Tikhonov正则化的编程实现及其在气象中的应用
电阻抗成像技术中Tikhonov正则化方法应用与改进的研究
电阻抗成像技术中Tikhonov正则化方法应用与改进的研究本文介绍了一种新型的功能成像技术——电阻抗成像技术(Electrical Impedance Tomography,简称EIT技术).在近几十年来,EIT技术由于设备轻便、速度快、无伤害等被国内外学者广泛研究,这项技术的主要原理是利用不同组织电导率不同的特点,采用“电流激励-电压测量”的方式,通过测量边界电压获得目标体内部的电导率(电阻抗)分布或者变化的图像,具有很强的生物学、医学意义.但这种技术也有较大的局限性,成像质量不高、不稳定、数据误差较大等是制约其发展的主要原因.在数学上,电阻抗成像技术反问题可以看作是一类二阶椭圆型偏微分方程参数识别问题,所以常常带有反问题的不适定性等特点,因此本文针对电阻抗成像正问题和反问题进行了研究:第一章为绪论,主要介绍了电阻抗成像技术的基本原理和国内外研究现状,并对其研究的理论和实际意义、技术难点进行了说明,然后介绍了反问题和不适定性的相关概念,引出本文的研究结构.第二章研究了电阻抗成像技术的正问题,首先介绍了电阻抗成像技术的工作模式(电流的注入和电压的测量方式),并通过麦克斯韦方程组和相关边界条件推导了正问题的数理模型,选择了全电极模型并采用有限元方法对其求解.在有限元剖分时,得出了稀疏和加密两种剖分方式.第三章讨论了电阻抗成像技术的反问题,是本文的重点.在这一章中,首先采用常用的最小二乘法求解,发现解不稳定或失去实际意义,所以引入了正则化方法.对正则化方法的定义和原理进行说明后引出了本文主要研究的Tikhonov正则化方法,对其基本思想、求解过程进行了推导说明,并分析了解的相关性质.针对Tikhonov正则化方法的缺陷,对罚函数项进行改进,引入了变差函数,得到全变差正则化方法,并推导了牛顿迭代法的迭代格式.通过EIDORS 2D软件对两种正则化方法的成像质量进行简单比较后,引出本文的组合正则化方法,推导了罚函数项构造方式和迭代求解过程,随后介绍了选择正则化参数的高阶迭代收敛算法,并设计了相关算法.最后通过Matlab 进行了仿真研究.第四章得出了研究结论,并分析了本文存在的不足和未来继续研究的方向。
不适定问题的正则化方法matlab
正则化是解决过拟合问题的一种常用方法。
在机器学习和统计学中，过拟合是指模型在训练集上表现良好，但在测试集上表现不佳的现象。
为了解决这一问题，我们可以采用正则化方法来调整模型的复杂度，以提高其在测试集上的泛化能力。
在本文中，我们将介绍不适定问题的正则化方法，并使用MATLAB来实现这些方法。
1. 不适定问题与正则化不适定问题是指由于数据噪声或其他原因导致的求解过程中存在无穷多个解的问题。
在机器学习和统计学中，不适定问题常常出现在参数估计和模型拟合中。
对于不适定问题，我们需要引入正则化项来约束参数的大小，以获得稳定的解。
2. Tikhonov正则化Tikhonov正则化是一种常用的正则化方法，其数学表达式为：```mathJ(x) = ||Ax - b||^2 + ||Cx||^2```其中，A是数据矩阵，b是观测向量，C是正则化矩阵，x是参数向量。
Tikhonov正则化通过在目标函数中引入参数的L2范数来约束参数的大小，从而解决不适定问题。
在MATLAB中，我们可以使用函数```tikhonov```来实现Tikhonov正则化。
3. LASSO正则化除了Tikhonov正则化，LASSO正则化也是一种常用的正则化方法。
其数学表达式为：```mathJ(x) = ||Ax - b||^2 + ||Cx||_1```LASSO正则化通过在目标函数中引入参数的L1范数来约束参数的大小，从而实现稀疏解。
在MATLAB中，我们可以使用函数```lasso```来实现LASSO正则化。
4. 奇异值分解正则化除了Tikhonov和LASSO正则化，奇异值分解正则化也是一种常用的正则化方法。
奇异值分解正则化通过在数据矩阵的奇异值分解中引入正则化项，从而实现参数的约束。
在MATLAB中，我们可以使用函数```svd```来进行奇异值分解，并通过控制奇异值的大小来实现正则化。
5. 实例分析为了说明上述正则化方法的应用，我们将使用MATLAB来解决一个简单的线性回归问题。
地球物理反演中的正则化技术分析
地球物理反演中的正则化技术分析地球物理反演是一种通过观测地球上各种现象和数据，来推断地球内部结构和物质分布的方法。
在地球物理反演中，由于观测数据的不完整性和不精确性，常常需要借助正则化技术来提高反演结果的可靠性和准确性。
正则化技术是一种以一定规则限制解的优化方法。
通过在反演过程中引入附加信息或者假设，正则化技术可以帮助减小反演问题的不确定性，提高解的稳定性和可靠性。
在地球物理反演中，正则化技术有多种应用。
下面将介绍几种常见的正则化技术，并对其进行分析和比较。
1. Tikhonov正则化Tikhonov正则化是一种基本的正则化技术，它通过在目标函数中加入一个范数约束来限制解的空间。
常见的约束可以是L1范数和L2范数。
L1范数可以使解具有稀疏性，即解中的大部分分量为零，适用于具有稀疏特性的反演问题。
而L2范数可以使解具有平滑性，适用于具有平滑特性的反演问题。
2. 主成分分析正则化主成分分析正则化是一种通过将反演问题映射到低维空间来减小问题的维度的正则化技术。
它可以通过选择重要的主成分来实现数据降维，从而减少反演问题的不确定性。
主成分分析正则化在处理高维数据时可以提高反演的效率和精度。
3. 奇异值正则化奇异值正则化是一种基于奇异值分解的正则化技术。
通过对反演问题进行奇异值分解，可以将问题分解为多个低维子问题，从而减小高维问题的不确定性。
奇异值正则化适用于非线性反演问题，可以提高反演结果的稳定性和可靠性。
4. 稀疏表示正则化稀疏表示正则化是一种基于稀疏表示理论的正则化技术。
它通过将反演问题转化为对系数矩阵的优化问题，并引入L1范数约束，使得解具有稀疏性。
稀疏表示正则化适用于信号重构和图像恢复等问题，并在地震勘探和地球成像中有广泛应用。
在选择正则化技术时，需要考虑问题的特性和数据的特点。
不同的正则化技术适用于不同的问题，并且各自具有一些优势和限制。
因此，根据问题的具体要求和数据的特征，选择合适的正则化技术可以提高反演结果的可靠性和准确性。
融合多源重力数据的Tikhonov正则化配置法
式 中， ｃ 为未测 点重 力信号 向量 与观测 点重 力信号
基金项 目 ：国家重大科学仪器设备开 发专项项 目（ ２ ０ １ １ Ｙ Ｑ１ ２ ０ ０ ４ ５ ０ ３ ） ； 国家 ８ ６ ３计 划项 目（ ２ ０ ０ ６ Ａ Ａ ０ ６ Ａ ２ ０ ２， ２ ０ ０ ９ Ａ Ａ １ ２ １ ４ ０ ５ ） ； 国家 自然科学 基金项 目（ ４ １ １ ７ ４ ０ ６ ２ ） 。 作 者简 介 ： 黄谟 涛（ １ ９ ６ １ 一 ） ， 男， 海南ｆ ｉ ｃ Ｍ） ． ， 高级工程师 ， 博士生导 师 ， 主要从事海洋重力场测量理论方法和海洋测深 数据处
最 小 二乘 配 置是 综 合平 差 、 滤 波和 推估 的一 种 广义平 差方法 。其 函数模 型可表 示为 。 ：
Ｌ ＝４ ＋ＦＹ＋Ａ （ １ ）
式 中， 为 观 测值 向量 ； 为 系统 性参 数 向量 ； Ａ
为系数矩 阵 ； Ａ为 观测 噪 声 向量 ； Ｙ ＝［ ｓ ｓ ，合处理多源重力数据过程中可能 出现 的病 态性问题 ， 特别引入 Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ正则 化方法 ， 对配置法计算模 型进行正则化改造 ， 建立 了相应 的正则化配置模 型。使用 Ｅ Ｇ Ｍ ２ ０ ０ ８位模型模拟产 生航 空 重力和海面船测重 力数据进行 了融合处理仿真实验 ， 实际验证了正则化处理方法 的有效性 。 关键词 ： 多源重力数据 ； 融合处理 ； 配置法 ； 正则化
由于该 方法 可 以联 合 处 理不 同类 型 的重 力 数 据 ， 因
此 在 多 源 重 力 数 据 融 合 处 理 中 得 到 了 广 泛 应 用 Ｊ 。在 开展 精 化 大地 水 准 面 研 究 时 ， 通过 对 配 置 法 的协 方 差 矩 阵 进 行 谱 分 解 后 发 现 Ｊ ， 随 着 数 据 网格 间 距 的减 小 和 配 置 距 离 的增 大 ， 配 置 法 协 方 差 矩 阵存 在 明显 的 复 共 线 性 ， 可 能 出现 严 重 病
Tikhonov 方法在不适定模型修正中的应用
Tikhonov 方法在不适定模型修正中的应用邱飞力;张立民;张卫华【摘要】Along with the wide application of numerical analysis and modeling,getting a correct simulation model becomes an urgent requirement and consequently the parameter-sensitivity updating method has been developed rapidly. The direct least square method can't always get the steady physical solution in the cases of ill-posed target function equations and ill-conditioned sensitivity matrixes.The ill characteristics of the sensitivity matrixes and target function equations were investigated.A six-DOF discrete vehicle and a frame finite element model were updated with the Tikhonov regulation method by using the over determined and under determined simulation model respectively.The defect of the direct least square method was solved.The updated models reflect exactly the real mass and the size difference.of the structure.It's proved that the method is applicable in engineering practice.%数值建模和分析在结构动态设计中应用广泛，为获取准确的计算模型，基于参数灵敏度有限元修正技术得到迅速发展。
tikhonov正则化matlab程序
tikhonov正则化matlab程序Tikhonov正则化是机器学习和数据挖掘中常用的正则化方法之一，主要用于减少模型复杂度，提高模型的泛化能力。
在MATLAB中，我们可以使用Tikhonov正则化技术来训练模型，以提高其性能和准确性。
本文将介绍如何使用MATLAB编写Tikhonov正则化程序的步骤。
第一步：数据预处理在使用Tikhonov正则化进行模型训练之前，我们需要先对数据进行预处理。
这个步骤包括数据清洗、数据转换和特征选择等。
目的是为了得到一个干净、一致、有意义且具有代表性的数据集。
第二步：选择正则化参数Tikhonov正则化中的正则化参数λ决定了惩罚项的权重，我们需要选择一个合适的λ值才能达到最优的正则化效果。
在MATLAB中，我们可以使用交叉验证方法对不同的λ值进行评估，以选择最佳的λ值。
第三步：定义模型在MATLAB中，我们可以使用Tikhonov正则化方法定义线性回归模型。
具体来说，我们可以使用正则化最小二乘法来求解模型参数：min||y-Xβ||^2+λ||β||^2因此，我们可以定义如下的模型函数：function [beta, fit_info] = my_tikhonov(X, y, lambda)[n,p] = size(X);beta = (X' * X + lambda * eye(p)) \ (X' * y);fit_info = struct('SSE',sum((y-X*beta).^2),'df', p,'reg',sum(beta.^2));在这里，X和y分别是输入和输出数据矩阵，lambda是正则化参数，beta是模型参数。
fit_info则是用于记录训练过程中的信息（如残差平方和、自由度和正则化项）的结构体。
第四步：训练模型并进行预测在定义好模型函数之后，我们可以使用MATLAB中的训练函数来训练模型，并使用测试函数进行预测。
tikhonov正则化方法
tikhonov正则化方法Tikhonov正则化方法是一种用于解决线性反问题的数值稳定方法，也称为Tikhonov-Miller方法或Tikhonov-Phillips方法。
它由俄罗斯数学家Andrey Tikhonov在20世纪40年代提出，被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习、物理学等领域。
线性反问题指的是，给定一个线性方程组Ax=b，已知矩阵A和向量b，求解未知向量x。
然而，在实际应用中，往往存在多个解或无解的情况，而且解的稳定性和唯一性也很难保证。
这时候，就需要引入正则化方法来提高求解的稳定性和精度。
Tikhonov正则化方法的基本思想是，在原有的线性方程组中添加一个正则化项，使得求解的解更加平滑和稳定。
具体地说，Tikhonov 正则化方法可以用下面的形式表示：min ||Ax-b||^2 + λ||x||^2其中，第一项表示原有的误差项，第二项表示正则化项，λ是正则化参数，用来平衡两个项的重要性。
当λ越大时，正则化项的影响就越大，求解的解就越平滑和稳定；当λ越小时，误差项的影响就越大，求解的解就越接近原有的线性方程组的解。
Tikhonov正则化方法的求解可以通过最小二乘法来实现。
具体地说，可以将原有的线性方程组表示为Ax=b的形式，然后将其转化为最小二乘问题，即：min ||Ax-b||^2然后，再添加一个正则化项λ||x||^2，得到Tikhonov正则化问题。
由于这是一个二次最小化问题，可以通过求导等方法来求解。
Tikhonov正则化方法的优点在于，它可以有效地提高求解的稳定性和精度，减少过拟合和欠拟合的问题。
同时，它的求解也比较简单和直观，适用于各种线性反问题的求解。
然而，Tikhonov正则化方法也存在一些限制和局限性。
首先，正则化参数λ的选择比较困难，需要通过试错和经验来确定；其次，正则化项的形式也比较单一，往往不能很好地适应不同的问题和数据；最后，Tikhonov正则化方法只适用于线性反问题的求解，对于非线性问题和大规模问题的求解效果较差。
Tikhonov正则化参数的选取及两类反问题的研究的开题报告
Tikhonov正则化参数的选取及两类反问题的研究的开题报告题目：Tikhonov正则化参数的选取及两类反问题的研究一、研究背景和意义：随着科学技术的进步，反问题研究成为了最热门的研究领域之一。
反问题的研究涉及到的学科领域非常广泛，其中数学、物理和工程等领域是最为重要的。
反问题包括了许多子领域，如参数反问题、区域反问题、混合反问题等等。
其中参数反问题是最为基础和重要的子领域之一。
Tikhonov正则化方法在参数反问题中得到了广泛应用，因为它可以通过降低噪声波动和提高解的光滑性来改进问题的稳定性。
然而，在应用Tikhonov正则化方法时，如何选取正则化参数是一个非常重要的问题，因为不同的正则化参数会影响到结果的精度和稳定性。
此外，不同类型的反问题需要对正则化参数作出不同的选择，这也是一个需要进一步探究的问题。
因此，我们需要对Tikhonov正则化参数的选取以及在不同类型的反问题中的应用进行深入的研究。
二、研究内容和目标：本文将主要研究Tikhonov正则化参数的选取方法，探讨其在参数反问题和区域反问题中的应用。
具体研究内容包括以下几个方面：1. 对Tikhonov正则化方法的优化算法进行研究，包括最小二乘方法、正交匹配迭代算法等。
2. 针对参数反问题，研究不同类型的Tikhonov正则化方法与对应的正则化参数的选取方法，并比较其性能和精度。
3. 针对区域反问题，研究不同类型的Tikhonov正则化方法与对应的正则化参数的选取方法，并比较其性能和精度。
4. 开发相应的计算程序，实现研究结果的数值验证和实际应用。
通过以上研究，本文旨在实现以下目标：1. 系统性地总结不同类型的Tikhonov正则化方法与对应的正则化参数的选取方法，并探讨其适用范围和局限性。
2. 比较不同类型的Tikhonov正则化方法及其选取的正则化参数在参数反问题和区域反问题中的应用效果，提出相应改进措施，提高解的稳定性和精度。
3. 开发相应的计算程序，实现研究结果的数值验证和实际应用，为相关领域的研究提供参考。
Tikhonov正则化的编程实现及其在气象中的应用
Ｔ ｈ 则化 的编程 实现及其 在气象 中的应 用 ｎ ｖ正 ｉ ｋ ｏｏ
仇 晓庆 ’ 彭跃华 龚锋 。 项杰 － （ ． 海舰队 司令 部 ３ 分队 宁波东钱 湖 ３ １ ２ ２ 解放军 理工大学气象 学院 江苏 南京 ２ １ ０ １东 ７ １ ２； ． ５ ｌ１ １ ３ 南海舰 队海洋水文 气象 中心 广 东湛江 ５ ４ ０ ） ． ２ ０ １ 摘 要： 本文先 筒述 了 ｉ ｈ ｎ ｖ 则化方法的原理 ， Ｔｋ ００正 再￣Ｍ ｔ ａ 对一个数 学实例进行 了壕程 实现 并对计算结果进行 了讨论 ， 后概速 了与 ａＬ ｂ 最 Ｔ ｋ ｏ ｏ ￣ 则化方 法紧密相联 的数 学物理反 问题 在 气象 中的应 用。 ｉｈｎ ｖ 关键词 ： 正则化 反问题 鳊程 中图分类 号 ： ４ Ｇ６ ２ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ： ６ ３ ９ ９ （ ０ Ｏ ０ （ ） Ｏ ５ － ２ １ ７ － ７ ５２ １）４ｂ－ ０ ７ ０ 近 二 十 年 来 ， 学 物 理 反 问题 已成 为 应 用 数 学 中发 展 和 成 长 数 最 快 的 领域 之 一 。 所 以 如 此 ， 很 大 程度 上 是 受其 它学 科 与 众 多 之 在 工 程 技 术领 域 的 应 用 中产 生 的 迫切 需 要 所 驱 动 ； 时 ， 同 由于 它 在 理 论 上 又 具 有 鲜 明 的 新 颖性 和 挑 战性 ， 以 引起 了 国 内 外许 多学 者 所 和 实 际 工作 者 从 事研 究 和 应 用 。 今 ， 已发 展 成为 具 有 交 叉 性 的 迄 它 计 算数 学 、 用数 学 和 系 统科 学 中的 一 个 热 门学 科 方 向 。 学 物 理 应 数 反 问 题 的研 究 可分 为 研 究 和 实 际应 用 两 个 方 面 ， 质 工 程 、 地 医学 、 军事、 环境 、 测 、 制 、 讯 、 象 、 遥 控 通 气 经济 等 领 域 着 重 实 际 的 应 用 ； 而 数 学 研 究 着 重 研 究 问题 的理 论和 方 法 。 求解数 学物理 反 问题 所面 临的 两个 实质 问题是 ： 原始数 据可 能不 属于 所论 问题精 确解 所对应 的数据 集合 ， 因而在 经典意 义下 的近似解 可 能不 存在 ； 近似 解 的不稳 定性 ， 即原始 数据 小 的误 差会导 致近 似解 与真 解的严 重偏 离 。 之 ， 问题常 常是不 适定 的 ， 总 反 是和 不适定性 紧密 联 系在 一起 的 ， 若不 采 用特殊 的 方法 求 解 ， 得不 到 合理 的答 案 。 将 目前 ， 解 数 学 物理 反 问题 的 普 遍 适 用 而行 之 有 效 的 方 法 ， 求 是 由著 名的 学 者 Ｔ ｋ ｏ ｏ 以第 一 类 算子 方程 为 数 学框 架 ， Ｏ 代 ｉｈ ｎ ｖ 于６ 年 初 创 造 性 的 提 出 ， 来 得 到 深 入 发 展 的 正 则 化 （ ｇ ｌ ｒｚ ｔｏ 后 Ｒｅ ｕ ａ ｉａ ｉ ｎ ｍｅｈ ｄ ， 一 方 法 为 处理 反 问题 奠 定 了 坚 实而 广 泛 的 理论 基 础 ， ｔ ｏ ）这 后 来 的许 多发 展 和推 广 都 源 于此 。 面 本 文先 简 述 其 原理 ， 编程 下 再 实 现 并 对 计 算 结 果 进 行 讨 论 ， 后 概 述 其 在 气象 中 的应 用 。 最
基于Tikhonov正则化迭代求解的结构损伤识别方法
基于Tikhonov正则化迭代求解的结构损伤识别方法夏志鹏; 王树青; 徐明强; 王皓宇【期刊名称】《《振动与冲击》》【年(卷),期】2019(038)017【总页数】9页(P251-259)【关键词】海洋平台; 损伤检测; 交叉模态应变能; Tikhonov正则化; 噪声鲁棒性【作者】夏志鹏; 王树青; 徐明强; 王皓宇【作者单位】中国海洋大学海洋工程系山东青岛266100【正文语种】中文【中图分类】TU317海洋平台结构长期服役在恶劣的海洋环境中，容易产生各种形式的损伤，使结构的承载能力下降，甚至导致平台失效，造成巨大经济损失及人员伤亡[1]。
因此，针对海洋平台结构的健康监测与损伤识别非常重要。
目前结构损伤检测的方法众多[2-3]，基于振动测试的结构健康监测技术相对较为简单且成本较低，是非常具有发展前景的损伤识别技术[4]。
其中，基于模态参数的损伤检测是近年来新兴且有效的检测手段。
在某些情况下，基于模态参数的结构损伤识别过程可以简化为线性方程组Cα=b 的求解问题。
当不考虑测量噪声或噪声干扰较小时，该系统的求解往往可以得到满意的结果；而当结构测量模态信息受噪声影响较为严重时，系统的求解结果往往会振荡发散，导致检测方法失效。
因此，噪声鲁棒性是此类损伤识别技术在发展过程中必须考虑的问题。
从数学的角度看，利用结构的振动测试数据识别其损伤是求解反问题的过程，其不适定性体现在所构建系统的病态上，即微小的测量误差都可能导致解的振荡发散。
为解决这一问题，学者们做了大量研究[5-11]。
其中，基于Tikhonov正则化[12]的方法应用较为广泛，其基本思想是：用一族与原问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的真实解。
王艺霖等将Tikhonov 正则化方法用于结构的损伤识别，一定程度上改善了系统的不适定性，提高了损伤识别精度，并指出正则化方法的作用可通过刚度矩阵条件数的减小来明确衡量。
Hua等将Tikhonov正则化与基于灵敏度分析的有限元模型修正方法相结合，进行了简单框架结构的损伤识别，该方法体现出较好的抗噪性。
改进的Tikhonov正则化图像重建算法
改进的Tikhonov正则化图像重建算法温丽梅;周苗苗;李明;马敏【摘要】Tikhonov正则化法可以解决电容层析成像中图像重建的病态问题,同时能够平衡解的稳定性与精确性,但其有效性和成像质量受到测量数据粗差的影响.改进的Tikhonov正则化法将2范数和M-估计结合,用一个缓慢增长的Cauchy函数代替最小二乘法的平方和函数,提高了估计稳健性和适应性.利用COMSOL和MATLAB软件对方法的有效性进行验证,重建结果表明,改进的Tikhonov正则化法能够有效减少粗差影响,提高重建图像精确度及分辨率.【期刊名称】《计量学报》【年(卷),期】2018(039)005【总页数】5页(P679-683)【关键词】计量学;图像重建;Tikhonov正则化法;电容层析成像;尾气检测;多相流【作者】温丽梅;周苗苗;李明;马敏【作者单位】中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300;中国民航大学电子信息与自动化学院,天津300300【正文语种】中文【中图分类】TB9371 引言气-固两相流广泛存在于机械制造、电力、化工、制药等工业生产领域[1,2],其流动特性复杂,材料浓度的分布状态多变。
航空发动机尾喷管的尾气是一种特殊的多相流体,主要由未完全燃烧液滴、大量排放气体以及发动机内部零部件发生磨损、碰擦、侵蚀等产生的金属屑等组成。
若航空发动机处于不同的工作状态,其内部尾气所含介质成分也有所不同[3]。
飞机发生事故前,发动机尾气中多相流体的介质成分及分布状况会有较大变化,据此可以作为此类灾害的早期预警[4]。
层析成像技术[5,6]可以实现三维流场的多参数非侵入式连续在线测量,电容层析成像(electrical capacitance tomography, ECT)在飞机发动机尾气检测方面具有潜在的应用价值。
奇异值分解(SVD)和Tikhonov正则化方法在振速重建中的应用
ｒ ａ ｏ ｃ ． Ｔｈ ｔ ｏ ｒ ａ ｔｃ ｌａ ｄ ｆ ａ ｉ ｅ ｏ ｒ ｃ ｎｓ ｒ ｔ ｔ ｅ ｓ ｒ ａ ｅ ｖ ｌ ｃ ｔ ｆ ｒ ａ ｂ ｔ ａ ｙ ｏｄ ｅ ｌｓ ｕｒ ｅ ｅ ｍｅ ｈ ｄｓ ａ ｅ ｐｒ ｃ ｉａ ｎ ｅ ｓｂｌ ｔ ｅ ｏ ｔ ｕｃ ｈ ｕ ｆ ｃ ｅ ｏ ｉｙ ｏ ｒ ｉｒ ｒ ｄ—
第 ３ ６卷 第 ６期
２０ ０ ２年 ６月
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文章 编号 ：０ ６２ ６ （ ０ ２ ０ — ８ ４０ １ ０ — ４ ７ ２ ０ ） ６０ ３ — ５
中图分类 号 ： Ｂ ５２ Ｔ ３ 文献标 识码 ： Ａ
Ｖｉ ａ ｉ ｇ Ｖｅｌ ｃ ｔ ｃ ｎ ｔｕ ｔｏｎ Ｕｓｎ ｎ ｕ ａｒＶａ ｕ ｂｒ ｔｎ ｏ ｉｙ Ｒｅ ｏ ｓ ｒ ｃ ｉ ｉ ｇ Ｓｉ ｇ ｌ ｌｅ
不适定问题的tikhnonov正则化方法
不适定问题的tikhnonov正则化方法《不适定问题的tikhnonov正则化方法》一、Tikhonov正则化方法简介Tikhonov正则化方法是一种在不确定性情况下，以满足已获知条件来确定未知参数的数学方法，也称为受限最小二乘法（RLS）或Tikhonov惩罚。
它是拟合未知数据，裁剪异常数据或选择特征的常用技术。
它结合了线性代数的误差拟合和函数的模型，通过比较数据和模型来实现，并且可以消除装配数据较大的噪声。
它广泛应用于各种领域，如机器学习，图像处理，测量信号处理，医学成像，数据拟合等。
二、不适定问题不适定问题指的是拟合数据时，没有明确地标定未知数据范围或转换规则，需要解决大量不完全未知因素时，所面临的问题。
在大量实际问题中，存在着许多模型参数或者说未知量，通常我们是模糊不清的，不知道未知量到底应该取多少值，这些未知量和现实世界紧密相连，因此，很难准确的给出未知量的取值范围，这样的问题就称之为不适定问题。
三、Tikhonov正则化解决不适定问题的方法Tikhonov正则化是极其重要的方法，可以有效地解决不适定问题。
它主要基于几何形式的最小二乘拟合方法，考虑多个参数逐步克服受限性，增加惩罚力度，以抑制不具可解释性，存在明显异常点的资料变化，有效影响拟合数据偏离未知数带来的影响，使数据拟合的更加准确，能够比较准确的拟合复杂的函数。
四、Tikhonov解不适定问题优势所在Tikhonov正则化的主要优点有两个：一是克服参数之间的相关性，从而减少误差拟合；二是增加惩罚力度，从而抑制异常点。
此外，他还可以从数据中提取出更多有用的信息，增强无关事实的辨认能力，减少参数数量，从而确保拟合信息具有更强的准确性和可靠性。
因此，Tikhonov正则化有助于更好地解决不适定问题，能够提高模型的分类概率，以达到解决不适定问题的最佳效果。
五、总结Tikhonov正则化方法是一种有效地解决不适定问题的方法，它可以通过比较有约束的正则误差与受限的最小二乘拟合的误差之间的差异来拟合数据，克服参数之间的相关性，准确作出拟合结果，提高模型的分类概率，减少参数数量，以达到解决不适定问题的最佳效果。
迭代Tikhonov正则化位场向下延拓方法及其在尕林格铁矿的应用
迭代Tikhonov正则化位场向下延拓方法及其在尕林格铁矿的应用赵亚博;刘天佑【摘要】解析延拓是一种广泛应用的位场处理方法，向下延拓可以压制深部地质体的影响，突出浅部异常。
但是，向下延拓滤波因子是一个高通滤波器，会造成下延结果震荡，从而限制了该方法在实际资料中的应用。
文中详细介绍并实现了迭代Tikhonov正则化向下延拓方法，在理论模型上将该方法与传统频率域延拓方法进行对比，表明迭代Tikhonov正则化向下延拓方法的有效性；并将该方法应用于青海尕林格铁矿区磁测资料的处理解释中，下延结果与钻探情况相符，说明在厚覆盖层的勘查区中，运用迭代Tikhonov正则化向下延拓方法能够有效地提高资料处理解释的效果。
%Analytic continuation for potential field is a widely used method for processing and interpretation, because downwardcon⁃tinuation can suppress the influence of deep geological bodies and protrude the shallow layer anomaly. However, the downward con⁃tinuation filter factor is a high⁃pass filter, leading to unstableness of the result, and therefore it can not be used to process the real data. The authors systematically studied and implemented the iterative Tikhonov regularization method for downward continuation of potential fields. In contrast to the continuation of potential field on the theoretical model, the iterative Tikhonov regularization method indicates better effectiveness than frequency domain. The authors also applied this method to Galingeiron deposit's magnetic data pro⁃cessing, and the results indicate that the iteration Tikhonov regularization method for downwardcontinuation of potential fields is wor⁃thy to use in heavy overburden exploration areas.【期刊名称】《物探与化探》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】6页(P743-748)【关键词】重磁勘探;向下延拓;迭代Tikhonov正则化;尕林格铁矿【作者】赵亚博;刘天佑【作者单位】中国地质大学武汉地球物理与空间信息学院，湖北武汉 430074;中国地质大学武汉地球物理与空间信息学院，湖北武汉 430074【正文语种】中文【中图分类】P631上世纪70年代初，我国开始将计算机应用于地球物理勘探资料的处理解释。
地球物理反演中的正则化技术及应用
地球物理反演中的正则化技术及应用地球物理反演是研究地球内部结构和性质的重要手段。
正则化技术是地球物理反演过程中常用的数学方法，旨在解决反问题的不适定性和非唯一性，提高反演结果的稳定性和可靠性。
本文将介绍正则化技术的基本原理和常用方法，并探讨其在地球物理反演中的应用。
地球物理反演是根据观测数据推断地下地球结构和性质的过程。
然而，由于地球介质的复杂性以及观测数据的不完备性和噪声污染等因素的影响，地球物理反演问题往往是不适定的反问题。
也就是说，同一个目标模型可以对应多个不同的观测数据解释，使得反演结果存在非唯一性。
此外，反演过程中还可能存在数值不稳定性，即小的扰动可能导致大的误差放大。
为了克服不适定性和非唯一性问题，正则化技术在地球物理反演中得到广泛应用。
正则化通过向反演问题中引入附加信息，对反演结果进行约束，从而提高反演结果的稳定性和可靠性。
正则化的基本思想是在目标函数中同时考虑拟合数据的残差项和模型的先验信息项，通过调节两者之间的平衡，得到最优的反演结果。
在正则化技术中，最常用的方法是Tikhonov正则化。
Tikhonov正则化通过在目标函数中引入二阶范数（L2范数）惩罚项，对模型进行光滑约束，使得反演结果具有空间平滑性。
这种正则化方法在稳定性和保真性之间取得了良好的平衡，常用于地震波速度、重力场和磁场等反演问题。
除了Tikhonov正则化，还有一些其他常用的正则化技术，如L1范数正则化、TV正则化和脉冲响应正则化等。
L1范数正则化通过在目标函数中引入一阶范数惩罚项，将反演结果稀疏化，适用于具有稀疏结构的反演问题。
TV正则化是对图像进行处理的一种方法，通过将图像的梯度惩罚项添加到目标函数中，实现对反演结果的边缘保持和去噪。
脉冲响应正则化是将目标函数中的滤波器参数视作反演模型的参数，通过滤波器设计对反演结果进行约束。
这些正则化技术在地球物理反演中具有各自的优势和适用范围，根据具体的反演问题选择合适的正则化方法进行应用。
利用Tikhonov正则化算法进行光谱特征波长的选择及其参数优化
进行基线校正 。其基线校正的效果见图 ２ 基线校正后谱图 。
Ｔ（ｎｕｍ） ＝ Ｔ（ｎｕｍ） ＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ ＋ ｃｏｅ ｆ ｆ ｉｃｉｅｎｔ × ｎｕｍ （７）
１８３８
光谱学与光谱分析 第 ３４ 卷
摘 要 在烷烃类多组分混合气体 ，尤其轻烷烃类气体傅里叶变换红外光谱定量分析中 ，其中在红外光谱 区域吸收峰严重交叉重叠 ，不易建立定量分析模型 。为此 ，采用 Ｔ ｉｋｈｏｎｏｖ 正则化算法对甲烷 、 乙烷 、 丙烷 、 异丁烷 、正丁烷 、异戊烷和正戊烷等七种轻烷烃类混合气体傅里叶变换红外光谱进行特征波长的选择 ，以便 建立定量分析模型 。选择六种各气体浓度组成混合烷烃气体 ，采用 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化算法 ，通过对比分析混 合气体在中红外全波段 、主吸收峰和次吸收峰波段特征波长的选择和 Ｔ Ｒ 参数的优化 ，选择出七种气体成分 的傅里叶变换红外光谱的特征波长 。利用选择的特征波长和 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化参数对实测甲烷光谱数据进行 检验分析 ，与其他气体成分的交叉灵敏度最大为 １１畅 １５３ ７％ ，最小为 １畅 ２３９ ７％ ，预测均方根误差为 ０畅 ００４ ８ ，有效增强了 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化算法在轻烷烃类混合气体定量分析中的实用性 ，初步验证了利用 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化进行烷烃类混合气体傅里叶变换红外光谱特征波长选择的可行性 。
实验仪器 ：傅里叶变换红外光谱仪 ａｌｐｈａ ：该光谱仪扫描 范围为 ４００ ～ ４ ０００ ｃｍ － １ ，光谱波数分辨率为 ４ ｃｍ － １ ，谱线 值为吸光度光谱 ，每张谱图有 ２ ５４２ 条谱线 。
目标 气 体 ： Ｃ Ｈ４ ， Ｃ２ Ｈ６ ， Ｃ３ Ｈ８ ， ｉｓｏ‐Ｃ４ Ｈ１０ ， ｎ‐Ｃ４ Ｈ１０ ， ｉｓｏ‐Ｃ５ Ｈ１２ 和 ｎ‐Ｃ５ Ｈ１２ 等七种轻烷烃类 。 通过不同浓度单组分 气体的观察 ，如图 １ 所示 ，烷烃在 ２ ７５０ ～ ３ ２００ 和 １ １００ ～ １ ９００ ｃｍ － １ 范围内具有较强的吸收 ，且吸收光谱严重交叠 ， 各种目标分析气体相互干扰 。根据分析的需要 ，设定标定目 标样本 气 的 浓 度 分 别 为 ０畅 ０１％ ， ０畅 ０２％ ， ０畅 ０５％ ，０畅 １％ ， ０畅 ２％ ，０畅 ５％ ，１％ 。
Tikhonov正则化方法在航空γ测量数据处理中的应用
Tikhonov正则化方法在航空γ测量数据处理中的应用
李华锋;盛伟;韩斌;王雪梅;王志慧;刘文彪;李国辉
【期刊名称】《现代应用物理》
【年(卷),期】2024(15)1
【摘要】在航空γ测量中,当地形平坦且飞行高度变化不大时,采用传统的高度修正方法可得到良好的结果。
实际测量中,地形崎岖不平、飞行高度突变等常见现象会
导致高度修正后的结果仍存在偏差甚至错误。
基于条带模型构设崎岖地形条件下的反演方程组,应用Tikhonov正则化方法求解可得到地面放射性核素的面活度浓度。
Tikhonov正则化方法的应用结果表明:随机噪声较小时,采用广义交叉验证(generalized cross validation,GCV)方法选取正则化参数得到的反演结果较好;随机噪声较大时,采用L曲线方法选取正则化参数得到的反演结果较好。
与传统高度
修正方法的计算结果相比该方法好,且适用于飞行高度变化较大的情形。
【总页数】7页(P59-65)
【作者】李华锋;盛伟;韩斌;王雪梅;王志慧;刘文彪;李国辉
【作者单位】西北核技术研究所
【正文语种】中文
【中图分类】TL81;O571
【相关文献】
1.Tikhonov正则化方法在测井反演中的应用
2.Tikhonov正则化方法在带噪数字
图像缩放中的应用3.基于Tikhonov正则化的高分辨率群时延测量与计算方法4.
样条函数和Tikhonov正则化方法在由投影重建图象中的应用5.赋相对权比的Tikhonov正则化方法及其在岭估计中的应用研究
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始猜值几乎不敏感因为算法会以增加迭代步数为代价来弥补精度
误差（图１）。
科 教 研 究
４ 在气象中的应用概述
在许多数学物理反问题的研究中，都需要解第一类算子方程： 例如热传导问题的反问题，医学上ＣＴ技术，地震勘测，卫星遥感反 演 ， 气 候 系 统 动 力 模 式 研 究 等 。由 于 这 类 问 题 是 不 适 定 的 ， 对 求 解 带来很大的困难。
带噪声的近似解的离散图象。
３ 计算结果讨论
下图为用基于偏差原理的Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法得到的结果，星号
线为近似解，虚线为真解。为方便描述，最上层的图记为图（１），下一层
左图记为图（２），右图记为图（３），最下层左图记为图（４），右图记为图（５）。
最上面的图（１）中积分步数为１００步，误差水平为０．０１，正则参数初始猜
３ ． 南海舰队海洋水文气象中心 广东湛江 ５ ２ ４ ０ ０ １ ）
摘 要： 本文先简述了Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法的原理， 再用Ｍ ａ ｔ Ｌ ａ ｂ对一个数学实例进行了编程实现并对计算结果进行了讨论， 最后概述了与
Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 正则化方法紧密相联的数学物理反问题在气象中的应用。
科 教 研 究
中国科教创新导刊 ２０１０ ＮＯ．１１
Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
Ｔｉｋｈｏｎｏｖ 正则化的编程实现及其在气象中的应用
仇晓庆 １ 彭跃华 ２ 龚锋 ２，３ 项杰 ２ （ １ ． 东海舰队司令部 ３ ７ 分队 宁波东钱湖 ３ １ ５ １ ２ ２ ； ２ ． 解放军理工大学气象学院 江苏南京 ２ １ １ １ ０ １ ；
２ 编程实例检验
考虑第一类Ｆｒｅｄｈｏｌｍ方程中的逆Ｌａｐｌａｃｅ变换
smax
∫ ( Af )(t) = k(s,t)x(s)ds = g(t), t ∈[tmin ,tmax ] 其 中 k (s,t) = exp(st) ， 精 确 smin
右
端项
为
g (t )
=
et+1 −1 , t +1
(tmin
α →0
图１
中国科教创新导刊 Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｒ ａ ｌ ｄ
５７
中国科教创新导刊 ２０１０ ＮＯ．１１ Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
这 样 的 正 则 算 子 R(uδ ,α ) ， 连 同 决 定 正 则 参 数 的 不 同 原 则 和 方 法 ， 都 定 义 了 构 造 原 问 题 近 似 解 的 一 个 稳 定 算 法 。Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 通 过 引 入 展平泛函（ｓｍｏｏｔｈｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ）来构造正则算子，展平泛函的表 达式为 M α [z, u] = ρU2 ( Az, u) + αΩ[z], u ∈U , z ∈ F 。其中正则参数的选 择是一个重要的研究课题，当误差水平已知时，常采用的后验策略 （即在计算正则解的过程中确定正则参数）是Ｍｏｒｏｚｏｖ偏差原理，原 理表述如下：
方法的算法过程如下：
Ｓｔｅｐ １：输入积分步数和积分步长，并初始化ｘ向量 δ ，给出误 差水平，正则参数的初始值 α0 和容许偏差 ε 。
Ｓｔｅｐ ２：给出真解ｘＴ，并把积分方程离散化得算子矩阵。
Ｓｔｅｐ ３：给出精确右端项和带噪声的右端项。
Ｓｔｅｐ ４：迭代求解正则参数，这是Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化方法的核心，
值为０．１，容许偏差为０．０１，它迭代５步后收敛（ G(αk ) < ε ），真解与近似 解误差的模为０．７７０８。用它作为参照方案，其他为某个参数变化的敏
感性方案。图（２）与参照方案的区别是正则参数初始猜值为１，它迭代
７步后收敛，解误差模为０．７７５６，可见精度略微变差了；图（３）与参照方
案的区别是误差水平为０．１，它迭代５步后收敛，解误差模为１．８８１７，可
如 果 φ(α ) 是 单 值 函 数 ， 则 当 ρU ( Az0,u) > δ 时 存 在 这 样 的 α = α (δ ) ，使得 ρU ( Azα (δ ) , u) = δ 。式中 z0 ∈{z | Ω[z] = infγ∈F Ω[γ ]} 。若 近 似 右 端 项 满 足 条 件 ： ρU (uT ,uδ ) < δ ; ρ(0,uδ ) > δ ， 则 正 则 参 数 存 在 且唯一。
有一半而且从图上容易看出其在第５０步时误差明显比参照方案的第
５ ０ 步 要 大 ， 所 以 其 精 度 是 下 降 的 。由 以 上 结 果 可 以 知 道 ： 积 分 步 数 越
大，误差水平、正则参数初始猜值和容许偏差越接近０，精度越高；该方
法对误差水平的敏感程度最大，容许偏差敏感程度其次，正则参数初
若 ρU (uT ,uδ ) ≤ δ ， 则 可 取 zα = R(uδ ,α ) 作 为 具 有 近 似 右 端 项 的 方 程 Az = uδ 的 近 似 解， 式 中 的 α = α (δ ) 与 原 始 数 据 及 其 误 差 有 关 。称 这 个 解 为 方 程 Az =u 的 正 则 解 ， α 为 正 则 参 数 。判 定 算 子 为 该 方 程 的 正 则 算 子 的 一 个 充 分 条 件 是 ： lim R( Az,α ) = z,∀z ∈ F 。显 然 ， 每 个
迭
代公式
可算出
α1
= α0
−
G(α0 ) G′(α0 )
，然
后把
它
代入
得
x2 = (α1I + AT A)−1 AT bδ ， 再 用 同 样 的 方 法 求 出 α2 ， 如 此 循 环 迭 代 ，
直 到 G(αk ) < ε 或 者 迭 代 次 数 超 过 最 大 次 数 为 止 。
Ｓ ｔ ｅ ｐ ５ ：显 示 最 后 结 果 包 括 迭 代 次 数 ， P x − xT P， 真 解 和 右 端 项
本 文 用 Ｍ ｏ ｒ ｏ ｚ ｏ ｖ 偏 差 原 理 。x1 = (α0I + AT A)−1 AT bδ ， 然 后 可 求 出
G(α0 ) =P Ax1δ − bδ P2 −δ 2
和
G′(α0 )
=
− P x1δ
P2
−2*α* <
dx1δ dα
> − < A dx1δ ,bδ dα
>
，
再用Ｎｅｗｔｏｎ
目前这些方面还有许多问题没有解决，以晴空情况下大气温湿 廓 线 反 演 为 例 ， 目 前 没 有 解 决 的 关 键 问 题 如 下 。其 一 ， 反 演 的 不 适 定 性。这就导致了反演的不稳定性。曾庆存在总结国内外工作遥感反演 及反演研究成果的基础上，发展了一整套关于解决不稳定反演问题 的 理 论 与 方 法 ， 包 括“ 最 佳 信 息 层 ”理 论 ， 最 优 通 道 选 择 等 。此 后 Ｒｏｄｇｅｒｓ（１９７６）对几种典型反演方法进行总结。在各种反演方法中，最 小 方 差 法 在 实 际 上 用 得 较 为 广 泛 。其 二 ， 初 始 猜 值 的 决 定 。如 果 初 始 猜 值 越 接 近 于 真 值 ， 则 迭 代 收 敛 性 、收 敛 速 度 及 求 解 精 度 较 好 。一 般 来 说 ， 用 统 计 回 归 法 作 为 初 始 猜 值 。其 三 ， 问 题 的 非 线 性 。由 于 R = R(Ts ,T ( p), q( p),...) 是一个非线性方程，特别对求解水汽而言，非线 性更为突出， 传统的方法一般将辐射方程线性化。但是二者关系复 杂，例如非线性问题不适定并不意味着线性化问题也是不适定，非线 性问题适定也不意味着线性化问题也适定。所以设置合理有效的算 法 显 得 十 分 重 要 。其 四 ： 权 重 函 数 的 计 算 。不 管 是 线 性 还 是 非 线 性 方 法进行反演，非常关键的一步是权重函数的计算，此问题长期以来一 直没有很好解决，例如ＩＴＰＰ３．０和４．０版本中，水汽权重函数未处理好 等。因 此，与 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正 则 化 方 法 相 关 的 研 究 还 大 有 作 为 。
求解数学物理反问题所面临的两个实质问题是：原始数据可能不
属于所论问题精确解所对应的数据集合，因而在经典意义下的近似解 可能不存在；近似解的不稳定性，即原始数据小的误差会导致近似解 与真解的严重偏离。总之，反问题常常是不适定的，是和不适定性紧密 联系在一起的，若不采用特殊的方法求解，将得不到合理的答案。
见精度下降很大；图（４）与参照方案的区别是容许偏差为０．１，它迭代３
步后收敛，解误差模为１．４３５３，可见精度也下降较大但比图（３）的下降
幅度小；图（５）与参照方案的区别是积分步数为５０步，它迭代５步后收
敛，解误差模为０．６８１５，乍看上去似乎精度提高了但实际上这是由于
它的元素个数少了一半才使其解误差模偏小一点，但它并未小到只
关键词： 正则化 反问题 编程
中图分类号： Ｇ ６ ４ ２
文献标识码： Ａ
文章编号： １ ６ ７ ３ － ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ０ ） ０ ４ （ ｂ ） － ０ ０ ５ ７ － ０ ２
近二十年来，数学物理反问题已成为应用数学中发展和成长 最快的领域之一。之所以如此， 在很大程度上是受其它学科与众多 工程技术领域的应用中产生的迫切需要所驱动；同时，由于它在理 论上又具有鲜明的新颖性和挑战性，所以引起了国内外许多学者 和实际工作者从事研究和应用。迄 今， 它已发展成为具有交叉性的 计 算 数 学 、应 用 数 学 和 系 统 科 学 中 的 一 个 热 门 学 科 方 向 。数 学 物 理 反 问 题 的 研 究 可 分 为 研 究 和 实 际 应 用 两 个 方 面 ， 地 质 工 程 、医 学 、 军 事 、环 境 、遥 测 、控 制 、通 讯 、气 象 、经 济 等 领 域 着 重 实 际 的 应 用 ； 而数学研究着重研究问题的理论和方法。