平差习题集
测量平差习题集
第二部分 自测题第一章 自测题一、判断题（每题2分，共20分）1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。
（ ）2、 观测值i L 与其偶然真误差i ∆必定等精度。
（ ）3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。
（ ）4、 或然误差为最或然值与观测值之差。
（ ）5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。
（ ）6、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。
（ ）7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=∆)(E ，则表示观测值中仅含偶然误差。
（ ） 8、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。
（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。
（ ）10、相关观测值权逆阵Q 的对角线元素ii Q 与权阵P 的对角线元素ii P 之间的关系为1=ii ii P Q 。
（ ）二、填空题（每空0.5分，共20分）1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。
2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。
3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。
经典测量平差主要研究的是 误差。
4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。
仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。
5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。
若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。
6、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的误差限。
7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量∆的协方差阵为∑，则L 或∆的权阵定义为L P =∆P = ，由于验前精度∑难以精确求得，实用中定权公式有 、 、 ，特别是对独立等精度观测向量L 而言，其权阵可简单取为L P = 。
平差习题集
1. 误差来源，测量平差的任务，多余观测的目的。
2. 试用公式说明方差协方差阵与协因数阵之间的关系？协因数阵与权阵之间的关系？在什么情况下它们为对角矩阵？若协因数阵为单位阵表示什么意思？ 3. 已知随机变量y 、z 都是观测值L=[L1、L2、L3]T 的函数，函数关系如下：3162101733241L L L z L L L y +-=++=，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=420231012LLQ ，证明y 、z 间互不相关。
4. 已知间接平差的模型为V=BX-L ，已知观测值的中误差为Q LL ，试推导Q VV 。
5. 已知独立观测值L 1,L 2的中误差为σ1和σ2，试求下列函数的中误差： （1）122X L L =- （2）211212Y L L L =+6. 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数为8，现选取8个参数，且参数之间有2个限制条件。
若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？由其组成的法方程有几个？7. 在相同条件下，观测两个角度∠A=30︒00'00"，∠B=75︒00'00"，设对∠A 观测6个测回的权为1，问观测∠B 9个测回的权为多少？8. 在相同观测条件下，应用水准测量测定点A —B —C —D 之间的高差，设路线长度分别为S 1=2km ，S 2=4km ，S 3=6km ，令12km 的高差观测值权为单位权观测，设每公里观测高差中误差为σ，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
9. 取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，则长度为D 的直线之丈量结果的权为多少？若长度为D 的直线丈量了n 次，则其算术平均值的权为多少？。
10. 已知一水准网如下图，其中A 、B 为已知点，观测了8段高差，若设E 点高程的平差值与B 、E 之间高差的平差值为未知参数21ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法（概括平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为C11. 在已知水准点A 、B （其搞成无误差）间布设设水准线路，如图所示。
平差理论及平差基习题集
平差理论及平差基习题集1、在间接平差中，参数X 与平差值L 是否相关？试证明。
答：-111^^2^^^1()(()0T B T T T T T N B PlV B BNbb B Pl L BNbb B E lL L v x xQ x L Q x v Nbb B PQu BNbb P E σ-1-------===-=-=+=+∴==-=σ 2、已知独立观测值L 1、L 2的方差M 1和M 2，求函数211212Y L L L =+的方差。
答：211212112221211212()()Y Y Y L L L L L dL L dL M L L M L M σ=+=++=++3、在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设∠A 观测4测回的权为1，则对∠B 观测9个回合的权是多少？ 答：2021==114A P σσ20σ221941149LB P σ=== 4、已知观测值向量L21的协方差阵为DLL=3112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又知协因数Q12=1-5，试求观测值。
答：111222200211221202011111220122-1===-13=-1-1=529315513125532LL L L L QL L QL L D Q QL L QL L QL L QL l DL PLL QLL P P σσσσσ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎡⎤====⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦==5 、已求得控制网中P 点误差椭圆参数υE=157°30′、E=1.57dm 和F=1.02dm,已知PB 边坐标方位角αPB=217°30′，SPB=5KM,B 为已知点，求方位角中误差^PA σα和边长相对误差^PAPA S S σ。
6、设某平差问题是按条件平差方法进行的，其法方程为：1210-260-246K K -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,求联系数12K K ;求单位权方差20σ。
平差理论及平差基习题集
平差理论及平差基习题集1、在间接平差中，参数X 与平差值L 是否相关？试证明。
答：-111^^2^^^1()(()0T B T T T T T N B PlV B BNbb B Pl L BNbb B E lL L v x xQ x L Q x v Nbb B PQu BNbb P E σ-1-------===-=-=+=+∴==-=σ 2、已知独立观测值L 1、L 2的方差M 1和M 2，求函数211212Y L L L =+的方差。
答：211212112221211212()()Y Y Y L L L L L dL L dL M L L M L M σ=+=++=++3、在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设∠A 观测4测回的权为1，则对∠B 观测9个回合的权是多少？ 答：2021==114A P σσ20σ221941149LB P σ=== 4、已知观测值向量L21的协方差阵为DLL=3112⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又知协因数Q12=1-5，试求观测值。
答：111222200211221202011111220122-1===-13=-1-1=529315513125532LL L L L QL L QL L D Q QL L QL L QL L QL l DL PLL QLL P P σσσσσ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎡⎤====⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦==5 、已求得控制网中P 点误差椭圆参数υE=157°30′、E=1.57dm 和F=1.02dm,已知PB 边坐标方位角αPB=217°30′，SPB=5KM,B 为已知点，求方位角中误差^PA σα和边长相对误差^PAPA S S σ。
6、设某平差问题是按条件平差方法进行的，其法方程为：1210-260-246K K -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,求联系数12K K ;求单位权方差20σ。
测量平差所有习题
第二章思考题及习题1.精度的含义是什么？2.为什么不用真误差来衡量观测值的精度而用中误差？3.试比较中误差、平误差作为衡量精度的标准的优缺点。
4.为什么要研究极限误差，极限误差与真误差有什么关系？5.角度的精度可否用相对误差来衡量？为什么？6.平差的原则是什么？观测值的平均误差和中误差。
8.某一三角网共有三十个三角形，在相同条件下进行了观测，由于观测有误差，三角形内角之和就不等于180度，这样就得到了三十个三角形的角度闭合差W（真误差），按绝对值的大小排列如下：+0.5″,-0.6″,+0.8″,-1.0″,+1.4″,+1.7″,-1.8″,+2.1″,+2.5″,-2.7″,+2.8″,+3.0″,+3.2″,-3.6″,+4.2″,-4.8″,-5.3″,+5.9″,-6.1″+6.8″,-6.9″,+7.5″,+8.5″,-9.1″,-9.8″,+11.3″,+12.9″,-14.6″,+18.8″-21″。
①试根据该组误差分析偶然误差的特性；②求三角形内角之和的中误差；③分析最大的偶然误差与中误差的关系；④求三角网中每个角的测角中误差。
9．对三十米的一条边进行了二十次丈量，每次丈量的中误差为±0.02米，另外用同样的方法对60米的一条边进行丈量，其每次丈量的中误差为±0.03米，试问这两条边丈量结果，哪一条边的精度高？10．对30º的一个角观测了十次，每次观测的中误差为±5″。
另外用同样的仪器、同样的方法、同样的次数对60º的一个角观测进行观测，每次观测的中误差为±5″。
试问这两个角度观测结果精度一样吗？11．什么是误差传播定律？12.设一个三角形观测了三个内角，每一个角的测角中误差58''⋅±=βσ，试计算三角形内角和的中误差。
13.在一个三角形中观测了两个角度，其值分别为α=30º20′22″±4″，β=60º24′18″±3″，试求第三个角度γ的角值及其中误差σγ。
平差习题
一．填空题12 。
3456、设有观测向量31L ⨯=2σ= 、3σ= 、12σ701。
8为60°00′00″、观测值的中误差为 ，9101112131415则其属性为 。
16、设有观测向量3L ⨯D LL =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡901040101,二．判断题12、水准测量中，水准尺读数误差为偶然误差。
（ ）3、协因数阵中，主对角线元素为对应值的协因数；权阵中，主对角线元素为对应值的权。
（ ）4、测量平差的原则为最小二乘原则。
（ ）5、某观测值的权不是唯一确定值。
（ ）6、协方差ij σ=0时，说明值L i 、L j 误差不相关。
（ ）7、在平差易软件中对水准网数据输入时，若以测站数定权，测站数可以不输入。
（ ）8、在间接平差中，0ˆˆB X B L+=，未知量X ˆ可以直接从公式AV+W=0中求出。
（ ）9、点位真误差即为点位位差。
（ ）10、误差椭圆是函数ψ+ψ=ψ22222sin cos F E σ关于ψσ的轨迹。
（ ）11、水准测量中，水准尺读数误差为偶然误差。
（ ）12、在间接平差中，误差方程为l xB V -=ˆ，其未知量只有V 。
（ ）13、在平差易软件中，当某测站点被选中时，在观测值信息区，第一个照准点为定向点，其方向值必须为0，定向点是唯一的。
（ ）14、某点的位差在各个方向上的影响是不尽相同的。
（ ）三．简答题1、误差的分类以及如何消弱对结果的影响？2、请简述平差易软件控制网数据处理的操作步骤。
3、请简述中误差、方差、权以及协因数之间的关系。
4、请简述偶然误差的特性？5、请简述间接平差精度评定的计算步骤。
四．计算题1、已知设X 为独立观测值L 1、L2、L 3的函数3213261561L L L X ++=，已知L 1、L 2、L 3的中误差mm mm mm 2,3,2321±=±=±=σσσ，求函数的中误差X σ。
平差习题
，试
写出观测值L 写出观测值 1，L2，L3的中误差及其协方差 σ L L 、σ 和 σ L L 。 LL 2 3 17、协方差的定义式是什么？说明它是怎样描述两个观测值之间的 、协方差的定义式是什么？ 相关关系的？ 相关关系的？
18、相关观测值向量的协方差阵 X 是怎样定义的？试说明D XX 中各 、 是怎样定义的？
L1、 、
38、设对某量进行三次同精度观测，得独立观测值 、设对某量进行三次同精度观测，
L2 、 L3
，
1 L1 V = 1 x − L2 ， 1 L 3
L1 1 x = (1 1 1) L2 由此求得平差值和改正数向量为： ，由此求得平差值和改正数向量为： 3 L 3
、
、
14、精度、准确度和精确度分别是怎样定义的？，它们的作用分别 、精度、准确度和精确度分别是怎样定义的？，它们的作用分别 ？， 是什么？当观测结果中不存在系统误差时，精确度就是精度吗？ 是什么？当观测结果中不存在系统误差时，精确度就是精度吗？ 15、设有观测向量X = [ L1 、
21
L2 ]
T
24、 、
设函数 Z = F1 X + F2Y ，已知 X 和Y 的协方差阵
D XX , DYY ， X 关于Y 的互协方差阵 D XY 。求 Z
的方差阵 DZZ 和 Z 关于 X 和 Y 的互协方差阵
DZX , DZY 。
25、 设有观测向量 L ，其协方差阵为 25、
4 = 3 2
33、 、
x
角为
两角之和， L1、 L 2 两角之和， L1 = 32 o18′14′′
，是由16次观测结果平均而得，每次观测中误差为 ± 8′′ ， 次观测结果平均而得， 是由 次观测结果平均而得
文档：误差理论与测量平差基础习题集(二期)
误差理论与测量平差基础题库集1.1 设对一段距离丈量了三次，三次结果分别为9.98m ，10.00m ，10.02m ，试根据测量平差概念，按独立等精度最小二乘原理(21min ni i v ==∑)求这段距离的平差值以及消除矛盾时各次结果所得的最或然改正数。
11223311231.1ˆˆˆ 9.98 ˆˆˆ 10 ˆˆˆ 10.0219.98ˆ110110.02ˆ()130103ˆ9.982ˆ100ˆ10.022T T L X V XL X V XL X V XV X XB B B l V Xcm V Xcm V Xcm ->>⎧==-⎪⎪==-⎨⎪==-⎪⎩⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==⨯==-==-==-=-1.2 一段距离丈量了三次，三次结果分别为9.98m ，10.00m ，10.02m ，令三次结果的权分别为1,2,1，试按独立非等精度最小二乘原理（21min ni i i p v ==∑）求这段距离的平差值以及消除矛盾时各次结果所得的最或然改正数。
111231.21001001000202001001ˆ()1(9.9810210.02)104ˆ9.982ˆ100ˆ10.022T T Q P Q X B PB B Pl V Xcm V Xcm V Xcm -->>⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦==⨯+⨯+==-==-==-=-1.3 设一平面三角形三内角观测值为A 、B 、C ，180W A B C =++-︒为三角形闭合差，试根据测量平差概念，按独立等精度最小二乘原理证明三内角的评差值为ˆ3W AA =-、ˆ3W BB =-、ˆ3W C C =-。
()1231231231.3ˆˆˆ18001800011100AB C A V B V C V V V V W V V W V AV W P E Q E>>++-︒=+++++-︒=+++=⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦+===按条件平差法有1123()111311313131ˆ31ˆ31ˆ3T T T T V QA K A K A AA W WW W W A A V A W B B V B W C C V C W -===-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=+=-=+=-=+=-123ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆˆˆ+180 +18010ˆ01ˆ11180ˆˆA A B B A B A B A B A B A X V X A B X V X B C X X V X X C A XV B X C X X ⎧==-⎪⎪==-⎨⎪=--︒=--︒-⎪⎩⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦---︒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦按参数平差11()101011010101101111180121801321801331ˆ31ˆ31ˆˆˆ1801803T TB PB B Pl A BC A WA B C A B C B W AA W BB W CA B A W B --=⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥---︒⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤-⎢⎥--+︒⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-+︒⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=-=-=︒--=︒-+-+即132180313W A B C W CC W=︒---++=-1.4 已知独立等精度观测某三角锁段共得15个三角形，其闭合差如下表 所示。
误差理论及测量平差基础习题集
.第七章间接平差§7-1 间接平差原理7.1.01在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？偏差方程和法方程的个数是多少？7.1.02在某平差问題中，假如剩余现测个数少于必需观察个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为何？7.1.03假如某参数的近似值是依据某些现测值计算而得的，那么这些观察值的偏差方程的常数项都会等于零吗？7.1.04在图7-1所示的闭合水平网中， A 为已知点（ H A=10.OOOm)，P1， P2为高程未知点，测得离差及水平路线长度为：h1= 1.352m,S 1=2km，h2 =-0.531m ，S2 = 2km,h 3 = - 0.826m,S 3 = lkm。
试用间接平差法求各髙差的平差值。
7.1.05在三角形(图7-2)中，以不等精度测得α=78o 23′12" ，Pα =1;β= 85 o 30 '06 "，P?=2;γ=16o 06'32" ， Pγ =1;δ=343o 53'24", P δ =1；试用间接平差法求各内角的平差值。
7.1.06设在单调附合水平路线(图7-3)中已知A,B两点高程为H A，H B，路线长为.S1， S2，观察高差为 h1 h 2，试用间接平差法写出P 点高程平差值的公式。
7. 1.07 在测站 0 点观察了 6 个角度 ( 如图 7-4 所示 ) ，得同精度独立观察值 :L1=32o 25'18", L 2 =61 o14'36",L3=94o 09'40",L 4 172010'17"L5=93o 39'48", L6=155o24'20"已知 A 方向方向角αA =21o 10'15" ，试按间接平差法求各方向方向角的平差值。
测量平差基础习题四及答案
1、没有多余观测，就没有平差问题。
（ ）2、测量平差的任务是消除误差和精度估计。
（ ）3、通过平差，可以消除矛盾，求出观测值的真值。
（）4、有已知点的水准网平差时，其必要观测个数等于未知点个数。
（ ）5、无已知点的水准网平差时，其必要观测个数等于未知点个数。
（ ）6、测量平差问题中，多余观测越多越好，但可能会增加测量成本。
（ ）7、平差结果也可以作为观测值，进行再次平差。
（ ）答案: √ ╳ ╳ √ ╳ √ √8、平差的目的是 。
A 消除误差B 平分误差C 求未知参数真值D 消除矛盾，求未知参数唯一估值9、设某一平差问题的观测值个数为n ，必要观测个数为t ，多余观测个数为r ，下列关系中不一定正确的有 。
A 、n=r+tB 、r n >C 、t n >D 、r>t偶然误差的聚中性反映了 。
A 偶然误差的分布对称于0B 一定的测量条件下，偶然误差的数值数值总是趋于0C 一定的测量条件下，偶然误差的数值有一定的范围D 偶然误差越接近0，其分布越密10、偶然误差的界限性反映了 。
A 偶然误差的分布对称于0B 一定的测量条件下，偶然误差的数值数值总是趋于0C 一定的测量条件下，偶然误差的数值有一定的范围D 偶然误差越接近0，其分布越密11、偶然误差的对称性反映了 。
A 偶然误差的数学期望为0B 一定的测量条件下，偶然误差的数值数值总是趋于0C 一定的测量条件下，偶然误差的数值有一定的范围D 偶然误差越接近0，其分布越密12、已知某距离观测值及中其误差为cm km S 440±=，则Sm S = 。
a.100001 b.1000001 c. 1ppm d.1.5ppm答案: D D D C A C13、已 知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑2113X ， 20±=σ，设 211x 6x z -= ，5x z 2312+=， 则 =2x p ， =σ2z 1 ， =σ21z z 。
测量平差习题集答案
测量平差习题集答案测量平差习题集答案在测量工作中，平差是一项非常重要的环节。
它通过对测量数据进行处理和分析，消除误差，得到更加准确的测量结果。
为了帮助大家更好地理解和掌握平差的方法和技巧，下面将为大家提供一些测量平差习题集的答案。
1. 题目：某测量队在进行水平控制网的测量时，测得A、B两点的水平角为α1=90°30'20"，α2=269°29'40"，A、B两点的距离为1000米。
已知A点的坐标为(1000, 1000)，求B点的坐标。
解答：根据水平角的定义，可以得到以下关系式：α1 = α2 + 180°即90°30'20" = 269°29'40" + 180°化简得90°30'20" = 449°29'40"由于角度超过360°，需要将其转化为小于360°的形式，可以通过减去360°来实现，即：90°30'20" - 360° = 89°29'40"所以，B点的水平角为89°29'40"。
接下来，根据已知的A点坐标和AB距离，可以利用正弦定理来求解B点的坐标。
设B点的坐标为(x, y)，则有：(x - 1000)^2 + (y - 1000)^2 = 1000^2根据正弦定理，可以得到以下关系式：sin(89°29'40") = (x - 1000) / 1000化简得：(x - 1000) = 1000 * sin(89°29'40")解得：x ≈ 1999.999同理，可得：y ≈ 1000.000所以，B点的坐标为(1999.999, 1000.000)。
条件平差习题
作业
h1 h5 A h2
P1 h3 B h6 h4 h7 P2
h5
h6 h7
4.651
5.856 10.500
1.0
1.0 2.0
HA=50.000m HB=40.000m
P3
试用条件平差法求：各高差的平差值。
华北科技学院
保留四位小数 条件平差习题
4/在图一所示测角网中，A、B、C为已知点，P为待定点，
T ˆ h h V 1.001 1.000 1.063 0.500 0.503 0.060 0.562 0.001
华北科技学院
条件平差习题
习题3
2：图中, A, B为已知水准点，其高成为：H A 12.013m, H B 10.013m, 为了确定C , D点的高程，观测了四段高差 高差观测值与水准路线的距离如下：
A L4 P L3 L2 L1 B
华北科技学院
C
条件平差习题
解：n=4,t=3,r=1，因为同精度观测，
1 1 p 1 1
列出平差值条件方程:
ˆ L ˆ L2 1 1 1 1 ˆ 360 0 L3 L ˆ 4 57 3216 73 0308 W ( AL A0 ) ([1 1 1 1] 360 ) 12 126 51 28 104 3320
S1 = 1 km S1 = 2 km
S1 = 2 km S1 = 1 km
h5 = + 0.504 m h6 = + 0.060 m
h7 = + 0.560 m h8 = + 1.000 m
S1 = 2 km S1 = 2 km
平差期末试题及答案
平差期末试题及答案一、选择题1. 以下哪项不是平差的基本原理？A. 最小二乘法B. 应力平衡法C. 非平衡调整法D. 平差法答案：B2. 平差的基本任务是什么？A. 求出各个未知量的近似值B. 求出各观测值的精确值C. 求出各个未知量的精确值D. 检验各观测值的合理性答案：C3. 以下哪项不是平差的基本要求？A. 观测条件要满足平差要求B. 观测值的精度应满足精度要求C. 未知量的个数应大于观测值的个数D. 观测量之间应相互独立答案：C4. 平差中的误差分析和检验是为了什么？A. 评估观测数据的可靠性B. 评估平差结果的可靠性C. 检查未知量的合理性D. 检查观测装置的准确性答案：B二、填空题1. 平差的基本原理是利用 ________ 求解未知量的最优估计值。
答案：最小二乘法2. 平差的核心思想是达到观测 ________ 和观测 ________ 的双重平衡。
答案：方程、误差3. 平差中，误差方程的个数应大于等于 ________ 方程数量。
答案：未知量4. 平差中，未知量的个数应大于等于 ________ 数量。
答案：观测值三、解答题1. 试述平差的基本步骤及其适用范围。
平差的基本步骤如下：1）建立观测方程，将观测值与未知量之间的关系用数学方程表示。
2）编写误差方程，将观测方程中的观测值与未知量的函数关系转化为观测值和未知量的误差关系。
3）求解误差方程，利用最小二乘法求解未知量的最优估计值。
4）误差分析和检验，评估平差结果的可靠性。
平差适用的范围包括但不限于以下情况：- 大地测量中的测量数据处理；- 工程测量中的控制网调整；- 精密工程测量中的测量结果分析；- 地质勘探中的断层滑坡分析等。
2. 举例说明平差中的最小二乘法原理及其应用。
最小二乘法原理是平差中常用的处理方法之一，其核心思想是使平差结果使得所有观测值的残差平方和最小。
例如，我们进行了一组斜距观测，并欲求解各个未知点的坐标。
根据最小二乘法原理，我们可以建立观测方程和误差方程，并通过求解误差方程得到未知点的最优估计值。
误差理论与测量平差基础习题集
第五章条件平差§5-1条件平差原理条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?5. 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。
图5-15. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为Ha = m , Hb=11. 123m,观测高差和线路长度为:图5-2S1=2km,S2=Ikm,S3=,h1=,h2= m,h3= m，求改正数条件方程和各段离差的平差值。
在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程HA=,观测了5条路线的高差:h1=，h2=0. 821 m，h3=，h4=，h5= m。
各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差值。
有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测量，测得高差及水准路线长度为h1=1 .335 m，S1=2 km;h2= m，S2=2 km;h3= m，S3=3km。
试按条件平差法求各高差的平差值。
如图 5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″；L3=301°45′42″，=10″.(1)列出改正数条件方程;(2)试用条件平差法求∠C的平差值(注: ∠C是指内角)。
5-2条件方程5. 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一?列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关?. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点，h i表示观测高差)。
(a) (b)图5-65. 2. 11指出图5-7中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图中P i 为待定坐标点)。
误差理论和测量平差习题集（含答案）
误差理论和测量平差习题集（含答案）1.1 观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.2 观测误差分为哪⼏类？它们各⾃是怎样定义的？对观测结果有什么影响？试举例说明。
1.3⽤钢尺丈量距离，有下列⼏种情况使得结果产⽣误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）尺长不准确；（2）尺不⽔平；（3）估读⼩数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线⽅向。
1.4 在⽔准了中，有下列⼏种情况使⽔准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号：（1）视准轴与⽔准轴不平⾏；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）⽔准尺下沉。
1.5 何谓多余观测？测量中为什么要进⾏多余观测？答案：1.3 （1）系统误差。
当尺长⼤于标准尺长时，观测值⼩，符号为“+”；当尺长⼩于标准尺长时，观测值⼤，符号为“-”。
（2）系统误差，符号为“-”（3）偶然误差，符号为“+”或“-”（4）系统误差，符号为“-”（5）系统误差，符号为“-”1.4 （1）系统误差，当i⾓为正时，符号为“-”；当i⾓为负时，符号为“+”（2）系统误差，符号为“+”（3）偶然误差，符号为“+”或“-”（4）系统误差，符号为“-”2.1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的⽔平⾓'"450000α=作12次同精度观测，结果为：'"450006 '"455955'"455958'"450004'"450003455958'"455959 '"455959 '"450006 '"450003设a 没有误差，试求观测值的中误差。
2.2 已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m ±4.5cm 及660.894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？2.3 设对某量进⾏了两组观测，他们的真误差分别为：第⼀组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第⼆组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1试求两组观测值的平均误差1?θ、2θ和中误差1?σ、2?σ，并⽐较两组观测值的精度。
(整理)测量平差习题集
第二部分 自测题第一章 自测题一、判断题（每题2分，共20分）1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。
（ ）2、 观测值i L 与其偶然真误差i ∆必定等精度。
（ ）3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。
（ ）4、 或然误差为最或然值与观测值之差。
（ ）5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。
（ ）6、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。
（ ）7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=∆)(E ，则表示观测值中仅含偶然误差。
（ ） 8、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。
（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。
（ ）10、相关观测值权逆阵Q 的对角线元素ii Q 与权阵P 的对角线元素ii P 之间的关系为1=ii ii P Q 。
（ ）二、填空题（每空0.5分，共20分）1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。
2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。
3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。
经典测量平差主要研究的是 误差。
4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。
仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。
5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。
若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。
6、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的误差限。
7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量∆的协方差阵为∑，则L 或∆的权阵定义为L P =∆P = ，由于验前精度∑难以精确求得，实用中定权公式有 、 、，特别是对独立等精度观测向量L 而言，其权阵可简单取为L P = 。
8、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。
误差理论与测量平差基础习题集5(参考答案)
参考答案第一章1.1．04 （1）系统误差。
当尺寸大于标准尺长时，观测值小，符号为“+”；当尺长小于标准尺长时，观测值大，符号为“-”。
（2）系统误差，符号为“-”。
（3）偶然误差，符号为“+”或“-”。
（4）系统误差，符号为“-”。
（5）系统误差，符号为“-”。
1.1.05 （1）系统误差。
当i角为正值时，符号为“-”；当i角为负值时，符号为“+”。
（2）系统误差，符号为“+”。
（3）偶然误差，符号为“+”或“-”。
（4）系统误差，符号为“-”。
第二章2.3.08 σ=3.62″2.3.09 真误差可能出现的范围是|△|45mm，或写为-45mm，1/23045.2.3.10 他们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者。
2.6.17 θ1 =2.4，θ2 =2.4，σ 1 =2.7，σ 2 =3.6。
两组观测值的平均误差相同，而中误差不同。
由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用中误差作为衡量精度的指标。
本题中，σ1σ2，因此，第一组观测值的精度高。
2.6.18 Dxx22=4229（秒2）2.6.19 σL1 =2 σL2 =3 σL3 =4 σL1L2 =-2 σL1L3 =0 σL2L3 =-3第三章3.2.07 （1）σX = 32σ （2）σx =L 12L 22 L 12L 32 L 22L 32L 32σ3.2.08 σx=2σ σy = 5σ σz = L 12L 22σ σt = 13σ3.2.09 （1）σx = σ124σ22（2）σy = （L1 L2）2σ12L 12σ22（3）σx = sin²L2σ12sin²L1 cos²（L1 L2）σ22sin²（L1 L2）3．2.10 （1）DF1 =22 （2）DF2 =18L 2227L 323.2.12 （2）DXL =ADLLDYL = BADLL 或DYL =ADLXBT DXY =ADLLATBT 或DXY =ADLXBT 3.2.13 D φ1 =4L 12+ 3L 22D φ2 =18 D φ1φ2 =7L2 – L13.2.14 DWW = XXXY XZ YX YY YZ ZX ZYZZ D D D D D D DD D ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= TT T 111213T T 212223TTT 313233AD A AD B AD C BD ABD B BD CD A CD A CD A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ＴＣ3.2.15 X σy σ3.2.16 122222AB y 113''223S =cos L +sin L cot L sin L σρ⋅（）22y2=1σ（秒）y1y2=0σ3.2.17 c =185.346（m ）C σ=0.154（m ）3.2.18 S σ=123.2.19 令p 点坐标X 、Y 的协方差阵为22x xy yz y σσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭式中：2222222022()AP xS AP AP X Y Y S βσσσσρρ∆=+∆-+∆222222222()+X X oAP yS AP AP X S βσσσσρρ∆=∆+∆222222o AP AP xy S AP AP AP AP X Y X Y X Y S βσσσσρρ∆∆=-∆∆-∆∆yz xyσσ=3.2.20 (1)22111121()3112LLD ∧∧-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦秒(2) 1321()3L L D ∧∧=-秒 3.3.24 (1)2hσ=1.73(mm) （2）1H ρσ=1.29(mm)3.3.25 最多可设25站 3.3.26 16km 3.3.27ρσ=0.097(m)3.3.28 在增加5个测回 3.3.29 S =4 635.563（m2） S σ=2.88(m)3.3.30ασ=βσ=3.34(秒)3.4.35 P1 P2 P3 σ0 =2.0’’ 1.0 0.25 4.0 σ0 =4.0’’ 4.0 1.0 16.0 σ0 =1.0’’ 0.25 0.0625 1.0 按各组权分别计算得X ∧= 3041’17.2’’ σS =0.87’’3.4.36 P1 =4.0 P2 =5.0 P3 =10.0 σ0 = 40σ(km) 3.4.37 P =np 3.4.38 PD =dD3.4.39 PC(平差前) =140PC （平差后）=1203.4.40 σ0 =5.66’’ σA =11.31’’3.4.41 (1)观测∠A 两次的算术平均值 （2）σ0 =1.70’’ (3)N =12（次）3.4.42 不对。
平差习题
平差习题集一、 单项选择1．取一长为d 的直线之丈量结果的权为 1，则长为D 的直线之丈量结果的权D P =（ ）。
a) D d b) d D c) 22D d d) 22dD 2.有一角度测 20 测回，得中误差±0.42 秒，如果要使其中误差为±0.28秒，则还需增加的测回数N=（ ）。
a) 25 b) 20 c) 45 d) 5 3.某平面控制网中一点P ，其协因数阵为：⎢⎣⎡⎥⎦⎤=YY YX XY XX XXQ Q Q Q Q =⎢⎣⎡⎥⎦⎤--5.025.025.05.0 单位权方差20σ =±2.0。
则P 点误差椭圆的方位角 T=（ ）。
a) 90 b) 135 c) 120 d) 454.设L 的权为1，则乘积4L 的权P=（ ）。
a) 1/4 b) 4 c) 1/16 d) 16 5.设⎢⎣⎡⎥⎦⎤21y y ＝⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤--213112x x ；⎢⎣⎡⎥⎦⎤=4113XX D ,设F = y2+ x1，则2F m =（ ）。
a) 9 b) 16 c) 144 d) 36二．填空题1.测量平差遵循的原则为 。
2.条件平差中，利用法方程计算单位权中误差的公式为 。
3.条件方程列立的原则为 、 、 。
4.间接平差的函数模型为 ，随机模型为 。
5.在间接平差中，计算V T PV 有 、 两种方法。
6.在间接平差中, X X Q ˆˆ x xQ ˆˆ，Q LL Q ll 。
7. 水准网的间接平差中，常令 为参数，而平面控制网中常令 为参数。
8.水平角观测中，对某角用测回法等精度观测了3测回，其观测值分别为60°00′00″、60°00′01″、59°59′59″，则该角的最或是值为 ，观测值的中误差为 ，最或是值的中误差为 。
9.测边网的误差方程式为 ，若列此方程，需先行计算出 。
10．若待定点的极大位差和极小位差分别为 3.0dm 、4.0dm ，则该点的点位差为 ；若=135°28′00″，另有AP 方向=180°28′00″，则AP 方向的 值为 ，该方向的位差为 ；若S AP =1km ，则该方向的方位角中误差为 。
误差理论与测量平差基础习题集Word版
误差理论与测量平差基础习题集Word版第⼀章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,⽽且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪⼏类?它们各⾃是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。
1.1.04⽤钢尺丈量距离，有下列⼏种情况使量得的结果产⽣误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不⽔平；（3）估读⼩数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线⽅向。
1.1.05在⽔准测量中，有下列⼏种情况使⽔准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与⽔准轴不平⾏；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）⽔准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进⾏多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 ⾼斯于哪⼀年提出最⼩⼆乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 ⾃20世纪五六⼗年代开始，测量平差得到了很⼤发展，主要表现在那些⽅⾯？§1-4 本课程的任务和内容1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学⽬的是什么？第⼆章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是⼀种重要的分布？试写出⼀维随机变量X的正态分布概率密度式。
§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三⾓形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，⼤量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和⽅差各是多少？§2-3 衡量精度的指标测值⽐误差⼤的观测值精度⾼？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差⼀定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的⽔平⾓α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。
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1. 误差来源，测量平差的任务，多余观测的目的。
2. 试用公式说明方差协方差阵与协因数阵之间的关系协因数阵与权阵之间的关系在什么
情况下它们为对角矩阵若协因数阵为单位阵表示什么意思 3. 已知随机变量y 、z 都是观测值L=[L1、L2、L3]T
的函数，函数关系如下：
3
162101733241L L L z L L L y +-=++=，已知⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=420231012LL
Q ，证明y 、z 间互不相关。
4. 已知间接平差的模型为V=BX-L ，已知观测值的中误差为Q LL ，试推导Q VV 。
5. 已知独立观测值L 1,L 2的中误差为σ1和σ2，试求下列函数的中误差： （1）122X L L =- （2）2
11212
Y L L L =
+
6. 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数为8，现选取8个参数，且参数之间有2
个限制条件。
若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程由其组成的法方程有几个
7. 在相同条件下，观测两个角度A=300000，B=750000，设对A 观测6
个测回的权为1，问观测 B 9个测回的权为多少
8. 在相同观测条件下，应用水准测量测定点A —B —C —D 之间的高差，设路线长度分别为
S 1=2km ，S 2=4km ，S 3=6km ，令12km 的高差观测值权为单位权观测，设每公里观测高差中误差为σ，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
9. 取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，则长度为D 的直线之丈量结果的权为多少若
长度为D 的直线丈量了n 次，则其算术平均值的权为多少。
10. 已知一水准网如下图，其中A 、B 为已知点，观测了8段高差，若设E 点高程的平差值
与B 、E 之间高差的平差值为未知参数2
1ˆˆX X 、，按附有限制条件的条件平差法（概括平差法）进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为
C
11. 在已知水准点A 、B （其搞成无误差）间布设设水准线路，如图所示。
线路长为S1=2km ，
S2=6km ，S3=4km ，设每千米观测高差中误差σ=，试求： （1） 将闭合差按距离分配后P1、P2两点间高差的中误差； （2） 分配闭合差后P1点高程的中误差。
12. 在两已知高程点间布设一条附合水准线路，如图所示，已知每千米观测中误差等于，欲
使平差后线路中点C 点高程中误差不大于10mm ，试问该线路长度最多可达几千米
13. 设对∠A 进行4次同精度独立观测，一次测角中误差为″，已知4次算术平均值的权为
2。
试问：（1）单位权观测值是什么（2）单位权中误差等于多少（3）欲使∠A 的权等于6，应观测几次 14. 设观测值向量L 的协因数阵为Q ，权阵为P ，试问：（1）协因数阵的对角元素Q 是观测
值L 扥权倒数吗（2）权阵对角元素P 使观测值L 的权吗为什么 15. 设对某量分别进行等精度了n 、m 次独立观测，分别得到观测值),2,1(,
n i L i Λ=，
),2,1(,m i L i Λ=，权为p p i =，试求：
A
C
A
P1
P2
1）n 次观测的加权平均值]
[]
[p pL x n =
的权n p 2）m 次观测的加权平均值]
[]
[p pL x m =
的权m p 3）加权平均值m
n m
m n n p p x p x p x ++=
的权x p
16. 在三角形中，已知角a 无误差为40°，观测角b 、c 的观测值为12,L L ，其协方差阵2,2
LL
Q 为单位阵，现将闭合差平均分配到两角，得ˆ2
i i
w
L L =-，式中12140w L L =+-︒。
（1）试求w 的权；（2）w 与1
2ˆˆˆL L L ⎡⎤=⎣
⎦
是否相关，试证明之。
17. 有如图所示水准网，网中A 、B 为已知点，C 、D
为待定点，51~h h 为高差观测值，设各线路等长。
已知平差后算得)(752
mm V V T
=，试求平
差后C 、D 两点间高差5
ˆh 的权及中误差。
18. 如下图所示，已知A 、B 点，等精度观测8个角值为：
L1
L2L3L4
L5L6
L7
L8
A
C
D
若选择∠ABC 平差值为未知参数X
ˆ,用附有参数的条件平差法列出其平差值条件方程式。
19. 某平差问题有以下函数模型)(I Q =
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=--=-=2
ˆˆ1ˆ2ˆˆ1
ˆ214
2331211x
x
v x
v x
x v x
v
03ˆˆˆ321=++-x x x
试问：
(1). 以上函数模型为何种平差方法的模型
(2). 本题中，=n ，=t ，
=r ，=c ，=u ，=s 。
20. 如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按间接平差法求证在单一附合水准路线中，平
差后高程最弱点在水准路线中央。
21. 如图所示测角网中，A 、B 、C 为已知点，P 为待定点，721,,,L L L Λ为同精度观测角值。
若按条件平差法对该网进行平差：
有多少个条件方程各类条件方程各有多少
个
试列出全部条件方程（非线性条件方程需。
22. 如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点，P 1，P 2为未知点，各观测高差及路线长
12
h 3
h 2
h 1
P1
B
A
C P2
h 4
23. 如图的测角网，B 、C 知点，D —F 已知边长，
A —E 为已知方位。
共观测了24个角度。
（1）试计算该网必要观测、多余观测有多少 （2）若按条件平差可列出多少独立条件各类条
件数分别为多少 （3）写出所有非线性条件的真值形式。
（4）若设BGC 为未知参数X ，则平差模型为什
么模型，条件数有多少
（5）若该网采用间接平差法平差，简述平差步
骤。
24. 如下图的水准网，各路线的观测高差和路线长度如下： h1=+1.106m ，s1=2km h2=+2.398m ，s2=2km h3=+3.404m ，s3=4km h4=+1.003m ，s4=2km
已知H A =23.953m ，H B =27.450m ，（1）按条件平差求P1、P2点的高程平差值。
（2）求每公里的高差中误差及各点高程中误差。
25. 如图的水准网，各路线的观测高差和路线长度如下： h1=+，s1= h2=+，s2=
h3=+，s3=3km
h4=，s4=3km
h5=，s5= 已知H A =，H B = ：
（1）按间接平差求P1、P2点的高程平差值。
6 5
10
11
12
13 14 22
23
A C
B D E 1
2
3
4
7
8 9 15
16
17
19
18
21
24
20 T
S
F
G
H
X
A P1
P2
P3
h1 h2
h3
h4
A P2
B
h1
h2
h3 h4
h5
（2）求每公里的高差中误差及各点的高程精度。
26.简述全站仪自由设站法的基本原理，并列出两类误差方程的具体表达式及其法方程。