高等数学(工专)串讲笔记(完整版)
(完整word版)高数部分知识点总结(word文档良心出品)
1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim 0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。
对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。
在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。
所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-a a dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-a a 奇函数 、⎰⎰=-aa a 02偶函数偶函数。
高数学公式和知识点笔记
高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含众多的公式和知识点。
以下是为您整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对您的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种对应关系，对于定义域内的每个自变量的值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
2、基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
3、极限的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数，这个常数就是极限。
4、极限的计算方法（1）代入法：直接将趋近的值代入函数。
（2）化简法：通过约分、通分等方法化简函数。
（3）等价无穷小替换：在求极限时，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量替换。
5、两个重要极限（1）＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$（2）＄＼lim_{x\to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的变化率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。
3、基本函数的导数公式（1）＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄（2）＄（＼sin x)＇＝＼cos x$（3）＄（＼cos x)＇＝＼sin x$（4）＄（e^x)＇＝ e^x$（5）＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄4、导数的四则运算（1）＄（u ＋ v)＇＝ u' ＋ v'＄（2）＄（u v)＇＝ u' v'＄（3）＄（uv)＇＝ u'v ＋ uv'＄（4）＄（＼frac{u}｛v}）＇＝＼frac{u'v uv'｝｛v^2}＄5、复合函数求导法则设$y ＝ f(g(x)）＄，则$y' ＝ f'（g(x)）＼cdot g'（x)＄6、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数$f(x)＄满足：在闭区间$a, b$上连续，在开区间$（a, b)＄内可导，且$f(a) ＝f(b)＄，那么在$（a, b)＄内至少存在一点$＼xi$，使得$f'（＼xi) ＝ 0$。
高数串讲汇总
数学串讲1、 知识点：全微分的存在必要条件，出题形式：判断题。
例题：如果函数在。
一定处可微，则一定有在点存,),(),(00yzx z y x y x f z ∂∂∂∂= 答案：√解析：见书282页全微分的必要条件。
2、 知识点：极值，出题形式：判断题。
例题：点的极小值）是，（2200y x z +=。
答案：√解析：。
的最小值，最小值为）是，所以点（都是平方，大，因为都会比不论代何值，000,0,22y x z y x z y x +=3、 知识点：函数定义域，出题形式：选择题。
例题：的定义域。
求)1ln(122-+y x 答案：⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+212222y x y x解析：要使函数有意义，就必须使⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-+210)1ln(0122222222y x y x y x y x 解得： 4、 知识点：偏导数，出题形式：判断题。
例题：设),(y x f z =，如果点处偏导一定存在。
在点则使得)(,0)(,0)()(0,00,00,00,0y x z y x f y x f y x y x ==答案：×解析：找个例就行,例如：22y x z +=，在点），（00处偏导数就不存在。
5、 知识点：驻点，出题形式：填空题。
例题：的驻点求6106522++-+=y x y x z答案：)1,3(-解析：1,301010062-==⎪⎩⎪⎨⎧=+==-=y x y F x F y x yx ，解得个方程，求出驻点。
求偏导，最后联立这两求偏导，再对先对6、知识点：求偏导，出题形式：填空题。
例题：=-∂∂+=)1,1(,323x zxy y x z答案：2 解析：213311,3322322=-=+-+=∂∂y y x y y x xz）代入，把点（7、知识点：偏导，出题形式：解答题。
例题：设y x z arctan =，求x z ∂∂，yz ∂∂ 答案：2222,y x x y z y x y x z +-=∂∂+=∂∂解析：2222222)()(11,1)(11y x xy x yx y z y x y y y x xz +-=-⋅+=∂∂+=⋅+=∂∂8、知识点：偏导，出题形式：解答题。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学是大学理工科和部分文科专业的重要基础课程，它涵盖了广泛的知识点，为后续的专业学习和实际应用提供了坚实的数学基础。
以下是对高等数学主要知识点的总结。
一、函数与极限函数是高等数学的基础概念之一。
函数表示了两个变量之间的对应关系，通常用 y ＝ f(x) 来表示。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
极限是高等数学中一个非常重要的概念。
极限描述了函数在某个点或无穷远处的趋势。
例如，当 x 趋近于某个值 a 时，函数 f(x) 的极限记作lim(x→a) f(x)。
极限的计算方法有很多，如代入法、因式分解法、有理化法、洛必达法则等。
两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1 和lim(x→∞）（1 ＋1/x)＾x ＝ e ，在计算极限时经常用到。
二、导数与微分导数表示函数在某一点的变化率。
对于函数 y ＝ f(x)，其导数记作f'（x) 或 dy/dx 。
导数的几何意义是函数图像在某一点的切线斜率。
常见函数的导数公式需要牢记，如（x^n)＇＝ nx^（n 1) ，（sin x)＇＝ cos x ，（cos x)＇＝ sin x 等。
微分是函数增量的线性主部，dy ＝ f'（x)dx 。
导数和微分之间有着密切的联系。
三、中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理是重要的中值定理。
它们在证明等式和不等式、研究函数的性质等方面有广泛的应用。
利用导数可以研究函数的单调性、极值和最值。
当 f'（x) ＞ 0 时，函数单调递增；当 f'（x) ＜ 0 时，函数单调递减。
函数的极值点是导数为零或导数不存在的点。
四、不定积分不定积分是求导的逆运算，记作∫f(x)dx 。
不定积分的基本公式要熟练掌握，如∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1），∫sin x dx ＝ cos x ＋ C 等。
(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
(完整版)高等数学工专讲义
接下来我们就开始学习高等数学了，或许在学习的过程中我们会感觉乏味无味，可是我相信只需我们努力，我们必定能达到成功的此岸。
常量与变量变量的定义我们在察看某一现象的过程时，常常会碰到各样不一样的量，此中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是能够取不一样的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它固然是变化的，可是它的变化相对于所研究的对象是极其细小的，我们则把它看作常量。
变量的表示假如变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名区间的知足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间a≤x≤b[a ， b]开区间a＜ x＜ b（a，b）半开区间a＜x≤b或 a≤x＜ b （ a， b] 或 [a ， b）以上我们所述的都是有限区间，除此以外，还有无穷区间：[a ，+∞) ：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(- ∞， b) ：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：- ∞＜ x＜ b；(- ∞， +∞) ：表示全体实数，也可记为：- ∞＜ x＜+∞注：此中 - ∞和 +∞，分别读作" 负无量大 " 和 " 正无量大 ", 它们不是数 , 只是是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞ 0. 知足不等式│x - α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ 邻域，点α 称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数函数的定义假如当变量x 在其变化范围内随意取定一个数值时，量y 依据必定的法例总有确立的数值与它对应，则称y 是 x 的函数。
变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。
往常x叫做自变量， y 叫做因变量。
注：为了表示y 是 x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示. 这里的字母"f" 、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法例即函数关系,它们是能够随意采纳不一样的字母来表示的.注：假如自变量在定义域内任取一个确立的值时，函数只有一个确立的值和它对应，这类函数叫做单值函数，不然叫做多值函数。
高等数学教材解读笔记下册
高等数学教材解读笔记下册一、导数与微分导数和微分是高等数学中非常重要和基础的概念。
在本册教材中，导数与微分一章详细介绍了这两个概念的定义、性质和应用。
1.1 导数的定义与性质导数是描述函数变化率的工具，在本章中，导数的定义被详细介绍。
导数表示了函数在某一点附近的变化趋势，它的计算方法包括用极限和求导数法则等。
导数的性质包括可导性、导数的四则运算法则等，这些性质是进一步研究导数的基础。
1.2 微分与微分中值定理微分是导数的一种运算方式，它表示了函数在某一点附近的近似线性变化。
微分的计算方法包括用导数和微分符号等。
本节还介绍了微分中值定理的概念和应用，这是微分学中的重要定理之一。
二、多元函数微分学多元函数是指有多个自变量的函数，多元函数微分学研究了这些函数的导数和微分。
在本册教材中，多元函数微分学一章涵盖了多元函数的导数计算和微分运算，以及它们的应用。
2.1 偏导数与全微分偏导数是多元函数在某一点上，按照某一自变量的变化率即斜率来表示的导数，它的计算方法包括用极限和求偏导数法则等。
全微分是多元函数的微分运算，它表示函数在某一点附近的线性变化。
全微分与偏导数的关系以及计算方法也在本节中进行了介绍。
2.2 隐函数与参数方程的微分本节介绍了隐函数与参数方程的微分计算方法。
隐函数是指由方程所确定的函数，通过求偏导数的方式可以计算出其关于自变量的导数。
参数方程是将自变量用参数表示的函数，通过链式法则可以计算出其导数。
三、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究了函数的不定积分、定积分和应用。
在本册教材中，积分学一章详细讲解了这些内容。
3.1 不定积分与定积分的基本性质不定积分是求函数原函数的过程，定积分是计算曲线下面的面积。
本节介绍了不定积分的基本法则和性质，以及定积分的计算方法和性质，为后续的应用奠定了基础。
3.2 微积分基本公式与换元积分法微积分基本公式包括常见函数的积分公式，如三角函数、指数函数等。
换元积分法是积分计算的一种常用方法，通过代换将原函数转化为更容易积分的形式。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
2013年成人高考(专升本)高等数学一笔记串讲-
1.理解极限的概念（对极限定义、、等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法（2）会求函数的间断点。
（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单的命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义要求函数在一点处的导数的方法。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。
（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。
（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义，会用罗尔定理证明方程根的存在性。
会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。
（2）熟练掌握用洛必达法则求""、""、""、""型未定式的极限的方法。
（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
高等数学(工专)串讲笔记(完整版)
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高数知识串讲完整版[1]
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sn sin s n
3. 相关的几个问题
(1) 过直线
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0
的平面束 方程
1 ( A1 x B1 y C1 z D1 ) 2 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
为 , , )
f f f f cos cos cos l x y z
• 二元函数 在点 沿方向l (方向角为
, )的方向导数为
f f f cos cos l x y
11. 梯度 • 三元函数 在点 处的梯度为
f f f grad f , , x y z
（Fx，Fy，Fz ) ( f x , f y ,1) or( f x , f y , 1)
fx 1 f x2 f y2 ,cos = fy 1 f x2 f y2 ,cos = 1 1 f x2 f y2
2、z f ( x, y )
方向余弦 cos =
z f ( x, y) ,
即解方程组
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 4. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
如求二元函数 设拉格朗日函数
z f ( x, y)
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
z2 ( x, y )
d x
a
三种方法(包含12种形式)各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择.
高等数学知识点
高等数学知识点
高等数学是大学理工科专业中的一门基础课程，它在数学分析、线性代数和概率论等方面提供了深入的理论知识和方法。
以下是高等数学的主要知识点总结：
1. 数学分析
- 极限的概念和性质
- 连续函数的定义和性质
- 导数和微分的定义、计算和应用
- 泰勒公式和麦克劳林公式
- 函数的极值和最值问题
- 曲线的凹凸性和拐点
- 不定积分和定积分的定义、计算和应用
- 广义积分和傅里叶级数
- 多元函数的偏导数和全微分
- 多元函数的极值和条件极值
- 重积分和曲线积分、曲面积分
2. 线性代数
- 矩阵的定义和基本运算
- 行列式的定义和性质
- 向量空间和子空间的概念
- 线性方程组的解法和理论
- 特征值和特征向量
- 二次型和正定矩阵
- 线性变换和矩阵对角化
- 欧几里得空间和内积
- 正交矩阵和酉矩阵
3. 概率论与数理统计
- 随机事件和概率的定义
- 条件概率和全概率公式
- 随机变量及其分布
- 期望值、方差和协方差
- 大数定律和中心极限定理
- 统计量和抽样分布
- 假设检验和置信区间
- 回归分析和方差分析
这些知识点构成了高等数学的核心内容，是理解和应用高等数学的基础。
通过学习这些内容，学生能够掌握数学分析的严密逻辑、线性代数的抽象思维以及概率论与数理统计的统计推断，为进一步的专业学习和科研工作打下坚实的基础。
高数复习串讲
偏导数与全微分
多元函数极值的定义
设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义。如果对于任意$x in U(x_0)$，都有$f(x) leq f(x_0)$（或$f(x) geq f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值）。
多元函数最值的定义
设函数$f(x)$在定义域$D$内有定义，如果存在$x_0 in D$，使得对于任意$x in D$，都有$f(x) leq f(x_0)$（或$f(x) geq f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$在定义域$D$上的最大值（或最小值）。
求多元函数极值的方法
首先求出函数的驻点（即一阶偏导数为零的点），然后判断驻点是否为极值点。可以通过求二阶偏导数并构造Hessian矩阵来判断。
收敛与发散
无穷级数基本概念
通过比较正项级数与已知收敛或发散的级数来判断其敛散性。
比较审敛法
利用正项级数的相邻两项之比来判断其敛散性，特别适用于幂级数和几何级数。
比值审敛法
利用正项级数的通项的n次根来判断其敛散性，适用于通项中含有n的幂的情况。
根值审敛法
正项级数审敛法
交错级数审敛法
交错级数是正负交替出现的级数，形如$sum_{n=1}^{infty} (-1)^{n-1} a_n$或$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n a_n$，其中$a_n > 0$。
注意事项
在代换过程中要注意新变量的取值范围，以及代换后方程的定义域。
可降阶高阶微分方程的类型
形如 $y'' = f(x, y')$ 或 $y'' = f(y, y')$ 的方程可通过变量代换化为一阶微分方程求解。
高等数学第八章笔记
高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。
1. 多元函数的定义。
- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。
- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。
2. 多元函数的极限。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。
- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。
3. 多元函数的连续性。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。
- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。
二、偏导数。
1. 偏导数的定义。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。
高等数学 珍藏版知识点总结
高等数学珍藏版知识点总结关键信息项：1、函数与极限函数的定义与性质极限的定义与计算方法无穷小与无穷大极限的运算法则两个重要极限2、导数与微分导数的定义与几何意义导数的计算法则隐函数与参数方程求导高阶导数微分的定义与计算3、中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理函数的单调性与极值函数的凹凸性与拐点函数的图形描绘洛必达法则4、不定积分不定积分的概念与性质基本积分公式换元积分法分部积分法5、定积分定积分的定义与性质牛顿莱布尼茨公式定积分的计算方法定积分的应用（求面积、体积、弧长等）6、反常积分无穷限反常积分无界函数的反常积分7、多元函数微分学多元函数的概念偏导数与全微分复合函数与隐函数求导多元函数的极值与最值8、重积分二重积分的概念与性质二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）三重积分的概念与计算9、曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式对面积的曲面积分对坐标的曲面积分高斯公式与斯托克斯公式10、无穷级数数项级数的概念与性质正项级数的审敛法任意项级数的审敛法幂级数函数展开成幂级数11 函数与极限111 函数的定义与性质函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。
设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的非空数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，都有唯一确定的数值 y 与之对应，则称 y是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
函数具有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。
112 极限的定义与计算方法极限是高等数学中的一个核心概念。
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数，这个常数就是函数在该点的极限。
极限的计算方法包括直接代入法、因式分解法、有理化法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
113 无穷小与无穷大以零为极限的变量称为无穷小量。
无穷大量是指在某个变化过程中，绝对值无限增大的变量。
无穷小量与无穷大量之间存在着倒数关系。
自考高等数学(工本)串讲笔记
考试大纲说明一、本课程的基本要求与重点本课程的基本要求为：１．获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法．２．获得线性代数初步知识．本课程的重点是：一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用．二、课程考核要求１．函数（考核要求）（１）清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素———定义域和对应法则，知道什么是函数的值域．（２）清楚函数与其图形之间的关系．（３）会计算函数在给定点处的函数值．（４）会由函数的解析式求出它的自然定义域．（５）知道函数的三种表示法———解析法、表格法、图像法及它们各自的特点．（６）清楚分段函数的概念．·１·第一部分（７）清楚函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义．（８）会判定比较简单的函数是否具有上述特性．（９）知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数．（１０）会求比较简单的函数的反函数．（１１）知道函数的定义域和值域与其反函数的定义域和值域之间的关系．（１２）清楚函数与其反函数的图形之间的关系．（１３）清楚函数的复合运算的含义及可复合的条件．（１４）会求比较简单的复合函数的定义域．（１５）会作多个函数按一定顺序的复合；会把一个函数分解成几个简单函数的复合．（１６）知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域，基本特性和图形．（１７）知道反三角函数的主值范围．（１８）知道初等函数的构成．（１９）会对比较简单的实际问题通过几何、物理或其他途径建立其中蕴含的函数关系．２．极限和连续（考核要求）（１）知道数列的定义、通项及其在数轴上的表示．（２）知道单调数列和有界数列，会判别比较简单的数列的单调性和有界性．（３）理解数列收敛的含义及其几何意义．·２·高等数学（工专）（４）知道级数的定义，了解级数的收敛和发散的概念．（５）知道级数收敛的必要条件．（６）会判断等比级数的敛散性并在收敛时求出其和．（７）理解各种函数极限的含义及其几何意义．（８）理解函数的单侧极限，知道函数极限与单侧极限之间的关系．（９）熟知极限的四则运算法则，并能熟练地运用．（１０）熟知两个重要极限，并能熟练运用．（１１）理解无穷小量的概念．（１２）理解无穷小量与变量极限之间的关系．（１３）掌握无穷小量的性质．（１４）理解无穷大量的概念，知道它与无穷小量的关系．（１５）会判别比较简单的变量是否为无穷小量或无穷大量．（１６）清楚无穷小量之间高阶、同阶、等价的含义．（１７）会判断两个无穷小量的阶的高低或是否等价．（１８）清楚函数在一点连续和单侧连续的定义，知道它们之间的关系．（１９）知道函数在区间上连续的定义．（２０）知道连续函数经四则运算和复合运算后仍是连续函数．·３·第一部分（２１）知道单调的连续函数必有单调并连续的反函数．（２２）知道初等函数的连续性．（２３）清楚函数在一点间断的定义和两类间断点．（２４）会找出函数的两类间断点．（２５）会判别分段函数在分段点处的连续性．（２６）知道闭区间上连续函数必有界，并有最大值和最小值．（２７）知道闭区间上连续函数的介值定理与零点定理．（２８）会用零点定理判断函数方程在指定区间中根的存在性．３．一元函数的导数和微分（考核要求）（１）熟知函数的导数和左、右导数的概念，知道它们之间的关系．（２）知道函数在一点的导数的几何意义．（３）知道导数作为变化率的实际意义．（４）知道函数在区间上可导的含义．（５）知道曲线在一点处切线和法线的定义并会求它们的方程．（６）清楚函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件．（７）能熟练运用可导函数的和、差、积、商的求导法则．·４·高等数学（工专）（８）熟练掌握复合函数的求导法则．（９）对于由多个函数的积、商、方幂所构成的函数，会用对数求导法计算其导数．（１０）清楚反函数的求导法则．（１１）熟记基本初等函数的求导公式并能熟练运用．（１２）理解由函数方程所确定的一元函数（隐函数）的含义．（１３）会求由一个函数方程所确定的隐函数的导数．（１４）知道高阶导数的定义，了解二阶导数的物理意义．（１５）会求初等函数的二阶导数．（１６）理解由参数方程所确定的函数的含义．（１７）会求参数式函数的一阶与二阶导数．（１８）了解微分作为函数增量的线性主部的含义．（１９）清楚函数的微分与导数的关系及函数可微与可导的关系．（２０）熟知基本初等函数的微分公式．（２１）熟知可微函数的和、差、积、商及复合函数的微分法则．（２２）会求函数的微分．４．微分中值定理和导数的应用（考核要求）（１）能正确陈述罗尔定理，知道其几何意义．（２）能正确陈述拉格朗日中值定理并清楚其几何意义．·５·第一部分（３）知道导数恒等于零的函数必为常数，导数处处相等的两个函数只能相差一个常数．（４）清楚应用洛必达法则的条件，能熟练地使用洛必达法则计算００和∞∞类型未定式的值．（５）能识别其他类型的未定式，并会应用洛必达法则求其值．（６）清楚导数的符号与函数单调性之间的关系．（７）会确定函数的单调区间和判别函数在给定区间上的单调性．（８）会用函数的单调性证明简单的不等式．（９）理解函数极值的定义．（１０）知道什么是函数的驻点，清楚函数的极值点与驻点和不可导点之间的关系．（１１）掌握函数在一点取得极值的两种充分条件．（１２）会求函数的极值．（１３）知道函数最值的定义及其与极值的区别．（１４）清楚最值的求法并能解决比较简单的求最值的应用问题．（１５）清楚曲线在给定区间上“凹”“凸”的定义．（１６）会确定曲线的凹凸区间．（１７）知道曲线的拐点的定义，会求曲线的拐点．（１８）知道曲线的水平和铅直渐近线的定义及其意义，会求曲线的这两类渐近线．·６·高等数学（工专）５．一元函数积分学（考核要求）（１）清楚原函数和不定积分的定义，了解它们的联系与区别．（２）理解微分运算和不定积分运算互为逆运算．（３）熟记不定积分的基本性质．（４）熟记基本积分公式，并能熟练运用．（５）能熟练运用第一换元积分法（即凑微分法）．（６）掌握第二换元积分法，知道几种常见的换元类型．（７）会求比较简单的有理函数的不定积分．（８）掌握分部积分法，能熟练地用它求几种常见类型的不定积分．（９）清楚微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解的含义．（１０）能识别可分离变量的微分方程并会求解．（１１）能识别一阶线性微分方程并会求解．（１２）理解定积分的概念并了解其几何意义．（１３）清楚定积分的区别，知道定积分的值完全取决于被积函数和积分区间，与积分变量采用的记号无关．（１４）掌握定积分的基本性质．（１５）能正确叙述定积分的中值定理，了解其几何意义，知道连续函数在区间上的平均值的概念及其求法．（１６）理解变上限积分是积分上限的函数并会求其导数．·７·第一部分（１７）掌握牛顿莱布尼茨公式，并领会其重要的理论意义．（１８）会用牛顿莱布尼茨公式计算定积分．（１９）会计算分段函数的定积分．（２０）掌握定积分的换元积分法和分部积分法．（２１）知道对称区间上奇函数或偶函数的定积分的性质．（２２）清楚无穷限反常积分的概念及其敛散性．（２３）在被积函数比较简单的情况下会依据定义判断反常积分的敛散性，并在收敛时求出其值．（２４）会计算在直角从标系中平面图形的面积．（２５）会计算旋转体的体积．（２６）会求曲线的弧长．（２７）会计算变速直线运动在一定时间段内所经历的路程．（２８）会计算变力沿直线段所做的功．６．线性代数初步（考核要求）（１）知道关于线性方程组的一些基本概念．（２）熟知二、三阶行列式的定义．（３）会在一定条件下用克莱姆法则求线性方程组的解．（４）掌握行列式的各种性质．（５）掌握行列式的按行（列）展开．（６）会利用行列式的性质化简行列式并计算其值．·８·高等数学（工专）（７）知道矩阵的定义及有关概念．（８）知道什么是零矩阵和单位矩阵．（９）清楚矩阵的初等行变换的定义．（１０）知道什么是行最简形矩阵，会用初等行变换把矩阵化成行最简形．（１１）知道线性方程组的初等变换的定义，清楚初等变换不改变方程组的解．（１２）掌握求解线性方程组的消元法．（１３）知道线性方程组可能无解，或有唯一解，或有无穷多个解．（１４）在有无穷多个解的情况下会求出方程组的一般解．（１５）知道线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，能熟练地用矩阵的初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成行最简形的方法求方程的解．（１６）掌握矩阵的加法和数乘矩阵运算及其运算规则．（１７）掌握矩阵的乘法及其运算规则．（１８）掌握矩阵的转置及有关的运算规则．（１９）清楚矩阵的运算规则与数的运算规则的异同．（２０）清楚方阵的行列式的定义及有关方阵乘积的行列式的结果．（２１）知道方阵的伴随矩阵的定义和有关结果．（２２）清楚可逆矩阵和逆矩阵的定义及矩阵可逆的·９·第一部分条件，知道可逆矩阵的基本性质．（２３）会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵．三、有关说明及试卷结构１．自学教材《高等数学（工专）》全国高等教育自学考试指导委员会组编，主编吴纪桃，漆毅，北京大学出版社，２００６年版．２．试卷结构（１）题分及考试时间试卷满分１００分，考试时间为１５０分钟．（２）内容比例第一、二章：函数及其图形，极限和连续约１５分第三、四章：一元函数微分学约４０分第五章：一元函数积分学约３０分第六章：线性代数初步约１５分（３）题型比例单项选择题、填空题、计算题、综合题（包括应用题和证明题），题量依次为：５，１０，８，２，共计２５题，所占分数依次约为１０分，３０分，４８分，１２分，共计１００分．·０１·高等数学（工专）? 考点精要一、函数１．函数的基本特性（１）有界性．（２）单调性．（３）奇偶性．（４）周期性．２．常用函数的类型（１）基本初等函数：常值函数：ｙ＝ｃ；幂函数：ｙ＝ｘμ（μ为实常数）；指数函数：ｙ＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；对数函数：ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；三角函数：ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ，ｙ＝ｃｏｔｘ，ｙ＝ｓｅｃｘ，ｙ＝ｃｓｃｘ；反三角函数：ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ．（２）反函数．（３）复合函数．（４）初等函数．（５）分段函数．·１１·第二部分二、极限与连续１．有关定义级数设数列｛ｕｎ｝，称∑∞ｎ＝１ｕｎ＝ｕ１＋ｕ２＋…＋ｕｎ＋…为数项级数，简称级数．级数的部分和对于级数∑∞ｎ＝１ｕｎ，称ｓｎ＝ｕ１＋ｕ２＋…＋ｕｎ为级数∑∞ｎ＝１ｕｎ的部分和．级数的敛散对于级数∑∞ｎ＝１ｕｎ，若ｌｉｍｎ→∞ｓｎ＝ｓ，则称级数∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛，称ｓ为级数∑∞ｎ＝１ｕｎ的和；若ｌｉｍｎ→∞ｓｎ不存在，则称级数∑∞ｎ＝１ｕｎ发散．函数的极限若当ｘ无限趋于正无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→＋∞ 时的极限，记为ｌｉｍｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ无限趋于负无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→－∞ 时的极限，记为ｌｉｍｘ→－∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当｜ｘ｜无限趋于正无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→ ∞ 时的极限，记为·２１·高等数学（工专）ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→ｘ０时的极限，记为ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ从小于ｘ０的方向无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）在ｘ０处的左极限，记为ｆ（ｘ０－０）＝ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ从大于ｘ０的方向无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）在ｘ０处的右极限，记为ｆ（ｘ０＋０）＝ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝Ａ．无穷小量若ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝０，则称ｆ（ｘ）是当ｘ→ｘ０时的无穷小量，也称无穷小，类似地也有ｘ→ ∞，ｘ→ｘ－０，ｘ→ｘ＋０时的无穷小．无穷大量若当ｘ无限趋近于ｘ０时，｜ｆ（ｘ）｜无限增大，则称ｆ（ｘ）是当ｘ→ｘ０时的无穷大量，记为ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝∞．类似地也有其他无穷大量ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝＋∞，ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝－∞，等等．无穷小量的阶设ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝０，ｇ（ｘ）非零．·３１·第二部分若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝０，则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是比ｇ（ｘ）高阶的无穷小；若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｃ（≠０），则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是与ｇ（ｘ）同阶的无穷小；若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝１，则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是与ｇ（ｘ）等价的无穷小．函数的连续性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续，否则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处间断．左连续若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处左连续．右连续若ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处右连续．函数在闭区间［ａ，ｂ］上连续若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内处处连续，且在点ａ右连续，在点ｂ左连续，则称函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续．第一类间断点若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ），ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）都存在，而ｘ０是ｆ（ｘ）的间断点，则称ｘ０是第一类间断点．第二类间断点若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ），ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）至少有一个不存在，则称ｘ０是ｆ（ｘ）的第二类间断点．·４１·高等数学（工专）２．收敛级数的性质与判别法（１）设ｃ是非零常数，则级数∑∞ｎ＝１ｕｎ与∑∞ｎ＝１ｃｕｎ有相同的敛散性，且在收敛时有∑∞ｎ＝１ｃｕｎ＝ｃ∑∞ｎ＝１ｕｎ．（２）去掉或改变∑∞ｎ＝１ｕｎ的前有限项的值，不会改变级数的敛散性．（３）若∑∞ｎ＝１ｕｎ，∑∞ｎ＝１ｖｎ都收敛，则∑∞ｎ＝１（ｕｎ±ｖｎ）也收敛，且∑∞ｎ＝１（ｕｎ±ｖｎ）＝∑∞ｎ＝１ｕｎ±∑∞ｎ＝１ｖｎ．（４）必要条件若∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛，则ｌｉｍｎ→∞ｕｎ＝０．（５）正项级数收敛的充要条件若ｕｎ≥０（ｎ＝１，２，…），则∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛的充要条件是它的部分和｛ｓｎ｝有界．（６）正项级数的比较判别法设∑∞ｎ＝１ｕｎ，∑∞ｎ＝１ｖｎ是两个正项级数，且ｕｎ≤ｖｎ（ｎ＞Ｎ）．若∑∞ｎ＝１ｖｎ收敛，则∑∞ｎ＝１ｕｎ·５１·第二部分收敛；若∑∞ｎ＝１ｕｎ发散，则∑∞ｎ＝１ｖｎ发散．３．函数极限的有关性质和结论（１）唯一性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）存在，则极限值唯一．（２）局部有界性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，则存在ｘ０的某去心的邻域，使得当ｘ在该邻域内时，ｆ（ｘ）有界．（３）保序性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，且Ａ＞Ｂ，则存在ｘ０的某去心邻域，使得当ｘ在该邻域内时，有ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）．推论１若在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ），且ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，则Ａ≥Ｂ．推论２（保号性）若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ａ，且ａ＞０（ａ＜０），则在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）＞０（ｆ（ｘ）＜０）．推论３若在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）≥０，且ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，则Ａ≥０．（４）极限的运算法则设ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，则ｌｉｍｘ→ｘ０［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］＝Ａ±Ｂ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ＡＢ，·６１·高等数学（工专）ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ＡＢ（Ｂ≠０），ｌｉｍｘ→ｘ０ｃｆ（ｘ）＝ｃＡ（ｃ为常数），ｌｉｍｘ→ｘ０ｆｋ（ｘ）＝Ａｋ（ｋ是正整数）．（５）极限存在的夹逼准则若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）在ｘ０的某去心邻域内满足ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）≤ｈ（ｘ），且ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．以上关于函数的性质和结论在ｘ→ ∞，ｘ→ｘ＋０，ｘ→ｘ－０时也有相应的结果．４．无穷小量的有关性质（１）有限个无穷小量的代数和是无穷小量．（２）有限个无穷小量的乘积是无穷小量．（３）有界变量乘无穷小量是无穷小量．（４）常数乘无穷小量是无穷小量．（５）极限与无穷小量的关系ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ的充要条件是ｆ（ｘ）＝Ａ＋α，其中ｌｉｍｘ→ｘ０α＝０．（６）无穷小量与无穷大量的关系当ｘ→ｘ０时，若ｆ（ｘ）是无穷小量，且ｆ（ｘ）≠０，则１ｆ（ｘ）就是无穷大量；若ｆ（ｘ）是无穷大量，则１ｆ（ｘ）就是无穷小量．５．连续函数的有关性质（１）函数连续的充要条件函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连·７１·第二部分续的充要条件是ｆ（ｘ）在点ｘ０处既左连续，又右连续．（２）连续函数四则运算法则若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在点ｘ０处连续，则ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）（ｇ（ｘ０）≠０）也在点ｘ０处连续．（３）连续函数的复合运算法则若ｕ＝φ（ｘ）在点ｘ０处连续，ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ０＝φ（ｘ０）处连续，则复合函数ｙ＝ｆ（φ（ｘ））在点ｘ０处连续．（４）连续函数的求极限法则若ｌｉｍｘ→ｘ０φ（ｘ）＝ｕ０，ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ０处连续，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（φ（ｘ））＝ｆ（ｌｉｍｘ→ｘ０φ（ｘ））＝ｆ（ｕ０），ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（φ（ｘ））ｕ＝φ（ｘ）ｌｉｍｕ→ｕ０ｆ（ｕ）＝ｆ（ｕ０）．（５）连续函数的反函数的连续性若ｙ＝ｆ（ｘ）在区间Ｉｘ上单调连续，则它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）在区间Ｉｙ＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ（ｙ），ｙ∈Ｉｘ｝上单调且连续．（６）基本初等函数在其定义域内连续．（７）初等函数在其定义区间内连续．（８）闭区间上连续函数的性质若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则①（有界性定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有界；②（最值定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必取得最大值、最·８１·高等数学（工专）小值；③（介值定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必取得介于它的最小值与最大值之间的一切值；④（零点定理）若ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内必有零点，即存在ξ∈（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０．６．重要的结果（１）两个重要极限：ｌｉｍｘ→０（１＋ｘ）１ｘ＝ｅ，ｌｉｍｘ→０ｓｉｎｘｘ＝１．（２）常用的极限：ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝０（｜ａ｜＜１），ｌｉｍｎ→∞ｎ槡ａ＝１（ａ＞０），ｌｉｍｘ→∞ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋…＋ａｎｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋…＋ｂｍ＝ａ０ｂ０，ｎ＝ｍ，∞，ｎ＞ｍ，０，ｎ＜ｍ烅烆．（３）常见的级数的敛散性：等比级数∑∞ｎ＝０ａｒｎ，当｜ｒ｜＜１时收敛，当｜ｒ｜≥１时发散；调和级数∑∞ｎ＝１１ｎ，发散；ｐ－级数∑∞ｎ＝１１ｎｐ，当０＜ｐ≤１时发散，当ｐ＞１时收敛．·９１·第二部分（４）常用的等价无穷小：当ｘ→０时．ｓｉｎｘ～ｘ，ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ，１－ｃｏｓｘ～ｘ２２，ｅｘ－１～ｘ，ｔａｎｘ～ｘ，ａｒｃｔａｎｘ～ｘ．三、导数与微分１．有关定义设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域内有定义，则有下列定义式：导数ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０；导函数ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）Δｘ，ｘ∈Ｕ（ｘ０）；左导数ｆ′－（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０－ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０；右导数ｆ′＋（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０＋ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０．·０２·高等数学（工专）微分若Δｙ＝ＡΔｘ＋ｏ（Δｘ），则ｄｙｘ＝ｘ０＝ＡΔｘ．二阶导数ｆ″（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ′（ｘ０＋Δｘ）－ｆ′（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ′（ｘ）－ｆ′（ｘ０）ｘ－ｘ０．２．概念之间的关系函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导的充分必要条件是ｆ（ｘ）在点ｘ０处的左、右导数存在且相等，即ｆ′（ｘ０）存在ｆ′－（ｘ０）＝ｆ′＋（ｘ０）．可导，可微，连续之间的关系为：３．导数与微分的几何意义与物理意义导数的几何意义若ｆ′（ｘ０）存在，则ｆ′（ｘ０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线的斜率．切线方程：ｙ－ｆ（ｘ０）＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）；法线方程：ｙ－ｆ（ｘ０）＝－１ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．导数的物理意义若ｓ＝ｓ（ｔ）是变速直线运动的位置函数，则ｓ′（ｔ０）是在ｔ０时刻的瞬时速度，ｓ″（ｔ０）是在ｔ０·１２·第二部分时刻的加速度．微分的几何意义若ｆ′（ｘ０）存在，则ｆ′（ｘ０）Δｘ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线上在点ｘ＝ｘ０＋Δｘ处的纵坐标与点ｘ＝ｘ０处的纵坐标之差．微分的实际意义若ｆ′（ｘ０）≠０，则ｆ′（ｘ０）Δｙ是增量Δｙ的线性主部，与Δｙ的差是ｏ（Δｘ）．４．基本的求导公式与微分公式（１）（Ｃ）′＝０，ｄＣ＝０（Ｃ是常数）；（２）（ｘα）′＝αｘα－１，ｄ（ｘα）＝α（ｘα－１）ｄｘ（α为实常数）；（３）（ａｘ）′＝ａｘｌｎａ，ｄ（ａｘ）＝ａｘｌｎａｄｘ（ａ＞０，ａ≠１）；（ｅｘ）′＝ｅｘ，ｄ（ｅｘ）＝ｅｘｄｘ；（４）（ｌｏｇａｘ）′＝１ｘｌｎａ，ｄ（ｌｏｇａｘ）＝１ｘｌｎａｄｘ（ａ＞０，ａ≠１）；（ｌｎｘ）′＝１ｘ，ｄ（ｌｎｘ）＝１ｘｄｘ；（５）（ｓｉｎｘ）′＝ｃｏｓｘ，ｄ（ｓｉｎｘ）＝ｃｏｓｘｄｘ；（６）（ｃｏｓｘ）′＝－ｓｉｎｘ，ｄ（ｃｏｓｘ）＝－ｓｉｎｘｄｘ；（７）（ｔａｎｘ）′＝ｓｅｃ２ｘ，ｄ（ｔａｎｘ）＝ｓｅｃ２ｘｄｘ；（８）（ｃｏｔｘ）′＝－ｃｓｃ２ｘ，ｄ（ｃｏｔｘ）＝－ｃｓｃ２ｘｄｘ；（９）（ｓｅｃｘ）′＝ｓｅｃｘｔａｎｘ，ｄ（ｓｅｃｘ）＝ｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ；（１０）（ｃｓｃｘ）′＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘ，ｄ（ｃｓｃｘ）＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘｄｘ；（１１）（ａｒｃｓｉｎｘ）′＝１１－ｘ槡２，ｄ（ａｒｃｓｉｎｘ）＝１１－ｘ槡２ｄｘ；（１２）（ａｒｃｃｏｓｘ）′＝－１１－ｘ槡２，·２２·高等数学（工专）ｄ（ａｒｃｃｏｓｘ）＝－１１－ｘ槡２ｄｘ；（１３）（ａｒｃｔａｎｘ）′＝１１＋ｘ２，ｄ（ａｒｃｔａｎｘ）＝１１＋ｘ２ｄｘ；（１４）（ａｒｃｃｏｔｘ）′＝－１１＋ｘ２，ｄ（ａｒｃｃｏｔｘ）＝－１１＋ｘ２ｄｘ；５．求导法则设ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）在点ｘ处可导，则［ｕ（ｘ）±ｖ（ｘ）］′＝ｕ′（ｘ）±ｖ′（ｘ），［ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）］′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋ｖ′（ｘ）ｕ（ｘ），ｕ（ｘ）ｖ（ｘ［］）′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）－ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）ｖ２（ｘ），ｖ（ｘ）≠０，反函数的求导法则若函数ｘ＝φ（ｙ）在区间Ｉｙ内单调、可导，且φ′（ｙ）≠０，则其反函数ｙ＝ｆ（ｘ）在对应的区间Ｉｘ内单调、可导，且有ｆ′（ｘ）＝１φ′（ｙ），Ｉｘ＝｛ｘ｜ｘ＝φ（ｙ），ｙ∈Ｉｙ｝．复合函数的求导法则设函数ｕ＝φ（ｘ）在点ｘ处可导，ｙ＝ｆ（ｕ）在相应的点ｕ＝φ（ｘ）处可导，则复合函数ｙ＝ｆ（φ（ｘ））在点ｘ处可导，且ｄｙｄｘ＝ｆ′（ｕ）φ′（ｘ）＝ｄｙｄｕ·ｄｕｄｘ．·３２·第二部分６．高阶导数的求法ｙ″，ｙ等较低阶导数的求法：ｙ″＝（ｙ′），ｙ＝（ｙ″）′．依次求出ｙ′，ｙ″，ｙ即可．ｙ（ｎ）等较高阶导数的求法：依次求出ｙ′，ｙ″，ｙ，…，看出规律，归纳出ｙ（ｎ）的表达式．在求ｙ（ｎ）时，一些已求出的结果可以作为公式：（ｅｘ）（ｎ）＝ｅｘ；（ｘα）（ｎ）＝α（α－１）…（α－ｎ＋１）ｘα－ｎ；（ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎｘ＋ｎπ（）２；（ｃｏｓｘ）（ｎ）＝ｃｏｓｘ＋ｎπ（）２．四、微分中值定理与导数的应用１．中值定理费马定理设函数ｆ（ｘ）在ｘ０处可导，并且在ｘ０的某邻域内恒有ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ０）或ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０），则ｆ′（ｘ０）＝０．罗尔定理设函数ｆ（ｘ）满足：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝０．拉格朗日中值定理设函数ｆ（ｘ）满足：·４２·高等数学（工专）（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ或ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）．２．洛必达法则００和∞∞型未定式的洛必达法则如果ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）满足下列条件：（１）ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｇ（ｘ）＝０（或∞）；（２）在点ａ的某去心邻域内，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）可导，并且ｇ′（ｘ）≠０；（３）ｌｉｍｘ→ａｆ′（ｘ）ｇ′（ｘ）存在（或者为∞），则ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｆ′（ｘ）ｇ′（ｘ）．其他类型未定式的极限０·∞ 型，∞－∞ 型，００型，１∞型，∞０型等未定式均转换为００型和∞∞型未定式来计算．３．函数的性态函数的极值与最值（１）极大值与极小值的定义．·５２·第二部分（２）极值的必要条件如果ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极值点，则ｘ０必为函数ｆ（ｘ）的驻点或不可导点，亦即，要么ｆ′（ｘ０）＝０，要么ｆ′（ｘ０）不存在．（３）极值的第一充分条件设函数ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域（ｘ０－δ，ｘ０＋δ）内连续，在去心邻域内可导．①如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＞０；当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）＜０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极大值．②如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＜０；当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）＞０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极小值．③如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）∪（ｘ０，ｘ０＋δ）时恒有ｆ′（ｘ）＞０，或恒有ｆ′（ｘ）＜０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处没有极值．（４）极值的第二充分条件设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０处具有二阶导数，并且ｆ′（ｘ０）＝０，ｆ″（ｘ０）≠０．①若ｆ″（ｘ０）＜０，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极大值．②若ｆ″（ｘ０）＞０，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极小值．（５）函数极值的计算方法：①求出导数ｆ′（ｘ）以及不可导的点；②求出函数ｆ（ｘ）的全部驻点（即求出方程ｆ′（ｘ）＝０在所讨论的区间内的全部根）；·６２·高等数学（工专）③考查ｆ′（ｘ）的每一个驻点、不可导点的左右两侧附近的符号，由第一充分条件判定这些点是否极值点，是极大点还是极小点，或求出二阶导数，由第二充分条件判别．④求出各极值点处的函数值，就是函数ｆ（ｘ）的全部极值．（６）闭区间上连续函数的最值的计算方法：①求出ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上的所有驻点和不可导点；②求出驻点、不可导点以及端点的函数值；③比较以上函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值．曲线的凹凸性与拐点（１）曲线的凹凸性及拐点的定义．（２）曲线凹凸性判别定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内具有二阶导数．①若在（ａ，ｂ）内ｆ″（ｘ）＞０，则函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的图形是下凸的（凹的）；②若在（ａ，ｂ）内ｆ″（ｘ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的图形是上凸的（凸的）．（３）确定拐点以及凹凸区间的方法：①求ｆ″（ｘ），并求出在所讨论区间内的ｆ″（ｘ）不存在的点；②令ｆ″（ｘ）＝０，求出位于所讨论区间内的所有实根；·７２·第二部分③ｆ″（ｘ）＝０的点和ｆ″（ｘ）不存在的点将ｆ（ｘ）的定义域分成一些区间，由ｆ″（ｘ）在这些区间内的符号确定其是凹或凸区间．④在所讨论的区间讨论ｆ″（ｘ）＝０的点和ｆ″（ｘ）不存在的点的左右两侧的符号，确定该点是否为拐点．曲线的水平渐近线与铅直渐近线渐近线有水平渐近线和铅直渐近线，它们通过取极限的方法来确定．五、一元函数积分学（一）不定积分及其计算１．原函数与不定积分ｆ（ｘ）在Ｉ上的全体原函数组成的函数族为函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上的不定积分，记为∫ｆ（ｘ）ｄｘ，即∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，其中Ｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）的一个原函数．２．不定积分的性质性质１∫［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ±∫ｇ（ｘ）ｄｘ．性质２∫ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫ｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ≠０为常数）．性质３微分与积分互为逆运算：ｄｄｘ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）或ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ；·８２·高等数学（工专）∫Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ或∫ｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．３．基本积分公式微分与积分互为逆运算，其基本公式不再详述．４．不定积分的计算方法（１）直接积分法由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法．（２）第一换元法（凑微分法）设ｆ（ｕ）具有原函数，ｕ＝φ（ｘ）可导，则∫ｆ［φ（ｘ）］φ′（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ（ｕ）ｄ［］ｕｕ＝φ（ｘ）．（３）第二换元法设ｘ＝φ（ｔ）单调、可导，并且φ′（ｔ）≠０，又设ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）具有原函数，则有如下换元公式∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）ｄ［］ｔｔ＝φ－１（ｘ），其中ｔ＝φ－１（ｘ）为ｘ＝φ（ｔ）的反函数．（４）分部积分法设ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）在区间Ｉ上有连续导数，则∫ｕｖ′ｄｘ＝ｕｖ－∫ｕ′ｖｄｘ或∫ｕｄｖ＝ｕｖ－∫ｖｄｕ．（二）微分方程一阶微分方程的解法（１）可分离变量的微分方程形如ｄｙｄｘ＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）·９２·第二部分或Ｍ１（ｘ）Ｍ２（ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ）Ｎ２（ｙ）ｄｙ＝０的方程．（２）一阶线性微分方程形如ｄｙｄｘ＋Ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ（ｘ）的微分方程．当Ｑ（ｘ）＝０时，称之为齐次微分方程；而当Ｑ（ｘ）≠０时，称之为非齐次微分方程．解法：齐次方程的通解为ｙ＝Ｃｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘ（分离变量法）．非齐次方程的通解为ｙ＝ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ∫Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋（）Ｃ（常数变易法）．（三）定积分及其应用１．定积分的几何意义２．定积分的存在定理：定理１设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积．定理２设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上有界，并且只有有限个间断点，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积．３．定积分的基本性质性质１∫ｂａ［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ±∫ｂａｇ（ｘ）ｄｘ．·０３·高等数学（工专）性质２∫ｂａｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ．性质３∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｃａｆ（ｘ）ｄｘ＋∫ｂｃｆ（ｘ）ｄｘ，其中ｃ∈［ａ，ｂ］性质４如果在［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≡１，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｂａ１ｄｘ＝∫ｂａｄｘ＝ｂ－ａ．性质５设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，并且ｆ（ｘ）≥０（ｘ∈［ａ，ｂ］），则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≥０．推论１设ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，并且在［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤∫ｂａｇ（ｘ）ｄｘ．推论２设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ．性质６设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，并且Ｍ和ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值．ｍ（ｂ－ａ）≤∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）．性质７（积分中值定理）如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则至少存在一个点ξ∈［ａ，ｂ］，使得∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．·１３·第二部分４．微积分基本公式（１）积分上限的函数及其导数设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则变上限积分Φ（ｘ）＝∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，并且Φ′（ｘ）＝ｄｄｘ∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈［ａ，ｂ］）．注ｄｄｘ∫ｂ（ｘ）ａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ［ｂ（ｘ）］ｂ′（ｘ）；ｄｄｘ∫ｂａ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝－ｆ［ａ（ｘ）］ａ′（ｘ）；ｄｄｘ∫ｂ（ｘ）ａ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ［ｂ（ｘ）］ｂ′（ｘ）－ｆ［ａ（ｘ）］ａ′（ｘ）．（２）微积分学基本定理定理３设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一个原函数，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）］ｂａ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．５．定积分的换元法与分部积分法其换元法和分部积分法与不定积分类似，这里不再详述．６．无穷限反常积分设ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞］或（－∞，ｂ］或（－∞，＋∞）上连续，定义反常积分·２３·高等数学（工专）∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｂ→＋∞∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ，∫ｂ－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍａ→－∞∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ，∫＋∞－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫０－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＋∞０ｆ（ｘ）ｄｘ．若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散．７．定积分的应用（１）几何应用①平面图形的面积设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，并且ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）（ｘ∈［ａ，ｂ］），则由曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｇ（ｘ）以及直线ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ围成的图形的面积Ａ为Ａ＝∫ｂａ［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．同理可得Ａ＝∫ｄｃ［ψ（ｙ）－φ（ｙ）］ｄｙ．②旋转体的体积由连续曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与直线ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ（ａ＜ｂ）以及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积为Ｖ＝∫ｂａπｆ２（ｘ）ｄｘ．由连续曲线ｘ＝φ（ｙ）与直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ（ｃ＜ｄ）·３３·第二部分以及ｙ轴围成的平面图形绕ｙ轴旋转一周所成旋转体的体积为Ｖ＝∫ｄｃπφ２（ｙ）ｄｙ．③平面曲线的弧长弧长微元为ｄｓ＝（ｄｘ）２＋（ｄｙ）槡２＝１＋ｙ′槡２ｄｘ．ｓ＝∫ｂａ１＋ｙ′槡２ｄｘ．或ｓ＝∫βαｘ′２（ｔ）＋ｙ′２（ｔ槡）ｄｔ．（２）定积分的物理应用①变速直线运动的位移问题ｓ＝∫Ｔ２Ｔ１ｖ（ｔ）ｄｔ．②变力沿直线所做的功Ｗ＝∫ｂａＦ（ｘ）ｄｘ．六、线性代数初步（一）行列式１．行列式的概念２．余子式三阶行列式中划去ａｉｊ元素所在的第ｉ行和第ｊ列的元素，剩下的元素按原次序构成的二阶行列式称为ａｉｊ的余子式，记做Ｍｉｊ．而称Ａｉｊ＝（－１）ｉ＋ｊＭｉｊ为ａｉｊ的代数余子式．·４３·高等数学（工专）ｎ阶行列式的余子式定义类似三阶的定义．３．行列式的性质与计算（１）基本性质性质１转置行列式与原行列式有相同的值，即Ｄ′＝Ｄ．性质２将行列式中的某一行（列）的每个元素同乘以数ｋ所得的新行列式等于ｋ乘以该行列式．推论如果行列式中一行（列）的元素全是０，则行列式等于０．性质３ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１＋ａ′２１ａ２２＋ａ′２２ａ２３＋ａ′２３ａ３１ａ３２ａ３３＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１ａ２２ａ２３ａ３１ａ３２ａ３３＋ａ１１ａ１２ａ１３ａ′２１ａ′２２ａ′２３ａ３１ａ３２ａ３３．性质４如果行列式中两行（列）对应元素相同，则行列式等于０．推论如果行列式中有两行（列）的元素成比例，则行列式等于０．性质５将行列式中的某行（列）的所有元素乘以一个常数ｋ，然后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变．性质６互换行列式中的任意两行（列），行列式仅改变符号．·５３·第二部分（２）行列式的拉普拉斯展开式定理１三阶行列式的值Ｄ等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即Ｄ＝ａｉ１Ａｉ１＋ａｉ２Ａｉ２＋ａｉ３Ａｉ３＝∑３ｊ＝１ａｉｊＡｉｊ（ｉ＝１，２，３），Ｄ＝ａ１ｊＡ１ｊ＋ａ２ｊＡ２ｊ＋ａ３ｊＡ３ｊ＝∑３ｉ＝１ａｉｊＡｉｊ（ｊ＝１，２，３），推论设Ｄ为三阶行列式，则它的任意一行（列）的元素与其某行对应元素的代数余子式的乘积之和有ａｉ１Ａｊ１＋ａｉ２Ａｊ２＋ａｉ３Ａｊ３＝∑３ｋ＝１ａｉｋＡｊｋ＝Ｄ，ｉ＝ｊ，０，ｉ≠ｊ｛；ａ１ｉＡ１ｊ＋ａ２ｉＡ２ｊ＋ａ３ｉＡ３ｊ＝∑３ｋ＝１ａｋｉＡｋｊ＝Ｄ，ｉ＝ｊ，０，ｉ≠ｊ｛．（３）克莱姆法则定理２若Ｄ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１ａ２２ａ２３ａ３１ａ３２ａ３３≠０，则三元线性·６３·高等数学（工专）方程组ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋ａ１３ｘ３＝ｂ１，ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋ａ２３ｘ３＝ｂ２，ａ３１ｘ１＋ａ３２ｘ２＋ａ３３ｘ３＝ｂ烅烄烆３有唯一解ｘ１＝Ｄ１Ｄ，ｘ２＝Ｄ２Ｄ，ｘ３＝Ｄ３Ｄ，其中Ｄｉ（ｉ＝１，２，３）就是将行列式Ｄ中的第ｉ列换为方程组的常数项得到的新的行列式．推论１若齐次线性方程组的系数行列式Ｄ≠０，则它仅有零解．推论２若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零．（二）矩阵１．矩阵及其运算（１）矩阵的定义（２）矩阵的运算①矩阵的加法与数乘将两个阶数相同的矩阵Ａ＝（ａｉｊ）与Ｂ＝（ｂｉｊ）的对应元素相加，所得到的新矩阵（ａｉｊ＋ｂｉｊ）称为矩阵Ａ与Ｂ的和，记做Ａ＋Ｂ．实数ｋ与矩阵Ａ＝（ａｉｊ）的各个元素相乘所得到的新矩阵（ｋａｉｊ）称为实数ｋ与矩阵Ａ的乘积，记做ｋＡ．矩阵加法与数乘具有如下性质（假定Ａ，Ｂ，Ｃ为同阶矩阵，Ｏ为同阶零矩阵）：·７３·第二部分１°Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；２°（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）；３°Ａ＋Ｏ＝Ａ；４°Ａ＋（－Ａ）＝Ｏ；５°（ｋ＋ｌ）Ａ＝ｋＡ＋ｌＡ；６°ｋ（Ａ＋Ｂ）＝ｋＡ＋ｋＢ；７°ｋ（ｌＡ）＝（ｋｌ）Ａ；８°１Ａ＝Ａ；９°０Ａ＝Ｏ；１０°（－１）Ａ＝－Ａ．②矩阵的乘法设Ａ＝（ａｉｊ）ｍ×ｓ，Ｂ＝（ｂｉｊ）ｓ×ｎ，则矩阵的乘积的性质（假定下列出现的矩阵乘积均有意义）：１°（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）；２°Ａ（Ｂ±Ｃ）＝ＡＢ±ＡＣ；３°（Ｂ±Ｃ）Ａ＝ＢＡ±ＣＡ；４°Ａｍ×ｎＥｎ×ｎ＝Ｅｍ×ｍＡｍ×ｎ＝Ａｍ×ｎ（其中Ｅｎ×ｎ，Ｅｍ×ｍ均为单位阵）；５°（λＡ）Ｂ＝λ（ＡＢ）＝Ａ（λＢ）（其中λ为任意实数）．对于矩阵乘法，需要注意以下几点：１°只有当矩阵Ａ的列数和矩阵Ｂ的行数相等时，Ａ才能与Ｂ相乘，也就是说乘积ＡＢ才有意义．此时乘积矩阵ＡＢ的行数等于左边矩阵Ａ的行数ｍ，而列数等于右边·８３·高等数学（工专）。
高等数学(工专)
1第一章（函数）之内容方法函数是数学中最重要的基本概念之一。
它是现实世界中量与量之间的依赖关系在数学中的反映，也是高等数学的主要研究对象。
本章主要阐明函数的概念，函数的几个简单性态，反函数，复合函数，初等函数及函数关系的建立等。
重点是函数的概念与初等函数，难点是复合函数。
1－2 函数的概念函数的定义：y=f(x)(x ∈D),其中x 是自变量，f 为对应法则，y 为因变量，D 是定义域。
∀（对任意）x ∈D,∃!(有唯一)y 与x 对应。
y 所对应的取值范围称为函数的值域。
当自变量x 取平面的点时，即x=(x 1,x 2)时，f(x)是二元函数；当x 取空间中的点x=(x 1,x 2,x 3)时，f(x)是三元函数。
函数的表示法主要有两种。
其一是解析法，即用代数式表达函数的方法。
例如y=f(x)=e x,符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1)sgn(x x x x y ，其中后者是分段函数。
其二是图示法。
如一元函数可表示为平面上的一条曲线，二元函数可表示为空间中的一张曲面等。
给定一个函数y=f(x)，则会求函数的定义域，值域，特殊点的函数值等是最基本的要求。
应综合考虑分母不能为0，偶次根式中的表达式应大于等于0，对数函数的真数应大于0等情形。
1－3 函数的简单性态1．单调性：称函数f(x)在区间I （含于定义域内）单调增，若∀x 1,x 2∈I,当x 1<x 2时f(x 1)≤f(x 2);称函数在区间I （含于定义域内）单调减，若∀x 1,x 2∈I,当x 1<x 2时f(x 1)≥ f(x 2).单调增函数和单调减函数统称为单调函数，I 称为单调区间。
判断一个函数f(x)在区间I 是否为单调函数，可用单调性的定义或者用第四章中函数在I 中的导数的符号。
2．奇偶性：设函数f(x)的定义域D 关于原点对称。
如果∀x ∈D,有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数；如果∀x ∈D,有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数。
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高等数学（工专）串讲笔记（珍藏版）
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