相似三角形相似比和面积比之间的关系
《相似三角形的性质》 导学案
《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系。
3、能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
二、学习重点1、相似三角形的性质的理解和应用。
2、相似三角形周长比、面积比与相似比的关系。
三、学习难点相似三角形性质的综合应用，以及在实际问题中的灵活运用。
四、知识回顾1、什么是相似三角形？相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
2、如何判定两个三角形相似？（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
五、新课讲解（一）相似三角形的对应角相等，对应边成比例例 1：已知△ABC∽△DEF，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 70°，则∠D ＝＿___，∠F ＝＿___。
解：因为△ABC∽△DEF，所以∠D ＝∠A ＝ 50°，∠F ＝ 180°∠D ∠E ＝ 180° 50° 70°＝ 60°（二）相似三角形的周长比等于相似比例 2：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:3，△ABC 的周长为 12，则△A'B'C'的周长为____。
解：因为相似三角形的周长比等于相似比，所以△ABC 的周长:△A'B'C'的周长＝ 2:3。
设△A'B'C'的周长为 x，则 12:x ＝ 2:3，解得x ＝ 18。
（三）相似三角形的面积比等于相似比的平方例 3：两个相似三角形的相似比为 1:4，它们的面积比为____。
解：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为1²:4²＝ 1:16。
六、课堂练习1、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3:5，AB ＝ 9，则 A'B' ＝＿___。
相似三角形的角度边长和面积关系
相似三角形的角度边长和面积关系在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的研究对于解决实际问题和解题具有重要意义。
本文将探讨相似三角形的角度边长和面积之间的关系。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，相似三角形满足以下条件：1. 对应角相等：两个三角形的对应角度相等，即相似三角形的内角度相等。
2. 对应边成比例：两个三角形的对应边的长度成比例，即相似三角形的边长之间存在着比例关系。
二、相似三角形的角度关系根据相似三角形的定义，我们可以得出相似三角形的角度关系：1. 对应角度相等：对应角度相等是相似三角形的重要特性，它意味着相似三角形的内角度是一一对应的，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形一定是相似三角形。
三、相似三角形的边长关系相似三角形的边长之间存在着一定的比例关系：1. AA相似：如果两个三角形的两个角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
对于AA相似的三角形，它们的边长之间存在着相等比例关系。
2. SSS相似：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
对于SSS相似的三角形，它们的边长比例相等。
3. SAS相似：如果两个三角形的一个角度对应相等，并且两个对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
对于SAS相似的三角形，它们的边长比例相等。
四、相似三角形的面积关系对于相似三角形来说，它们的面积之间的关系存在着以下性质：1. 面积比例：相似三角形的面积之间存在着一个确定的比例关系。
假设两个相似三角形的边长比为a:b，那么它们的面积比将为a²:b²。
例如，若两个相似三角形的边长比为3:5，那么它们的面积比将为9:25。
这个原理可以通过三角形面积的公式证明。
五、应用举例相似三角形的角度边长和面积关系在实际问题中具有广泛的应用。
举例如下：1. 测量不便的物体的高度：利用相似三角形的原理，可以通过测量一段距离和投影长度，来确定无法直接测量的物体的高度。
相似三角形的周长与面积比例关系
相似三角形的周长与面积比例关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形和比例关系是重要的概念。
本文将探讨相似三角形的周长与面积之间的比例关系。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状的三角形，其对应的内角相等，而边的比例也相等。
如果两个三角形的对应角相等，且对应边的比例相等，就称这两个三角形是相似的。
相似三角形具有如下性质：1. 相似三角形的对应边比例相等，可以表示为：∠A/∠A'=∠B/∠B'=∠C/∠C'=k（k为常数）。
2. 相似三角形的周长比例等于对应边的比例，表示为：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
3. 相似三角形的面积比例等于对应边长度的平方比例，表示为：[ABC]/[A'B'C']=(AB/AB')²=(BC/BC')²=(AC/AC')²=k²。
二、相似三角形的周长比例推导假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，根据相似三角形的定义，可以得到以下关系式：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k（k为常数）。
由此可以推导相似三角形的周长比例。
设ABC的周长为L1, A'B'C'的周长为L2。
根据定义可知：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
则有L1=k(AB+BC+AC)，L2=k(AB'+B'C'+A'C')。
因此，L1/L2=(k(AB+BC+AC))/(k(AB'+B'C'+A'C'))=AB+BC+AC/AB'+B'C'+A'C'。
根据相似三角形的定义，AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，可以将k代入上式，得到L1/L2=3k/3k=1。
三角形的相似与比例
三角形的相似与比例三角形是几何学中常见而重要的图形，其相似性与比例关系是三角形研究的核心内容之一。
相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形，而比例则描述了它们边长或边长与角度的关系。
本文将探讨三角形的相似性与比例，并介绍相似三角形的性质及应用。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形的定义是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
两个三角形相似的条件有两个：一是对应角相等，二是对应边成比例。
具体而言，设ΔABC与ΔDEF为两个三角形，若满足以下条件，则它们是相似三角形：1. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F（角对应相等）；2. AB/DE = BC/EF = AC/DF（边对应成比例）。
相似三角形具有一系列的性质，包括：1. 边对应成比例性质：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE =BC/EF = AC/DF；2. 角对应相等性质：相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F；3. 高度对应成比例性质：相似三角形的对应高度成比例；4. 面积对应成比例性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方。
二、相似三角形的判定条件除了根据定义判断相似三角形外，还有几个常用的判定条件：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。
2. SAS相似判定法：若两个三角形的一个角相等，另外两边成比例，则它们相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们相似。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在几何学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 求高度或边长：通过已知三角形和相似三角形的边长比例，可以求出未知三角形的高度或边长。
2. 计算面积：利用相似三角形的面积对应成比例性质，可以计算出未知三角形的面积。
3. 勾股定理的证明：勾股定理可以通过相似三角形的性质来证明。
4. 三角函数的应用：在三角函数的定义与性质中，相似三角形的比例关系是重要的理论基础。
相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方
A
E
B
4、如图，在正方形网格上有 △A1B1C1 和△A2B2C2 ，这两个 三角形相似吗？如果相似，求 出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
4:1
B2
A1
A2
C2 C1
B1
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边相等
对应边的比等于相似比（对应边成比例）
对应角相等
对应角相等
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
D
C
j F
A
E
B
四边形 ABCD是 ，点E是BC的延长线上 的一点，而且CE：BC=1：3，若△DGF的面积 为9，试求：（1）△ABG的面积（2）△ADG 与△BGE的周长比和面积比
还是让我们一起走近今天的数学课 堂来探究其中的奥秘吧？
问题
图 中 (1) 、 (2) 、 (3) 分 别 是 边长为1、2、3的等边三角形， 相似吗？
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
大标牌用油漆
2听
。
2．两个相似多边形面积的比9：16， （1）其中较小的多边形的周长为36cm ,则另 一个多边形的周长 48cm。
（2）两个多边形的周长之和是42cm,则两个多边 形的周长分别是 18cm,24cm。
典型例题
例1、如图，在△ABC中，点D、E分别分别 在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=3︰2. 求四边形DBCE与△ADE的面积的比。
相似三角形的面积比例
相似三角形的面积比例相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，我们可以通过相似三角形的边长比例来确定它们的面积比例。
本文将介绍相似三角形的面积比例及其应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长之比也相等。
记作∆ABC∼∆DEF，表示三角形ABC 与三角形DEF相似。
二、相似三角形的面积比例对于相似三角形∆ABC∼∆DEF，它们的边长比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF。
根据几何学的面积公式，我们可以得出相似三角形的面积比例为(S∆ABC)/(S∆DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2。
三、面积比例的应用举例1. 求解高度比例：假设∆ABC与∆DEF相似，已知AB/DE = AC/DF = BC/EF = 2/3，且∆ABC的高为h。
根据面积比例公式可得(S∆ABC)/(S∆DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2，则(S∆ABC)/(S∆DEF) = (2/3)^2 = 4/9。
由于面积与高的平方成正比，我们可以得到(S∆ABC)/(S∆DEF) = (h/DE)^2 = 4/9。
解方程求得h/DE = 2/3，即∆ABC的高与∆DEF的高的比例为2/3。
2. 求解面积比例：假设∆ABC的面积为S1，∆DEF的面积为S2，已知AB/DE = AC/DF = BC/EF = 3/4。
根据面积比例公式可得(S∆ABC)/(S∆DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2，则(S∆ABC)/(S∆DEF) = (3/4)^2 = 9/16。
设(S∆ABC)/(S∆DEF) = S1/S2 =9/16，解方程求得S1/S2 = 9/16，即∆ABC的面积与∆DEF的面积的比例为9/16。
四、相似三角形的面积比例证明通过几何学的证明，可以得到相似三角形的面积比例。
平面几何中的相似比和比例定理
平面几何中的相似比和比例定理在平面几何学中，相似比和比例定理是一些重要的理论和定律，它们被广泛应用于各种几何问题的解决中。
通过了解相似比和比例定理，我们可以更好地理解和解决与形状、尺寸和位置相关的几何问题。
一、相似比相似比是指两个相似图形对应边的长度比值。
对于两个相似的三角形ABC和DEF，我们可以用相似比来表示它们之间的边的关系。
假设边长比为k，则有以下几个常见的相似比定理：1. 角相似比定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似的边长比相等。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则有AB/DE =BC/EF = AC/DF = k。
2. 边相似比定理：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似的边长比相等。
即若AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 高相似比定理：如果两个三角形的对应高成比例，则它们相似的边长比相等。
即若h₁/h₂ = h₃/h₄ = h₅/h₆ = k，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
相似比的应用不仅仅局限于三角形，还可以推广到任意的多边形。
通过计算和比较相似比，我们可以确定两个图形是否相似，进而解决与形状和尺寸有关的几何问题。
二、比例定理比例定理是指在相似的图形中，对应边的长度之间保持比例关系。
在平面几何学中，有几个常见的比例定理：1. 边比例定理：在两个相似的三角形中，对应边的长度满足比例关系。
即若AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，则有AD/DF = BE/EF = AC/DE = k。
2. 面积比例定理：在两个相似的图形中，对应的面积满足比例关系。
如果两个图形的相似比为k，则它们的面积比为k²。
3. 体积比例定理：在两个相似的立体图形中，对应的体积满足比例关系。
如果两个立体图形的相似比为k，则它们的体积比为k³。
比例定理可以应用于各种几何问题的解决中，例如计算面积、体积、边长等。
相似三角形面积和边之比的关系
相似三角形面积和边之比的关系相似三角形是初等几何学中的一个重要概念。
它描述了两个或更多个三角形具有相同形状但可能不同尺寸的特性。
在相似三角形中，我们可以观察到面积和边之间存在着一种重要的关系。
在本文中，我们将深入探讨这个关系，以及它对几何学的应用。
让我们回顾一下相似三角形的定义。
相似三角形是指具有相同形状但不一定相同尺寸的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以得出结论：相似三角形的对应边之比等于它们的面积之比。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们之间的对应边之比为AB/DE。
现在，让我们考虑这两个三角形的面积。
根据几何学的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高并除以2。
三角形ABC的面积可以表示为：Area_ABC = (1/2) * AB * h_ABC，其中h_ABC是三角形ABC的高。
同样地，三角形DEF的面积可以表示为：Area_DEF = (1/2) * DE *h_DEF，其中h_DEF是三角形DEF的高。
由于三角形ABC和DEF是相似的，它们的对应边之比等于AB/DE。
假设相似比例为k，即AB/DE = k。
我们可以将这个比例代入到上述的面积公式中，得到：Area_ABC = (1/2) * (k * DE) * h_ABC = (1/2)* k * DE * h_ABC，以及Area_DEF = (1/2) * DE * h_DEF。
通过比较这两个表达式，我们可以得出结论：相似三角形的对应边之比等于它们的面积之比。
这个结论对于几何学的应用非常重要。
通过相似三角形的面积和边的关系，我们可以解决各种有关比例和比率的问题。
在房地产领域，我们可以利用相似三角形的面积和边之比来估算房屋的价格。
通过测量房屋的长度和宽度，并找到一个相似三角形来比较，我们可以根据它们的边之比来计算房屋的面积，从而估算出房屋的价值。
相似三角形的面积和边之比还可以应用于地理学和天文学中。
相似三角形的性质
：如图，已知：∽，相似比为分别作出与的高和和中，，，，
相似三角形的应用十分广泛，它与函数联系起来，会出现各种各样的变化。
掌握利用相
中，，，，，点在上，与点上
当的面积与四边形的面积相等时，求
当的周长与四边形的周长相等时，求
在，使得
的长
(1) (2) (3) 已知A （3，0），B （ACO=•∠BAO ，•则点________，•AC=_______．已知，如图4，△ABC 中，，DF ∥AC ，则图中共有________对相似三角形．．下列各组图形一定相似的是（．
．有一个角相等的等腰三角形 B ．有一个角相等的直角三角形
．有一个角是100°的等腰三角形 D ．有一个角是对顶角的两个三角形 ，AB=BC=CD=DE ，∠
(4) (5) (6)
．如图6，若∠则△____∽△_____，对应边的比例式为_______， ．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，，在坐标轴上找到点点D ，使△AOB 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． BD 于点F ，BE:EC=3:1，18FBE S
E，连接EN并延长交
．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子
，已知他的眼睛到地面的高度CD为
，你知道是什么吗？试加以说明．
上，请找出一个与△CF交AD•于点E．。
相似三角形比例关系及相似三角形证明变式
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式【知识疏理】一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。
二， 相似三角形证明的变式1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。
求证：DA·AC=BA ·AE图2题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。
2，对特殊图形的认识例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。
图3（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。
（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。
总结：（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；AB C A'B'C'图（4）图1 B AC双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。
在此基础上，将双垂直图形转化为“公边共角”，讨论、探究， ABC得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。
相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
1 4
2
32
（２）
所以它们的长与宽对应 成比例，
32
（１）
如果以图（１）最大矩形的左下顶点为原点， 宽和长所在直线分别为x轴、y轴，那么这组矩 形右上顶点的坐标都满足
y 2,即y 2x,也就是说它们在直线y 2x上 x
谈谈收获
今天我们了解了相似图 形王国的一个伟大的家族……
相似多边形
相似多边形的性质
解：对开后所得的矩形纸张和原来的矩形纸
张相似，理由如下：设原来的纸张为矩形Ａ ＢＣＤ，如图： BC 2
AB
连结ＢＣ与ＡＤ的中点Ｆ，Ｅ，则ＥＦ就把
矩形ＡＢＣＤ分为全等的两个矩形． A
E
D
在矩形ＡＢEF中，AB
BF
AB BC
AB 1 BC 2
2 2
2.
BF AB
B
F
C
矩形ＡＢＦＥ与矩形ＢＣＤＡ的对应角
个内角的度数,
然后与你的同
伴议一议;这两 C
个四边形的对
应角之间有什
B1
么关系?对应
边之间有什么 关系?
C1
A
D A1
D1
相似多边形 各对应角相等、各对应边成
比例的两个多边形叫做相似多边 形.
对应顶点的字母写在对应的位置上
相似比 相似多边形对应边的比叫做
相似比.
它们形状相同吗？
B
A
F
C
ED
A1 F1
相等，对应边成比例，矩形ＡＢＦＥ与
矩形ＢＣＤＡ相似
1、右面两个矩形相似，
求它们对应边的比. 2∶3
2
2、如图，两个正六边形的边长分别
3
为a和b，它们相似吗？为什么？
第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方[经验]
![第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方[经验]](https://img.taocdn.com/s3/m/380ac8fd162ded630b1c59eef8c75fbfc77d94b5.png)
第一点是相似三角形面积比等于对应边长比的平方；第二点是同高不同底的两个三角形面积之比等于这两个三角形的底边之比对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。
相似三角形的认识对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
（similar triangles）。
互为相似形的三角形叫做相似三角形相似三角形的判定方法根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应角相等）1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；绝对相似三角形1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
三角形相似的判定定理的推论推论一：顶角或底角相等的那个的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
三角形的相似性与面积的计算
三角形的相似性与面积的计算在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
掌握三角形的相似性和面积计算方法对于解决实际问题及数学学习非常重要。
本文将探讨三角形的相似性原理以及如何计算三角形的面积。
一、三角形的相似性相似性是指两个或多个图形的形状和内部角度比例相同的性质。
对于三角形来说，如果它们的内部角度相等，那么它们就是相似的。
具体来说，如果两个三角形的对应角度都相等，则它们是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下定理：定理1：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们的对应边长之比也相等。
定理2：如果两个三角形的两条边之比相等，并且它们夹角相等，那么这两个三角形是相似的。
利用三角形的相似性，我们可以进行各种问题的解答和证明。
例如，根据定理1，我们可以通过已知一个三角形的角度，推导出其他未知三角形的边长比例关系，从而解决同类题目。
二、三角形面积的计算计算三角形的面积是在几何学中非常常见的问题。
根据三角形的性质，我们可以有多种方法计算三角形的面积，包括以下三种。
1. 海伦公式海伦公式是一种计算三角形面积的方法，适用于已知三边长度的情况。
具体公式如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的边长，s表示三角形的半周长，计算公式为 s = (a+b+c)/2。
2. 底乘高法则当我们已知三角形的底边和高时，可以通过底乘高法则计算三角形的面积。
具体公式如下：S = 1/2 * 底 * 高3. 阳春面积法则当我们已知一个三角形的两边和夹角时，可以使用阳春面积法则计算三角形的面积。
具体公式如下：S = 1/2 * 边1 * 边2 * sin(夹角)其中，sin(夹角)表示该角的正弦值。
根据三角形的性质和以上方法，我们可以根据题目要求选择最合适的方法来计算三角形的面积。
结论：三角形的相似性与面积的计算是数学中重要的基础知识。
通过掌握相似性定理和面积计算方法，我们能够解决各种实际问题，并深入理解几何学中的相关概念。
相似三角形的面积比例与边长比例的关系
相似三角形的面积比例与边长比例的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形的面积比例与边长比例之间存在着一定的关系。
本文将探讨相似三角形的面积比例与边长比例之间的关系，并解释其原理。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们为相似三角形。
相似三角形的性质如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们为相似三角形。
2. 边长比例性质：相似三角形的对应边长之比相等。
二、相似三角形的面积比例相似三角形的面积比例与边长比例之间存在着一定的关系。
假设有两个相似三角形，其边长比例为k，则面积比例为k^2。
证明：设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，边长比例为k。
则可以得到以下等式：S1 = (1/2) * a1 * b1 * sin(A1)S2 = (1/2) * a2 * b2 * sin(A2)其中，a1和a2分别为三角形的底边，b1和b2分别为对应的高，A1和A2为对应的顶角。
根据相似三角形的性质，可以得到以下等式：a2 = k * a1b2 = k * b1A2 = A1将以上等式代入面积公式中，得到：S2 = (1/2) * (k * a1) * (k * b1) * sin(A1)= k^2 * (1/2) * a1 * b1 * sin(A1)= k^2 * S1因此，面积比例S2/S1 = k^2。
由此可见，相似三角形的面积比例与边长比例的平方成正比。
三、应用举例下面通过一个实际问题来应用相似三角形的面积比例与边长比例的关系。
问题：已知一个三角形ABC，其边长分别为a、b、c，三角形的高为h。
设另一个三角形DEF为相似三角形，且其边长比例为k（即DE=k*AB，DF=k*AC，EF=k*BC）。
求证：三角形DEF的面积为三角形ABC面积的k^2倍。
解答：首先根据相似三角形的性质，可以得到三角形DEF的边长为DE=k*AB，DF=k*AC，EF=k*BC。
相似图形与比例关系
相似图形与比例关系相似图形是指具有相同的形状但不一定相同的大小的两个或多个图形。
在相似图形中，各个对应部分的长度之比保持不变，这种比例关系被称为相似比例尺。
相似性质1. 对应角相等：在相似图形中，对应的角是相等的。
这意味着如果两个图形的角度相同，那么它们是相似的。
2. 对应边成比例：在相似图形中，对应边的比值是相等的。
假设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a和b，则它们的比例关系可以表示为a:b。
3. 长度比与面积比：在相似图形中，任意一对相似图形的对应边长度比等于它们的面积比的平方根。
即若a:b为相似图形的对应边长度比，那么它们的面积比为a^2:b^2。
应用举例1. 长方形的相似性：假设有两个长方形，它们的宽度和长度比分别为a:b，那么它们的面积比将为a^2:b^2。
这意味着如果一个长方形的宽度是另一个长方形的一半，那么它们的面积比将是1:4。
2. 直角三角形的相似性：在相似直角三角形中，三角形的两条直角边的长度比是相等的。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果有一条线段DE满足AB:DE=1:2，那么角BAC与角EDF将是相等的，其中DF是DE的平方根倍。
3. 圆的相似性：在相似圆中，圆的半径之比等于圆的周长之比，也等于圆的面积之比。
这意味着如果两个圆的半径之比为a:b，那么它们的周长和面积之比也将是a:b。
总结相似图形之间的比例关系可以帮助我们计算未知数的值，从而解决与相似性质相关的问题。
通过了解相似比例尺和相似图形的性质，我们可以更好地理解和应用这一概念。
在解决实际问题或进行几何推理时，相似图形与比例关系将为我们提供有力的工具。
相似形的特点和判断方法
相似形的特点和判断方法相似形是数学中的常见概念，它指的是在形状上相似的图形。
在几何学中，相似形具有一些特点和判断方法，本文将对这些内容进行详细的介绍。
一、相似形的特点1. 边比例关系：相似形的边与边之间存在比例关系。
即，如果两个图形的对应边的长度比值相等，则它们是相似形。
例如，对于两个相似三角形ABC和DEF，可以表示为AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 角度相等：相似形的对应角度是相等的。
这是相似形的重要特点之一。
如果两个图形的对应角度相等，则它们是相似形。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F。
3. 面积比例关系：相似形的面积与对应边长度的平方成正比。
即，如果两个相似形的对应边长度比为a:b，则它们的面积比为a²:b²。
二、相似形的判断方法1. 角对应判别法：如果两个图形的对应角度相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的基本方法之一。
例如，可以通过测量角度来判断两个三角形是否相似。
2. 边长比例法：如果两个图形的对应边长比值相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的常用方法之一。
例如，在判断两个三角形是否相似时，可以通过测量边长来比较它们的比例关系。
3. 角边对应法：如果两个图形的一个角等于另一个图形的对应角，且两个图形的两条边与这两个角的夹角分别相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的另一种方法。
例如，在判断两个三角形是否相似时，可以通过比较它们的角度和边长来应用这个方法。
4. 高与底比例法：如果两个三角形的高与底的比例相等，则它们是相似形。
这是相似形判断的一种特殊情况。
例如，在判断两个等腰三角形是否相似时，可以通过比较它们的高和底的比例来判断。
通过以上的特点和判断方法，我们可以准确地判断两个形状是否相似。
相似形在几何学和实际应用中都有重要的意义，它们之间的关系可以帮助我们解决许多与形状变换和比例有关的问题。
总结起来，相似形具有边比例关系、角度相等和面积比例关系等特点。
4.7 课时2 相似三角形的周长、面积比 课件 (共18张PPT) 数学北师版九年级上册
A′
B′
与
C′
换成五边形，结论一样.
经典例题
归纳总结
相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
新知讲解
问题回顾：
如图，小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD
和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(1) △ABC 与△A′B′C′ 相似比是
.
(2) 如果△ABC 的周长是 9cm，那么△A′B′C′ 的周长是 18 cm .
S△B′C′D′，则
D
△
， △
′′′ ′′′
△
各是多少？
△
A
解：(3) ∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△A′B′D′，
C
B
D′
∴
A′
B′
且相似比都为 k.
C′
与
都是 k2.
经典例题
如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
B
D′
=k.
∴△BCD 与△B′C′D′ 各边均成比例 .
A′
B′
=
C′
∴△BCD ∽△B′C′D′.
经典例题
如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
例2
(3) 设△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′ 的面积分别是 S△ABD，S△A′B′D′，S△BCD，
9倍.
( ×)
随堂练习
2. 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100
3
，求四边形
相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方
如 图 ， 已 知 DE∥FG∥MN∥BC ， 且 AD
＝DF＝FM＝MB，则 S1:S２:S３:S4
＝ 1︰3︰5︰7 。
A
D S1 E
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
3、如图在平行四边形ABCD中，
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
C C’
A
B A’
B’
如图，已知
△ABC∽△A’B’C’，相似
比为k,则△ABC与△A’B’C’
的周长比等于什么？怎么来
说明？
• 如果△ABC∽△A’B’C’，相似比为k
• 那么 AB BC CA k AB BC CA
• 于是 AB kAB, BC kBC,CA kCA
• 所以 AB BC CA kAB kBC kCA k AB BC CA AB BC CA
于是 AD kAD' , BC kBC
AD.BC kAD'.kBC k2 AD'.BC AD'.BC
又因为 三角形ABC面积 1 BC.AD 2
三角形A' B'C'面积 1 B'C'.A' D' 2
所以
三角形ABC面积 三角形A' B'C'面积
相似三角形的周长和面积
1 ) 2
2
判断
（1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的 ）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5 倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。（√ ） 那么它的周长也扩大为原来的 倍 （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的 倍， ）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍 那么它的三边也扩大为原来的9倍 那么它的三边也扩大为原来的 倍。（ ）×
练 一 练 的相似比为2： ， （1）已知 ）已知∆ABC与∆A/B/C/ 的相似比为 ：3， 与 ： ： 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， ： 面积之比为 4：9 。 且面积之比为9： ， （2）已知 ）已知∆ABC∽∆A/B/C/，且面积之比为 ：4， ∽ ： ： 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的 ： 高线之比 3：2 。
2、蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是 、蛋糕店制作两种圆形蛋糕， 15cm，一种半径是 ，一种半径是30cm，如果半径是 ， 15cm的蛋糕够 个人吃，半径是 的蛋糕够2个人吃 的蛋糕够 个人吃，半径是30cm的蛋 的蛋 糕够多少人吃？ 糕够多少人吃？ 假设两种蛋糕高度相同） （假设两种蛋糕高度相同） 3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一 、在一张复印出来的纸上 一个多边形的一 条边由原图中的2cm变成了 变成了6cm,这次复印 条边由原图中的 变成了 这次复印 的放缩比例是多少?这个多边形的面积发生 的放缩比例是多少 这个多边形的面积发生 了怎样的变化? 了怎样的变化
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1.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )
A ．9.5
B ．10.5
C ．11
D ．15.5
2.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ）
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．3∶2
D ．3∶3
3.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ▲ ．
4 如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形A BCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．下面结论：①只有一对相似三角形；②E F ：ED=1：2；③S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．③
C ．①
D ．①②
5.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，
直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD
= ．[来源:学§科§
6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点O ，S △AOD ：S △COB =1：9，则S △DOC ：S △BOC = _________ ．
7．如图，在△ABD 中，∠ADB=90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 _________ ．
8．在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=DC ．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为 _________ ．
9.如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 。
10．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2
和8，则四边形AOED 的面积为（ ）
A 、16
B 、32
C 、38
D 、40
A
E
F D
G C B
11.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么S △DPQ ：S △ABC = ．
12、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB
上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ．
O E D C B A E F D C B
A
O A 1 A 2 A 3 A 4 A
B B 1 B 2 B 3
1
4。