2018版高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案北师大版

3.2.3 互斥事件

1．了解互斥事件的概念及概率加法公式．

2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系．

3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点)

4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 互斥事件

阅读教材P138～P140“例5”以上部分，完成下列问题．

1．互斥事件的定义

在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生

给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．

根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．

3．互斥事件的概率加法公式

一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．

如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n 中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知事件A与B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )

(2)若三个事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )

(3)袋子中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，“恰有一个白球”和“全是白球”是互斥事件．( )

【解析】 (1)×，A 与B 互斥时P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)×，P (A )＋P (B )＋P (C )的值不确定． (3)√，恰有一个白球与全是白球是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√

教材整理2 对立事件及其概率的求法公式

阅读教材P 140“例5”至P 143“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定义

在每一次试验中，如果两个事件A 与B 不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件

A 与

B 称作是对立事件，事件A 的对立事件记为A .

2．性质

P (A )＋P (A )＝1，即P (A )＝1－P (A )．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)事件A 与事件B 互斥，则事件A 与B 互为对立事件．( ) (2)事件A 与B 若满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( ) (3)若事件A 与B 互为对立事件，则A 与B 互斥．( ) 【解析】 (1)×，A 与B 不一定对立．

(2)×，例如a ，b ，c ，d 四个球，选中每个球的概率相同，事件A 为选中a ，b 两个球，则P (A )＝12；事件B 为选中b ，c 两个球，则P (B )＝1

2，则P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对

立事件．

(3)√，对立事件一定是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√

[小组合作型]

对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)恰有1名男生与恰有2名男生； (2)至少1名男生与全是男生； (3)至少1名男生与全是女生．

【精彩点拨】 要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，

看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．

【自主解答】从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．

(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；

(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．

2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．

[再练一题]

1．判断下列给出的条件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任取一张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．

【解】(1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．