正交矩阵的性质【VIP专享】
正交矩阵及其性质
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y ,
| AX || AY | | X || Y |
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 7时42 分29秒0 7:42:29 20.12.1 3
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 7时42 分20.12. 1307:4 2December 13, 2020
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 307:42: 2907:4 2Dec-20 13-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 07:42:2 907:42: 2907:4 2Sunda y, December 13, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 320.12. 1307:4 2:2907: 42:29D ecembe r 13, 2020
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/12/13
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 2:2907: 42:2907 :4212/ 13/2020 7:42:29 AM
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
正交矩阵的作用
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义.一.正交矩阵的定义及性质(一)正交矩阵的定义定义1n阶实矩阵A，若满足A A E'=，则称A为正交矩阵.定义2n阶实矩阵A，若满足AA E'=，则称A为正交矩阵.定义3 n阶实矩阵A，若满足1'=，则称A为正交矩A A-阵.定义4n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵.以上四个定义是等价定义.(二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A'=，即ijijaA =； 当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ijijaA =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A-'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1AA AA-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ija A =当1A =-时，*A A '=-，即ij ija A =-所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A-'=，1B B -'= 可知111()()AB B A B AAB ---'''===故A B 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>，,jiw w c d ss==，则称n 阶矩阵11ij cdi T d c j i j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ijT ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ijT 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质：〈1〉ijT 是正交矩阵；〈2〉设12(,,,)ij n T Wu u u '=则有 ,0,(,)ij k k us u u w k i j ===≠；〈3〉用ijT 左乘任一矩阵A ，ijT A 只改变A 的第i 行和j 行元素（用ijT 右乘任一矩阵A ，A ijT 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c ds++== ，故i j i j T T E '=，ijT 是正交矩阵.〈2〉由ijT 的定义知，用ijT 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ijT 左乘W ，使ijT W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.22jii i j w w u cw dw sss=+=+=引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ijn n A a⨯=，可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P P P P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P P P P = nE -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩阵.E -1111n n⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使RP S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1）由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11即ER R =' （2）设R =11121222n nnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其iir >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n nnn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1n E P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ； <2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -.记(1,2,,)ii P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2设()ij n m R A a A m A P O ⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P是n阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得： 定理2 设()ijn m A aA m⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A P P P R R P P A O O ⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令，<2>当1-=P时，112r n R A P P P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，……，12m mm nm a a a α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m mm n n nm a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ijn m A a⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,r P P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４）且),,,(21r P P P P P E='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P P P -''''''''∴==（５）由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ijn m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基.显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用. 例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝002200220010001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,T=1000100000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=100001001002210022⎛⎫⎪ - ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=00111002311110002222⎛⎫-⎪⎪⎪--⎪⎪⎪⎪---⎪⎪----⎪⎝⎭则0011211112222P⎛⎫-⎪⎪⎪--⎪⎪'=⎪⎪---⎪⎪----⎪⎝⎭，12121210022P⎛⎫----⎪⎪⎪---⎪⎪=⎪--⎪⎪⎪-⎪⎝⎭取1P⎛-⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭，21P⎛--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭，312P⎛--=-⎪⎪⎝⎭则321,,PPP就是由,,,,32ααα得到的3V的一组标准正交基.(二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n阶正交矩阵作成的集合，记为()nO，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie群.(1)()nO构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3oℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足： 1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2ost G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ； 3ost G aG a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ；则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的乘法运算 u ：G ⨯G →G ；求逆运算 v ： G →G；是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间.〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群.〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ija 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2nE，也就是将A =()ija对应于2n E 的点111212122231(,,,,,,,,,,)nnn n a a a aa a a a .ℜ是点集2nE 的子集族，则2nE和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o)(,,n O C B A ∈∀由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o stO E n n,)(∈∃AAE A E O A n n n ==∈∀,)(3ostA AO A n ,,1)('=∃∈∀-E A A AAA A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：MM M⨯→设(),()ijij A aB b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M 具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M Eπ→，将矩阵A映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m MM M Eπ⨯→→，将A 和B的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ijmπ连续，投影映射ijπ是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A-∀∈=.由于合成映射1()():ij n n fO O Eπ→→，将()n A O∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*AA A'=，所以ji jiA a A=，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A≠，所以ijfπ为连续的，而投影映射ijπ为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群.（2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析 流形，且映射11212(,)gg g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2nE 的点1112121231(,,,,,,)n n nn aa a a a a a α ，M可作为2n维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素111212123,,,,,,nnn na a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M 的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2nE 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nijkj ik j ab δ==∑ 1,i kn ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E→ A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集1(0)ikf - 1,i k n ≤≤ i k ≠1(1)iif - 1i n≤≤由于(1,)ikfi k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ijj a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A BX= 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E→是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为 ()()n n SOS O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.(三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nkk ii i cφφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，kφ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k kn φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()kl d k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nkii i nik c c c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4C H 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442xyzsa pb pc dp a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 2222x y zs p p p A φφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、dφ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a aaa +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值)因为是等性杂化轨道.222211213141a aaa ===222211121314a a a a +++=1∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++=22222223241()12a aa+++= 222324a a a ==∴取符合条件的2212a =，2312a=，2412a=32333411111022222a a a ⨯+++=22322333243411022a a a a a a ⨯+++=即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=-3334a a =-取3312a =，3412a=-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-=4212a∴=-4312a =-4412a =-111122*********21111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴=⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y z a s p p p φφφφφ=+++ 22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+-- 22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+- 22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵.根据等性杂化理论 2211211a a +=，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=22220,a a =∴=-11A ⎫⎪⎪∴=- sp∴杂化轨道式为：1221)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=-(四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,bb b 是常数.对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''''''''''''==++⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵T A z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111 现在取（1()r t '1()r t '' 1()r t ''' ）=（()r t '()r t ''()r t '''） 来讨论，而（1()r t '1()r t '' 1()r t ''' ）=-（()r t '()r t ''()r t ''' ）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x z x x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6）因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ijija A =且由1(,1,2,3)nji kj jki A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAAy z ''++''''+21122221222311()z x AAAz x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t KK r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院徐仲等编《矩阵论》西北工业大学出版社2001.3 160~164页[2]赵成大等《物质结构》人民教育出版社1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵对称矩阵
0 sin θ cosθ
⇒
XT X = I
故 X 是正交矩阵，所以 A = XQ x (θ ) X T ，A 正交相似于下述矩阵之一：
0 1 0 cosθ 0 − sin θ
0 sin θ , cosθ
0 −1 cosθ 0 0 − sin θ
3
3 阶正交矩阵
先分析 3 阶正交矩阵的特征值具有什么性质：
如果 λ 是 A 的一个实特征值，x 是相应的特征向量，即 Ax= λ x，则
x T x = x T AT Ax = λ 2 x T x ，于是 λ = ±1 。即正交矩阵的实特征值必等于 ± 1。
因特征多项式是一个实系数多项式，若有复特征值，则其共轭也是一 个特征值。假定 λ1 , λ2 , λ3 是 A 的 3 个特征值，其中 λ 2 , λ3 为一对共轭复特征 值。由 λ1λ2 λ3 = det( A) = ±1 ，知 | λ2 |=| λ3 |= 1 ，即复特征值的模必等于 1。
c = sin θ ， d = cosθ c = − sin θ ， d = − cosθ
所以，当 sin θ ≠ 0 时，A 仅有下述两种类型：
cos θ sin θ
− sin θ cosθ ， cosθ − sin θ
− sin θ − cosθ
x =ux1+vx2+sx3 v ′x 2 + s ′x 3 vx2+sx3
x3
θ
x2
5
v′ cosθ s′ − sin θ
sin θ v cosθ s
以一直线为轴的旋转之后再作一个以垂直于此直线的平面的镜面反射:
正交矩阵
2.积也是正交阵;
3.行列式的值为正1或负1。
任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行 列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。 比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复 数)绝对值1 。
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以 构造为最多n−1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方 量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I−2vv就 足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反 射的积。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换 用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。
同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影 响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的 时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换 。
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。 它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
正交矩阵的判断方法
正交矩阵的判断方法正交矩阵是一个非常重要的概念，在数学和工程学科中都有广泛应用。
正交矩阵的性质包括不改变向量的长度和角度，因此在许多应用中有着重要的作用。
在本文中，我们将介绍判断矩阵是否是正交矩阵的方法。
一、正交矩阵定义及性质在线性代数中，矩阵的转置和逆是非常重要的概念，而正交矩阵可以看作是一种比较特殊的矩阵，它的定义和性质包括：1. 定义：一个矩阵A被称为正交矩阵，当且仅当满足AA^T=A^TA=I，其中I表示单位矩阵。
2. 性质：正交矩阵有很多重要的性质，其中最重要的包括：（1）行向量互相正交，列向量也互相正交。
（2）行向量和列向量的范数都等于1。
（3）行列式的值为1或-1。
（4）矩阵的转置就是它的逆，即A^{-1}=A^T。
（5）正交矩阵的逆也是正交矩阵。
二、正交矩阵的判断方法判断矩阵是否是正交矩阵，通常需要用到正交矩阵的定义和性质。
下面我们将介绍一种比较常用的判断方法，包括以下几个环节：1. 矩阵是否是方阵：正交矩阵必须是一个方阵，因此首先需要判断矩阵是否是方阵。
2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：这是判断矩阵是否是正交矩阵的核心方法，需要将矩阵自身乘以它的转置，并且将转置乘以矩阵自身，判断是否等于单位矩阵，即AA^T=A^TA=I。
3. 判断行向量和列向量是否互相正交：如果矩阵满足条件1和条件2，那么可以进一步判断行向量和列向量是否互相正交。
具体方法是计算每一行与每一列的点积，如果结果都等于0，则说明行向量和列向量互相正交。
4. 判断行向量和列向量是否归一化：如果矩阵满足条件1和条件2，那么还需要判断行向量和列向量是否归一化，即是否满足每一行和每一列的范数都等于1。
5. 判断矩阵的行列式是否为1或-1：如果矩阵满足条件1和条件2，那么它的行列式值必须为1或-1。
如果行列式的值不是1或-1，则说明矩阵不是正交矩阵。
三、具体实现方法下面我们将详细介绍上述几个环节的具体实现方法。
1. 判断矩阵是否是方阵：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 shape 函数来获取矩阵的形状，如果矩阵的行数和列数相等，则说明矩阵是方阵，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_square_matrix(matrix):shape = np.shape(matrix)return shape[0] == shape[1]```2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 dot 函数和 transpose 函数求解矩阵乘积和矩阵转置，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_orthogonal_matrix(matrix):if not is_square_matrix(matrix):return FalseAAt = np.dot(matrix, matrix.T)AtA = np.dot(matrix.T, matrix)return np.allclose(AAt, np.eye(matrix.shape[0])) and np.allclose(AtA,np.eye(matrix.shape[1]))```其中 np.allclose 函数用于判断两个数组是否相等，可以通过设置 rtol 和 atol参数来控制误差容限。
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质引言矩阵理论在数学和应用领域中扮演着重要角色。
在矩阵理论中，幂等矩阵、对角矩阵和正交矩阵是三个重要的矩阵类型，它们具有独特的性质和应用。
本文将详细介绍这三个类型矩阵的性质，并举例说明它们在实际问题中的应用。
幂等矩阵幂等矩阵是指一个矩阵与自身相乘等于其自身的矩阵。
具体而言，对于一个 nx n 的矩阵 A，如果 A^2 = A，则称 A 为幂等矩阵。
幂等矩阵有几个重要的性质：1.幂等矩阵的平方等于它本身：A^2 = A2.幂等矩阵的特征值只能是 0 或 1。
假设 A 是幂等矩阵，它对应的特征值λ 满足方程Av = λv，其中 v 是 A 的特征向量。
将该方程代入定义式 A^2 = A，可以得到 (A - λI)A = A(A - λI) = 0，其中 I 是单位矩阵。
由于 A^2 = A，所以A(A - λI) = 0，进一步可以推出 A(A - λI)v = 0，即 (A - λI)v = 0，也就是说特征值λ 对应的特征向量 v 是 A - λI 的零空间中的向量。
因此，A 的特征值只能是0 或 1。
幂等矩阵在实际问题中有许多应用。
例如，在图论中，邻接矩阵的幂等性被用于描述图的可达性。
在线性代数中，幂等矩阵可以用于描述投影变换。
此外，在编程中，幂等性被广泛应用于设计具有幂等性质的算法和系统，以确保操作的一致性和可重复性。
对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
具体而言，对于一个 n x n 的矩阵 A，如果当i ≠ j 时 Aij = 0，则称 A 为对角矩阵。
对角矩阵有几个重要的性质：1.对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素都非零。
如果对角矩阵的主对角线上存在零元素，则对角矩阵是奇异的，无法求逆。
2.对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。
对角矩阵在线性代数和应用数学中具有广泛的应用。
在求解线性方程组时，对角矩阵具有良好的性质，可以简化计算过程。
第四章2正交矩阵
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质正交向量和正交矩阵是线性代数中非常重要的概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
在同济大学线性代数教材的第六版中，正交向量和正交矩阵的性质被详细地介绍和讲解。
本文将围绕这一主题展开，探讨正交向量和正交矩阵的性质及其应用。
一、正交向量的性质正交向量是指两个向量的内积为零，也就是说它们的夹角为九十度。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交向量的性质。
首先，正交向量的数量不会超过向量空间的维数。
这一性质被称为正交向量的基本定理，它对于解决线性方程组和矩阵的特征值问题非常重要。
其次，同济大学线性代数第六版还介绍了正交向量组和正交补空间的概念。
正交向量组是指一组两两正交的向量，它们张成的子空间被称为正交子空间。
而正交补空间是指与一个向量空间正交的向量构成的子空间。
正交补空间的概念在矩阵和线性方程组的求解中经常出现，可以帮助我们简化问题，降低计算难度。
二、正交矩阵的性质正交矩阵是指方阵的转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交矩阵的性质及其应用。
首先，正交矩阵的行向量组和列向量组都是正交向量组。
这一性质使得正交矩阵具有很好的几何意义，可以用来描述旋转和镜像。
其次，同济大学线性代数第六版介绍了正交矩阵的特殊形式——正交对角矩阵。
正交对角矩阵的对角线上的元素都是1或-1，其余元素都是0。
正交对角矩阵具有简单的性质和运算规则，在计算中比较方便。
另外，同济大学线性代数第六版还介绍了正交复合矩阵的概念。
正交复合矩阵是由多个正交矩阵相乘得到的，具有一些特殊的性质。
例如，正交复合矩阵的转置等于其逆矩阵，因此可以保证矩阵乘法的可逆性。
三、正交向量和正交矩阵的应用正交向量和正交矩阵在各个领域中都有着广泛的应用。
首先，在几何学中，正交向量可以用来描述平面和空间中的垂直关系，例如描述直线的法向量，计算投影和距离等。
其次，在物理学中，正交向量和正交矩阵经常用于描述旋转、镜像和坐标变换等问题。
正交矩阵——精选推荐
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得 E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即E R R ='（2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其中，iir >0(i =1,2,…n -1) 则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当（３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P PP E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O ⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O-⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，……，12m mm nm a a a α⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,r P P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５）由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=； <２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝00220000100001⎛⎫- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=00000011110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，32P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2nE ，也就是将A =()ij a 对应于2nE 的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n n a a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2n E 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i nik c c c c ==+++∑ =1. 由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222x y z s p p p A φφφφ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1 ∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++=22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a =32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122xs p a a a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭是正交矩阵.根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)xs p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵T A z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t ''' ）=（()r t ' ()r t '' ()r t '''）来讨论，而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t ''' ）=-（()r t ' ()r t '' ()r t '''）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x zx x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a yy x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z A A A y z ''++''''+21122221222311()z x A A A z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率. 参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
三、正交矩阵的特征根
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
（5）
习题课 正交矩阵的性质
4 正交矩阵 A Rnn的三类特征根 ① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时，t 与s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或－1。
习题课 正交矩阵的性质
5 n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵的判定
1
A
(aij
)
(1, 2 ,,n)Fra bibliotek 2 n
Rnn
① A为正交矩阵 A' A1
②
A为正交矩阵
i ' j
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
③ A为正交矩阵
i
j
'
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
习题课 正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
3 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 是一组
标准正交基，若 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ， A Rnn
则
A是正交变换 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转)，若 A 1； ② A为第二类的，若 A 1。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是数学的一个重要分支，其中的正交变换与正交矩阵是其核心概念之一。
本文将详细探讨正交变换与正交矩阵的定义、性质以及应用。
一、正交变换的定义和性质在线性代数中，正交变换指的是在向量空间中保持向量长度和夹角不变的线性变换。
具体而言，给定一个向量空间V和其上的内积，一个线性变换T称为正交变换，如果对于任意的向量x和y，其满足内积不变性：⟨Tx, Ty⟩ = ⟨x, y⟩正交变换具有以下性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于向量x，有∥Tx∥ =∥x∥。
2. 正交变换保持向量之间的夹角，即对于向量x和y，有⟨Tx, Ty⟩= ⟨x, y⟩。
3. 若正交变换T将向量x映射为零向量，则原向量x也为零向量。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个满足以下条件的方阵：1. 矩阵的每一列都是单位向量。
2. 任意两列之间的内积等于零，即矩阵的列向量两两正交。
3. 矩阵的每一行都是单位向量。
4. 矩阵的转置等于其逆矩阵，即A^T A = AA^T = I。
正交矩阵具有以下性质：1. 正交矩阵的行向量组也为正交向量组。
2. 正交矩阵的列向量组也为正交向量组。
3. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
4. 正交矩阵的行列式的值为±1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在许多领域中都有广泛的应用，以下列举其中的几个重要应用：1. 几何变换：正交变换可以用来进行平移、旋转和镜像等几何变换操作。
例如，二维平面上的旋转可以通过乘以一个旋转矩阵实现。
2. 物体建模：在计算机图形学中，正交矩阵常用于表示物体的旋转和缩放变换，用来实现物体模型的变换和渲染。
3. 信号处理：正交矩阵可以用来对信号进行变换和分析，如傅里叶变换和卡拉OK变换。
4. 数据压缩：正交矩阵可以用于数据压缩领域，例如JPEG图像压缩中的离散余弦变换。
5. 特征值问题：正交变换与正交矩阵在求解特征值问题中起到关键作用，例如用于主成分分析和奇异值分解等。
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学分支。
在线性代数的学习中，正交矩阵与正交变换是重要概念。
本文将介绍正交矩阵与正交变换的基本定义、性质以及应用，并探讨它们在实际问题中的重要性。
一、正交矩阵的定义与性质在线性代数中，一个方阵称为正交矩阵，如果它的转置矩阵等于它的逆矩阵。
也就是说，对于一个n阶方阵A，如果满足A^T * A = I （单位矩阵），则称A为正交矩阵。
正交矩阵具有一些重要的性质：1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量：对于正交矩阵A的每一行（列）向量，它们的模长都为1，即 ||A_i|| = 1，其中A_i表示矩阵A 的第i行（列）向量。
2. 正交矩阵的行（列）向量两两正交：对于正交矩阵A的任意不同的两个行（列）向量A_i和A_j，它们的内积为0，即 A_i * A_j = 0。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成一组正交基：正交矩阵的行（列）向量线性无关且构成一组正交基。
这意味着用正交矩阵的行（列）向量作为基向量，可以表示出整个向量空间中的任意向量。
二、正交变换的定义与性质正交变换是指在n维欧几里德空间中，通过一个正交矩阵A对向量进行变换的线性变换。
正交变换的具体定义是：对于一个n维向量x，经过正交矩阵A的变换，得到变换后的向量y=A*x。
正交变换的一些重要性质如下：1. 正交变换保持向量的模长：对于任意向量x，经过正交变换后得到的向量y，它们的模长是相等的，即 ||y|| = ||x||。
2. 正交变换保持向量的夹角：对于两个向量x和y，它们的夹角在经过正交变换后保持不变，即 <x, y> = <A*x, A*y>。
3. 正交变换保持向量的正交关系：对于两个正交向量x和y，经过正交变换后它们仍然是正交的，即 <A*x, A*y> = 0。
正交变换在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，正交变换可以用于实现物体的旋转、缩放和平移等操作。
正交矩阵的几个性质
正交矩阵的性质
③正交矩阵 A R nn 的特征根
i) 分类
实特征根为1或－1
非实特征根为成对共轭 与 出现， 且 1
2
ii) 可设 正特征根
1 2 t 1
1 2 s 1
（4）
负特征根
非实特征根 1 ,1 ,2 ,2 ,,k ,k 且 i i i
相同。
③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
习题课 正交矩阵的性质
6
问题 ① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个 特征值。 ② 证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。
③ 设A是3 3正交阵且 A 1
证明A的特征多项式为
f ( ) 3 t2 t 1 ，
这里 1 t 3
习题课 正交矩阵的性质
① 与 ② 进一步的结论？
③ 考虑A的所有特征值的可能性
i) ii) iii)
(1,1,1) (1,1,1)
(1, , ) ， 1 ，
2
习题课 正交矩阵的性质
nn
矩阵 A R
满足
(1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A
则 1 , 2 ,, n 为标准正交基 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
3
A为n维欧氏空间 Vn (R)的线性变换， 1 , 2 ,, n 是一组 标准正交基，若 A(1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A ， A R nn 则
nn A ( 1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A ， R 标准正交基，且 A
有关正交矩阵性质的探讨
在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义：设A 是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积，也就是说，对任意的，有A A ＝。
正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等。
●定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。
根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。
由此可得：●定义二：满足的方阵为正交矩阵。
现在探讨正交矩阵的性质：一、正交矩阵与矩阵运算的关系：设，即有。
1)正交矩阵的和：令则，不是正交矩阵。
2)正交矩阵的积：∴为正交矩阵。
3)正交矩阵的逆和转置：由,故均为正交矩阵。
4)正交矩阵的伴随:，，∴为正交矩阵。
二、正交矩阵的特征：行列式：由。
其中行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。
正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下：设A( )＝，则(A( ),A( ))且奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。
正交矩阵显然是可逆的。
三、正交矩阵与特殊矩阵的关系：特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。
证明如下：设是阶正交矩阵，且其特征值都是实数。
那么就可以看作是某个欧几里得空间上的正交变换A关于某个规范正交基的矩阵。
设是的任一特征值，是相应的特征向量。
令。
则是A的不变子空间：任取，则。
所以A＝( A＝(A A)＝( )=0。
因A是正交变换，所以特征值是非零实数，从而A＝0，即是A不变的。
A 仍是正交变换，且A 的特征值就是A的特征值，因此其特征值也都是实数。
对A 重复上述步骤的话，就能得到A的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。
将单位化即得得一个新的规范正交基。
而A在这一基下的矩阵实对角阵。
设是从旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵，则。
由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。
任意阶实可逆方阵均可分解为，其中是正交矩阵，是下三角矩阵。
正交矩阵及其性质
定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
y1
a11x1
ym am1x1
a1n xn amn xn
n
或 yi aij x j i 1, , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
解 a (x, y, z)T a1,a2 ,a 是标准正交组
a1a 0 a2a 0
a 1
1 3
(x
2
y
2
z)
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
x 4 yz 1
18
18
a (- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
4.3 正交矩阵及其性质
1 2019/12/13
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.
证设
a11 a12
A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2
3 2019/12/13
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则:
(i) det A=1或-1;
(ii) A-1=AT（充要条件）;
(iii) AT(即A-1)也是正交矩阵;
(iv) AB也是正交矩阵.
证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立,
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习题课 正交矩阵的性质
3 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 是一组
标准正交基，若 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ， A Rnn
则
A是正交变换 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
5 n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根
才是A的特征根，约定当 不是特征根时，其重数为0：
① A为第一类的 即 A 1 若A有特征根，则特征根－1的重数为偶数，特征根1的重数 与n 的奇偶性相同
② A为第二类的 即 A 1 A必以－1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性 相同。
习题课 正交矩阵的性质
① 与 ② 进一步的结论？ ③ 考虑A的所有特征值的可能性
i) (1,1,1) ii) (1,1,1)
iii) (1, , ) ， 2 1 ，
习题课 正交矩阵的性质
②正交矩阵的转置为正交阵
③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵
问题
①正交矩阵之和？ ②数乘正交矩阵？
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵的判定
1
A
(aij
)
(1, 2 ,
,n
)
2 n
Rnn
① A为正交矩阵 A' A1
②
A为正交矩阵
i ' j
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
非实特征根为成对共轭 与 出现， 且 2 1
ii) 可设
正特征根 1 2 t 1
负特征根 1 2 s 1
（4）
非实特征根 1,1,2 ,2 , ,k ,k
且 ii i 2 1, i 1,2, , k
这里 t s 2k n ， t, s, k 为非负整数
习题课 正交矩阵的性质
高等代数 习题课 正交矩阵的性质
讲课：杨忠鹏 制作：林志兴 杨忠鹏
2003.06.05
习题课 正交矩阵的性质
一、正交矩阵的定义及简单性质 二、有限维欧氏空间里的正交矩阵 三、正交矩阵的特征根
一、正交矩阵的定义及简单性质
1 定义 A Rnn ， 若A' A E 称 A 为正交矩阵 2 运算性质 ①正交矩阵之积为正交阵
（2）
注意此时 AA E, x' x 0, 由（1）和（2）
Ax'( Ax) ( x')(x) ()( x' x)
x'(AA)x
即
2x'x x'x
可得
2 1
习题课 正交矩阵的性质
2 正交矩阵A的特征根
① 特征多项式
f A () E A n a1n1 an
（3）
i) a1 trA, an (1)n A
习题课 正交矩阵的性质
二、有限维欧氏空间里的正交矩阵
1 矩阵 A Rnn ，则
A为正交矩 阵 A的行（列）向量组是 n 维行（列）向量
空间 Rn 的一组标准正交基。
习题课 正交矩阵的性质
2 n维欧氏空间 Vn (R) 的一组标准正交基 1, 2 , , n ，
矩阵 A Rnn 满足 (1,2 , ,n ) (1, 2 ,L , n )A
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
习题课 正交矩阵的性质
③的证明： 设 x 为 n 维非零复向量， 为复数， 且
Ax x, C, x( 0) C n
（1）
对（1）两边取共轭转置 Ax ' ( A x) x' A (x)' ' x'
4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转)，若 A 1； ② A为第二类的，若 A 1。
习题课的线性变换， 1, 2 , , n 为一组
标准正交基，且 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ，A Rnn 则 A为对称变换 A' A
3 正交矩阵A的行列式
① A 1 或－1
（简单证明，由定义给出）
② 在（4）之下
A (1 t )(1 s )1122 kk
(1 s ) 即
A (1)s ，s 是－1作为A的特征根的重数
（5）
习题课 正交矩阵的性质
4 正交矩阵 A Rnn的三类特征根 ① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时，t 与s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或－1。
③ A为正交矩阵
i
j
'
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
习题课 正交矩阵的性质
问题：① | aii | 的上界？i ② | aij | 的上界？i, j
③ 当某 | ai0i0 | 1 时， ai0 j ? ji0 ? j i
④ 元素 aij 与其余子式 M ij ，代数余子式 Aij 的关系如何？
n
n
ii) trA aii i
i 1
i 1
n
iii) A i i 1
这里 1, 2 , , n 为矩阵A的所有特征根 i C, i
② 当 A Rnn时，由（3）知A的非实的复特征根是成对
共轭出现的。
习题课 正交矩阵的性质
③正交矩阵 A Rnn 的特征根
i) 分类
实特征根为1或－1
③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
习题课 正交矩阵的性质
6 问题 ① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个 特征值。 ② 证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。 ③ 设A是3 3正交阵且 A 1 证明A的特征多项式为 f () 3 t2 t 1 ， 这里 1 t 3
存在标准正交基1,2 , ,n 是A的特征 向量，即A在 1,2 , ,n 下的矩阵为实
对角矩阵 diag (1, 2 , , n ) 即 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )P 使 P' AP P 1 AP diag (1, 2 , , n )
习题课 正交矩阵的性质
三、正交矩阵的特征根