命题与逻辑连接词

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命题及常用逻辑用语

3．给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab且cd，则
a+cb+d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有( A．0个 ) B．1个 C．2个 D．4个
解析：ab且cd，可以推出a+c=b+d，从而原命题、逆
否命题均不成立，又若a=b或c=d，a+c=b+d不一定成立，从而逆命题、否命题均不成立．答案：A
D．非p：
解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
• 6．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真， p∧q为假”的充要条件是( • ) B．p、q中
A．p、q中至个为真 D．p为真、q为假
•
答案：C
【例1】已知 p：|5x-2|>3，q：
，非q：B={x|-5≤x≤1}，
∴非p是非q的充分不必要条件．
【例2】已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”． (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
记做:
pq
2、四种命题
条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非Ｐ”。
原命题：则q 若p 逆命题：则p 若q
否命题：若 p 则 q
逆否命题：若 q 则 p
结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式）注意：三种命题中最难写的是否命题。结论2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。
集合法与转化法

逻辑学知识点及公式

逻辑学知识点及公式逻辑学是一门研究思维形式、思维规律和思维方法的科学。

它对于我们正确地思考、表达和论证具有重要的意义。

下面为您介绍一些常见的逻辑学知识点及公式。

一、命题逻辑1、命题命题是具有真假值的陈述句。

例如，“今天是晴天”“2 ＋ 3 ＝5”等。

2、逻辑连接词（1）“且”（用“∧”表示）：两个命题都为真时，其组合命题才为真。

例如：命题 P：今天是晴天；命题 Q：我心情很好。

P∧Q 只有在今天是晴天并且我心情很好时才为真。

（2）“或”（用“∨”表示）：两个命题中至少有一个为真时，其组合命题为真。

例如：命题 P：我吃苹果；命题 Q：我吃香蕉。

P∨Q 在我吃苹果或者我吃香蕉或者两者都有时为真。

（3）“非”（用“¬”表示）：对原命题的否定。

例如：命题 P：今天下雨。

¬P 则表示今天不下雨。

3、命题公式的真值表通过列出命题中变量的所有可能取值，并计算出整个命题公式的真假值，可以得到真值表。

4、等价式（1）双重否定律：¬¬P ＝ P（2）交换律：P∧Q ＝ Q∧P，P∨Q ＝ Q∨P（3）结合律：（P∧Q)∧R ＝ P∧（Q∧R)，（P∨Q)∨R ＝ P∨（Q∨R)5、蕴含式如果 P 则 Q，记作P → Q。

只有当 P 为真且 Q 为假时，P → Q 为假。

二、谓词逻辑1、个体、谓词和量词个体是指可以独立存在的事物，谓词是描述个体性质或关系的词语，量词包括全称量词（“所有”，用“∀”表示）和存在量词（“存在”，用“∃”表示）。

2、公式例如，∀x （P(x) → Q(x)）表示对于所有的 x，若 P(x) 成立则 Q(x) 成立。

三、推理规则1、假言推理如果P → Q 为真，且 P 为真，那么可以推出 Q 为真。

2、选言推理（1）否定肯定式：P∨Q，¬P ，则 Q。

（2）肯定否定式：P∨Q，P ，则¬Q （这种情况在不相容选言中成立）3、三段论推理例如：所有的人都会思考，张三是人，所以张三会思考。

一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“?”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“?”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)(2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(3)已知命题p：?n0∈N,2n0＞1 000，则?p：?n0∈N，2n0≤1 000.(×)(4)命题“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”．(×)2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧?q B ．?p ∧q C ．?p ∧?qD ．p ∧q解析由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故?q 为真命题，所以p ∧?q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：?x ∈R ，x 2＋1＞0，则?p 为( ) A ．?x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．?x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．?x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．?x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “?x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“?x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B4．若命题“?x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.答案 [－8,0]5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①?x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③?x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案 ①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】 (1)(2014·辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(?p)∧(?q) D．p∨(?q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(?p)∨(?q) B．p∨(?q)C．(?p)∧(?q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴?p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q 是真命题，则?q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(?p)∧(?q)，p∨(?q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.答案(1)A (2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．?p是真命题D．?q是真命题(2)“p ∨q ”为真命题是“p ∧q ”为真命题的________条件．解析 (1)因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，?p 为假命题，?q 为真命题，故选D. (2)若命题“p ∨q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题．若命题“p ∧q ”为真命题，则p ，q 都为真命题，因此“p ∨q ”为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要不充分条件．答案 (1)D (2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“?x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．?x ∈R ，|x |＋x 2＜0B ．?x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．?x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0D ．?x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是( ) A ．?x ∈R ，x 2＞0 B ．?x ∈R ，－1＜sin x ＜1C ．?x 0∈R,2x 0＜0D ．?x 0∈R ，tan x 0＝2解析 (1)全称命题的否定是特称命题，即命题“?x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定为“?x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”．故选C.(2)?x ∈R ，x 2≥0，故A 错；?x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；?x ∈R,2x ＞0，故C 错，故选D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“?x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1解析 “存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C.答案 C考点三与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知p ：?x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 A规律方法以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“?p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．【训练3】已知命题p ：“?x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“?x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由?x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e；由?x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e≤a ≤4.答案 [e,4] 微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与?p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x解析原命题的否定为“?x ∈R ，x 2＝x ”．答案 D2．(2014·天津卷)已知命题p ：?x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则?p 为( ) A ．?x 0 ≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．?x 0 ＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．?x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D ．?x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解析命题p 为全称命题，所以?p ：?x 0 ＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1. 答案 B3．(2015·海淀区模拟)已知命题p ：?x ∈R ，x 2＋x －1＜0，则?p 为( ) A ．?x ∈R ，x 2＋x －1＞0 B ．?x ∈R ，x 2＋x－1≥0C ．?x ?R ，x 2＋x －1≥0D ．?x ?R ，x 2＋x －1＞0解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即?p ：?x ∈R ，x 2＋x －1≥0.答案 B4．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．?p ∨qB ．p ∧qC ．?p ∧?qD ．?p ∨?q 解析不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上面叙述中只有?p ∨?q 为真命题．答案 D5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p ：?x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：?x∈R ，x 2－x ＋1＞0，则下列结论正确的是( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题(?p )∧(?q )是真命题D．命题(?p)∨(?q)是真命题解析易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．答案D6．下列命题中的假命题是( )A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝3C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lg x＝0，故命题“?x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“?x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R,2x ＞0，故命题“?x∈R,2x＞0”是真命题．答案C7．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( )A．p为真B．?q为假C．p∧q为假D．p∨q为真解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．答案C8．(2015·武汉调研测试)已知命题p：?φ∈R，使f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数；命题q：?x∈R，cos 2x＋4sin x－3＜0，则下列命题中为真命题的是( ) A．p∧q B．(?p)∨qC．p∨(?q) D．(?p)∧(?q)解析利用排除法求解．?φ＝π2，使f(x)＝sin(x＋φ)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2＝cosx是偶函数，所以p是真命题，?p是假命题；?x＝π2，使cos 2x＋4sin x－3＝－1＋4－3＝0，所以q是假命题，?q是真命题．所以p∧q，(?p)∨q，(?p)∧(?q)都是假命题，排除A，B，D，p∨(?q)是真命题，故选C.答案 C 二、填空题9．(2014·合肥质量检测)命题p ：?x ≥0，都有x 3－1≥0，则?p 是________．答案 ?x 0≥0，有x 30－1＜0.10．命题“?x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________．答案 ?x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－ba}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中，是真命题的有________．解析依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“?p ”为真、“?q ”为真．答案 ?p 、?q 12．下列结论：①若命题p ：?x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧?q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧?q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·衡水中学调研)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q：函数y＝e x－1e x＋1为偶函数．下列说法正确的是( )A．p∨q是假命题B．(?p)∧q是假命题C．p∧q是真命题D．(?p)∨q是真命题解析对于命题p：令y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，由(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x＜1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，∴命题p为真命题；对于命题q：令y＝f(x)＝e x－1e x＋1，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1e x－11 e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴命题q为假命题，∴(?p)∧q是假命题，故选B.答案B14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A．?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D．?a＞0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点解析对于A，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B，当φ＝π2时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝1x，满足条件；对于D，令ln x＝t，?a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案B15．(2014·北京海淀区测试)若命题“?x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析由已知得“?x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16．已知命题p ：“?x ∈R ，?m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题?p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．解析若?p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案 (－∞，1]17．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．解析由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。

计算机逻辑基础知识点总结

计算机逻辑基础知识点总结一、逻辑与计算机逻辑是计算机科学的基础原理之一，它是计算机系统的核心。

逻辑是一种思维方式，是一种思考问题的方法，是一种对事物关系的认识和分析方法。

计算机逻辑包括了命题逻辑、谓词逻辑等，是计算机科学中最基础的知识之一。

二、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的关系的学问，它是逻辑学中的一种基本形式。

命题是一个能够用真或假表示的简单的陈述句。

命题逻辑就是处理这些命题的逻辑。

1. 命题逻辑的概念（1）命题：一个陈述句，可以用真或假表示，并且具有明确的意义的不可分割的陈述。

（2）复合命题：由一个或多个命题通过逻辑连接词组成的复杂命题。

（3）逻辑连接词：与、或、非、蕴含和等价。

2. 命题逻辑的基本运算（1）合取：取多个真命题的逻辑与。

（2）析取：取多个真命题的逻辑或。

（3）非：对一个命题的否定。

（4）蕴含：p→q，如果p成立，则q一定成立。

（5）等价：p↔q，p和q具有相同的真假值。

（6）命题的推理：逻辑连接词的运用和命题之间的关系。

3. 命题逻辑的证明（1）直接证明法：可以用一个分析都可以推出结论。

（2）间接证明法：反证法，假设命题的逆否命题或者对偶命题成立。

三、谓词逻辑谓词逻辑（predicate logic）也叫一阶逻辑，是处理复杂命题的一种逻辑。

与命题逻辑只处理简单命题不同，谓词逻辑可以处理对象、性质、关系等更为复杂的断言。

1. 谓词逻辑的概念（1）类型：谓词表示对象性质、关系及否定。

（2）量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。

（3）联结词：与（∧）、或（∨）、非（¬）、蕴含（→）、等价（↔）。

2. 谓词逻辑的基本运算（1）命题：由谓词和主词组成的有意义的陈述。

（2）开放式公式：含有变元的谓词表达式。

（3）关系：包括真值表、联结词、优先级规则。

3. 谓词逻辑的应用（1）推理：利用推理规则和公式化知识得出结论。

（2）知识表示：用谓词逻辑可以清晰精确地表示知识。

（3）语义网络：用谓词逻辑可以描述复杂的语义结构。

命题及常用逻辑用语

• 5．命题的否定 • （1）存在性命题：p：∃x∈R , p（x）它的否定是非p： ∀ x∈A，非p （x） • （2）全称命题：q: ∀ x∈A,q(x),它的否定是非p：∃x∈A ，非p （x）； • (3)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
6．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．
(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(－a)+f(－b)，
则a+b<0，为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a+b≥0，∴a≥－b，b≥－a. 又∵f(x)在(－∞，+∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， ∴f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)．
3．(2011新课标全国卷· 理)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
2π p1：|a＋b|>1⇔θ∈ 0， 3 2π p2：|a＋b|>1⇔θ∈ ，π 3 π p3：|a－b|>1⇔θ∈ 0， 3 π p4：|a－b|>1⇔θ∈ ，π 3
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
• 2．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( ) • A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 • C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 • 解析：∵x>0⇒|x|>0，|x|>0⇒x>0或 x<0. • 答案：A
解：(1)逆命题是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，则a+b≥0，真命题．

(完整版)命题及逻辑连接词

命题及逻辑连接词1. 原命题：若p 则q ；逆命题为：；否命题为：；逆否命题为：2. 四种命题的真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；3. 常见词语的否定：如：“等于、大于、小于、是、都是、至多一个、至少一个、任意的、所有的、至多n 个、任意两个、或、且”的否定分别是： 4.5. 命题的否定与否命题的区别，全称性命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称性命题.例题1．把写列命题写成若p 则q 的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否否命题，并判断真假.()1 当2x =时，2320x x -+=；()2 对顶角相等。

例题2．分别写出由写列命题构成的“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”形式的复合命题并判断真假。

()1:p 3是9的约数；:q 3是18的约数；()2:p 菱形的对角线相等；:q 菱形的对角线互相垂直；()3 :{,,}p a a b c ∈；:{}{1,,}q a b c ；()4 :p 不等式2221x x ++>的解集是R ；:q 不等式2221x x ++≤的解集为∅. 例题3．试判断下列命题的真假()12,20x R x ∀∈+>； ()24,1x N x ∀∈≥；()33,1x Z x ∃∈<； ()42,2x R x ∃∈=.例题4．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根.命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的范围.高考真题：1. （广东）已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是.A ()p ⌝或q .B p 且 q .C ()p ⌝且()q ⌝.D ()p ⌝或()q ⌝2. （宁夏）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则.A 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p .B 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p.C 1sin ,:>∈∃⌝x R x p .D 1sin ,:>∈∀⌝x R x p3. (重庆)命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 .A 若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 .B 若11<<-x ，则12<x.C 若11-<>x x ，或，则12>x .D 若11-≤≥x x ，或，则12≥x4. (山东)命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是.A 不存在01,23≤+-∈x x R x .B 存在01,23≥+-∈x x R x.C 存在01,23>+-∈x x R x .D 对任意的01,23>+-∈x x R x5. （山东）给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是.A 3.B 2.C 1 .D 0 1. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的个数是2. 命题“存在x Z ∈，使22x x m ++≤0”的否定是.A 存在x Z ∈使22x x m ++0> .B 不存在x Z ∈使22x x m ++0> .C 对任意x Z ∈使22x x m ++≤0 .D 对任意x Z ∈使22x x m ++0>3. 已知)0(012:,0208:222>≤-++≤--m m x x q x x p ，且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.。

2022学堂在线网课《离散数学》课后作业单元考核答案 (2)

2022学堂在线网课《离散数学》课后作业单元考核答案第一单元：命题逻辑1.1 命题与命题公式1. 命题的定义命题是陈述一个能真假判断的陈述句，它要么是真的，要么是假的，不能既真且假。

2. 命题公式的定义命题公式是由命题变元和逻辑连接词组成的公式。

3. 简述命题公式中的逻辑连接词命题公式中的逻辑连接词包括合取（∧）、析取（∨）、条件（→）和双条件（↔）等。

1.2 命题的逻辑运算1. 合取运算合取运算表示为∧，表示两个命题的并集。

2. 析取运算析取运算表示为∨，表示两个命题的交集。

3. 条件运算条件运算表示为→，表示若前件成立，则推导出后件成立。

4. 双条件运算双条件运算表示为↔，表示前件成立当且仅当后件成立。

1.3 命题公式的真值表1. 真值表的定义真值表是用来表示命题公式在不同命题变元取值情况下的真假值。

2. 举例说明真值表的用途例如，对于命题公式 P ∧ Q，可以通过真值表确定当 P 和 Q 取不同的真假值时，P ∧ Q 的真假值。

第二单元：谓词逻辑2.1 命题与谓词1. 谓词的定义谓词是带有一个或多个变元的陈述句，它的真假值依赖于变元的取值。

2. 简述谓词中的变元和量词谓词中的变元是谓词的参数，它们可以是常量、变量或者表达式。

量词用于表示对谓词中的变元的范围。

2.2 谓词公式的定义与举例1. 谓词公式的定义谓词公式是由谓词和量词组成的公式。

2. 举例说明谓词公式的用途例如，对于谓词公式∃x.(P(x) ∧ Q(x))，可以表示存在一个变元 x，使得 P(x) 和 Q(x) 同时成立。

2.3 谓词公式的真值表1. 真值表的定义谓词公式的真值表用于表示谓词公式在不同变元取值情况下的真假值。

2. 举例说明谓词公式的真值表例如，对于谓词公式∀x.(P(x) → Q(x))，可以通过真值表确定当 P(x) 和 Q(x) 取不同的真假值时，谓词公式的真假值。

第三单元：集合论3.1 集合与运算1. 集合的定义集合是指具有共同特征的对象的总体。

假言命题逻辑联词大全

假言命题逻辑联词大全
1. 否定，表示命题的否定，常用符号为¬或~。

例如，¬P表示命题P的否定。

2. 合取，表示命题的合取（且），常用符号为∧或&。

例如，P∧Q表示命题P和Q同时成立。

3. 析取，表示命题的析取（或），常用符号为∨或|。

例如，P∨Q表示命题P或Q至少有一个成立。

4. 条件，表示命题的条件（如果...则...），常用符号为→。

例如，P→Q表示如果命题P成立，则命题Q也成立。

5. 双条件，表示命题的双条件（当且仅当），常用符号为↔。

例如，P↔Q表示命题P和Q同时成立或同时不成立。

6. 充分条件，表示命题的充分条件（如果...则...），常用符号为⇒。

例如，P⇒Q表示如果命题P成立，则命题Q也成立。

7. 必要条件，表示命题的必要条件（只有...才...），常用符
号为⇐。

例如，P⇐Q表示只有当命题Q成立时，命题P才成立。

8. 互斥，表示命题的互斥（不可能同时成立），常用符号为⊥。

例如，P⊥Q表示命题P和Q不可能同时成立。

以上是常见的假言命题逻辑联词，它们用于描述命题之间的逻
辑关系。

在逻辑推理和证明中，这些联词可以帮助我们分析和推导
命题之间的逻辑结构和关联性。

符号演绎推理

符号演绎推理（Symbolic Logic Inference）是一种推理形式，通常用于计算机科学、人工智能和数理逻辑中。

这种推理方法使用符号来表示语句和命题，通过逻辑规则对这些符号进行操作，从而推导出新的命题或结论。

以下是符号演绎推理的一般过程和相关概念：1. 命题和符号：•命题（Proposition）：表述一个陈述性陈述，可以判断为真或假的陈述。

例如，P：“今天是星期一”。

•符号表示：命题可以用符号来表示，通常使用字母或其他符号，例如P。

2. 逻辑连接词：•逻辑连接词（Logical Connectives）：用于连接或改变命题的逻辑关系的词汇，例如“与”（AND）、“或”（OR）、“非”（NOT）等。

3. 命题符号演绎规则：•合取引入规则（Conjunction Introduction Rule）：如果P为真且Q为真，那么P∧Q为真。

•合取消去规则（Conjunction Elimination Rule）：如果P∧Q为真，那么P 为真且Q为真。

•析取引入规则（Disjunction Introduction Rule）：如果P为真，那么P∨Q 为真。

•析取消去规则（Disjunction Elimination Rule）：如果P∨Q为真，且通过假设P和Q得出相同结论，则该结论为真。

•否定引入规则（Negation Introduction Rule）：如果通过假设P得出矛盾，则¬P为真。

•否定消去规则（Negation Elimination Rule）：如果通过假设¬P得出矛盾，则P为真。

4. 推理规则的应用：通过使用上述的命题符号演绎规则，可以进行一系列的推理步骤，从而推导出新的命题或结论。

这些推理步骤可以用于证明定理、解决问题或构建逻辑系统。

示例：考虑以下符号演绎推理的示例：1.P（已知：今天是星期一）。

2.Q（已知：明天是星期二）。

3.P∧Q（合取引入规则：今天是星期一且明天是星期二）。

高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。

1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。

2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。

（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？（6）（6）x ≤3。

2. 推断下列语句是不是命题。

（1）矩形莫非不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（3）一个数不是合数就是质数。

（4）大角所对的边大于小角所对的边；（5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。

直言命题知识点总结

直言命题知识点总结命题是数学和逻辑推理中非常重要的一个概念，它是指对于一个命题来说，它的真假只有两种可能性，要么是真，要么是假。

命题是数学推理的基础，因为只有对于命题的真假进行判断，我们才能进行推理和证明。

在这篇文章中，我们将对命题的相关知识点进行总结和讨论。

一、命题的定义命题是对于某个对象或者事件的真假进行判断的陈述句，它对于逻辑推理和数学证明来说是非常重要的。

一个命题要么是真，要么是假，不可能同时既是真又是假，也不可能既不是真又不是假。

举个例子，"2+2=4"是一个命题，因为它的真假是可以确定的；而"今天下雨了"就不是一个命题，因为它的真假取决于具体的时间和地点。

二、命题的连接词命题之间可以通过一些逻辑连接词来进行组合，从而得到复合命题。

常见的逻辑连接词有"与"（∧）、"或"（∨）、"非"（¬）、"如果...那么..."（→）等等。

通过这些连接词，我们可以构造出各种复杂的命题，从而进行更为复杂的推理和证明。

三、命题的真值表命题的真值表是用来表示不同逻辑连接词下的命题的真假取值情况的表格。

通过真值表，我们可以清晰地看到不同命题之间的逻辑关系，从而进行推理和证明。

例如，对于命题"P∨Q"，其真值表如下：PQ P∨QT T TT F TF T TF F F四、命题的永假式和永真式永假式是指无论命题中的变量取什么值，其复合命题始终为假；而永真式是指无论命题中的变量取什么值，其复合命题始终为真。

例如，对于复合命题"P∨¬P"来说，不论P的真值是什么，其结果始终为真，因此它是一个永真式。

五、命题的逆、反、逆否命题对于一个条件命题"P→Q"，可以得到它的逆命题、反命题和逆否命题。

逆命题是指对P和Q分别取反，得到"¬P→¬Q"；反命题是指对P和Q同时取反，得到"¬P→¬Q"；逆否命题是指对P和Q同时取反，得到"¬Q→¬P"。

命题逻辑与谓词逻辑的对比分析

命题逻辑与谓词逻辑的对比分析逻辑是一门研究思维规律和推理方法的学科，它在哲学、数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

在逻辑学中，命题逻辑和谓词逻辑是两个重要的分支，它们分别从不同的角度研究命题和谓词的逻辑关系。

本文将对命题逻辑和谓词逻辑进行对比分析，探讨它们的异同点。

一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学的基础，它研究的是命题之间的逻辑关系。

命题是陈述性的句子，它要么是真，要么是假。

在命题逻辑中，命题通过逻辑连接词（如与、或、非）进行组合，形成复合命题。

通过对复合命题的分析，我们可以推导出它们之间的逻辑关系。

命题逻辑的优点在于它的简洁性和形式化程度高。

它使用符号来表示命题和逻辑连接词，使得逻辑推理更加精确和严谨。

命题逻辑的推理规则也相对简单，只需根据逻辑连接词的真值表进行推导。

因此，命题逻辑在数学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

然而，命题逻辑也存在一些局限性。

命题逻辑只关注命题的真假，而忽略了命题中的主语和谓语。

这使得命题逻辑无法处理涉及个体和属性的逻辑关系，从而限制了它在描述现实世界的能力。

二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词和量词的概念，研究的是个体和属性之间的逻辑关系。

谓词是描述个体属性的句子部分，而量词则用来限定个体的范围。

通过对谓词和量词的运用，谓词逻辑能够更加准确地描述现实世界的逻辑关系。

谓词逻辑的优点在于它的表达能力强。

谓词逻辑能够处理涉及个体和属性的逻辑关系，能够更加准确地描述现实世界的复杂情况。

谓词逻辑还引入了一些重要的概念，如存在量词和全称量词，用来表示存在和全称的逻辑关系。

这使得谓词逻辑在哲学、语言学等领域有着广泛的应用。

然而，谓词逻辑也存在一些问题。

谓词逻辑的形式化程度相对较低，符号表示较为复杂，推理规则也较为繁琐。

这使得谓词逻辑的推理过程相对困难，需要更多的推理规则和技巧。

此外，谓词逻辑在处理量词的范围和限定上也存在一定的困难，需要更加细致的分析和推导。

综上所述，命题逻辑和谓词逻辑是逻辑学中两个重要的分支，它们分别从不同的角度研究命题和谓词的逻辑关系。

2命题与基本逻辑连接词-简单难度-讲义

命题与基本逻辑连接词知识讲解一、命题及其关系1.命题的定义定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题，但是反义疑问句是命题．如：a．“这是一棵大树”；b．“2x<”；c．“三角函数是周期函数吗？”，“但愿每一个三次方程都有三个根”，“指数函数的图像真漂亮！”d．125“”，“6=2”，“π”是无理数；e．“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之>和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，将有人登上火星”2.命题的结构结构：数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论．3.命题的四种形式形式：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p⌝和q⌝来表示p和q的否定，⌝，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：如果p⌝．则q⌝；逆否命题：如果q⌝，则p注意：关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．如：同位角相等，两直线平行．它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等．(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行．(3) 交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题．如上例：两条直线不平行，同位角不相等．4.四种命题的相互关系(1).四种命题以及它们之间的关系1).原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的逆命题“若0ab=，则0a=”是假命题．2) .原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0a≠，则0ab≠”是假命题．3) .原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若0a=，则0ab=”是真命题，它的否命题“若0ab≠，则0a≠”是假命题．4) .互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．四种情况：(2)四种命题它们之间的等价关系关系：互为逆否命题是互为等价命题（即真假相同），而其它的命题不是互为等价命题（即真假不一定相等）．这一等价性，可以从集合的角度来解释：设{}()A x p x =，即使命题p 为真的对象所组成的集合，{}B=()x q x ，因此由p q ⇒可知A B ⊆， U U C A C B ∴⊆,即p q ⌝⌝⇒，反过来，若p q ⌝⌝⇒，即U U C A C B ⊆，∴A B ⊆，即p q ⇒5.命题的否定与否命题的区别(1) 若命题为“若p ，则q ”，则其命题的否定：“若p ，则q ⌝”，而其否命题是：“若p ⌝，则q ⌝”．(2) 常见的一些词语和它的否定词语对照表二、基本逻辑连接词1． “且”“或”“非”的概念(1) 且定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}A B x x A x B =∈∧∈I ．判断命题p q ∧的真假:当p q 、都为真命题，p q ∧就为真命题；当p q 、两个命题中只要有一个命题为假命题，p q ∧ 就为假命题． (2) 或定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p 或q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}A B x x A x B =∈∨∈U ．判断命题p q ∨的真假:当p q 、两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p q ∨为真命题；当p q 、两个命题都为假命题，p q ∨为假命题 (3) 非定义：一般地，对命题p 加以否定，得到一个新的命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有()p p ⌝⌝=成立．可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：{|()}{|}U A x U x A x U x A =∈⌝∈=∈∉ð．判断p ⌝命题的真假： p ⌝和p 不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．2.复合问题的真值表：三、量词1、全称量词定义：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的否定：全称命题 q ：x A ∀∈，()q x ；它的否定是 q ⌝：x A ∃∈，()q x ⌝．将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．2、存在量词定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．存在性命题的否定：存在性命题 p ：x A ∃∈，()p x ；它的否定是 p ⌝：x A ∀∈，()p x ⌝．将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．3、全称命题与存在性命题不同的表达方法述方法①对一切x A∈，()p x成立①至少有一个x A∈，使()p x成立①对每一个x A∈，()p x成立①对有些x A∈，使()p x成立①任选一个x A∈，使()p x成立①对某个x A∈，使()p x成立①凡x A∈，都有()p x成立①有一个x A∈，使()p x成立典型例题一．选择题（共9小题）1．（2018•马鞍山三模）命题p：若a＞b，则a﹣1＞b﹣1，则命题p的否命题为（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1B．若a≥b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1【解答】解：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q．否命题为：若┐p，则┐q．∵原命题为“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”∴否命题为：若a≤b，则a﹣1≤b﹣1故选：C．2．（2018•郑州二模）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0”的否定是（）A．∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2＞0B．∀x∉[1，2]，x2﹣3x+2＞0C．∃x0∈[1，2]，x02−3x0+2＞0D．∃x0∉[1，2]，x02−3x0+2＞0【解答】解：命题：“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0的否定是∃x0∈[1，2]，x02−3x0+ 2＞0，故选：C．3．（2018•河西区一模）命题p：“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+1≤0B．∃x0∈R，使得x02+2x0+1≤0C．∃x0∈R，使得x02+2x0+1＞0D．∃x0∈R，使得x02+2x0+1＜0【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题p：“∀x∈R，x2+2x+1＞0”的否定是“∃x0∈R，使得x02+2x0+1≤0”，故选：B．4．（2018•成都模拟）设有下面四个命题P1：若z满足z∈C，则z⋅z∈R；P2：若虚数a+bi（a∈R，b∈R）是方程x3+x2+x+1=0的根，则a﹣bi也是方程的根：P3：已知复数z1，z2则z1=z2→的充要条件是z1z2∈R：P4；若复数z1＞z2，则z1，z2∈R．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：P1：若z满足z∈C，设z=a+bi，a，b∈R，则z⋅z=（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣（bi）2=a2+b2∈R；故命题为真命题，P2：由x3+x2+x+1=0得x2（x+1）+x+1=（1+x2）（x+1）=0，则x=﹣1或x=±i，若虚数a+bi（a∈R，b∈R）是方程x3+x2+x+1=0的根，则a﹣bi也是方程的根正确：P3：已知复数z1，z2，则设z1=z2→=a+bi，a，b∈R，则z2=a﹣bi，a，b∈R，则z1z2=（a+bi）（a﹣bi）=a2﹣（bi）2=a2+b2∈R成立，即充分性成立，设z1=2i，z2=i，满足：z1z2=2i•i=﹣2∈R，但z1=z2→不成立，即必要性不成立，故此命题为假命题．P4；若复数z1＞z2，则z1，z2∈R．正确．其中真命题的个数为3个，故选：C．5．（2017春•邹平县校级期中）已知命题p：x∈A∪B，则非p是（）A．x不属于A∩B B．x不属于A或x不属于BC．x不属于A且x不属于B D．x∈A∩B【解答】解：由x∈A∪B知x∈A或x∈B．非p是：x不属于A且x不属于B．故选：C．6．（2017春•历城区校级期中）命题“方程x2﹣4=0的解是x=±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”【解答】解：x=±2是指x=2或x=﹣2．∴使用了使用了逻辑联结词“或”，故选：B．7．（2012秋•临夏市校级期末）命题：“方程X2﹣2=0的解是X=±√2”中使用逻辑联系词的情况是（）A．没有使用逻辑连接词B．使用了逻辑连接词“且”C．使用了逻辑连接词“或”D．使用了逻辑连接词“非”【解答】解：命题：“方程X2﹣2=0的解是X=±√2”可以化为：“方程X2﹣2=0的解是X=√2，或X=﹣√2”故命题：“方程X2﹣2=0的解是X=±√2”中使用逻辑联系词为：或故选：C．8．（2010秋•景洪市校级期末）命题“方程x2=1的解是x=±1”中，使用逻辑词的情况是（）A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“或”与“且”【解答】解：命题的等价条件是方程x2=1的解是x=1或x=﹣1，使用了逻辑连接词“或”，故选：B．9．（2018•商丘三模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V=4D．直三棱柱的外接球的表面积为4√3π【解答】解：取A1C1中点O，连接OB1，AO，∵D为AC的中点，∴四边形DAOC1为平行四边形，∴AO ∥C 1D ，又四边形BDOB 1为平行四边形，∴BD ∥OB 1，∴平面AOB 1∥平面BDC 1，AB 1⊂平面AOB 1， ∴AB 1∥平面BDC 1．∵由三视图知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BC 1，CB 1⊥BC 1 ∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，∴BC 1⊥A 1C ；∵由侧视图知△ABC 为等腰直角三角形，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴A 1C ⊥BD ，又BD ∩BC 1=B ， ∴A 1C ⊥平面BDC 1．故B 正确；由三视图知：直三棱柱的高为2，底面是直角边长为2的等边三角形，∴体积V=12×2×2×2=4，∴C 正确；由直三棱柱的结构特征知，直三棱柱为正方体的一半，∴外接球的半径R=√3×222=√3，∴外接球的表面积S=4π×3=12π，∴D 错误；故选：D ．二．填空题（共5小题）10．（2017春•启东市期末）命题：∀x∈A，均有x∈B的否定是∃x∈A，则x ∉B．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，对于集合A，B，命题：“∀x∈A，则x∈B”的否定形式为：命题：“∃x∈A，则x ∉B”．故答案为：∃x∈A，则x∉B．11．（2017•南京一模）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，则判别式△=4﹣4a≥0，即a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．12．（2016春•泰兴市校级期中）“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则a的取值范围是a≥4．【解答】解：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，故a≥（x2）max=4在x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是a≥4，故答案为；a≥4．13．（2015•宿豫区校级模拟）若命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣4，0）．【解答】解：命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．14．（2013•江阴市校级模拟）命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是∃x∈R，使x2+1＜x．【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥x”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥x”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜x．故答案为：∃x∈R，使x2+1＜x．三．解答题（共3小题）15．（2017秋•林芝县校级期末）写出下列命题的否定．（1）命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”（2）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”【解答】（本小题（10分），每小题5分）解：（1）特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定是所有三角形，内角和都等于180°．（2）全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是：∃x∈R，|x|+x2＜0．16．（2017秋•湖北期中）已知p：“实数m满足：（m﹣2a）（m﹣3a）＜0（a＞0）”；q：“实数m满足：方程x2m−1+y24−m=1表示双曲线”；若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p真则2a＜m＜3a，q真则（m﹣1）（4﹣m）＜0，解得m＞4或m＜1，p是q的充分不必要条件，则p⇒q，而q不能推出p，∴3a ≤1或2a ≥4∴0＜a ≤13或a ≥2∴a 的取值范围是(0，13]∪[2，+∞)17．判断下列命题的真假：（1）已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，或b ≠d ，则a +b ≠c +d ．（2）∀x ∈N ，x 3＞x 2（3）若m ＞1，则方程x 2﹣2x +m=0无实数根．（4）存在一个三角形没有外接圆．【解答】解：（1）为假命题，反例：1≠4，或5≠2，而1+5=4+2（2）为假命题，反例：x=0，x 3＞x 2不成立（3）为真命题，因为m ＞1⇒△=4﹣4m ＜0⇒无实数根（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆．。

8.1 命题与逻辑连接词

（3）只有有限步使用规则(1),(2) 所组成的符号串是命题公式。一个命题公式就是一个合法的符号串:(P∨R),( (P→(Q∧R)) (QP)都是命题公式，
但(PQ), P→∧R很明显都不合法，
因而都不是命题公式。
约定：（1）公式最外层括号一律可省略（2）联结词运算优先级依次为：，(∧，∨)，→，例:P→Q∨(R∧QS) 所表示的是公式((P)→(Q∨((R∧Q) S))) 定义 B称为公式A的子公式, 如果B是公式A的一部分，
其真值状况 P Q P∧Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
他去了教室，也去了实验室设P：他去了教室， Q：他去了实验室，则该命题可表示为P∧Q。你作硬件，我作软件。设A：你作硬件， B：我作软件，则该命题可表示为A∧B
析取词(disjunction)“或”（or）用符号∨表示设P，Q表示两命题，那么P∨Q表示P和Q的析取，当P和Q有一为真时，P∨Q为真，只有当P和Q均假时P∨Q为假。 P∨Q读作 “P或Q”。
个质数的和（哥德巴赫猜想）。
（6）第29届奥林匹克运动会开幕时北京天晴。（7）好过瘾啊！（8）你去上机吗？（9）请随手关门！（10）我希望有一台笔记本电脑。
（11）我只给那些不给自己刮胡
子的人刮胡子。解：（1），（2），（3）都是命题，（1）,（3）真值为真, （2）真值为假。（4）,（5），（6）也是命题，（7）是感叹句（8）是疑问句
符合事实的判断其命题真值为真记为“T”或“1”；不符合事实的判断其命题真值为假，记为“F”或“0”。因此一个命题的真值一定为“真、假”其中的一个（也有其他的逻辑不这样定义，如第10章的多值逻辑和模糊逻辑）。

逻辑连接词在命题逻辑中的运用

逻辑连接词在命题逻辑中的运用在命题逻辑中，逻辑连接词是一种重要的工具，用于连接不同的命题，构建复杂的逻辑表达式。

逻辑连接词的运用不仅可以使得逻辑推理更加严密和准确，还可以增加命题之间的逻辑关系，使得逻辑结构更加丰富和有趣。

一、逻辑连接词的分类逻辑连接词可以分为两类：合取词和析取词。

合取词用于连接两个命题，表示两个命题都为真的情况；析取词用于连接两个命题，表示两个命题中至少有一个为真的情况。

常见的合取词有“而且”、“并且”、“同时”等；常见的析取词有“或者”、“或”、“还是”等。

二、逻辑连接词的运用逻辑连接词在命题逻辑中的运用非常灵活。

它可以用于构建复杂的命题，使得逻辑关系更加清晰明了。

例如，我们可以使用合取词来表示两个命题的同时发生：小明喜欢吃苹果，而且他也喜欢吃橙子。

这里的“而且”起到了连接两个命题的作用，表示两个命题同时为真。

同样，我们也可以使用析取词来表示至少一个命题为真：小明可以选择去游泳池游泳，或者去图书馆看书。

这里的“或者”表示小明可以选择两个行为中的一个，至少有一个行为为真。

除了合取词和析取词，逻辑连接词还可以用于表示条件关系和逻辑蕴含。

例如，我们可以使用“如果...那么...”来表示条件关系：如果小明下雨了，那么他就会带伞出门。

这里的“如果...那么...”表示如果小明下雨了，那么他就会采取带伞的行为。

逻辑蕴含是指一个命题的真值决定了另一个命题的真值。

在命题逻辑中，我们可以使用“只有...才...”来表示逻辑蕴含关系：只有小明学习努力，才能取得好成绩。

这里的“只有...才...”表示只有小明学习努力，才能取得好成绩。

三、逻辑连接词的重要性逻辑连接词在命题逻辑中的运用是非常重要的。

它可以帮助我们构建复杂的逻辑表达式，使得逻辑推理更加准确和严密。

逻辑连接词还可以增加命题之间的逻辑关系，使得逻辑结构更加丰富和有趣。

通过合理地运用逻辑连接词，我们可以将不同的命题联系起来，形成一个完整的逻辑体系。