第六章 计算全息(1)

空间带宽积是通过光学信道信息量的量 度。SW越大，标志着通过光学系统我们 获得更多的信息。大孔径、大视场的高 质量光学系统正是光学工作者追求的目 标。 如果图像在空域和频域中所占据的面积 都是矩形，其各边长为 则 或



空间带宽积具有传递不变的特性。 当图像发生空间位移、缩放、受到调制或变换 等操作时，为了不丢失信息，应使空间带宽积 保持不变。空间带宽积还确定了图像上可分辨 的像元数，因此应用空间带宽积的概念，可以 很方便地确定制作计算全息图时所需要的抽样 点总数。 实际上，由于受到计算机存储量、运算速度及 绘图仪分辨率的限制，从而不同程度地引入了 混叠误差。只有用高速、大容量计算机和电子 束、离子束、激光扫描器等高分辨成图设备， 才有可能制出高质量的计算全息图。
6· 1 计算全息的理论基础


6· 1· 1概述 光学全息图是直接用光学干涉法在记录介质上记 录物光波和参考光波叠加后形成的干涉图样。 假如物体并不存在，而只知道光波的数学描述， 也可以利用电子计算机，并通过计算机控制绘图仪 或其它记录装置（例如阴极射线管、电子束扫描器 等）将模拟的干涉图样绘制和复制在透明胶片上， 这种计算机合成的全息图称为计算全息图。



计算全息的优点： 记录物理上不存在的实物，只要知道该 物体的数学表达式就可能有计算全息记 录下这个物体的光波，并再现该物体的 像。这种性质非常适宜于信息处理中空 间滤波的合成，干涉计量中产生特殊的 参考波面，三维虚构物理的显示等。 计算全息制作过程采用数字定量计算， 精度高，特别是二元全息图，透过率函 数只有二个取值，抗干扰能力强，噪声 小，易于复制。



6· 1· 2 抽样定理 光学图像信息往往具有连续分布的特点， 而数字计算机所处理的信息却表现为序 列的形式，在实现信息记录、存贮、发 送和处理时，由于物理器件有限的信息 容量，一个连续函数也常常用它在一个 离散点集上的函数值，即抽样值来表示。 例如：连续函数f(t)和序列f(n)之间满足:


这一过程可由下图来表示

如果选矩形函数

作为滤波函数，将从Fs(ξ,η)中分离出F(ξ,η)， 其表达式为

这一频域的滤波过程，可以等效于空域中 的卷积运算，即
式中：


而
代入上面的式子，得


若取最大允许的抽样间隔，则
上式称为惠特克-香农（Whittaker-Shannon）抽样定理，它 表明了只要抽样间隔满足公式（6· 1· 6）所给的条件，则在每 一个抽样点上放置一个以抽样值为权重的sinc函数作为内插 函数，由这些加权sinc函数的线性组合可复原原函数。

1· 函数的抽样 先来看梳状函数的性质：

利用梳状函数对连续函数f(x,y)抽样，抽 样函数fs(x,y)由δ函数的阵列构成。
Fra Baidu bibliotek

△x和△y是在x和y方向上的抽样间距，
利用卷积定理，抽样函数的频谱为


函数在空间域被抽样，导致函数频谱 F（ξ，η）在空间频域的周期性重复。空 间域抽样间隔是△x和△y，空间频域被 重复的频谱岛中心的间距为 假 定f(x,y)是有限带宽函数，其频谱在空间 频域的一个有限区域上不为零，记2Bx和 2By是这个有限区域在ξ，η方向上的宽度， 即满足

则只要
或者抽样间隔
则Fs(ξ,η)中的各个频谱岛就不会出现混 叠现象，这样就可能用滤波的方法从 Fs(ξ,η)分离出原函数的频谱F(ξ,η)，再由 F(ξ,η)恢复原函数。因此，能由抽样值还 原原函数的条件是： （1）f(x,y)是限带函数，带宽为2Bx和2By (2)在x和y方向抽样点最大允许间隔为



在计算全息中，空间信号（二维图像） 的信息容量也是用空间带宽积来描述的。 光学图像在光学仪器中的传递受到两方 面的限制：一是孔径光阑挡掉了超过截 止频率的高频信息；二是视场光阑限制 了视场以外的物空间。则通过光学信道 的信息量公式为： 信息量=频带宽度×空间宽度 等式右边为空间带宽积，用SW表示，它 是空间信号f(x,y) 在空间域和频谱域中所 占的空间量度，其一般表达式为




当用计算机分析和处理一个光场的二维分布时， 依据抽样理论，能否选择合理的抽样间隔，关 系到图像抽样的计算量和存贮量以及足够的精 度问题。 因而我们要考虑两个问题： （1）物函数经过抽样输入计算机进行计算和 编码时，抽样间隔应满足抽样定理的条件，以 避免出现频谱混叠。 （2）计算全息图的再现过程应选择合适的空 间滤波器，这样才能恢复所需要的波前。





计算全息的主要应用范围是： ① 二维和三维物体像的显示 ② 在光学信息处理中用计算全息制作 各种空间滤波器 ③ 产生特定波面用于全息干涉计量 ④ 激光扫描器 ⑤ 数据存贮





计算全息图的制作和再现过程主要分为以下几个步 骤： ① 抽样：得到物体或波面在离散样点上的值 ② 计算：计算物光波在全息平面上的光场分布 ③ 编码：把全息平面上光波的复振幅分布编码 成全息图的透过率变化 ④ 成图：在计算机控制下，将全息图的透过率 变化在成图设备上成图。如果成图设备分辨率不够， 再经光学缩版得到实用的全息图 ⑤ 再现
第六章 计算全息
6· 1 6· 2 计算全息的理论基础 计算全息的编码方法
6· 3
6· 4
计算傅里叶变换全息
计算像面全息
6· 5
6· 6
计算全息干涉图
相息图
6· 7
6· 8
计算全息的应用
计算全息的几种物理解释
6· 9
二元光学
第六章 计算全息

从光学发展的历史上看，计算全息首次将计算 机引入光学处理领域，很多光学现象都可以用计 算机来进行仿真，计算全息图成为数字信息和光 学信息之间有效的联系环节。1965年在美国IBM 公司工作的德国光学专家（A· W· Lohmann）使 用计算机和计算机控制的绘图仪做出了世界上第 一个计算全息图（Computer-Generated Hologram，简称CGH）。计算全息图不仅可以 全面地记录光波的振幅和相位，而且能综合复杂 的，或者世间不存在的物体的全息图，因而具有 独特的优点和极大的灵活性


故可借用其技术用到光学中来，前一过 程称为调制（编码），后一过程称为解 调（解码）。计算全息中各种编码方法 正是借鉴了通信中的相应的编码技术。 如图6· 1· 4分别表示通信系统中的三种脉 冲调制方式：脉冲幅度调制（PAM）， 脉冲宽度调制（PWM），脉冲位置调制 （PPM）。后两种调制方式使信号二值 化，具有很强的抗干扰和抗噪声的能力。 二元全息图就是空间信号脉冲宽度调制 和脉冲位置调制的结果。


6· 1· 5计算全息的分类 1、第一种分类法 根据物体（指物体的坐标位置）和记录平面 （指计算全息平面的坐标位置）的相对位置不 同，分为计算傅里叶变换全息、计算像全息、 计算菲涅耳全息。 2、第二种分类法 根据全息透过率函数的性质，可分为振幅型和 相位型两类。 3、第三种分类法 根据全息图制作时所采用的编码技术，也就是 待记录的光波复振幅分布到全息图透过率函数 的转换方式，大致可以分为迂回相位型计算全 息图、修正型离轴参考光计算全息、相息图和 计算全息干涉图。




直观上，抽样间隔越小，则抽样序列越 准确地反映原来的连续函数，但是抽样 间隔越小，对于信息检测、传送、存贮 和处理都提出了更高的要求。 问题：那么如何选择一个合理的抽样间 隔，以便做到既不丢失信息，又不对检 测、处理等过程提出过分的要求，并由 这样的抽样值恢复一个连续函数呢？ 抽样是制作计算全息图的一个重要和必 不可少的步骤，抽样定理是计算全息技 术中的重要理论基础之一。 下面我们结合函数的抽样和复原来介绍 抽样定理。
由抽样函数复原原函数有两条途径： （1）频域滤波 （2）空域内插 结论：一个连续的限带函数可由一个合理 抽样间隔的序列代替，而不丢失任何信 息，以及由抽样值序列恢复原函数。 信号的检测、传递过程采用的仪器都 是有限通频带宽的，故很多物理量函数 都可视为有限带函数，从而可用离散的 抽样序列代替。
6· 1· 3 计算全息的抽样与信息容量
6· 1· 4时域信号和空域信号的调制与解调


在第五章我们已经知道，在光学全息中， 由于记录介质只能记录光场强度分布， 对波前（复振幅分布）的记录必须通过 与参考光干涉形成干涉花样（强度分布） 才有可能。再现过程中，通过照明光照 射全息图产生的衍射效应，又将干涉花 样（强度分布）还原成所需要的波前 （复振幅分布）。 光学全息中的记录和再现过程，与通信 理论中对时域信号的处理相似。

如图

图6· 1· 5画出了二元全息图上的抽样单元， 每个单元中有一矩形开孔，其透过率为1， 未开孔部分的透过率为0，用开孔面积表 示对应抽样点的物波幅值，用开孔中心 偏离单元中心的距离表示抽样点物波的 相位。 对振幅和相位分 别采用了空间脉 冲宽度调制和空 间脉冲位置调制 两种方式。




通常 称为奈魁斯特（Nyquist)间隔， 奈魁斯特抽样定理又可表述为： 一个有限带宽的函数，它没有频率在Bx和By以 上的频谱分量，则该函数可以由一系列间隔小 于 的抽样值唯一地确定。 2· 函数的复原 将抽样函数作为输入，加到一个低通滤波器上， 只要抽样函数的频谱不产生混叠，总可以选择 一个适当的滤波函数，使 的项无畸变通过，而滤除其它各项，这时滤波 器的输出就是复原的原函数。