ,122≤by ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． 二、对称性:把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可0>>b a以看出它的范围，对称的截距三、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222=+by a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 四、离心率:概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：ace =⇒2)(1a b e -= 范围：10<<e考察椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，五、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率六、椭圆的准线方程：1、对于12222=+by a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=2、对于12222=+bx a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=3、准线的位置关系：c a a x 2<≤七、焦点到准线的距离 cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦准距）八、椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e是离心率推导方法：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x c a e MF e r +=+==，00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 其中12 F F 、分别是椭圆的下上焦点） 注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加【例题精讲】例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
(完整版)椭圆的性质及判定归纳
(完整版)椭圆的性质及判定归纳1. 背景介绍椭圆是几何学中的一种重要的二次曲线，具有独特的性质和形式。
在实际应用中，我们经常需要理解和判定一个曲线是否为椭圆，因此有必要深入了解椭圆的性质及其判定方法。
2. 椭圆的定义在平面解析几何中，椭圆是指到两个给定点的距离之和等于定值的所有点的集合。
这两个点称为椭圆的焦点，定值称为椭圆的长轴。
3. 椭圆的性质椭圆具有以下几个基本的性质：3.1 长轴和短轴椭圆的长轴是通过焦点且垂直于短轴的线段，是椭圆的最长直径。
而短轴是通过焦点且垂直于长轴的线段，是椭圆的最短直径。
3.2 焦点和准线椭圆的焦点是确定椭圆的两个点，修改这两个点的位置可以改变椭圆的形状和大小。
准线是垂直于长轴且通过焦点的直线。
3.3 离心率椭圆的离心率定义为焦点到准线的距离与长轴的比值。
离心率的值在0到1之间，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形。
3.4 对称性椭圆具有两种对称性：关于长轴的对称性和关于短轴的对称性。
通过这两种对称性，我们可以更好地理解和分析椭圆的性质。
4. 椭圆的判定方法在解决实际问题中，我们常常需要判断一个曲线是否为椭圆。
以下是几种常用的判定方法：4.1 椭圆方程椭圆方程是判定一个曲线是否为椭圆的主要方法之一。
一般而言，椭圆的方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中h、k为椭圆的中心坐标，a、b分别为长轴和短轴的长度。
通过将曲线的方程与椭圆方程进行对比，我们可以确定该曲线是否为椭圆。
4.2 轴积性质椭圆具有轴积性质，即椭圆的长轴与短轴的乘积等于焦点到准线的距离与长轴的乘积。
通过计算曲线的焦点到准线的距离与长轴的乘积，我们可以判断该曲线是否满足轴积性质，从而确定是否为椭圆。
4.3 椭圆的图形特征椭圆的图形特征也可以用来判定是否为椭圆。
椭圆具有规则的椭圆形状，不会存在异常的伸缩或扭曲情况。
通过观察图形特征，我们可以直观地判断一个曲线是否为椭圆。
椭圆知识点
椭圆【复习目标】椭圆的定义、标准方程和几何性质。
【基础知识总结】1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆. 2.椭圆的标准方程和几何性质：标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形性 质参数关系 222c b a +=焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 b y a x ≤≤||,|| b x a y ≤≤||,||顶点 ),0(),,0(),0,(),0,(b b a a --)0,(),0,(),,0(),,0(b b a a --对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称离心率)1,0(∈=ace 准线ca x 2±=ca y 2±=注：（1）对于椭圆定义：没有“平面内”这个条件，则是椭球而不是椭圆；对于确定哪种形式的标准方程则要看焦点的位置，若焦点在x 轴上则x 2的分母大，若焦点在y 轴上则y 2的分母大。
（2）求椭圆方程的除直接根据定义外，常用待定系数法。
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其方程时，可以设方程的形式为22x y m n+=1（m>0,n>0）或221(0,0)Ax By A B +=>>. 常用结论1. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.2. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22O M A B b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有特定的定义和性质。
本文将对椭圆的定义以及与其相关的性质进行探讨。
一、椭圆的定义椭圆可以用两个焦点和到两个焦点距离之和等于定值的点的集合来定义。
更准确地说，椭圆是平面上满足到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，其中a是椭圆的半长轴。
椭圆还具有两个确定其形状和大小的参数：离心率e和焦点间的距离2c。
二、椭圆的特点椭圆具有以下几个重要的性质：1. 对称性：椭圆具有两条互相垂直的对称轴，即长轴和短轴。
这两条对称轴的交点称为椭圆的中心。
2. 焦点性质：对于椭圆上的任意一点P，到焦点F1和F2的距离之和等于2a。
即PF1 + PF2 = 2a。
3. 定义性质：椭圆上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这是椭圆的定义。
4. 离心率性质：椭圆的离心率e满足0 < e < 1，离心率越小，椭圆越扁平。
5. 半焦参数性质：椭圆的半焦参数c满足c = a * e，其中c表示焦点到中心的距离。
6. 弦性质：椭圆上任意一条弦的长度等于半长轴的长度。
三、椭圆与其他几何图形的关系椭圆与圆、抛物线和双曲线都是常见的二次曲线。
与圆相比，椭圆的两个焦点在中心的两侧，而圆的焦点和中心重合；与抛物线相比，椭圆是有界曲线，而抛物线则是无界曲线；与双曲线相比，椭圆是闭合曲线，而双曲线则是非闭合曲线。
四、椭圆的应用椭圆由于其独特的几何性质，在现实生活中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 太阳系的行星轨道：行星围绕太阳运动的轨道是个近似椭圆形，其中太阳位于椭圆的一个焦点处。
2. 圆形的近似：在一些工程设计中，可以使用椭圆作为近似圆形来进行计算和设计，便于操作和运算。
3. 电子轨道运动：根据玻尔模型，电子在原子中的运动轨迹近似为椭圆形。
总结：椭圆是一种具有独特几何性质的几何图形，其定义和性质经过了仔细的研究与推导。
我们了解到，椭圆具有对称性、焦点性质和离心率性质等重要特征，并且与其他几何图形有所区别。
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F1 0
F2
x
由椭圆的定义得，限制条件：MF1 MF2 2a
代入坐标 MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a （问题：下面怎样化简？）
移项，再平方 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
2.椭圆的标准方程的推导
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在.
4.当c=0时,轨迹为圆．
♦ 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？
以圆心O为原点，建立直角坐标系
y
设圆上任意一点P(x，y)
P(x, y)
•
r
OP r x2 y2 r
•
O
x 两边平方，得
x2 y2 r2
求曲线方程的方法步骤是什么？
建系 建立适当的直角坐标系；
设点 列式
设M（x,y）是曲线上任意一点； 由限制条件，列出几何 等 式，写出适 合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程 化简 f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
y
F2 M
F1 O O OF2 x x x
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?
(1)由于绳长固定，所以点M到两
M
个定点的距离和是个定值
F1
F2
（2）点M到两个定点的距离和要大
于两个定点之间的距离
（一）椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （ 2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0).
椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a b 0
F1 o F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F2
M
ox
F1
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
星系中的椭圆
——仙女座星系
——“传说中的”飞碟
数学实验
• (1)取一条细绳， • (2)把它的两端固定在板
上的两个定点F1、F2 • (3)用铅笔尖（M）把细
绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的 图形
思 1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 考 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。
椭圆定义的符号表述：
M
MF1 MF2 2a F2
F1
(2a>2c)
小结：椭圆的定义需要注意以下几点
1.平面上----这是大前提 2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C
思考：
1.当2a>2c时,轨迹是（ 椭圆 ） 2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段．
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
两类标准方程的对照表
定义
图形
方程 焦点 a,b,c之间的关系
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
ox
F1
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，
a2 cx a (x c)2 y2
两边再平方，得
a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
பைடு நூலகம்
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0), b2 x2 a2 y 2 a2b2
上的椭圆，则m的取值范围是 . (0,4)
变式：已知方程
x2 + y2 = 1 m - 1 3- m
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范
围是
.
(1,2)
2、 已知椭圆的方程为： x2 y2 1，请填空： 25 16
(1) a=_5_，b=_4_，c=_3_，焦点坐标为_(-_3_,_0_)、__(_3_,_0_)，焦距等于_6_.
中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标
x2
y2
+ =1
25 16
x2
y2
+ =1
144 169
x2
y2
m2 + m2 + 1 = 1
答：在 X 轴（-3，0）和（3，0） 答：在 y 轴（0，-5）和（0，5） 答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
25 16
? x 2
(3) m2
y2 m2 1
1(6)
x2 24
k
y2
16 k
1
练习：
1.方程 x2 y2 1表示焦点在x轴上的椭圆， a3
则a的范围为( a>3 )。 2.方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆
b9 则b的范围为( 0<b<9 )。
3.已知方程 x2 + y表2 =示1焦点在x轴 4m
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=__8_.
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
练习：
1.口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a2,b2 ，写出焦点坐标.
(1) x 2 y 2 1 (4)9x2 25 y 2 225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5) 3x2 2 y2 1