必修四三角恒等变换题型归纳梳理
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三角恒等变换题型归纳梳理
一、知识点总结：
1、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θ
θ
cos sin ， 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3、和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
. ααααcos sin 21)cos (sin 2
±=±
ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
ϕ=
). 4、二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
2
2tan tan 21tan ααα=
-. 22
1cos 21cos 2sin ,cos 22
αααα-+== 5、三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+， (A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||
T π
ω=
； 函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=
. 二、重难点题型突破：
1、两角和与差的余弦公式的应用
cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=
例1．（1）（
2019·山东高一期末）（ ）
A B ． C ．
D ． 10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=12
12
-
【解析】由诱导公式
，所以选择A （2）．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】
为锐角，且，.为第三象限角，且，
，
.故选A. 【变式训练】（1）（2020·四川成都市·棠湖中学高一月考）cos80cos 200sin100sin340+=（ ）
A ．
1
2
B ．2
C ．12
-
D
【详解】
()()()
cos80cos 200sin100sin340cos80cos 18020sin 18080sin 36020+=++--()
cos80cos 20sin80sin 20cos80cos 20sin80sin 20=--=-+()1
cos 8020cos602
=--=-=-.故选：C.
（2）（2018·徐汇区·上海中学高三月考）1cos(2)9αβ-=-
，2sin(2)3αβ-=，且α、02πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则
()cos αβ+=________
102080201020sin1020cos cos cos sin cos cos sin
︒-︒︒=︒-︒︒1020sin1020cos(1020)cos302
cos cos sin ︒-︒︒=︒+︒=︒=
αβ12cos 13
α=
3
sin 5β=-()cos αβ-6365
-
3365
-
6365
33
65
α12cos 13α=
5sin 13
α∴==
β3sin 5β=-4
cos 5
β∴==-()12453cos cos cos sin sin 135135αβαβαβ⎛⎫⎛⎫∴-=+=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63
65
=-
【详解】由,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，可得：2,2παβπ⎛⎫-∈-
⎪⎝⎭，2,2παβπ⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭，
又1cos(2)09αβ-=-<，2sin(2)03αβ-=>，所以2,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，20,2παβ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭，
sin(2)αβ-=
，cos(2)αβ-=，又因为(2)(2)αβαβαβ+=---，所以 ()[]cos cos (2)(2)αβαβαβ+=---cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--
1293=-+=
. 二、两角和与差的正弦公式的应用
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±
例2．（1）（2021·江苏高一）sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒的值为（ ）
A B ．
12
C D 【详解】sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒sin11cos19cos11sin19=︒︒+︒︒
()1
sin 1119sin 302
=︒+︒=︒=
.故选：B. （2）（2020·湖南省平江县第一中学高三月考）若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=
，5
cos()13
αβ+=，则sin β的值为（ ）
A ．16
65
-
B ．
3365
C ．
5665
D ．
6365
【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=
，5cos()13
αβ+=， 所以312
sin ,sin()513ααβ=
+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-124533313513565
=⨯-⨯=，故选：B.