(官方完整版)2011中国石油大学胜利学院期末考试试卷(精简版)
中国石油大学2011-2012(2) 概率论与随机过程A
2011—2012学年第二学期《概率论与随机过程》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年6月 15日注意事项：1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效；2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；3．本试卷正文共5页，共九道大题，满分100分；4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。
一.填空题（每题3分，共15分）1.设A B 、为随机事件，()0.6P A =，()0.3P A B -=，()_________P AB =则.2.设随机变量~(2)X N ，1，~(3)Y N ，1，且,X Y 相互独立，32Z X Y =-，则~___________Z .3.已知随机变量~(2)X P （泊松分布），则31Z X =-的期望________EZ =.4.设随机变量X 的数学期望EX μ=，方差2DX σ=， 则由切比雪夫不等式， 有{||2}________P X μσ-≥<.5. 设随机过程()cos sin X t A t B t =+，(,)t T ∈=-∞+∞,其中A,B 是相互独立且都服从标准正态分布的随机变量，则该随机过程的自相关函数为__________.二.选择题(每题3分，共15分)：1.设事件,A B 满足，()0(|)1P B P B A >=，, 则必有________. (A ) ()()P A P A B < (B ) ()()P B P A B < (C ) ()()P A P A B = (D ) ()()P B P A B =2.设随机变量X ,Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ，记12{4},{5}p P X p P Y μμ=>+=≤-，则_________.(A ) 对任意实数μ都有12p p = (B ) 对任意实数μ都有12p p < (C ) 仅对μ的个别值都有12p p = (D ) 对任意实数μ都有12p p >3.设由来自总体2~(,0.9)X N μ的长度为9的样本得样本均值5X =，在水平0.05α=下，则_________.(A ) 0=3H μ 接受假设：(B ) 0=4H μ 接受假设： (C ) 0=5H μ 接受假设：(D ) 0=6H μ 接受假设：4.设总体~(,)X f x θ，θ为未知参数，1X ，… ，n X 为来自X 的一个样本，1121(,,)(,,)n n X X X X θθ 、为两个统计量，若12(,)θθ为θ的置信度为1α-的置信区间，则应有__________.(A ) 12{}P θθθα<<= (B ) 2{}1P θθα<=- (C ) 12{}1P θθθα<<=- (D ) 1{}P θθα<=5. 设一齐次马氏链的状态空间为{1,2}I =，其一步转移矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8/38/54/14/3P , 则其平稳分布为________.(A ) (3/4,1/4) (B ) (5/8,3/8) (C ) (2/7,5/7) (D ) (5/7,2/7)三.（10分）某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%.现从待出厂的产品中随机地取一件，求:(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率.四.(10分）假设测量的随机误差2~(0,10)X N，求:(1)测量误差的绝对值大于19.6的概率p；(2)如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值大于19.6的概率 .五.(15分）设(,)X Y 的分布密度为(2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧ >>=⎨ ⎩其他求:(1)常数A ；(2)关于X ,Y 的边缘分布密度，并判断X ,Y 是否独立； (3)2Z X Y =+的概率分布.六.(10分）一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2,3.现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X和Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字.求:(1)X和Y的联合概率分布；(2)X和Y的相关系数.七.(10分）设X,Y相互独立，且概率分布分别为2211/2,02 ()(),()0,x xyf x x yϕ-+-≤≤⎧= -∞<<+∞ =⎨⎩其他求:(1)()E X Y+； (2)(2)D X Y+； (3) 2(23)E X Y-.八.(8分）设总体X 的分布密度为22,0()0,xxe x f x λλ-⎧⎪>=⎨⎪⎩其他，)0(>λ， 且1X ，… ，n X 是来自总体的简单随机样本，求:(1)参数λ的极大似然估计量； (2)参数λ的矩估计量.九.(7分）设马氏链{,0}n X n ≥的状态空间为{1,2,3}I =，初始分布为123111(0),(0),(0),424p p p ===其一步转移概率矩阵为1/43/401/31/31/301/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求：(1) 012{1,2,2};P X X X === (2) 22(2){2}.p P X ==。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(2)
A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。
中国石油大学(华东)概率论2011-2012期末考试卷问题详解及评分实用标准化
2011—2012学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年1月3号页 码 一 二 三 四 五 六 七 总 分 满 分 20 15 10 20 12 13 10 100 得 分阅卷人备注：1．本试卷正文共7页；2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效；4．最后附页不得私自撕下，否则作废.5．可能用到的数值(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=Ａ卷一、填空题（每空1分，共10分）1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B =0.5 .2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___.3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 .4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则{max(,)2}P X Y ≤= 4/9 .5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均值，则EX = λ ，DX =nλ. 二、选择题(每题2分，共10分)1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==⋃=，则()P AB 等于( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a 有( B ).(A)0()1()aF a f x dx -=-⎰ (B)01()()2aF a f x dx -=-⎰(C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=-3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ).(A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 44.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 25.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).(A)连续型随机过程 (B)连续型随机序列 (C)离散型随机过程 (D)离散型随机序列三、计算题(共6个题目，共45分) 1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从 中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？ 解：设12;A A 分为来自甲乙箱；B 为正品（1）14113()()25220P B =+=（5分） （2）11251()2/77/20P A B ⨯== （10分） 2.(5分)已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？解：110001110001000{1000}x P X e dx e +∞--≥==⎰ （4分）于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为5e - （5分）3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数数器,()N t表示在[0,]t到达计数器的粒子个数,试求：(1)()N t的均值、方差、自相关函数；(2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.解：()4;()4;()()164min{,}EN t t DN t t EN s N t st s t===+（各一分，共三分）（2）平均间隔为1/4分钟（5分）4.(5分)设总体2~(,)X Nμσ的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求μ的置信度为0.95的置信区间(写出过程).解：由题知~(0,1)N（2分）于是由0.9751.96U=知置信区间为（4.804,5.196）（5分）5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、 3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是 等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0n X n ≥表示第n个时刻质点所处的位置，初始分布为()1(0),1,2,33P X i i ===.求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵； (2){}(0)1,(1)2,(2)3P X X X ===； (3){}(2)2P X =.解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （4分）（2）原式=1133119⨯⨯=（7分） （3）原式=7111339313()27++= （10分）6.(10分)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=，其他，02)(bx a x x f ，且12=EX .求：(1)b a ,的值；(2)}1{<X P .解：由2212b axdx b a ==-⎰；23441212()baEX x dx b a ===-⎰解得a b ==（6分）（2）原式=11/2xdx = （10分）四、（12分）设随机向量(,)X Y 的概率密度为 (2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他求: (1)常数A ；(2)关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立； (3)2Z X Y =+的概率密度.解：（1）(2)01/2;2x y Ae A A +∞+∞-+==∴=⎰⎰（2分）（2）(2)2(2)00()20020()200x x y X yx y Y e x f x e dy x e y f y e dx y -+∞-+-+∞-+⎧≥==⎨<⎩⎧≥==⎨<⎩⎰⎰ （7分）显然，独立 （8分）（3）(2)210()2000()0z zx y Z x y zzZ e ze z F z edxdy z zez f z z ---++≤-⎧--≥==⎨<⎩⎧≥=⎨<⎩⎰⎰（12分）五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度22(),0,0,()0,0.xxf xxαα-⎧>>=≤⎩123,,,,nX X X X为X的简单随机样本,求：(1)未知参数α的矩估计和极大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.解：（1）23()xEX dx Xα+∞-===⎰ˆ2Xα∴=（5分）21211232()(,)(4)niiXn ni iL f x x eαααπα=---∑=∏=∏2211ln3ln ln(^^^niiL n Xααα==--+∑不含）23132ln/0niind L d Xααα==-+=∑ˆMLEα= (10分)（2）ˆE E X αα=== 无偏 （13分）六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数.求X 的分布律、分布函数、 数学期望和方差.解：由题知，25~(3,)X B 分布律332355{}()();;;;0,1,2,3k k kP X k C k -=== （4分） 分布函数2712581125117125001()122313x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤⎪⎩ （6分）6/5;18/25EX np DX npq ==== （10分）。
中国石油大学大学物理期末试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、（本题3分）质量为m ＝0.5 kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x ＝5t ，y =0.5t 2（SI ），从t =2 s 到t =4 s 这段时间内，外力对质点作的功为 (A) 1.5 J ．(B) 3 J ．(C) 4.5 J ．(D) -1.5 J ． ［ ］ 2、（本题3分）速率分布函数f (v )的物理意义为： (A) 具有速率v 的分子占总分子数的百分比．(B) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比． (C) 具有速率v 的分子数．(D) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数． ［ ］ 3、（本题3分）一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体．若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后(A) 温度不变，熵增加． (B) 温度升高，熵增加．(C) 温度降低，熵增加． (D) 温度不变，熵不变． ［ ］ 4、（本题3分）根据热力学第二定律可知： (A) 功可以全部转换为热，但热不能全部转换为功． (B) 热可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体．(C) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程．(D) 一切宏观的自发过程都是不可逆的． ［ ］ 5、（本题3分）一平面余弦波在t = 0时刻的波形曲线如图所示，则O 点的振动初相位ϕ?为：(A) 0． (B)π21．(C) ? ． (D) π23（或π-21）．[ ］本大题满分30分本大题得分6、（本题3分）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是(A) 动能为零，势能最大．(B) 动能为零，势能为零．(C) 动能最大，势能最大．(D) 动能最大，势能为零．［］7、（本题3分）一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s）(A) 810 Hz．(B) 699 Hz．(C) 805 Hz．(D) 695 Hz．［］8、（本题3分）在双缝干涉实验中，入射光的波长为?，用玻璃片遮住双缝中的一个缝，若玻璃片中光程比相同厚度的空气的光程大2.5 ?，则屏上原来的明纹处(A) 仍为明条纹．(B) 变为暗条纹．(C) 既非明纹也非暗纹．(D) 无法确定是明纹，还是暗纹．［］9、（本题3分）一束自然光自空气射向一块平板玻璃(如图)，设入射角等于布儒斯特角i0，则在界面2的反射光(A) 是自然光．(B) 是线偏振光且光矢量的振动方向垂直于入射面．(C) 是线偏振光且光矢量的振动方向平行于入射面．(D) 是部分偏振光．［］10、（本题3分）一束光是自然光和线偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片．若以此入射光束为轴旋转偏振片，测得透射光强度最大值是最小值的5倍，那么入射光束中自然光与线偏振光的光强比值为(A) 1 / 2．(B) 1 / 3．(C) 1 / 4．(D) 1 / 5．［］二、简单计算与问答题（共6小题，每小题5分，共30分）1、（本题5分）人造地球卫星绕地球中心做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其它星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？ 2、（本题5分）一长为L ，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度0=x /L λλ．0λ为常量，x 从轻端算起，求其质心的位置． 3、（本题5分）理想气体微观结构模型的主要内容是什么？ 4、（本题5分）两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：21140010cos (244)3y .t x -=⨯π- (SI)22140010cos (244)3y .t x -=⨯π+ (SI)求： (1) 两波的频率、波长、波速； (2) 两波叠加后的节点位置． 5、（本题5分）在单缝衍射图样中，离中心明条纹越远的明条纹亮度越小，试用半波带法说明． 6、（本题5分）波长为λ的单色光垂直照射到折射率为n 2的劈形膜上，如图所示，图中n 1＜n 2＜n 3，观察反射光形成的干涉条纹．(1) 从劈形膜顶部O 开始向右数起，第五条暗纹中心所对应的薄膜厚度e 是多少？ (2) 相邻的两明纹所对应的薄膜厚度之差是多少？三．计算题（共4小题，每小题10分，共40分） 1、（本题10分）一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O 转动．棒的质量为m = 1.5 kg ，长度为l = 1.0 m ，对轴的转动惯量为J = 213ml ．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m ?= 0.020 kg ，速率为v = 400 m ·s -1．求：(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度ω有多大？(2) 若棒转动时受到大小为M r = 4.0 N ·m 的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度θ？ 2、（本题10分）一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A →B 和C →D 是等压过程，B →C 和D →A 是绝热过程．已知：T C ＝ 300 K ，T B ＝ 400 K ．求：此循环的效率．3、（本题10分）一简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长? = 4 m ， 周期T = 4 s ，已知x = 0处质点的振动曲线如图所示.(1) 写出x = 0处质点的振动方程； (2) 写出波的表达式；(3) 画出t = 1 s 时刻的波形曲线． 4、（本题10分）设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（?=589 nm ）的光谱线． (1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次k m 是多少？ (2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次mk ' 是多少？ (1nm=10?9m) 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B2、B3、A4、D5、D6、C7、B8、B9、B 10、A二、简单计算与问答题（共6小题，每小题5分，共30分）1、答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力──地球引力的作用． 2分 人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零． 3分 2、解：0d d d xm x x L λλ==2分 d M m =⎰00d L x x L λ=⎰012L λ= 1分d cx m x M=⎰2d Lx xLMλ=⎰23L = 2分 3、答：(1) 气体分子的线度与气体分子间的平均距离相比可忽略不计． 2分 (2) 分子之间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞都是完全弹性碰撞． 1分 (3) 气体分子之间的平均距离相当大，所以除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力略去不计．2分4、解：(1) 与波动的标准表达式)/(2cos λνx t A y -π= 对比可得：? = 4 Hz ， ? = 1.50 m ， 1分本小题满分10分 本小题得分本小题满分10分 本小题得分波速 u = ?? = 6.00 m/s 1分(2) 节点位置 )21(3/4π+π±=πn x3142x (n )=±+m , n = 0，1，2，3, … 3分 5、答：除中央明纹(零级)外，其他明纹的衍射方向对应着奇数个半波带(一级对应三个，二级对应五个，......)，级数越大，则单缝处的波阵面可以分成的半波带数目越多．其中偶数个半波带的作用两两相消之后，剩下的光振动未相消的一个半波带的面积就越小，由它决定的该明条纹的亮度也就越小． 5分 6、解：∵ n 1＜n 2＜n 3， 二反射光之间没有附加相位差?，光程差为? = 2n 2 e第五条暗纹中心对应的薄膜厚度为e 5，2n 2 e = (2k - 1)??/ 2 k = 5()22251494e /n /n λλ=⨯-= 3分（或 2n 2 e = (2k +1)??/ 2 k = 4 ()2224+1494e /n /n λλ=⨯= ）明纹的条件是 2n 2 e k = k ?相邻二明纹所对应的膜厚度之差 ?e = e k+1－e k = ? / (2n 2) 2分 三、计算题（共4小题，每小题10分，共40分） 1、（本题10分） 解：(1) 角动量守恒：ω⎪⎭⎫⎝⎛'+='2231l m ml l m v 2分∴ l m m m ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=31vω＝15.4 rad ·s -1 2分(2) －M r ＝(231ml ＋2l m ')? 2分0－??2＝2?? 2分∴ rM l m m 23122ωθ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=＝15.4 rad 2分2、（本题10分） 解：121Q Q -=η Q 1 = ? C p (T B －T A ) , Q 2 = ? C p (T C －T D ))/1()/1(12B A B C D C A B D C T T T T T T T T T T Q Q --=--= 4分 根据绝热过程方程得到：γγγγ----=D D AA T p T p 11， γγγγ----=C CB BT p T p 11 ∵ p A = p B , p C = p D ,∴ T A / T B = T D / T C 4分故 %251112=-=-=BC T T Q Q η 2分 3、（本题10分） 解：(1))3121cos(10220π+π⨯=-t y (SI) 3分(2)]31)4141(2cos[1022π+-π⨯=-x t y (SI) 2分(3) t = 1 s 时，波形表达式： )6521cos(1022π-π⨯=-x y (SI)故有如图的曲线． 3分4、（本题10分）解：光栅常数d=2×10-6m 1分(1) 垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为k m ，则据光栅方程有d sin ??= k m ?∵ sin ??≤１ ∴ k m ? / d ≤1 ， ∴ k m ≤d / ?=3.39∵ k m 为整数,有 k m =3 4分(2) 斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为mk '，则据斜入射时的光栅方程有 ()λθmk d '='+sin 30sin ο ∵ sin ?＇≤1 ∴ 5.1/≤'d k mλ ∴λ/5.1d k m ≤'=5.09∵ mk '为整数，有 m k '=5 5分。
中国石油大学高等数学期末试题
A卷2011—2012学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷答案专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年月日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。
一．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 1．，，若与垂直，则=.2．设，则3．设由方程所确定，则4．设，而，其中，则______________.5．已知是长方形,,,则=2.6．设曲线为圆周,则=二．选择题（共4小题，每小题3分，共计12分） 1．下列级数中，绝对收敛的级数是（ C ）.(A)(B) (C) (D)2．设是正项级数，则下列结论中错误的是（D ）.(A) 若收敛，则也收敛 (B) 若收敛，则(C) 若收敛，则部分和有界 (D) 若收敛,则3．设曲线型构件的密度函数为,则构件对ｚ轴的转动惯量为 ( B ).(A)(B)(C)(D)4．设有直线L ：及平面，则直线L （B ）.(A) 平行于平面 (B) 与平面的夹角为 (C) 与平面垂直 (D) 与平面的夹角为)5,4,1(=a )2,1,1(=b b a λ+b a λ-λ7±)ln()1)(1(arctan y x y x xy z +--+==)1,1(|dz )(41dy dx +),(y x z 0=++xy ze yz xe =∂∂y z x ye y xe z +--()1(0)f x x x π=+≤≤01()cos ,2n n a s x a nx x ∞==+-∞<<+∞∑02()cos n a f x nxdx ππ=⎰()2s π-=12π+D a x b ≤≤01y ≤≤()1D yf x dxdy =⎰⎰⎰badx x f )(C222R y x =+ds x y x C ⎰+）—（3223R 2π∑∞=+-1)1()1(n nnn n ∑∞=--11)1(n n n ∑∞=-1)12(n nn∑∞=11n n∑∞=1n na∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=1n nalim =∞→n n a ∑∞=1n nan S ∑∞=1n na 1lim 1<=+∞→ρnn n a a Γ),,(z y x ρ⎰Γdsz y x ),,(ρdsz y x y x ⎰Γ+),,()(22ρ⎰Γdsz z y x 2),,(ρ⎰Γzdz z y x ),,(ρ⎩⎨⎧=+=-+08-205z x y x 03-2:=++∏z y x ∏∏6π∏∏3π三．解答题（共8小题，每小题8分，共计64分）1． 计算二重积分其中积分区域D 为区域.解： 作极坐标变换：，有------3分==------5分2．设为曲面在点(1,1,1)处指向外側的法向量，求 （1）函数在点(1,1,1)的梯度；（2）函数在点处沿方向的方向导数；解：=------1分------1分 ------1分 ------1分（1）函数在点(1,1,1)的梯度------2分(2)函数在点处沿方向的方向导数------2分.)(dxdy y x I D ⎰⎰-=}0,0),({222≥≥≤+=y x R y x y x D ，θθsin ,cos r y r x ===-=⎰⎰dxdy y x I D)(⎰⎰-20)sin cos (πθθθrdrr r d R⎰⎰-2020)sin (cos πθθθdrr d R0n 632:222=++∑z y x P z y x e u xy 2)ln(22+++=P z y x e u xy 2)ln(22+++=P n n ）（2,6,4141cos ,143cos ,142cos ===γβα1-e |2|1,1,12221,1,1+=++-=∂∂）（）（y x x x y e x u xy1e |211,1,122+=++=∂∂）（y x y x e y u x y1|1|1,1,11,1,1==∂∂）（）（z z u z y x e u xy 2)ln(22+++=P )1,1,1(++-=e e gradu z y x e u xy 2)ln(22+++=P n 1461131e -2141|n 1,1,1+=++++=∂∂e e u ））（（（）（3．计算三次积分的值.解：利用球面坐标系，积分化为--------4分----4分或利用柱面坐标系------4----4分4．设有幂级数，（1）求该幂级数的收敛半径 （２）求该幂级数的收敛域是 （３）求该幂级数的和解： (1) ==1收敛半径R=1 ------2分(2) 由于，收敛，所以收敛域为[-1,1]. ------2分(3)------3分由于级数在x=-1,x=1处收敛，且------1分12I dx dz=⎰222240cos sin I d d r drππθϕϕϕ=⋅⎰⎰222400cos sin 2d r dr ππϕϕϕ=⋅⋅⎰115π=122rI d rdr dzπθ=⎰⎰102r π=⎰115π=∑∞=++11)1(n n n n x nn n a a 1lim+∞→=ρ)2)(1()1(lim+++∞→n n n n n ∑∞=++-11)1()1(n n n n ∑∞=+1)1(1n n n ∑∞=++=11)1()(n n n n x x S ∑∞=++-=11))1(11n n x n n （∑∑∞=∞=+++-=1111)1(n n n n n x n x ∑∑∞=∞=++-=111)1(n n n n n x n x x ∑∑⎰⎰∞=∞=--=111n n xnxn dx x dx x x dxx dx xx x n n x n n ⎰∑⎰∑∞=∞=--=0111dx x x dx x x xx⎰⎰---=00111)1,1()1ln()1(-∈+--=x xx x =+---→x x x x )1ln()1(lim 11)1(1)1ln(lim 1=+---→x x x x ⎩⎨⎧=<≤-+--=∴1111)1ln()1()(x x xx x x S5．设∑ 为曲面 上侧为曲面正侧,计算解：法1：补辅助面，下侧为正侧， = ------1分------1分== ------1分=+ ------2分=+ =+------1分 =-----2分 法2：合一投影，=,222y x z --=⎰⎰∑+++=2222d d d d z yx y x z z y x I 0:1=∑z 2:),(22≤+∈y x D y x y x ⎰⎰∑+++=2222d d d d z y x yx z z y x I 2d d d d 2y x z z y x +⎰⎰∑=I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11⎰⎰⎰Ω+=z y x z d d d )21(21⎰⎰∑-12121⎰⎰⎰Ω+V z d )21(21⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+V z dV d π232⎰πθ20d ⎰20d πϕ⎰203sin cos dr r ϕϕπ232drr d ⎰⎰2320sin cos 2πϕϕϕππ232=⋅⋅1212ππ232π+⎰⎰∑-10)(21=-⎰⎰∑dxdy z =I π232π+,222y x z --=∑：2:22≤+y x D xy ,,222y x x z x ---='2d d d d I 2y x z z y x +=⎰⎰∑dxdy y x x x ))2()z ((2122D --+'-=⎰⎰dxdy y x y x x ))2(2(2122222D --+--=⎰⎰π232π+6.设有函数，问(1) 函数在点是否连续？说明理由.(2) 求函数 对的偏导函数解：(1) 取 y=kx,则函数极限与k 有关，极限不存在，由函数连续性定义， 函数在(0,0)点不连续. ------3分(2) 时，------5分7.设有力场， 求变力沿曲线L ：从(1,0)到(0,1)的一段所做的功.解： 功 ,------2分，故积分路径无关 ------2分= ------4分8．求函数在由直线及 坐标轴所围成的有界闭域D 上的最大值、最小值.解：令 =0=0，得驻点（0,0），（1,2）-----3⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f ),(y x f )0,0(),(y x f x ),(y x f x '=→),(lim)0,0(),(y x f y x 222201)1(lim k kx k kx x +=+→)0,0(),(≠y x 2222222222)()()()2()(),(y x x y y y x x xy y x y y x f x +-=+-+='0)0(00lim )0,0()0,(lim )0,0(200=∆+∆-∆=∆-∆='→∆→∆x x x x f x f f x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-='∴)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222y x y x y x x y y y x f x j x y i y y x F )12()1(),(2+++=21x y -=⎰+++=L dyx y dx y )12()1(w 2)12(,12+=+=x y Q y P x Q y y P ∂∂==∂∂2=w ⎰⎰+01132ydy dx 21-)4(),(2y x xy y x f --=6=+y x ---=')4(),(2y x y y x f x 2xy )24(2y x y --=)328(),(y x xy y x f y --='分在边界上，； 在边界上，在边界上，令=0，解得驻点 -----3分， .. 故，函数的极大值也是最大值是4，最小值是-64. ------2分四．证明题（本题6分）设且连续，试证， 其中积分区域D=证：因为积分区域D 关于直线对称，所以------1分于是------2分------3分)60(0≤≤=y x 0),(=y x f )60(0≤≤=x y 0),(=y x f 6=+y x 2)6(2)6,(x x x x f z --=-=)60(≤≤x )2)(6(6--=x x dx dz6,2==x x 64)4(22)4,2(|22-=⨯-===f z x 0)0,6(|6===f z x 4)2,1(=f 0)0,0(=f ,0)(>x f 21)()()(D=+⎰⎰dxdy y f x f x f {}21,21|),(≤≤≤≤y x y x x y =dxdyx f y f y f dxdy y f x f x f ⎰⎰⎰⎰+=+D D)()()()()()(）（dxdy x f y f y f dxdy y f x f x f dxdy y f x f x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+D D D)()()()()()(21)()()(dxdy x f y f y f y f x f x f ）（⎰⎰+++=D )()()()()()(2121121D==⎰⎰dxdy。
2010-2011年--中国石油大学(北京)--石油地质基础--期末试卷A含详细答案
2010-2011年--中国石油大学(北京)--石油地质基础--期末试卷A含详细答案中国石油大学（北京）2010—2011学年第二学期《渗流力学》期末考试试卷A（闭卷考试）班级：姓名：学号：分数：题号一二三四总分得分(试题和试卷一同交回)一、名词解释（每题2分，共20分）1、矿物2、胶结物3、交代作用4、沃尔索相律5、标准化石二、填空题（每空0.5分，共计20分）1、碎屑岩胶结类型有、、、。
2、与地质时代单位代、纪、世对应的地层单位是、、。
3、生储盖组合类型、、、。
4、中生代形成的地层有。
（1.5分）5、在矿物的摩氏硬度计中，硬度等级为3，5，7的矿物名称分别是、和。
6、下列沉积特征代表何种相标志？大型槽状交错层理；煤层；低角度交错层理；海绿石；黄铁矿。
7、岩石变形阶段有、、。
8、促使油气运移的动力、、、、。
9、大陆边缘包括、、。
10、根据碎屑颗粒大小可将碎屑岩分为、、三大类。
根据岩石的层理厚度可将粘土岩分为、两大类。
根据岩石的矿物组成成分，可将碳酸盐岩分为、两大类。
三、选择题（带“*”者有2至3个正确答案，其余各题只有一个正确答案。
每小题1分，共计18分）1、大陆架是指水体深度的海域。
A．小于200m B．200~1500m C．1500~3500m D．大于3500m2、下列说法中，正确的是A．莫霍界面是岩石圈和地幔的界线；B．软流圈的物质是流体状态；C．古登堡界面的深度是984km；D．地球软流层之上的固体部分为岩石圈。
3、欲在某地区钻一口深度4500m井，若该地区地温梯度是3℃，年平均气温为20℃，预计井底温度为。
A．135℃；B．155℃；C．115℃；D．60℃。
4、成岩作用是指使松散的沉积物固结形成沉积岩的作用，主要有三种形式。
A．沉积作用、压实作用、胶结作用B．压实作用、胶结作用、变质作用C．沉积作用、压实作用、重结晶作用D．压实作用、胶结作用、重结晶作用5、根据岩浆岩矿物结晶系列，若某岩石中主要暗色矿物是角闪石，则主要浅色矿物是。
中国石油大学(2011-2012)电路期末试卷
2011—2012学年第1学期《电路分析》试卷专业班级姓名学号开课系室电气工程系考试日期 2012年1月8日一、填充题：在下列各题中，请将题中所要求的解答填入题干中的各横线上方内。
(本大题共7小题，总计28分)1、(本小题3分)图示电路中电阻R 吸收的功率P ＝________W2、(本小题6分)图示电路中，若两个网孔电流的绕向均为顺时针方向，应用网孔电流法求电流I 1和I 2的方程为____________________、___________________,由此可解得I 1 = ________A, I 2 =________A 。
3、(本小题4分)用叠加定理计算图示电路。
当电压源单独作用时，U =______ V; 欲使U =4 V ,则电流源I S 应为________ A 。
+-U1I S4、(本小题4分)根据负载具有的以下特点，分别求其功率因数：(1)I =5A ，U =220V ，Q =880var ，功率因数应为 ；(2)Z =500Ω，I =5A ，P =5000W ，功率因数应为 ；5、(本小题4分)如图所示理想变压器，如.200S U V ︒=∠，则.I =Ω2Ω16、(本小题3分)图示正弦交流电路，已知电流表的读数分别为A 1：5A ，A 2：20A ，A 3：25A 。
如果维持A 1的读数不变，把电源频率提高一倍，则电流表A 2的读数为 A ；电流表A 3的读数为 A ； 电流表A 的读数 A 。
7、(本小题4分)图示对称二端口网络的Z 参数为：Z 11； Z 12= ；Z 21= ；Z 22=。
二、简要计算题：请简要写出作题步骤( 本 大 题共5小题，总计52分 ) 1、(本题10分)电路如图所示,试用结点电压法求解支路电流1I .1Ω11I Ω3432、( 本题10分 )图示电路原已处于稳态，当t =0时开关闭合，试用三要素法求i t ()，u t ()，t ≥0，并画出i t ()和u t ()的波形图。
中国石油大学大物历年期末试题
0
E 4r
2
q内
b
0
v
q内 E 4r 2 0
r a
q内 Q dV Q 4r 2 d r
A Q r 2ra 2
q内
r2 Q 2 a
与r 无关。
E
Q 4 0 a 2
大学物理期末试卷（2）
一、选择题: 1、如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I，则下述各 式中哪一个是正确的？
0 r
2we
r 2 B
6、长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导
体中有等值反向均匀电流 I 通过。其间充满磁导率为 μ 的
均匀磁介质。介质中离中心轴距离为 r 的某点处的磁场强度 I I 的大小H = ，磁感应强度的大小B = 。 2r 2r
7、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 n (1) 试判断下列结论是包含或等 SD d S qi i 1 效于哪一个麦克斯韦方程式 E d l d m / d t ( 2) L 的。将你确定的方程式用代 ( 3) 号填在相应结论后处： SB d S 0
0.226 T 300 A / m
。 。
4、已知某金属的逸出功为A，用频率为 ν1 的光照射该金属能产 生光电效应，则该金属的红限频率 ν0 =
A/ h
且遏止电压
Ua h( 1 0 ) / e
5、根据量子论，氢原子核外电子的状态可由四个量子数来确定， 其中主量子数n可取的值为 1、2、3、…. ，它可决定 氢原子能量
n H d l Ii d e / d t L i 1
( 4)
1）变化的磁场一定伴随有电场：
2011-2012年--中国石油大学(北京)--采油工程--期末试卷含详细答案
中国石油大学（北京）2011—2012学年第二学期《采油工程》期末考试试卷（闭卷考试）班级：姓名：学号：分数：(试题和试卷一同交回)一、填空题（共20分，未标注每小题1分）1、油井流入动态曲线是指在一定地层压力下，油井产量与井底流压的关系曲线。
2、持液率是描述气液两相管流的重要参数，存在滑脱时的当地持液率大于无滑脱持液率，即滑脱使得气液混合物密度增大，从而造成重力损失增加。
3、气举阀可分为油压操作阀和套压操作阀。
对于套压操作气举阀，油管效应系数越大，打开阀所需的套压越小，而关闭阀所需的套压不变。
4、游梁式抽油机的机械平衡方式分为游动平衡、曲柄平衡和复合平衡。
（2分）5、扭矩因素的物理含义是单位悬点载荷在曲柄轴上产生的扭矩，其量纲为长度（单位m）。
6、抽油机示功图表示悬点载荷与悬点位移之间的关系曲线。
7、无杆泵主要有ESP、HP、JP、PCP，它与有杆泵采油的主要区别是不需要抽油杆传递地面动力，而是用电缆或高压液体将地面能量传输到井下，带动井下机组把原油抽至地面。
8、水质指标必须与实际地层相适应，水质标准不同，则处理工艺不同。
一般的水质处理措施有沉淀、过滤、杀菌、除油、脱气和曝晒。
9、吸水剖面对注水井配注和调剖都十分重要，常用同位素载体法方法进行测定。
吸水剖面可形象地反映出注水井不同吸水层吸水能力的大小。
10、节点系统分析方法中，节点类型有普通节点和函数节点。
11、获得地应力的主要方法有矿场测量或水力压裂法、实验室分析（ASR或DSCR）、测井曲线解释和有限元模拟法等。
12、水基冻胶压裂液配方组成包括稠化剂、交联剂法、破胶剂、表面活性剂或粘土稳定剂、破乳剂或PH调节剂等化学剂。
(2分)13、支撑剂在裂缝中的沉降速度由自由沉降速度经浓度校正、壁面校正和剪切校正获得。
14、实验确定的酸－岩反应动力学参数包括_反应速度常数、反应级数、反应活化能等。
15、酸化按工艺不同分为酸洗、基质酸化、酸压三种。
16、砂岩深部酸化工艺主要包括氟硼酸酸化和地下自生HF酸化等。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(3) (1)
A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。
一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %； 第 四 章 不定积分 15 %； 第 五 章 定积分及其应用 26 % . 第 六 章 常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分） 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分） 二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分 ）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=， 故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分） 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分） 所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名A 卷学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
2011春季完井工程试卷A及答案
中国石油大学（北京）2011期末试卷一、名词解释（每小题3分，共18分）1.水侵2.负压射孔3.射孔孔眼参数4.地应力5.气举排液6.完井二、判断正误（每小题1分，共15分，正确的打√，错误的打×）1.表层套管柱设计时主要考虑抗拉载荷（）2.地层流体高于临界流速时容易形成砂桥（）3.水泥面以下套管强度计算时应考虑双向应力影响（）4.通常用套管的抗滑扣力表示套管的抗拉强度（）5.砾石充填完井法是国内外最为广泛的一种完井方法（）6.地层流体高于临界流速时容易形成砂桥（）7.偏心配水器相对于常规配水器可以增加内通孔直径（）8.在加重钻井液中，无枪身射孔器比有枪身射孔器更容易下井（）9.套管轴向拉力一般井底最大（）10.油管头上法兰以上的所有装备称为采油树（）11.砾石充填完井法是国内外最为广泛的一种完井方法（）12.偏心配水器相对于常规配水器可以增加内通孔直径（）13.在加重钻井液中，无枪身射孔器比有枪身射孔器更容易下井（）14.套管轴向拉力一般井底最大（）15.油管头上法兰以上的所有装备称为采油树（）三、不定项选择题（每题3分，共24分）1.引起套管腐蚀的主要介质有：A.气体或液体中的硫化氢B.溶解氧C.二氧化碳D.地层水2.注水泥目的：A.固定套管B.稳定井壁C.封隔井内的油气水层D.保护油气层3.对油井水泥的基本要求：A.配浆性好，在规定时间内保持流动性。
B.在井下温度及压力下性能稳定,在规定时间内凝固并达到一定强度。
C.能和外加剂相配合，调节各种性能。
D.水泥石具有很低的渗透性。
4.对水泥强度，尤其是早期强度有较大影响的是：A.硅酸三钙B.硅酸二钙C.铝酸三钙D.铁铝酸四钙5.常见的套管损坏形态有：A.套管变形B.套管破裂C.套管错断D.腐蚀穿孔E.套管密封性破坏6.井深结构设计基础数据中有那几个压力剖面？A.孔隙压力剖面B.破裂压力剖面C.坍塌压力剖面D.漏失压力剖面7.下列属于人为因素造成孔隙出砂的是A.地层压降及生产压差对出砂的影响B.射孔孔道填充物对出砂的影响C.地层伤害的影响D.颗粒胶结性质8.高能气体压裂的作用原理包括（）A.机械作用B.水力振荡C.高温作用D.化学作用四、简答（每小题5分，共30分）1.目前国内外常用的完井方法2. 井身结构设计原则3. 完井的四类井底结构类型4. 射孔参数主要包括哪些？5. 射孔时枪身的主要作用6. 正循环洗井和反循环洗井的主要区别五、计算题（第1题6分，第2题7分）1. 某井用177.8mm，P-110钢级、壁厚9.0mm的套管，其额定抗外挤强度p c＝23000KPa，管体抗拉屈服强度为3200KN，其下部悬挂浮重为270KN的套管，试计算p cc。
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xyf x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 22K ； (B) Ky ； (C) ()ϕ+Ky x ； (D) ()ϕ+Kx y .8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则下列结论正确的是（ A ）. (A)()()0Df yg x dxdy =⎰⎰； (B) ()()0Df xg y dxdy =⎰⎰；(C)[()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰； (D) [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ∆的面积为（ A ）(A)92； (B) 73； (C) 29； (D)37. 10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ).(A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz edx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-； 法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.15.（本题满分8分）求幂级数(21)nn n x∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，0(21)nn n x∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x ，10122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx，则10011(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰xxn nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x 即 2222()(1)∞===-∑nn x nx xA x x ， 0(21)∞=∴+∑n n n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x x x x x x .16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分. 解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS （∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS 05∑=+⎰⎰dS 2225+≤=⎰⎰x ydxdy 25π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI x xy dx x y dy ，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q Px x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径， 其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,0:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰AC x xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy 18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy ，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧. 解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）22242032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy 19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c， 切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即 1202020=++cz z b y y a x x ， 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b c V x y z =⋅，令 )1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y a x c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，30c z =，故切点坐标为)3,3,3(c b a . 20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]b b aaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则 22[()][()]b baaf x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D 关于y x =对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰ 1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰ ()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=;（C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）. 2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）. （A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域:11,0D x y -≤≤≤≤，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A）122()dx f x y dy +⎰⎰; （B）1220()dy f x y dx +⎰⎰;（C ）12()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr ⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n ∞=--∑（ B ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n ∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n na a +→∞=，级数211n n n a x∞-=∑的收敛半径为.25. 设221()x y f x e dy -=⎰，则1101()(1).4xf x dx e -=-⎰ 6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，z f =，求2z z x y x y∂∂+∂∂. 解题过程是：令u =，则()z f u x ∂'=∂，()z f u y ∂'=∂，20.z zx y x y∂∂∴+=∂∂ 2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxy dxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥. 解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，2201Dxy dxdy x y ∴=++⎰⎰， 故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221D dxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ 3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz.解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，z F x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y z M n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x z F z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y z F zx y F '∂=-=-'∂，00(1,2)5.M M z zdzdx dy dx dy x y∂∂∴=+=--∂∂4. （本小题6分） 计算三重积分Ω，其中Ω是由柱面y =及0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，Ω14(cos sin )2r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ 5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332rd rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-= 6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数. 解题过程是：因为1lim n n n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-， 211()n n n S x x n ∞=+=∑1nn nx ∞==∑1n n x n ∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dx n ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈-- 7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS ∑=+⎰⎰，∑1z ≤≤的边界.解题过程是：设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面1z z =≤≤，2∑为221,1z x y =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.1dS ==，2dS dxdy =，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()x y dS ∑+⎰⎰22(D x y =+⎰⎰22()Dx y dxdy ++⎰⎰221)()Dx y dxdy =+⎰⎰21301)1).2d r dr ππθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y +-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x y f xy Q x y y-=， ;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂ P Qy x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]c d a c cbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则13.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x =，求2.z zxy z x y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序：21101(,)(,)(,).y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nn n n x ∞=∑的收敛域为：(.6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑， 则其系数32.3b π= 二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直. 2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y -=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑ （ B ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f '. (7分)解：令42244200,lim (,)lim 1y y ky kx ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同，00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--'===∆∆，00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→+∆--'===∆∆.2.计算I Ω=其中Ω是由上半球面z =和锥面z =所围成的立体 . (7分)解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=，:02,0,0.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤I Ω=2340sin (2).d d d ππθϕϕρπ==⎰⎰⎰3.求锥面z 被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面∑：,)xy z x y D =∈=22{2}.x y x +≤x z '=，y z '=.xyxyD D S dS dxdy ∑∴====⎰⎰⎰⎰ 4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221x y +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式， 222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdz θ=， 2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰ 5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim0,n n n n n nn→∞→∞⋅==312ln n n n∞=∴∑收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分） 解：设级数的和函数为()S x ，则121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞ 即111111()sin sin sin cos cos sin 2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑ 2201(1)sin (1)2(2)!2n n n n x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑ 四、设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数， 证明：()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式，()()()L D xdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称） 1(())()D x dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D D x dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()L xdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ⎰⎰110 ),(=)1cos 1(21- .3．设函数21cos ,0()1,0xx f x x x x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= 212π+ .4．设曲线C 为圆周222R y x=+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于 （ B ）.(A)432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A ） 若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛 （B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1n n a 收敛，则1lim1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求yx u∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂ 221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= 2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(510=T52cos ,51cos ==βα 13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yz y x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdy xy dxdy y xdxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()( 22300d r dr πθ=+⎰⎰ = π84. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ： 质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk=dr r r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰76kπ=. 法2：22:1,:1D x y z ⎧+≤⎪Ω≤≤+(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydz ρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰211076rkk d dr ππθ==⎰⎰⎰. 法3：122217||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算曲线积分⎰+++-=Cy x dy x y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dy x y dx y x I 1)()( dxdy y Px Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x . 6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zxxydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222 .154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 .解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x nn x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x ==----⎰0=x 时，0)0(=S ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D x ydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y xy x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=D D y xx y dxdy ee dxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy e e 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy ee dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y x x y 221(21） 五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析
2013 —2014学年第一学期《高等数学(2-1 )》期末考试A卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题，每小题3分，共计1 5分)判断下列命题是否正确？在题后的括号内打V'或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明1•若f (x)在(a , )无界，则Jim f (x) . ( ) ----------- ( 1 分)例如：f (x) xsin x，在(1 , )无界，但lim xsinx . ---------------- ( 2 分)x2.若f (x)在x0点连续，则f (x)在x0点必可导• () ----------- ( 1分)例如：f (x) X ,在x 0点连续，但f (x) x在x 0不可导•------------------------------ ( 2分)3•若lim x n y n 0 ,则lim x n 0或lim y n 0. ( ) ----------- ( 1 分) n n n例如：X n：1, 0,1,0, y n： 0,1, 0,1,有lim X n y n 0，但lim x. , lim y.都不存在. -------------------------------------- (2 n n n分)4.若f (x0) 0，则f (x)在x 0点必取得极值• ( ) ---------------- ( 1分)3 3例如：f (x) x , f (0) 0，但f(x) x在x 0点没有极值• -------------------- ( 2分) 5.若f(x)在［a , b ］有界，则f(x)在［a , b ］必可积•( ) ------------- ( 1分)例如：D(x) ，在［0,1］有界，但D(x)在［0,1 ］不可积•( 2分) 0,当x为无理数•二.(共3小题，每小题7分，共计2 1分)1.指出函数f (x) x cot x的间断点，并判断其类型•1,当x为有理数，x k , k 0, 1, 2,1xcos xk 0,即x 0时，兀心）加曲x叫雋X0为函数f（x） x cotx的第一类可去间断点;1, 2, 时,iim f (x)x k iim xcotx k xcosxiim x k sin x(k 1, 2, ）为函数f(x) cotx 的第二类无穷间断点2 •求极限iimx xo(1x dt解iimx x(1t2) x dt iimxx(1t2)~2 xx ee t dt(3 分)iim x(1(2xx ex )ex2)iimx(1 分)2x x3 •设方程x y y x （x 0, y 0）确定二阶可导函数y y(x) 求竺dx解1 对x. y 仮两边取对数，得丄inyx 丄inx ,yyin xln x等式两边关于x求导, 得：(1 in y)dydx inind2y d dy dx2 dx dx 1-(1 in y) (1xinx)dydx(1 iny)2y(1 In y)2 x(1 In x)2xy(1 In y)3.-(1 分)三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）(2分)x f (x) dx x df(x)x f(x) f (x) dx22 In x In x C. ---------------------------------------3 .求定积分4 (x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx .74(x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx 4 x 3sin x 4dx 4 cos 72x dx ------1 .求不定积分sin xcos 3 x 1 sin 2 xdxsin xcos 3 x解 1 sin 2 xdx sin x(1 sin 2 x) 1 sin 2 xd (sin x)(令 sinxt(1学dt=t 22 •设 Inln(1 t 2)是函数 (ln 2x)f (x)dx 1 . 2 sin x 2ln(1 sin 2 x) C .(2 分)(2 分)(3 分)f （x ）的一个原函数,f (x) dx .2I nxf(x)，In 20 4 cos 7 2x dx -------------------------------------4----（2 分）2 4 cos 72x dx ---------------------------------------------（2 分）（ 令2x t）2 cos 7t dt ----------------------------------------------6!! 7!! .----- （1 分）四•（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1 .已知一个长方形的长I 以2cm/s 的速度增加，宽 w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y ，则 y 2 I 2 W 2 ------------------------------------- （2分）两边关于t 求导，得2y —y 2l dt dy . dl 即 y I w dt dt分）dl d^v : 22-已知 2,3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得dtdt对角线的增加率： 史 3 （ cm/s ）. ------------------------------------------------dtdl dw2w -,dt dtdwdt —（1）------ （2（1分）（2分）22•物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v(t) d x 2ctdtf(x) k4c2t2 4c2t24cx ,a24cxdx = 2cao五.(本题10分)已知f(x) 5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为( ).f (x) 1 笃x4，令f (x) 0得驻点x 2. ---------------------------------------------------------——(1 分)f (x) 豎三，令f (X) 0,得可能拐点的横坐标：x 0. -------- ( 1 分)(1 x )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：f(x)5arcta n xa 1limlim (1)1,xxxxb 1lim [f(X) ^x]lim (5 xx <2f (x)5 arcta n xa 2 limlim (1)1,x xxxb 2lim [f (x)a ?x]lim ( 5 arcta nx)-xx2渐近线为：y x —. ----------------------------------------------------- （ 2 2分）无穷远处的旋转体的体积解:-（4 分）七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle ）中值定理，并用此定理证明:六•（共2小题，每小题 7分，共计14分）1•试求曲线yx.xe 2 (x 0)与x 轴所夹的平面图形绕 x 轴旋转所得到的伸展到对应齐次方程的通解为:C 1 eC ?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 Ax B 代入原方程可得，A 故所要求的通解为yGe 4x C 2ex 11 2 811 8V ° y 2dx° xe xdx ---------------------------------------------(3 分)(x 1)e limx2.求微分方程ylim (x1)e5y 4y 3 2x 的通解•方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根，其中a「a2, a n为常数•罗尔(Rolle)中值定理：设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a) f(b) (a,b) ，使f ( ) 0. --------------------------------------------- ( 3 分)a2 sin 2x a n sin nx令f (x) a-i sin x ，---------------------------2 n-----(2分)在［0,］上连续，在(0,)内可导，且f (x) a1 cosx a2cos2x a n cosnx f (0) f( ) 0,由罗尔中值定理，(0 ,),使得f ( ) a1 cos a2 cos2 a n cos n 0,即方程a i cosx a2 cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根• 一( 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %第——-一早一元函数的导数与微分16 %第二早微分中值定理与导数的应用20 % 第四章不定积分14 % ，则得方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0第五章定积分及其应用第六章常微分方程2014 —2015学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章函数与极限第二章一元函数的导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章常微分方程16 %；16 %；14%；--------------------------------------- (2 分)例：y 3 X 在(0,0)点处有切线X 0，但y 3 X 在X 0处不可导(2 分)3 .设函数f (x)在［a , b ］上连续且下凸，在(a , b )内二阶可导，贝Ux (a,b)有 f (x)0 •(.(共3小题，每小题4分，共计12分)判断下列命题是否正确 ' 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 •11 .极限lim sin 不存在•( (2 分) 证设f(X)1 sin ，取 x n1,2,)lim x n 0,nlim y nn0,但limf (X n ) lim sin 1lim sin2n0 ,n nX n nlimf (y n )lim sin 1lim sin(2n-)1,nny nn2海涅疋理， 1不x 0X(2 分)2 .若曲线y f (X)在(X o , f (X o ))点处存在切线， 则f(X)在X o 点必可导.2n2由4x(2 分)例：f(x) x 4在［2,3］上连续且下凸，但 f (0) 0 .----------------------------------------- (2 分)(共3小题，每小题6分，共计18分) 1.求极限lim ( n 1) sin(n!) 解 sin(n!) 1, ------------------------------------------ 分) 1nim(n n 1)0,(31 lim ( n 1) sin(n !) 0 .n < n (3分)2•求极限limxx0(1 t )e xdtx 4 t xx4 tn (1 t4)e tx dt(1 t 4)e t dt解 lim4lim — 厂 ------------ — ---------------------------- (3xx xx e分)-(3 分)(3 分)arcta n xlimx(1 x 4)e x(4x 3 x 4)e x limx4x 3n~2~nn21 2n 、~22 ).n nn )n -2~n nn 2123 •求极限lim (n解 lim ( nlin 11222n 2三.（共3小题，每小题6分，共计18分）11 e‘1 •求函数f x -的间断点并判断其类型1 2e x解x 0 是f(x) 的间断点（3分）又lim f (x)11 e'1f(x)11 e'lim 1 ，lim lim 1 1，x 0 x 0 2 x 0 x 01 2e x 1 2e xx 0 是 f (x) 的跳跃间断点e x2 1设f(x) x0,f (x).0时, f (x)x2‘e 2x xx2(e x 1)2 xx22e xx2e 12~x(30时, f(0) lim f(x) f(0)x2e 12 xm2xe x22x(x)2e" 0,（3分）3 •设方程0.ln（Sint）确定y为x的函数，求cost t sintdx与(3分)(3 分)d 2y d dx 2 dx dy dx2 tsint dxd 丄.丄 dtsint tcostl 011 1 ldx x (t)（3分）22 .求不定积分xcos xdx .---(2 分)1 2 11-x —xsin 2x —sin 2x dx 44 4(2 分)1 cos2x dx ------------x21 x dx 1 x cos222丄 2 xxd (sin 2x) 一44 xcos 2 x dx分)dy dxy(t) x(t)t sin t四•（共3小题，每小题6分，共计18 分）21 .求不定积分 e x lnx dx .In xdxIn xe dx2e x x dx -----------------分）1 x 22 1 x2e d(x ) e C . --------------------------------------2 2(1(31 2 11-x —xsin 2x cos2x C 44 8(1 分)3 •设f （x ）在［1,1］上连续，求定积分1 {[ f (x) f ( x)]sinx .. 1 x2 } dx .(3 分)242(2分)五.（本题8分）设由曲线 y ln x 与直线x ey 0及x 轴所围平面图形为D（1）求D 的面积S ；（ 4分）（2）求D 绕直线x e 旋转所得旋转体的体积 V . （4分）{[f(x) f ( x)] sin x 1 x 2 } dx[f(x)f ( x)]sin x dx10 2■■■1x 2 dxx 2 dx（上半单位的面积）解曲线y In x与直线x ey 0的交点为（e , 1）， ------------------- （11 1e 2 0(1 y)2 dy 0(e 2 2ee y e 2y ) dye 2 0 3y)3(e 2 y 2ee y分） (1) S1o(e y ey)dy(2 分)[e yV V 21. ___________0(e ey)2dy(3 分)10(e e y )2dy -------------------------分）1 (2e 22e12e 3). -----------------(2本题满分12分六.（共2小题，每小题6分，共计12分）1.设有半径为R的半球形蓄水池中已盛满水（水I求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图，则半圆方程为x2 y2 R2 . ------------------------------分）x [0,R], 取[x,x dx]所做功的微元：dW g （R2 x2）dx x （其中g为重力加速度）g （R2x x3）dx （3分）R 2 3故 W g 0（（R x x ）dx4-gR . ---------------------------------------------------------- （24分）2 •设有质量为m的降落伞以初速度v o开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为k 0），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为v（t），则根据牛顿第二运动定律，有dv m 一dtmg kv，其中g为重力加速度， ---------------------------------------（2分）口dv dt分离变量，得mg kv m本题满分12分dv dt两端积分mg kv m1 t-ln mg kvG ，In mg kvk 丄 — t kG ，(2ktmg kv Ce m(2分)（其中C ekC 1 ,小，mg kv 0)分） 七. 由已知v （0） V 0，代入上式，得 C mg kv °,mgkktmg 、am t T )e（本题6分）特征方程为: 求微分方程y 5y 6y6x 210x5r 6 0,特征根:r i2卫 3.对 应Ge 2x C 2e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 ------- （1 分）齐3xy iAx 2为 ： （3分）C ，Bx本题满分6分 本题 得 分y 1 2Ax B ,y 1 2A ,代入原方程得, 2A 5( 2Ax B) 6 (Ax 2 Bx C ) 6x 210x26 Ax (6B 10A)x 2A5B 26C 6x 10x 2,6A 比较同次幕的系数，得 6B 2A6,10A5B10, 6C 2 .2解之得，A 1, B 0, C 0. y i x .故所要求的通解为y C1e2x C2e3x x2 . ---------- （2分）本题满分8分本题6八.（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点 （x,y ） （x 0）到解（1）过曲线L 上点（x , y ）处的切线方程为： Y y y （X x ），(2 分)令S （x ） 0 ,得S （x ）符合实际意义唯一驻点:（2）曲线L :1y2x 在点（x , y ）处的切线方程为： Y y y (X 1 211即 Y (— x )2x(Xx ），亦即Y2x X x - (0 x -)，44 2（2分）1 x 2x)，坐标原点的距离恒等于该点处的切线在（1 ）试求曲线L 的方程；轴上的截距，且L 经过点（丄，0）2（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小由题意，得 2 2x yy xy ,即..1分）ydudx / 小、令U ，则 ------- 2,(x 0)x1 u 2x2y x义鱼，（x 0）——（2x dxdu空，（x 0）x1 2 uln （u .1 u 2） ln x InC , x （u y x 2 y 2 C ，由L 经过点（丄，0 ）2故曲线L 的方程为：y ；x 2y 2 1,即1 u 2) C 将u -代入并化简，得x入1 E 1 ，令 x ， y 0，得 C -，22切线与x 轴及y 轴的交点分别为:2x,0)，2(0,x)■所求面积S （x ）2xS(x)2 21 2 1 24x (x ) 2(x) 444^(x 2 4x£(3X 24(x 0)令X 0，得切线在y 轴上的截距：Y yxy ，(x 22x )dx ， ( x 0 )<3 1即x 为S（x）在（0 ,丄）内的最小值点，故所求切线方程为：6 2Y 2 —X —丄,即Y —X 1 -------------------------------------6 36 4 3 3（2分）2015 —2016学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试卷答案及评分标准（工科类）专业班级 _____________________________姓名 _________________________________学号 _________________________________开课系室基础数学系考试日期2016年1月11日注意事项：1 .请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2 .答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3 .本试卷共八道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则作废;4.本试卷正文共 8页。
中国石油大学-工程力学期末考试
中国石油大学（北京）2010—-2011学年第1学期 《 Engineering Mechanics 》期末考试试卷/BClass: Name ： Registration No .： Score ：I. (25points) Give the answer for the following questions. 1. (3 points) For two slender columns with same length, same support condition and made of same material but different cross sections as shown in Fig.1.1, please compare their critical stresses.2. (3 points) The stress state of a point in a body is shown asFig.1.2., the equivalent stress 。
3. (3 point) The square thin plate with loads is shown as Fig. 1.3.If the maximum static friction coefficient between the plate andground is 0.5, the maximum value of force P is which =3r σFig.1.3P Fig.1.2Fig.1.1 50MPa30MPakeeps the plate in rest.A ．W 2；B ．32W ；C ．42W ；D ．22W4. (3 Points) The columns with their impact loads are shown as Fig. 1.4. The columnsare made of same steel. The upper black part of column C is made of rubber. has the maximum dynamic stress.5. (3 Points) A cantilever beam with loads is shown in Fig.1.5. Its deflection expressionin is right.Fig.1.4Fig.1.5 C6.(2 points) Mechanics of Materials deals with the abilities of solid bodies whichincluding 、Rigidity、.7.(3 points) In general, the condition of equilibrium has independentequations for a non-coplanar force system and independent equations for a coplanar force system. The condition of equilibrium has independent equations for a non-coplanar parallel force system.8.(2 points) The endurance limit of specimen which has stress concentration isthan the polished specimen that has no stress concentration. The endurance limit of polished small specimen is than the large polished specimen.9.(3 point) During reduction of a coplanar force system, the vector sum of the forces istaken as its and the vector sum of moments of forces about new action point of forces is known as its . The value of is related to the new action point.Ⅱ. (15 points)Find the deflection and the rotation angle at the free end B of the cantilever with loads as shown in Fig. 2. (Energy Method recommended)Fig.2 BC A EIⅢ. (15 points) As shown in Fig.3, the stresseson planes AB and AC of a regular trianglestress element of a point are all only shear .Let the thickness of all planes is t. (1)Determine the normal stress and shear stresson plane BC. (2) Draw the Mohr’s circle forthe point. (3) Find the principal stresses forthe point.Ⅳ. (10 points) For the beam shown as following, draw its bending moment and shear force diagrams. Indicated the . and max max V MⅤ. (10 points) A concentrated force F and a uniformly distributed load of constantintensity q are acted on a prismatic bar which is fixed on two ends. The cross section area A, the length a and elastic modulus E of the bar are known. Find the reactions atends and plot axial force diagram.Fig.5Fig.3 Fig.4VI. (10 points) For the structure show in Fig.6.,AB =BC =1 m, EK =KD , P =1732 kN, Q =1000 kN.Determine the reactions at A and E , and the force in barDC, neglecting the weights of the bars.Ⅶ (15 points) The thin-walled cylindrical pressure vessel with internal pressure p is shown in Fig.5. The two strain gauges are pasted on the surface at A in x and y directions respectively. From the test we know that strains εx = 200⨯10-6 and εy = 100⨯10-6. Let the mean vessel diameter d=200mm, thickness t=5mm, elastic modulus E=200GPa, Poisson's ratio ν = 0.3 and allowable stress σallow = 70 MPa. (1) Draw the stress element of the pointA. (2）Find the normal stresses x σandy σ, and the internal pressure p. (3) Exam thestrength with 3th strength theory.Fig.7A ●Fig.6中国石油大学（北京）2010—-2011学年第1学期 《 Engineering Mechanics 》期末考试试卷B(留学生)Class: Name ： Registration No .： Score ：2011 I. (40 Points) Give the correct answer for the following questions1. (5 Points) Mechanics of Materials deals with the abilities of solid bodies which including 、Rigidity 、 .2. (5 Points) The following figure 1.2 is a typical low-carbon steel σ-ε diagram in tension. Points a, b, c, d, e, f and g represent different aspects of mechanical behavior for the material. Please connect the label with its meaning.a ultimate stressb yield stressc elastic limite proportional limit pg percent elongation3. (5 point) During reduction of a coplanar force system, the vector sum of the forces is taken as its and the vector sum of moments of forces about new action point of forces is known as its . The value of is related to the new action point.4. (5 point) A stress cycle is shown in Fig. 1.4, the character of cycle r = , the mean stressm σ = , the amplitude of stress a σ = . Fig.1.25. (10 Points) Weight of the body is W, and pushing force is P . W=100N,P=500N. The static and kinetic sliding friction coefficients between theweight and the wall are μS =0.3, and μk =0.25 respectively. Then thefriction between the weight and the wall is____.A. 150N;B. 125N;C. 100N;D. 500N.6. (10 points) For two slender columns with same length, same support condition and made of same material but different cross sections as shown in Fig.1.6, please compare their critical stresses.Ⅱ (20 points) Find the deflection and the rotation angle at the free end B of the cantilever with loads as shown in Fig. 2. (Energy Method recommended)Fig.1.6 Fig.1.5Ⅲ (20 points) A circular shaft (d=85 mm ) with tensile load P =280 kN and torque T =10 kN-m is shown in the figure 3 . Let [ ] = 160 MPa. (a) Draw the stress element at A and label the stress values on it ；（b ）Exam the shaft with 4th strength theory.A TⅣ (20 points) For the beam shown as following, draw its bending moment and shear force diagrams. Indicated the . and max max V MFig. 2 CFig.4 Fig.3。
【免费下载】中国石油大学华东 期末试卷A64
(C) 12
(C) 0.75
2 0
1 3
a
f (x)dx
，
本页共 20 分
得 .分
(D) b a
(D) 4
(D) 0.25
.
5.维纳过程是( ). (A)连续型随机过程 (C)离散型随机过程
ห้องสมุดไป่ตู้
三、计算题(共 6 个题目，共 45 分) 1.(10 分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装 50
5．可能用到的数值 (1.645) 0.95 ， (1.96) 0.975
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
中国石油大学期末考试题(含答案)-050130信号与系统-20
《信号与系统》课程综合复习资料一、简答题1、已知信号3()sin cos 62f k k k ππ=+，判断该信号是否为周期信号，若是，请求出信号周期，并说明理由。
2、设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)1(*)()(-=k f k f k y zs ，判断该系统是否是线性的，并说明理由。
3、已知描述系统的微分方程为'()sin ()()y t ty t f t +=其中()()f t y t 为激励，为响应，试判断此系统是否为线性的？4、若信号()f t 的最高频率为20KHz ，则信号(2)f t 的最高频率为___________KHz ；若对信号(2)f t 进行抽样，则奈奎斯特频率s f 为 ____________KHz 。
5、dtt df t f t f x e t y t )()()()0()(+⋅=- 其中x(0)是初始状态，为激励)(t f 为全响应，，)(t y 试回答该系统是否是线性的？ 6、已知()1 1 , 0,1,20 , k f k else==⎧⎨⎩ ，()2 1 , 0,1,2,30 , k k f k else-==⎧⎨⎩设()()()12f k f k f k =*，求()4?f =。
7、设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)()(t f t y zs -=，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。
8、已知信号()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=8sin 4cos 2ππk k k f ，判断该信号是否为周期信号，如果是，请求其周期，并说明理由。
9、 若信号)(t f 的最高频率为20KHz ，则信号)3()2()(2t f t f t f +=的最高频率为___________KHz ；若对信号)(2t f 进行抽样，则奈奎斯特频率s f 为 ____________KHz 。
2011-2012中国石油大学物理(2-2)期末试题及其答案
2011—2012学年第一学期《大学物理（2-2）》期末试卷（信控学院）专业班级姓名学号开课系室物理与光电工程系考试日期 2012年1月7日14:30-16:301．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面整洁；3．本试卷共三道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共9页。
一、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1、（本题3分） ［ ］ 电场中任意高斯面上各点的电场强度是由： (A) 分布在高斯面内的电荷决定的。
(B) 分布在高斯面外的电荷决定的。
(C) 空间所有电荷决定的。
(D) 高斯面内电荷的代数和决定的。
2、（本题3分） ［ ］一平行板电容器充电后，与电源断开，然后再充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质。
则其电容 C 、两极板间电势差 U 12 及电场能量 W e 与介质前比较将发生如下变化： (A) 12e C U W ↑↑↑ (B) 12e C U W ↑↓↓ (C) 12e C U W ↑↑↓(D) 12e C U W ↓↓↓3、（本题3分） ［ ］ 关于电磁场的边界条件，下列说法正确的是：(A) 在没有自由电荷的电介质分界面上电位移矢量连续。
(B) 在没有自由电荷的电介质分界面上电场强度连续。
(C) 在没有传导电流的分界面上磁场强度的切向分量连续。
(D) 在没有传导电流的分界面上磁场强度的法向分量连续。
4、（本题3分） ［ ］氢原子中处于3d 量子态的电子，描述其量子态的四个量子 数（n ， l ，m l , ，m s ）可能取的值为：(A) （13112-，，，） (B) 1(101)2-，，， (C) 1(212,)2，， (D) 1(3,20,)2，5、（本题3分） ［ ］p 型半导体中杂质原子所形成的局部能级(也称受主能级)，在能带结构中应处于 (A) 满带中。
(B) 导带中。
(C) 禁带中，但接近满带顶。
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方便缩印有想法儿的留中国石油大学胜利学院期末考试试卷(精简版)一、填空题巩玉峰(^_^)∠※1、毛细管上升现象产生的原因是液体对毛细管的润湿性、曲界面两侧的压力差。
2、真实气体的液化条件是T<Tc，Psu> P A*3、理想溶液与理想稀溶液的区别在于理想稀溶液中溶质符合亨利定律，溶剂符合拉乌尔定律；理想溶液在恒温恒压下，在全部组成范围内每种组分的蒸气均服从拉乌尔定律的溶液。
4、化学吸附的吸附力是化学键力。
5、水在聚乙烯板上的接触角θ>90o，当用肥皂把聚乙烯板处理后θ<90o，这一变化过程称为润湿反转。
6、Langmuir吸附等温式可写为（Γ=Γ∞·bc1bc ）7、表面活性物质分子的结构特征是（一端是亲水基，一端是亲油基，具有两亲结构）。
8、吉布斯吸附等温式可写为（Γ=-RT c·dc da），其适用条件是（适用于溶液表面吸附）。
9、二组分理想溶液的t-x B（y B）相图的绘制方法有（实验法、解析法、间接法）。
10、真实气体的范德华对比状态方程式是(Pr﹢2r V3)(3Vr﹣1)=8Tr 适用于中压范围。
11、用FeCl3水解的方法制备Fe（OH）3溶胶，其胶团结构式是﹛[Fe(OH)3]m·nFeO+·（n-x）Cl｝x+·xCl—向溶胶中加电解质使ξ=0时写出其胶团结构式[Fe(OH)3]m·nFeO+·nCl—12、高分子溶液加到溶胶中，产生的作用可能是（保护作用）、（敏化作用）、（絮凝作用）。
13、原油脱水（破乳），采用的主要方法有（破乳剂破乳法）、（高压电破乳法）、（热破乳法）等。
二、单项选择题1、克-克方程不适用于：两种固体晶型转变2、在25℃时，CH4（g）溶解在水和苯中的系数分别为k1和k2，而且k1＞k2，则在相同的平衡分压P（CH4）下，CH4在水中的溶解度小于在苯中的溶解度。
3、实际气体符合PV=nRT关系的严格条件是：P→0；4、由给出的T、P值可知，物质一定处于液态的是：T r<1，P>P c；5、下面对物理吸附的描述，不正确的是：吸附速度较小；6、某液体滴到某固体表面上，形成三个相界面，其界面张力间的关系是：0<σs-g -σs-l<σl-g ，则液体在用该固体制成的毛细管中：上升7、下列水对不同岩石表面的接触角中，水驱油效果最好的是：θa=30о8、能使胶粒布朗运动加剧的是：升高温度；9、下列物质中能增大液体表面张力的是：NaCl10、在AgNO3溶液中加入过量的KI溶液制得的AgI溶胶中，加入下列电解质，其聚沉值最大的是：NaCl；三、判断题（对者划“√”，错者划“×”，每小题1分，满分10分）1、皆处于临界状态下的两种气体一定处于对应状态。
√2、一定压力下溶液的沸点是一定值。
×3、通常说的水的冰点，实际上就是水的三相点。
×4、对于实际溶液，若在p-x B图上有最低点，则在T-x B图上一定有最高点。
√5、p B=y B p既适用于理想气体又适用于实际气体。
×6、只有当ζ=0时，溶胶才开始聚沉。
×7、通常情况下，胶粒电荷的符号取决于定势离子的符号。
√8、表面活性物质是指能显著降低液体表面张力的物质。
×9、因为液体润湿固体，固-液界面的表面积增大，由U=σA可见，表面能升高，所以说，润湿过程是表面能升高的非自发过程。
×10、一般地说，在注水采油中，表面亲水性岩石的原油采收率比较高√四、简答题（每小题5分，满分20分）1、简要说明溶胶扩散双电层理论的基本要点。
.1..2.答：①双电层是由定势离子和反离子构成，前者是沿固体表面分布，后者是采取扩展的方式排列②按其对固体的关系，双电层离子可沿滑动面分为吸附离子和扩展层离子两部分，使固体表面与分散介质之间有电位差，即ξ电位。
一切电动现象都是由于ξ电位的存在而产生。
2、如上图所示（x=0﹒607）：⑴说明该相图的名称。
二组分理想溶液等组成下的P-t 相图。
⑵说明图中EDC 线所表示的意义。
液相线 ⑶当系统点位于两相区时，说明系统的相数和自由度数分别为多少？并表示其相态。
l(A+B)⇔g(A+B)；Φ=2；f=2⑷当系统点位于两相区时，请作出一个系统点并写出杠杆规则表示式。
n l·FO=n g ·OG⑸ 说明系统点由1→2→3→4的过程中，系统的相变情况。
气相→气液共存→气液共存→气相 3、按要求回答下列问题：⑴有五种固体，它在液面的平衡位置如下图所示，试画出它们的接触角并标出润湿好坏的顺序。
⑵下图各玻璃毛细管部分的直径相同，试问当水沿毛细管上升时各升至何处（在图上画出）？[注：虚线表示左管上升所达到的程度。
]⑶有相同直径的气泡和液珠在相同直径的毛细孔中产生贾敏效应，若两种情况下液流对毛细孔表面的润湿程度相同，问气泡和液珠所产生的贾敏效应哪一个大？为什麽？气泡；因为△P=2δ(1R 1-2R 1),而δ气泡>δ液珠，所以气泡所产生的贾敏效应大。
4、右图为苯-水-乙醇系统相图，试根据相图回答下列问题：①简要说明该相图是怎样绘制出来的。
②单相区域的条件自由度数为多少？③当系统点为K 点时，其相态怎样？ ④当系统点为D ′点时，如何计算相应两相的相对数 量（写出计算公式）。
答①取一定的苯水混合，测出2个点a ，b 。
向混合物中加如一定量的 乙醇，充分振荡混合，测出a ’ b ’,再加适量乙醇，充分振荡混合，得出点a ” b ”，进而 测出点o ，连接aa ′a ″o 及bb ′b ″o ，则得出相图。
②f ′=2 ③l α（A+B+C ）⇔l β（A+B+C ）④n αa ′D ′=n βD ′b ′五、计算题（每小题5分，满分30分）1、在85℃，101.3kPa 下，甲苯（A ）及苯（B ）组成的理想溶液沸腾。
试计算该理想溶液的液相及气相组成。
已知苯的正常沸点为80.10℃，甲苯在85℃时的蒸气压为46.0kPa ，△vap H m ＊（C 6H 6，l ）=31.10KJ.mol -1。
解：ΔH=31.10KJ/mol=3.11×10⁴J/molT 1=80.10+273.15=353.25K T 2=85+273.15=358.15K P 1=101.3KPa㏑1P P2=-R ΔH (2T 1-1T 1) ㏑3.101P1=-3.11×104/8.314(……) 得P 2=117.03Pa=P B t=85℃下：P A *=46.0KPa P B *=117.03KPa P= P B *+ （P A *- P B *）·x A 101.3=117.03+（46.0-117.03）·x A ⇒x A =0.22 x B =1-x A =0.78 P A *·x A =P ·y A ⇒y A = P A *·x A /P=0.1 y B =1-y A=0.92、已知50℃下地层油与地层水的表面张力为30.0mN.m-1，地层油和地层水的密度分别为0.920g.cm-3和0.980g.cm-3，水对砂岩表面润湿角为45о。
若砂岩毛细管半径变动在0.01~0.001cm范围，试计算水在砂岩毛细管中上升的高度在什麽范围。
解：σ=30mN/m=3.0×10-2N/m ρ0=0.920g/cm3=920kg/m3ρw=980kg/m3θ=45°r1’=0.01cm=1×10-4m r2’=1×10-5m h1=2σcosθ/(ρw-ρ0)g r1’=0.72mh2=2σcosθ/(ρw-ρ0)g r2’=7.2m 所以范围在0.72～7.2m 3、在三只试管中各放入10mLFe（OH）3溶胶。
今在第一只试管中加入c（KCl）为1.00mol.L-1的溶液1.00mL，第二只试管中加c（Na2SO4）为0.01mol.L-1的溶液6.00mL，第三只试管中加入c（Na3PO4）为0.001 mol.L-1的溶液2.50mL时刚好发生聚沉，求各种电解质的聚沉值及其比，并决定溶胶带电性。
解：KCl电解质的聚沉值：x KCl=1.00mol/L×1.00ml／10ml=0.1mol/L同理：x Na2SO4=0.01×6／10=0.006mol/Lx Na3PO4=0.001×2.50／10=0.00025mol/L则x KCl：x Na2SO4：x Na3PO4=400：24：1由此可知：溶胶带正电4、A、B形成理想溶液，80℃为正常沸点，已知80℃时P A*=1.10×104Pa，P B*=2.11×105Pa，求此溶液在80℃时的液相组成和气相组成。
解：正常压力P=101.3KPa= 1.013×105KPa由P= P B*+（P A*- P B*）·x A得x A=(P- P B*)/( P A*- P B*)=0.55 x B=1-x A=0.45P A= P A*·x A=P·y A则y A= P A*·x A/P=0.06y B=1-y A=0.945、在100ml水中含碘0.01276g，若⑴用10mlCCl4一次提取，⑵用5mlCCl4连续两次提取，问碘的提取百分率各为若干？已知()()851422==中，在，在水中CClIcIcK解：(1)当用10mlCCl4一次性提取：(n=1)由m n=m[Kvα/(Kvα+vβ)]n则m1=0.01276×[851×100/(851×100+10)]1=0.00134g 碘的提取百分率为：(m-m1)/m×100%=(0.01276-0.00134)/0.01276×100%=89.5%(2) 当用5mlCCl4两次性提取：(n=2)由m n=m[Kvα/(Kvα+vβ)]n则m2=0.01276×[851×100/(851×100+5)]2=0.000463g 碘的提取百分率为：(m-m2)/m×100%=(0.01276-0.000463)/0.01276×100%=96.37%6、计算水驱油通过最小半径r为0.001cm的毛细孔时所克服的最大压差。
已知油水界面张力为40.0mN.m-1，油对砂岩表面的接触角为20O。
解：由贾敏效应计算公式可知: (R2→∞)ΔP=2σ(1rθcos-21R)=2×40×10-3×(cos20°/0.001×10-2) =7517.54Pa.3.。