全维、降维观测器
江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第6章.答案
=
C R
P1
CP1
RP
1
I qq 0
0 I ( n q )( n q )
再来讨论(n－q)维状态观测器的构建，用线性变换 x = Px，
将方程(1)变换成
x = PAP-1x + PBu y = CP-1x = CP-1x = Iqq 0 x
记 : A＝PAP－1 B＝PB
C CP1
以足够快的速度趋近于零，也就是说，不管状态观测器的
初始状态如何，状态观测器所重构的状态变量 xˆ 终将逐渐
趋近于实际状态 x ，所以，这样的状态观测器也称之为渐 进状态观测器。该性质也使其在实际使用中毋需设置初始 状态。
第6章 状态观测器
江苏大学电气学院
值得一提的是，虽然 (A－MC) 特征值的负实部离虚
i (A C M ) i , i =1,2, , n
求出M后，即可构成闭环状态观测器：
xˆ = (A - MC)xˆ + My + Bu
(8)
第6章 状态观测器
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全维状态观测器的另一种设计方法是，先对被观测系
统进行非奇异变换 z＝T，x 再从形式上列出类似于式(8)
的观测器方程。
B
x
x C
y
A
xˆ 0
B
xˆ
xˆ C
yˆ
A
第6章 状态观测器
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这样的观测器称为开环状态观测器，从开环状态观测
器中取出 xˆ 可作为 x 的估计值近似替代，当然希望 xˆ 与x 是相等的。用 x 来表示 x 和 xˆ 的偏差，即 x x xˆ ， 下面来简单分析估计偏差 x的特性。式(1)和式(2)相减得
一类线性时变系统的状态观测器设计方法
摘要该论文主要研究控制领域中的线性时变系统的状态观测器设计问题，其目获得的问题。
区别于在状态观测器理论方面已经趋于成熟的线性定常系统，线性时变系统的研究相对困难并且具有挑战性，所发表出的理论成果较少，并且容。
该论文的设计思路是对于原有的线性时变系统，首先对其进行线性非奇异变换以使得变换后的系统具有某种特殊形式，而后对变换后的系统进行状态观测器设计，并最终达到重构原有系统状态的设计要求。
针对此思路能够得知设计工作主要划分为两个部分，即线性非奇异变换以及状态观测器设计。
首先，该论文提出线性时变系统基于方块展开的状态观测器设计。
线性非奇异变换后的系统中系数矩阵皆为分块形式，并且其中包含较多的零阵以及单位阵。
而后对变换后的系统进行全维，降维以及Luenberger状态函数观测器设计，给出各自的动态方程，系数矩阵求解方法以及算法步骤等。
其次，该论文提出线性时变系统基于行展开的状态观测器设计。
线性非奇异变换矩阵由原有系统能观测性矩阵中线性无关的行经过运算得到。
变换后的系统仍为分块形式，不同点在于其各个子块中均包含较多的零元。
而后对变换后的系统进行全维状态观测器设计。
上述基于一种设计思路，两种设计方法得到的各个状态观测器均由仿真验证其可行性以及有效性。
并且针对两种设计方法该论文给出对比，从而在具体最后，该论文还对线性时变系统中闭环系统的分离原理问题进行了初步研究，得到该论文所设计出的状态观测器均符合分离原理的结论。
该论文主要研究成果是对线性时变系统的状态观测器设计此研究课题在理论层面上的推进与添补。
所设计出的状态观测器其优点在于可以避免求解复杂的矩阵微分方程，并且将部分运算转化到线性定常系统中。
这样极大地降低与关键词：线性时变系统；状态观测器设计；线性非奇异变换；分离原理AbstractIn this paper, linear state observer design of linear time-varying systems has been researched to solve the state reconstruction problem that states cannot be acquired compeletely or partialy due to various reasons in actual engineering. Different from the mature theory of state observer for linear time-invariant systems, research on linear time-varying systems is ralatively more difficult and challenging, less amount of theoretical achievements and closer to the actual project. So it is the research focus in recent years. The main contents of this paper are described below.Design ideas of this paper is to transform the original linear time-varying systems into some special form with linear non-singular transformations initially. Then the state observer design based on the linear time-varying systems transformed can achieve the reconstructed state of original linear time-varying systems. For this idea, we can know that the design work is divided into two parts, namely, linear nonsingular transformation and state observer design.Firstly, the state observer design of linear time-varying systems based on the square matrices is presented. The coefficient matrices of systems transformed are all partitioned including much zero and unit submatrices. Then the full, reduced and Luenberger state observer design of transformed systems are illustrated detailed including some aspects such as the solutions of dynamis equations and coefficient matrices, as well as the algorithms and their steps.Secondly, we propose the state observer design for linear time-varying systems based on row expansion. The linear nonsingular transformation matrix is obtained by computing the linearly independent rows of observation matrix. The coefficient matrices of transformed system are still partitioned, and the difference between two linear nonsingular metiods is that each of its sub-blocks contains much zero elements. The the full state observer is designed.Based on a design idea, all the state observers obtained by the two design methods are proved to be feasible and effective by simulation. Moreover, the contrast of two methods is proposed in this paper in order to select in actual engineering.Finally, the paper studies the separation principle of closed loop system in linear time-varying system, and obtains the conclusion that the state observer designed in this paper meets the separation principle.The main research results of the paper is to promote and increase theoritical achienements of the state observer design for linear time-varying systems. The pivotal merit is that it can avoid solving complex differential equations by transforming them into constant partially. These reduces and simplifies the computational complexity aswell as the amount of computation greatly. Therefore, they also have practical engineering significance.Keywords: Linear time-varying systems; state observer design; Linear nonsingular transformation; Separation principle目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1论文课题来源及研究背景和意义 (1)1.1.1 课题来源 (1)1.1.2 课题的背景及意义 (1)1.1.3 时变系统分类 (2)1.1.4 观测器分类 (3)1.2国内外研究现状 (3)1.3论文主要研究内容及安排 (5)第2章基础内容介绍 (6)2.1线性时变系统概述 (6)2.1.1 线性时变系统模型及相关定义 (6)2.1.2 线性时变系统稳定性 (7)2.2线性时变系统的线性非奇异变换 (8)2.3线性定常系统状态观测器设计基本介绍 (10)2.3.1 全维状态观测器 (10)2.3.2 降维状态观测器 (11)2.3.3 LUENBERGER状态函数观测器 (12)2.4函数矩阵运算介绍 (12)2.5本章小节 (13)第3章基于方块展开的状态观测器设计 (14)3.1基于方块展开的线性非奇异变换 (14)3.2全维状态观测器设计 (17)3.3降维状态观测器设计 (21)3.4LUENBERGER状态函数观测器设计 (23)3.5状态观测器的分离原理研究 (27)3.6仿真验证 (32)3.7本章小结 (37)第4章基于行展开的状态观测器设计 (38)4.1相关理论基础 (38)4.2基于行展开的线性非奇异变换 (41)4.3全维状态观测器设计 (44)4.4两种状态观测器设计方法对比 (46)4.5仿真验证 (46)4.6本章小结 (48)结论 (50)参考文献 (51)攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果 (56) (57)致谢 (59)第1章绪论1.1 论文课题来源及研究背景和意义1.1.1 课题来源本课题来源于国家自然科学基金重大项目-空间翻滚目标的捕获策略及组合体的快速稳定控制以及国家自然科学基金创新研究群体项目-航天飞行器的鲁棒控制理论及应用。
现代控制理论基础_周军_第五章状态反馈与状态观测器
5.1状态反馈与极点配置一、状态反馈系统的动态方程以单输入-多输出受控对象动态方程为例：(5-1)将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在(5-2)这时便构成了状态反馈系统，见图5-1。
图5-1 状态反馈系统结构图(5-3)(5-4)式中v为纯量，为维向量，为维矩阵，为维向量，为维行矩阵，为维向量，为维矩阵。
为闭环状态阵，为闭环特征多项式。
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控证明若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有若在变换后的状态空间内引维状态反馈矩阵：(5-5)其中分别为由状态变量引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：(5-6)(5-7)式中(5-8)该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。
特征方程为：(5-9)显见，任意选择阵的个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。
将逆变换代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：(5-10)与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵为：(5-11)需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为维。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。
状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。
不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。
若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
现代控制理论习题之状态观测设计
对应于原系统的观测器矩阵： ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ P1 = V0 −1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, Po = [ p1 ⎣1 ⎦ ⎣1 ⎦
u
∑ ( A, B, C )
y
6.5
2
1 x
x1
15.3 x
x3
题 6-2 图 1
(2) 确定降维观测器的维数：m=1，n=3，则 n-m= 2。 分解输出系数矩阵 c，获得线性变换矩阵 T，对原状态空间表达式进行线性变换，使 各输出变量 y 变成各状态变量的单值函数：
f *(s) = (s + 3)(s + 4) = s2 + 7s +12 ⎡s 0⎤ ⎡−1 −1⎤ ⎡l1⎤ f (s) = sI − (A22 − LA 12) = ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ + ⎢ ⎥[− 2 − 4] ⎣0 s⎦ ⎣−1 −1⎦ ⎢ ⎣l2⎥ ⎦ = s2 + (−4l2 − 2l1 + 2)s + (2l1 − 2l2) ⎡l ⎤ ⎡ 3.1667⎤ f *(s) = f (s) ⇒ L = ⎢ 1⎥ = ⎢ ⎥ ⎢l2⎦ ⎥ ⎣− 2.8333 ⎦ ⎣
系统能观，可设计观测器。 求希望特征多项式：
f * ( s ) = ( s + 3)( s + 4)( s + 5) = s 3 + 12 s 2 + 47 s + 60
求观测器特征多项式：
f ( s ) = sI − A + LC
5.5状态观测器设计
N =B, K =E
于是得到一特定的n 维KX 观测器。
⎧ z& = ( A − LC )z + Bu + Ly
⎨ ⎩W
=
Kz
(5-35)
称此为∑ 的一个全维KX观测器；K=I为 ∑ 的一个全维状态观测
器.
因为满足结构条件的L 不唯一,全维观测器也不唯一。全6 维
观测器设计较简单。
5.5.2 全维状态观测器设计
⎨ ⎩
W = Ez
(5-34)
称为全维观测器。
若 r < n ，M ≠ 0 ，相应观测器称为降维观测器。
对 r = n 全维观测器，参数除按通常步骤外，有特定取法：
F = A − LC ,
G=L
则 PA− FP = PA− (A − LC)P = PA− AP + LCP = LC
有 P = In 从而
y = [1 1 0 ] x
设计特征值为-3,-3和-4的全维状态观测器.
解:
⎡c⎤
⎡1 1 0⎤
rank
⎢ ⎢
cA
⎥ ⎥
=
rank
⎢ ⎢
−1
−3
−1⎥⎥ = 3 = n
8
⎢⎣cA2 ⎥⎦
⎢⎣ 0 5 0 ⎥⎦
可知系统完全观测.
⎡−1 0 1 ⎤
⎡1⎤
A
=
AT
=
⎢ ⎢
−
2
−1
0
⎥ ⎥
,
b
= cT
=
完全能控
⎡ 1 0 0⎤ ⎡0 −1 1⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡ 2 2 1⎤
P = ⎡⎣ A2b Ab b ⎤⎦ ⎢⎢α 2
1
降维状态观测器课件
闭环传递函数不变性：观测器不改变直接状态反馈系统的
传递函数矩阵 C(sI A BK )1 B C (sI A)1 B
鲁棒性：一般地，鲁棒性变差。
总结
总结
总结
ROB
dim ROB n q # 降维状态观测器在工程实现上比全维状态观测器简便；
# 降维状态观测器在抗噪声方面不及全维状态观测器。
降维状态观测器：综合方案 I
方法1
降维状态观测器：综合方案 I
降维状态观测器：综合方案 I
方案1的降维状态观测器结构图
降维状态观测器：综合方案 I I
方法2（思路类似于全维状态观测器方案2）
降维状态观测器：综合方案 I I
降维状态观测器：综合方案 I I
方案2的降维状态观测器结构图
6.14 Kx―函数观测器
Kx―函数观测器
基本思想
有时重构状态的最终目的是为了获得状态的某种组合如 Kx 的估计。 直接重构 Kx可能使观测器的维数较降维状态观测器的维数更低。
问题描述
给定线性系统
x ：n 维 u ：p 维 y ：q维
Kx―函数观测器的综合算法
Kx―函数观测器组成结构图
Kx―函数观测器组成结构图
6.15 基于观测器的状态反馈控制系统的特性
6.15 基于观测器的状态反馈控制系统的特性
6.15 基于观测器的状态反馈控制系统的特性
基于观测器的状态反馈控制系统的特性
6.15 具有观测器状态反馈控制系统和具有补偿器输出反馈系统的等价性
6.13 降维状态观测器
降维观测器
全维观测器的原理
全维观测器的原理
全维观测器（全局观测器）是一种系统控制理论中常用的观测器设计方法，它用于估计一个系统的未测量状态变量。
全维观测器的原理基于系统状态方程和输出方程，通过在系统中引入一个观测器来估计系统的状态变量。
观测器的结构与实际系统的结构相似，由一个状态方程、一个输出方程和一个观测误差方程组成。
全维观测器的状态方程是由实际系统的状态方程推导得到的，但是观测器的参数是通过一定的设计方法确定的。
观测器的输出方程与实际系统的输出方程相同，即观测器可以输出与实际系统完全相同的测量结果。
观测器的原理是基于对实际系统的估计误差进行反馈修正的原理。
通过观测器的输出与实际系统的输出之间的误差，可以得到对实际系统状态变量估计的误差。
利用这个误差，可以通过一定的修正算法来更新观测器的参数，使得观测器的估计结果逐渐接近实际系统的状态变量。
全维观测器的设计方法有很多，常见的方法包括最小二乘法、Kalmman滤波器等。
其中，最小二乘法是利用观测器的输出与实际系统的输出之间的误差最小化来确定观测器的参数。
Kalmman滤波器则是一种利用贝叶斯定理来估计系统状态的方法，它通过观测器的输出与实际系统的输出之间的协方差矩阵来确定观测器的参数。
总之，全维观测器通过利用系统的状态方程、输出方程和观测误差方程来估计系统的状态变量。
利用观测器的输出与实际系统的输出之间的误差，可以对观测器的参数进行修正，从而逐渐接近实际系统的状态变量。
全维状态观测器的设计
全维状态观测器的设计全维状态观测器（Full State Observer）是一种常用于控制系统中的重要部件，用于获取系统的全部状态信息。
它通常是通过对系统的输入输出进行观测，并通过数学模型来估算系统的状态。
全维状态观测器的设计可以通过以下步骤来完成。
第一步是系统建模。
将所要观测的系统建立数学模型，可以采用物理方程或者数学模型的方式。
常见的数学模型包括状态方程和输出方程。
状态方程描述了系统状态的时间演变规律，输出方程则描述了系统输出与状态之间的关系。
这些方程可以通过系统的运动方程，控制方程和物理特性等来建立。
第二步是选择观测器类型。
全维状态观测器有多种类型，包括基本观测器、极点配置观测器和最优观测器等。
基本观测器是使用系统的状态方程和输出方程来估算系统状态的观测器，而极点配置观测器和最优观测器则是通过最小化误差来估算系统状态，从而提高观测器的精度。
合适的观测器类型应该根据控制系统的需求来选择。
第三步是计算观测器矩阵。
观测器矩阵是观测器中用来计算系统状态的矩阵。
它可以使用系统的状态方程和输出方程来计算。
观测器矩阵需要满足一些性质，例如它需要是可观测的，并且需要保证系统状态与观测器状态的误差最小。
第五步是实现观测器。
实现观测器需要将观测器矩阵和观测器增益输入到观测器中，并对观测器的输入输出进行校验。
一旦观测器被设计并实现，它就可以用于控制系统中，并用来估算系统的全部状态信息。
总之，全维状态观测器的设计是控制系统中的重要部件，可以极大地提高控制系统的精度和稳定性。
设计一个好的全维状态观测器需要仔细分析系统模型和观测器类型，计算观测器矩阵和观测器增益，并进行实现和调试。
状态观测器
为什么引入修正项？
1）不引入时观测器为开环形式，对不确定性敏感； 2）每次运行时必须设定观测器状态与系统状态的
初值相同x0 x0 3) 若A包含不稳定特征根，则很小的初态偏差会
导致以后的状态偏差愈来愈大 4）设观察偏差e x x,则观察偏差的状态方程为
e ( A LC)e， e(0) x0 : x0 x0
3) F为Hurwitz稳定矩阵。
e z Tx e z Tx Fz Gy Hu TAx TBu
Fe (FT TA GC)x (H TB)u Fe
十、状态重构问题和状态观测器
算法2 设{A, B}能控,{A,C}能观测。
第1步： 根据希望极点i*,i 1, 2, , n,计算特征多项式
一、状态重构问题和状态观测器
算法1（根据对偶原理）
给定系统 : x Ax Bu, y Cx，设{A,C}能观测。
预先选定观测器期望极点{1, , n}。 第1步： 导出对偶系统 : AT CT , BT
第2步： 利用极点配置算法确定矩阵K使得
i ( AT CT K ) i , i 1, , n
十、状态重构问题和状态观测器
结论
1）系统通过形如ob1的全维状态观测器来重构系统的状态, 反馈矩阵L存在的 充分必要条件是：被观测系统不能观测部分渐近稳定； 充分条件是：被观测系统{ A, C}完全能观测。
2）系统通过形如 ob1的全维状态观测器来重构系统的状态, 反馈矩阵L可以任意配置观测器极点的 充分必要条件是：被观测系统{ A, C}完全能观测。
复制：基于被观测系统A, B,C，
x Ax Bu L( y y),
现代控制理论第五章讲义1
对于q维输出系统，有q个输出变量可直接由 传感器测得，若选取该q个输出作为状态变 量，它们便无需由观测器作出估计，观测器 只需估计（n-q）个状态变量，称为降维观 测器。它是（n-q）维子系统，结构简单， 工程上易于实现。为此，需要由受控对象动 态方程导出（n-q）维子系统动态方程，建 立降维观测器的观测模型。
g1 8.5 3 2 g1 20 2 4 g1 2 g 2 100 g 2 32
状态观测器为
g1 G g2
ˆ ˆ x [ A GC ]x bu Gy ˆ ˆ y Cx
5.5 状态观测器的设计
四、降维观测器
第六节 状态观测器实现状态反馈
在前面几节中，我们讲述了利用状态观测器 解决受控系统的维数重构问题从而使得状态 反馈系统得以实现，本节主要讨论利用观测 器进行状态估值反馈的系统与状态直接反馈 的系统之间的区别。
5.6 利用状态观测器实现状态反馈 一、系统结构与状态空间表达式
在一个带有全 维状态观测器 的状态反馈系 统中，设能控 能观的受控系 统∑0=（A、B、 C）为
* g 0 a 0 a0 * g1 a1 a1 g a* a ˆn n 1 n 1
5.5 状态观测器的设计
例、已知系统 1 1 0 x x 1u 0 2 y 2 0x 试设计一个状态观测器 ，使其极点为－ ， 10。 10
1
sI A HC
1
1
B 0
C 0
sI A BK B
1
0
C sI A BK B
同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计
同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计吴 阳 1张建成2摘 要 针对同时含有未知输入和测量干扰的不确定系统研究了全维和降维观测器设计问题. 首先, 利用待定系数法给出了全维观测器的结构和存在条件. 该条件完全由原系统的系统矩阵给出, 易于检验. 对于降维观测器, 为了消除测量干扰的影响, 提出了一种新的测量输出构造方法, 使得新构造的测量输出不再包含干扰信号. 此外, 证明了全维和降维观测器存在条件的内在统一性, 即全维观测器所需要满足的观测器匹配条件和强可检测条件在研究降维观测器所要讨论的新的系统中都可以得到保持. 因而, 在全维观测器存在条件下, 也可以设计一个相应的降维观测器. 最后, 给出了一个数值例子验证所提方法的有效性.关键词 未知输入观测器, 测量干扰, 全维观测器, 降维观测器引用格式 吴阳, 张建成. 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计. 自动化学报, 2022, 48(8): 2108−2118DOI 10.16383/j.aas.c190505Full- and Reduced-order Observer Design for Systems With Boththe Unknown Inputs and Measurement DisturbancesWU Yang 1 ZHANG Jian-Cheng 2Abstract The present paper is concerned with the full-order and reduced-order observer designs for uncertain sys-tems with unknown inputs and measurement disturbances. Firstly, the structure and existence conditions of the full-order observer are given by the undetermined coefficient method. This condition is completely given by the system matrices of the original system and is easy to test. For the reduced-order observer, in order to eliminate the influ-ence of measurement disturbances, a new measurement output construction method is proposed in which the newly constructed measurement output no longer contains disturbance signals. In addition, the consistency of the exist-ence conditions between the full-order and the reduced-order observers is proved. That is, the observer matching condition and strong detectable condition that the full-order observer needs to satisfy can be maintained in the new system to be discussed in the reduced-order observer design. Therefore, under the existence condition of the full-or-der observer, we can also design a corresponding reduced-order observer. Finally, a numerical example is given to verify the effectiveness of the proposed method.Key words Unknown input observer, measurement disturbance, full-order observer, reduced-order observerCitation Wu Yang, Zhang Jian-Cheng. Full- and reduced-order observer design for systems with both the un-known inputs and measurement disturbances. Acta Automatica Sinica , 2022, 48(8): 2108−2118在原控制系统存在未知输入信号的条件下, 基于原系统的结构并利用其已知输入和可测输出构造出一个新的系统, 以此达到对原系统状态和未知输入估计的目的, 这样的新系统就称为原系统的一个未知输入观测器(Unknown input observer, UIO)[1−4].未知输入观测器在工程中有着广泛的应用背景. 例如, 在机械工具的应用中, 工具施加的切割力作为系统的输入很难测量, 或者是即便可测但是测量的代价太高. 如果把切割力作为机械工具系统的未知输入, 就可以构建UIO 将系统状态和该未知输入同时估计出来[5]. 事实上, 控制系统的执行器故障, 外部干扰以及在基于混沌同步的保密通信的信号接收端所需要还原的未知信号等都可以看作系统的未知输入[6−10]. 因此, UIO 技术在故障检测和重构, 基于观测器的鲁棒控制以及保密通信等方面发挥着重要作用[11−12]. 几十年来, 一直是控制理论和工程学者研究的热点问题[12−18].需要指出的是, 经典的UIO 技术主要针对不含收稿日期 2019-07-02 录用日期 2019-10-21Manuscript received July 2, 2019; accepted October 21, 2019国家自然科学基金(61803181), 中国博士后科学基金(2019M651695),江苏高校 “青蓝工程” 优秀青年骨干教师项目基金 (苏教师函 [2021]11)资助Supported by National Natural Science Foundation of China (61803181), China Postdoctoral Science Foundation (2019M 651695), and Outstanding Young Backbone Teacher Project of Jiangsu University “Qinglan Project” (Su Teacher [2021] No. 11)本文责任编委 张卫东Recommended by Associate Editor ZHANG Wei-Dong1. 无锡太湖学院智能装备工程学院 无锡 2140642. 江南大学理学院 无锡 2141221. School of Intelligent Equipment Engineering, Wuxi Taihu University, Wuxi 2140642. School of Science, Jiangnan Uni-versity, Wuxi 214122第 48 卷 第 8 期自 动 化 学 报Vol. 48, No. 82022 年 8 月ACTA AUTOMATICA SINICAAugust, 2022H ∞测量干扰的系统. 诚然, 一旦测量输出受到不确定干扰的影响, 其观测器设计会变得异常困难. 然而,对于许多实际系统来说, 输出通道中又往往不可避免地受到传感器故障, 测量噪声等不确定干扰信号的影响. 因此, 对同时含有未知输入和测量干扰系统研究如何消除输出通道中的不确定干扰并进而设计观测器具有重要意义, 并已经受到众多学者们的关注[19−23]. 例如, Dimassi 等[19]针对同时含有未知输入和测量噪声的系统研究了自适应滑模观测器的设计问题. Yang 等[20]利用滑模微分器技术解决了观测器匹配条件不满足时的观测器设计问题. Li 等[23]基于 理论讨论了未知输入和测量噪声同时重构问题. 注意到, 上述针对同时含有未知输入和测量干扰系统观测器设计问题的研究中大部分文献都采用经典的描述系统方法来消除测量干扰[21]. 该方法的思路是通过增维的思想将原系统状态和测量干扰写成一个新的状态向量. 这样以来, 原来的一般系统就可以写成一个描述系统, 而基于新的状态向量其输出方程在形式上已经不再包含干扰. 进而, 可针对该描述系统进行观测器设计. 该方法的优点是思路简单且在估计状态的同时可以将测量干扰也估计出来. 但是该方法在将一般系统写成描述系统的同时一方面会增加系统维数, 进而增加系统的复杂性, 另一方面还可能会改变系统的干扰解耦条件.此外, 基于该方法, 系统干扰解耦条件只能基于描述系统的参数矩阵给出而不能基于原系统的参数矩阵给出, 这也会给观测器设计条件的验证带来一定的困难.另一方面, 相比于全维观测器, 降维观测器由于只需要估计系统的部分状态, 因而可以具有较低的维数. 这意味着, 在工程中只需要使用较少的积分器就可以将全部的状态估计出来, 不但可以节约硬件成本, 还可以在很大程度上降低系统的复杂性.然而, 对于同时含有未知输入和测量干扰的系统,由于测量干扰的存在, 经典的降维观测器设计变得极其困难. 这是因为经典的降维观测器设计中一般包含两个步骤: 1) 利用状态变换将部分状态信息从测量输出中提前分离出来; 2) 利用测量输出构造动态观测器将剩余的状态估计出来. 因此, 如果测量输出中包含有未知的干扰信号, 经典的降维观测器设计方法中的步骤1)和步骤2)都将无法实施, 也就无法设计降维观测器. 因此, 找到一种在不增加系统状态维数和设计保守性的前提下同时能够消除测量干扰的降维观测器设计方法很有意义.基于以上观察, 本文针对同时含有未知输入和测量干扰的系统全维和降维观测器设计问题展开较为系统的研究. 本文的主要贡献和创新点体现在:1)利用待定系数法给出并证明了全维观测器结构和存在条件. 该条件完全由原系统的参数矩阵表示,易于验证. 其中, 对存在条件的分析和证明是本文难点所在. 2)为消除测量干扰对降维观测器设计的影响, 提出了构造新的测量输出的思路, 使得新的测量输出不再包含干扰信号. 与经典的描述系统方法相比, 该方法不需要增加系统状态的维数. 3)证明了全维和降维观测器存在条件的内在统一性, 即全维观测器设计所需要满足的观测器匹配条件和强可检测条件在研究降维观测器设计时所要讨论的新的系统中都可以得到保持. 因而, 只要全维观测器存在, 降维观测器也存在.本文内容安排如下: 第1节是问题描述和主要结论. 第2节给出仿真算例来验证方法的有效性.最后在第3节给出结论.1 问题描述与主要结论1.1 问题描述考虑一类同时具有未知输入和测量干扰的不确定系统x ∈R n ,u ∈R m ,y ∈R p ,ω∈R q ,η∈R r A,B,D,C,F n >p ≥q +r D,F 其中, 分别为系统的状态, 控制输入, 可测输出, 未知输入和测量干扰向量. 分别为已知的常数矩阵.不失一般性, 假设 且矩阵 满秩.本文将讨论系统(1)的全维和降维观测器存在条件和设计方法. 在第1.2节首先通过对全维观测器设计的分析得出其存在条件. 在第1.3节将证明在全维观测器的存在条件下, 也能设计一个相应的降维观测器.1.2 全维观测器本节来讨论全维观测器的设计. 构造具有如下形式的全维观测器z (t )ˆx x N,G,HE e (t )=x (t )−ˆx (t )其中, 为观测器状态, 为 的估计. 和 为待定的常数矩阵. 令 为状态估计误差, 则有8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2109I n n e (t )其中, 表示 维的单位矩阵. 计算 的动态方程可得e (t )→0,t →∞因此, 若要 , 须有N 且矩阵 为Hurwitz 稳定阵.E,K H,G N N 显然, 若先能确定 , 那么根据矩阵方程(4) ~ (9), 我们还能确定矩阵 和 . 下面, 给出能保证式(4) ~ (9)成立和矩阵 可稳的条件以及相应的引理.假设 1. 系统(1)的系数矩阵满足观测器匹配条件, 即K E 引理 1. 假设1成立, 当且仅当存在矩阵 和 使得式(6) ~ (8)成立.证明. 矩阵方程(6) ~ (8)可重写为K E 因此, 存在和 使得式(11)成立的条件是而根据式(12)和式(13)可直接得出引理的结论. □N 为了保证矩阵 可稳, 给出假设2和相应的结论引理2.s 假设 2. 系统(1)的系统矩阵满足强可检测条件, 即对于所有具有非负实部的复数 都有K E N 引理 2. 系统(1)满足强可检测条件, 则存在矩阵 和 使得矩阵 为Hurwitz稳定.证明. 注意到K E 其中, 矩阵 和 满足式(11). 记K E 则由式(11)得矩阵 和 为Σ†ΣΣΣ†Σ=ΣZ 其中, 为矩阵 的广义逆矩阵, 满足 , 为具有适当维数的任意矩阵. 将式(15)代入到式(14), 得其中2110自 动 化 学 报48 卷[]N (Π1,Π2)为常数矩阵. 因此, 为了证明 可稳定, 只需要证明 可检测.s 事实上, 对于任意具有非负实部的复数 , 都有另一方面,s 由式(16)和式(17)并结合假设1知, 对于所有具有非负实部的复数 都有(Π1,Π2)即 可检测. □x (0)u (t )y (t )≡0⇒x (t )→0,t →∞注 1. 系统(1)满足强可检测条件[1], 即对于任意初值 和任意控制输入 都有 . 该条件能够保证观测器误差系统的稳定性.由引理1和引理2可知, 当系统(1)满足假设1和假设2时, 全维观测器(2)存在, 由此我们给出定理1.K,E,G,H N ˆx (t )→x (t ),t →∞定理 1. 基于假设1和假设2, 存在增益矩阵 和Hurwitz 稳定矩阵 满足式(4) ~(9), 则系统(2)为系统(1)的一个全维观测器, 且 .证明. 由引理1和引理2立即可得到本定理的8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2111结论. □我们将全维观测器的设计步骤总结为算法1.算法 1. 全维观测器的设计步骤 1. 判断系统(1)是否同时满足假设1和假设2, 若是, 进入下一步; 否则, 设计失败.Σ,ΥΥ†Z N 步骤 2. 计算矩阵 和 , 选取增益矩阵 使得矩阵 为Hurwitz 稳定阵.G,H,E N 步骤 3. 计算矩阵 和 , 构造全维观测器(2).ω(t )η(t )N 注 2. 在全维观测器设计中, 我们不光要将未知输入 和测量干扰 解耦(即保证式(5) ~ (8)成立), 还要保证解耦完成以后误差系统极点的可配置性(即矩阵 为Hurwitz 稳定). 如何分析得到假设1和假设2, 并证明假设1和假设2如何保证上述性质是全维观测器设计过程中的难点所在.注 3. 本小节讨论了全维观测器的设计方法和存在条件. 在下一小节讨论降维观测器设计时将证明在全维观测器存在条件下我们也可以设计一个相应的降维观测器.1.3 降维观测器本节讨论系统(1)的降维观测器设计. 为了突破测量干扰信号对经典的降维观测器设计方法的限制, 本小节通过构造新的测量输出提出一种新的降维观测器设计方法.I p −F F −根据矩阵的广义逆理论, 将系统(1)的输出方程左右两边同时左乘矩阵 , 得¯y(t )=(I p −F F −)y (t )¯C =(I p −F F −)C F −F F F −F =F 其中, 和 ,矩阵 为矩阵 的任意一个满足 的广义逆矩阵. 则系统(1)可写为s注 4. 在系统(19)中构造了一个新的输出(18)来代替原系统的输出, 以此消除了原系统输出通道中测量干扰的影响. 对于系统(19), 已经证明只要其满足强可检测条件, 即对于任意具有非负实部的复数和观测器匹配条件则不难对其设计一个降维观测器[1−2, 5]. 因此, 下面将证明在假设1和假设2成立的条件下, 新系统(19)也同时满足式(20)和式(21).rank (¯CD )=rank (D ).引理 3. 假设1成立, 当且仅当 证明. 根据假设1可知rank ¯CD =rank (D )因此, 有 .□s 引理 4. 假设2成立, 当且仅当系统(19)满足强可检测条件, 即对于任意具有非负实部的复数 ,都有s 证明. 由假设2知, 对于任意具有非负实部的复数 有2112自 动 化 学 报48 卷s 这意味着对于任意具有非负实部的复数 都有基于引理3和引理4的结论可得到引理5.T S 引理 5[5]. 系统(19)同时满足强可检测条件和观测器匹配条件, 则存在可逆矩阵 和 , 使得¯A 11∈R q ×q ,¯B 1∈R q ×m (¯A 22,¯C 22)其中, 且 可检测.rank (D )=q 证明. 由 知¯CT 0=[¯C 1¯C 2]¯C 1∈R p ×q ,¯C 2∈R p ×(n −q )存在且非奇异, 且 , 其中 , 有¯C 1根据引理3可知 为列满秩矩阵, 因此矩阵S ¯C 1=I q0∈R p ×q S ¯C 2=[¯C 21¯C 22]∈R p ×(n −q )¯C 21∈R q ×(n −q ),¯C 22∈R(p −q )×(n −q)存在且非奇异, 且有 . 另记, 其中, , 有T =I q ¯C 210I n −qT −1定义矩阵 ,有且[]□¯x =T x 基于引理5, 对系统(19)作状态变换 , 得下面给出定理2.L ¯A 22−L ¯C 22定理 2. 基于引理1和引理2, 取增益矩阵使得矩阵 为Hurwitz 稳定, 则系统n −p ˆx (t )→x (t ),t →∞为系统(1)的一个降维观测器(维数 )且.x (t )=T −1¯x (t )¯x 1(t )=¯y 1(t )ˆx (t )→x (t ),t →∞ˆ¯x 2(t )→¯x 2(t ),t →∞证明. 根据状态变换可知状态向量 . 又 . 因此, 为了证明 , 只需证明 .e 2(t )=ˆ¯x 2(t )−¯x 2(t )令 为观测器误差. 用式(25)减去式(23), 得¯A 22−L ¯C 22e 2(t )→0,t →∞由于矩阵 为Hurwitz 稳定矩阵, 可知.□我们将降维观测器的设计步骤总结为算法2.算法 2. 降维观测器的设计.步骤 1. 判断系统(1)是否同时满足假设1和假设2, 若是, 进入下一步; 否则, 设计失败.F −y ¯C步骤 2. 求矩阵 , 并计算 和 .¯A 22,¯A 21,¯B 2,¯C 22T 步骤 3. 根据引理5求得 和矩阵 .L ¯A 22−L ¯C 22步骤 4. 选取矩阵 使得 为Hurwitz 稳定阵, 并构造全维观测器(25)和(26).注 5. 本小节研究了系统(1)的降维观测器设计, 其创新点和难点体现在: 1)构造了新的不含测量干扰的输出. 并基于该输出实现了观测器的实质性 “降维”. 2)证明了原系统(1)满足的观测器匹配条件和强可检测条件在由新的输出构成的新系统(19)中都可以得到保持.8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2113ω(t )η(t )ω(t )η(t )注 6. 本文在全维和降维观测器设计中采用干扰解耦的方式来处理未知输入 和测量干扰 .因此, 只要干扰解耦条件(观测器匹配条件) (10)成立, 无论 和 为何种类型的干扰, 其影响都可以在观测器中得到完全消除.H ∞H ∞注 7. 注意到文献[20]和[23]也研究了同时含有未知输入和测量干扰系统的观测器设计问题. 文献[23]讨论了 观测器. 该观测器存在条件较弱,但它仅能实现 意义下的状态估计, 并不能实现渐近估计. 文献[20]针对该系统提出了一种新的解决方案, 弱化了观测器匹配条件. 但是该方案必须使用测量输出的一阶甚至高阶微分信号, 因此容易受到测量噪声的影响. 而本文提出的方法只需要使用测量输出本身而不必使用其高阶微分信号. 在仿真部分将进一步说明这一点.2 数值仿真本节给出一个数值例子, 并用其验证方法的有效性. 考虑系统(1)且其系统参数为ω(t )=5.2sin (3.8t )η(t )=3.5cos (4.7t )u (t )u (t )=0其中, 未知输入, 测量干扰 . 由于控制输入 为已知的, 它不影响系统的能观性. 因此不妨假设 .2.1 全维观测器设计容易验证该系统满足观测器匹配条件(假设1)和强可检测条件(假设2), 故根据定理1和定理2,我们一定可以设计全维和降维观测器实现对系统状态的重构.首先, 求得矩阵Π1Π2进而求得矩阵 和 . 然后, 选取增益矩阵N {−1,−6.125,−2.4}使得矩阵 的特征值为 . 此时可求得全维观测器的系数矩阵x (0)=[−1−20]T z (0)=[112]T为验证该观测器的有效性, 假设系统(1)的状态初值为 , 观测器初值为 . 图1给出了原系统的状态曲线和观测器估计的状态曲线. 可以看出, 本文设计的全维观测器很好地实现了对原系统状态的渐近估计.图 1 系统状态及其估计(全维观测器)Fig. 1 Actual states and their estimations(full-order observer)2.2 降维观测器设计F −=[01]¯y (t )=(I p −F F −)y (t )求得矩阵 的一个广义逆矩阵 , 而后构造一个新的测量输出 及分布矩阵(A,D,¯C)S =I 2容易验证, 在原系统满足观测器匹配条件和强可检测条件下, 新系统 也满足观测器匹配条件和强可检测条件. 根据引理5的算法, 求得状态变换矩阵 和2114自 动 化 学 报48 卷并进而求得降维观测器(24)和(25)的参数矩阵¯A22L ¯A 22−L ¯C 22ˆ¯x (0)=[1−2]Tω(t )η(t )此时, 由于 已经为Hurwitz 稳定矩阵, 因此无需再设计增益矩阵 使得 稳定.下面根据定理2建立降维观测器(24)和(25). 设定该观测器初值为 . 图2给出了系统(1)的状态曲线和由降维观测器(24)和(25)得到的状态估计曲线. 从图2中看到, 利用降维观测器(24)和(25), 同样可以很好地实现对原系统状态的估计. 同时, 为了检验观测器对不同类型干扰的鲁棒性, 假设 为如图3的方波信号, 为如图4的锯齿形信号. 图5展示了在该组干扰信号下观测器的估计效果. 由此也进一步佐证了本文所提方法对不同类型干扰的鲁棒性.图 2 系统状态及其估计(降维观测器)Fig. 2 Actual states and their estimations(reduced-order observer)此外, 为了对比本文方法与文献[20]方法的估计效果, 假设测量输出受到如图6(a), 图7(a), 图8(a)所示的噪声信号的影响. 图6(b), 图7(b), 图8(b)分别展示了在3种不同幅值噪声信号下利用文献[20]得到的状态估计, 而图6(c), 图7(c), 图8(c)为3种噪声信号下对应的由本文降维观测器得到的状态估计. 可以发现, 随着随机噪声幅值的增大, 文献[20]图 3 方波形未知输入信号Fig. 3 Square wave unknown input signal图 4 锯齿形测量干扰信号Fig. 4 Sawtooth measurement disturbance signal图 5 方波和锯齿干扰信号下的状态估计Fig. 5 State estimations under square wave andsawtooth disturbance signals8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2115的估计效果逐渐下降, 而本文方法始终可以实现对原系统状态的渐近估计.3 结束语本文针对同时含有未知输入和测量干扰的系统研究了全维和降维观测器设计问题. 我们给出了全维观测器的结构并利用待定系数法分析得到了全维观测器的存在条件. 为了消除输出通道中的不确定干扰对降维观测器设计的影响, 本文构造了新的不包含干扰的测量输出. 并且证明了全维观测器的存在条件和降维观测器存在条件内在的统一性. 但该方法要求强可检测条件和观测器匹配条件同时满Time /s −200123456789102Actual x 1Estimated x 1Time /s −500123456789105Actual x 2Estimated x 2Time /s−500123456789105Actual x 3Estimated x 3Time /s −200123456789102Actual x 1Estimated x 1Time /s −500123456789105Actual x 2Estimated x 2Time /s−500123456789105Actual x 3Estimated x 3Time /s 012345678910−4−3−2−101234(a) 噪声信号 1(a) Noise signal (Type 1)(b) 利用文献 [20] 得到的状态估计(b) State estimations given by [20](c) 利用本文方法得到的状态估计(c) State estimations given by the present method噪声信号 1x 1x 2x 3x 1x 2x 3图 6 在受到噪声信号1影响下的状态估计Fig. 6 State estimations under the influence ofnoise signal (Type l)Time /s −200123456789102Actual x 1Estimated x 1Time /s −500123456789105Actual x 2Estimated x 2Time /s−500123456789105Actual x 3Estimated x 3Time /s −200123456789102Actual x 1Estimated x 1Time /s −500123456789105Actual x 2Estimated x 2Time /s−500123456789105Actual x 3Estimated x 3Time /s 012345678910−20−10−505101520(a) 噪声信号 2(a) Noise signal (Type 2)(b) 利用文献 [20] 得到的状态估计(b) State estimations given by [20](c) 利用本文方法得到的状态估计(c) State estimations given by the present method噪声信号 2x 1x 2x 3x 1x 2x 3图 7 在受到噪声信号2影响下的状态估计Fig. 7 State estimations under the influence ofnoise signal (Type 2)2116自 动 化 学 报48 卷足, 相对苛刻. 如何弱化强可检测条件和观测器匹配条件来设计观测器是我们下一步要讨论的课题.ReferencesZhang J C, Zhu F L. 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Acta Automatica Sinica , 2017, 43(12):2091−209917Time /s −200123456789102Actual x 1Estimated x 1Time /s −500123456789105Actual x 2Estimated x 2Time /s−500123456789105Actual x 3Estimated x 3Time /s −200123456789102Actual x 1Estimated x 1Time /s −500123456789105Actual x 2Estimated x 2Time /s−500123456789105Actual x 3Estimated x 3Time /s 012345678910−80−40−60−20020406080(a) 噪声信号 3(a) Noise signal (Type 3)(b) 利用文献 [20] 得到的状态估计(b) State estimations given by [20](c) 利用本文方法得到的状态估计(c) State estimations given by the present method噪声信号 3x 1x 2x 3x 1x 2x 3图 8 在受到噪声信号3影响下的状态估计Fig. 8 State estimations under the influence ofnoise signal (Type 3)8 期吴阳等: 同时含有未知输入和测量干扰系统全维和降维观测器设计2117(朱芳来, 蔡明, 郭胜辉. 离散切换系统观测器存在性讨论及降维观测器设计. 自动化学报, 2017, 43(12): 2091−2099)Han Dong, Zhu Fang-Lai. Simultaneous estimation of states and unknown inputs for linear systems. Acta Automatica Sinica ,2012, 38(6): 932−943(韩冬, 朱芳来. 基于辅助输出的线性系统状态和未知输入同时估计方法. 自动化学报, 2012, 38(6): 932−943)18Dimassi H, Loria A, Belghith S. Continuously-implemented slid-ing-mode adaptive unknown-input observers under noisy meas-urements. Systems and Control Letters , 2012, 61(12): 1194−120219Yang J Q, Zhu F L, Sun X J. State estimation and simultan-eous unknown input and measurement noise reconstruction based on associated observers. International Journal of Adapt-ive Control and Signal Processing , 2013, 27(10): 846−85820Gao Z W, Ding S X. State and disturbance estimator for time-delay systems with application to fault estimation and signal compensation. IEEE Transactions on Signal Processing , 2007,55(12): 5541−555121Mondal S, Chakraborty G, Bhattacharyy K. LMI approach to robust unknown input observer design for continuous systems with noise and uncertainties. International Journal of Control,Automation and systems , 2010, 8(2): 210−21922Li X H, Zhu F L, Zhang J. State estimation and simultaneous unknown input and measurement noise reconstruction based on adaptive H ∞ observer. International Journal of Control, Automa-tion and Systems , 2016, 14(3): 647−65423吴 阳 无锡太湖学院智能装备工程学院副教授. 主要研究方向为故障检测与估计, 智能控制, 系统优化.E-mail: ************.cn(WU Yang Associate professor at the School of Intelligent Equipment Engineering, Wuxi Taihu Uni-versity. His research interest covers fault detection and estimation, intelligent control, and system optimiza-tion .)张建成 江南大学理学院副教授.2017年获得同济大学控制科学与工程系博士学位. 主要研究方向为有限时间观测器设计, 故障检测与估计,滑模控制. 本文通信作者.E-mail: ****************.cn(ZHANG Jian-Cheng Associateprofessor at the School of Science, Jiangnan University.He received his Ph.D. degree in control theory and control engineering from Tongji University in 2017. His research interest covers finite-time observer design,fault detection and fault estimation, and sliding mode control. Corresponding author of this paper .)2118自 动 化 学 报48 卷。
状态观测器设计
状态观测器设计利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。
然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。
此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。
状态观测器，是一个在物理上可以实现的动态系统，它利用待观测系统的可以量测得到的输入和输出信息来估计待观测系统的状态变量，以便用该组状态变量的估计值来代替待观测系统的真实状态变量进行状态反馈设计，实现闭环系统极点的再配置。
1. 全维状态观测器当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计，就需对全部状态变量进行观测。
这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。
考虑如下n阶单输出线性定常离散系统(1)其中，A为n×n维系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为n×1维输出矩阵。
系统结构图如图1所示。
图1 全维状态观测器构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统(2)当系统(1)与(2)的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。
但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。
为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。
由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。
引入了输出误差的状态观测器状态方程为(3)其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式定义状态估计误差为，用式(7.65)与(7.67)相减可得(4)即(5)通过式(5)可以看出，若选择合适的输出误差反馈矩阵H 使得状态估计误差系统(5)的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近原点状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。
可见，能否逼近x(k)以及逼近速度是由H阵决定的。
状态观测器
状态观测器摘要观测器在控制理论中非常重要。
当状态不能观测时,应设计状态观测器来估计状态。
理论分析和数值仿真证实了用所设计的观测器来估计状态的有效性。
关键字：观测器;状态观测器;设计一 全维状态观测器的设计极点配置是基于状态反馈,因此状态X 必须可观测。
当状态不能观测时,则应设计状态观测器来估计状态。
x A x B u y C x =+⎧⎨=⎩（1） 若系统完全能观测,则可构造如图1所示的状态观测器。
由上图可得观测器的状态方程为ˆˆˆxA xB u LC x L y =+-+ （2） 即 ˆˆ x (A L C )x B u L y =-++ 其特征多项式为()()f s sI A L C =--由于工程上要求ˆ x能比较快速的逼近 x ，只要调整反 馈矩阵 L, 观测器的极点就可以 任意配置达到要求的性能。
假定单变量所要求的 n 个 观测器的极点为:123.................n λλλλ , 则可求出期望的状态观测器的特征方程为:112()( n n nn n f s s a s a λλλλλλ-=---=++这时可求得反馈矩阵 L 为：10()...1o o L f A V -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3） 式中1...o n C C A V C A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是将系统期望的观测器特征方程中 S 换成系统矩阵 A后的矩阵多项式。
利用对偶原则, 可使设计问题大为简化, 求解过程如下：( 1)构造系统式( 1)的对偶系统T TT z A z C B z ηω⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （4） ( 2)用MATLAB 的函数 p l ace ( )及 acker ( ), 根据下式可求得状态观测器的反馈矩阵Lk e r(,,)T T T L a c A C P =或(,,)T T TL p la c e A C P = （5） 其中, P 为给定的极点, L 为状态观测器的反馈矩阵。
降维观测器的应用场景
降维观测器的应用场景
降维观测器是一种常用于数据处理和分析领域的工具，它可以将高维数据降至低维，
以便更好地理解和分析数据。
下面将介绍一些常见的降维观测器的应用场景。
1. 图像处理
在图像处理领域，降维观测器可以用来减少输入图像的维度，降低图像处理的难度。
例如，在面部识别中，使用PCA（主成分分析）对面部图像进行降维，可以让计算机更快地识别和比较面部特征，使面部识别技术更加准确可靠。
2. 生物信息学
降维观测器在生物信息学中也有广泛应用。
例如，在基因表达数据分析中，可以使用
多维缩放（MDS）或t-SNE（t分布随机邻域嵌入）等降维算法，将高维基因表达数据映射
到二维或三维空间，方便研究人员对基因表达数据进行可视化和分析。
3. 自然语言处理
在自然语言处理领域，降维观测器可以用来帮助测试和构建自然语言处理模型。
例如，在情感分析中，可以使用LSA（潜在语义分析）对文本数据进行降维和特征提取，以便更好地理解文本的情感和意图。
4. 金融分析
在金融分析领域，降维观测器被用来分析金融市场和投资组合。
例如，在投资组合优
化中，可以使用PCA或因子分析等降维算法，将高维投资组合数据映射到低维空间，以便
更好地理解投资组合的风险和回报等特征。
5. 信号处理
总之，降维观测器已经成为了数据科学领域中不可或缺的工具之一。
无论是在图像处理、生物信息学、自然语言处理、金融分析还是信号处理等领域，降维观测器都有着广泛
的应用。
通过降维观测器的帮助，可以更好地理解和分析数据，提高数据的效率和准确
性。
单级倒立摆
单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要：倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题，倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，近年来，由于新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从加大了对这方面的研究。
本文主要采用状态反馈的控制方法，通过设计降维观测器和全维观测器对状态变量的重构，Matlab仿真进行了研究。
关键词：状态反馈、能控性、能观性、状态观测、极点配置、仿真一、引言倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒置摆实验设备。
倒置摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量、控制好坏一目了然。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
由于单级倒置摆的控制方法在军工,航天和机器人领域有广泛的用途,另外其控制方法和思路在处理一般工业过程中亦有广泛的应用。
机器人行走类似倒置摆系统，而机器人的关键技术至今仍未很好解决，单级倒置摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服平台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。
因此，单级倒置摆机理的研究具有重要的应用价值，成为控制理论中很重要的研究课题。
二、单级倒置摆系统建模及分析2.1单级倒置摆系统模型单倒置摆系统的原理图，如图1所示。
设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。
小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。
若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此它是一个不稳定系统。
降维状态观测器_线性系统理论与设计_[共5页]
![降维状态观测器_线性系统理论与设计_[共5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/ad2818a2a417866fb84a8ed9.png)
系统状态完全能观测，可以通过反馈矩阵 ｇ任意配置状态观测器的极点。
设反馈矩阵 ｇ＝[ ｇ０ ｇ１] Ｔ，则状态观测器的系统矩阵为
[ ] [ ] [ ] ０ １ ｇ０
－２ｇ０
１
Ａ－ｇｃ＝
－ [ ２ ０] ＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－２ －３ ｇ１
－２－２ｇ１ －３
计算状态观测器的特征多项式：
ｆ（λ）＝ｄｅｔ[ λＩ－（Ａ－ｇｃ）] ＝λ２＋（３＋２ｇ０）λ＋（６ｇ０＋２ｇ１＋２）
出变量维数为 ｑ，则必有 ｑ个状态变量能够通过输出测量得到，无须再做估计。因而，需要重
构的状态变量数可以减少，使系统观测器的维数降低，观测器的实现也就比较容易和简单。
当观测器的维数比原系统的维数少时，称为降维状态观测器。
可以证明，若 ｎ维被控系统具有完全能观测性，输出矩阵 Ｃ的秩为 ｑ，则系统的 ｑ个状态
[ ] [ ][ ] [ ] ·ｘ１ ·ｘ２
＝ Ａ Ａ １２１１ ＡＡ１ ２２ ２
ｘ１ ｘ２
Ｂ１ ＋ ｕ
Ｂ２
（６２０）
[ ] ｙ＝[ ０Ｉ]
ｘ１ ｘ２
＝ｘ２
（６２１）
实际上，全维状态观测器不是必要的，因为输出变量中通常包含一部分状态变量。考虑 ｎ维
完全能观测的多输入多输出线性定常系统： ·ｘ＝Ａｘ＋Ｂｕ
ｙ＝Ｃｘ
记为∑０（Ａ，Ｂ，Ｃ），其中输入向量 ｕ为 ｐ维，输出向量 ｙ为 ｑ维。 通常，系统的输出变量是可以直接通过传感器测量的，而输出变量是由状态变量的线性
组合构成。可以设法通过线性变换，使每个输出变量仅含单个状态变量。如果原系统的输
分量可由输出 ｙ直接获得，只有其余 ｎ－ｑ个状态变量需要通过 ｎ－ｑ维的观测器进行重构。
一级倒立摆控制系统状态方程的建模及全维观测器设计
一级倒立摆控制系统状态方程的建模及全维观测器设计作者：罗力铭来源：《科学与财富》2016年第10期摘要：本文对一级倒立摆系统的状态方程建模及观测器设计进行了研究，对于系统建立了数学模型并进行了分析，调整其极点配置后设计出一种稳定的系统结构，同时利用MATLAB完成仿真。
最后基于先前的结果设计了一种全维观测器并进行了仿真，结果表明，仿真得到稳定的响应。
关键词：倒立摆；数学建模；全维观测器中图分类号：TP273 文献标志码：AAbstract： The system state equations and design of full-dimensional observer for first-order inverted pendulum is probed in this paper while analyzing its mathematics model for this system. Then designed a stable system structure after adjusting the pole assignment of this system and used MATLAB to complete the simulation. Finally， based on previous results designed a full-order observer and simulated to obtain stable response.Keywords： first-order inverted pendulum； mathematics modeling；full-dimensional observer倒立摆是一个经典的多变量、非线性、不稳定的系统，又具有强耦合、自然不稳定等特点。
因此常常出现在控制理论课程教学中和各种控制策略的验证里。
其目标就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
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全维、降维观测器
本文通过具体的例子阐明如何在 MATLAB 系统中进行全维状态观测器和降维状态观测器的设计。
MATLAB 为状态空间设计提供了很多有用的函数，方便了矩阵方程的求解，其中的MATLAB 里面提供的库函数对全维状态观测器和降维状态观测器的设计也显得非常地方便。
现通过例子说明如何用 MATLAB 设计状态观测器。
为了评价 MATLAB 所设计的状态观测器的性能，本文通过在 SIMULINK 环境下来仿真一个三阶状态观测器，来说明用 MATLAB 设计状态观测器的准确性。
1、全维观测器的设计
已知三阶系统的状态空间方程为：
u x X ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=102201210112& []x y 01
2= 首先检验系统的是否完全能观
A=[2 -1 1;0 -1 2;1 0 -2];
C=[2 1 0];
N=[C;C*A;C*A*A]
rank(N)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=10112434012N
rank(N)
ans = 3 ，说明系统是完全能观的。
下面选择观测器需要配置的期望极点为：s 1 =-12 s
2,3 =-3±0.88i
由此求出观测器增益矩阵G ：
A=[2 -1 1;0 -1 2;1 0 -2];
C=[2 1 0];
P =[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i];
G = acker(A',C',P);
求得G = [11.6527 -6.3054 1.0619]
可得全维观测器的方程为：
y u x Gy Bu x GC A x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=++-=0619.13054.66527.11102~0000.20619.11238.10000.23054.56108.120000.16527.123054.21~)(~& 下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力
:
跟踪效果图如下： X1
X2
X3
从图中可以看出状态观测器的状态X1,X2,X3 能够完全估计原三阶系统的状态。
如果原三阶系统和其状态观测器的初始状态不同，状态观测器的状态
X1,X2,X3 不能同原三阶系统状态完全一致，但能很快跟踪原三阶系统状态（主要取决于状态观测器的响应速度，即状态观测器的极点配置。
）
2、降维观测器设计
从上面的全维观测器输出方程可以看出，此系统输出就等于第一个状态，因此该状态可以有输出求得，即变换矩阵P 为单位阵，而降维观测器的阶次为2。
d
d c c
b b
a a
==== 降维观测器的期望特征根选为-3±0.88i
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=1021111a a []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=1011222212a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1022
1b b ]00[211==c c y l u b l b y a l a x a l a x q n q
n &&+-+-+-=--)12()1121()1222(~ 据此求观测器增益
a22=[-1 1;0 -1];
a12=[-2 -2];
pe=[-3+1i*2*7^(1/2)/3;-3-1i*2*7^(1/2)/3];
lt=acker(a22',a12',pe);
l=lt'
求得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=5556.35556.1l ，得到
y u y x x q n q n &&⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--5556.35556.11112.81112.35556.25556.1~1112.81112.71112.41112.2~引入中间变量
y x ly x q n q n ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-=--5556.35556.1~~η
得降维观测器的状态方程为
u y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1112.81112.32224.15778.91112.81112.71112.41112.2ηη& ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=y y y x 42~21ηη 下面可依据上式构建simulink 图，据此观察观测器的跟踪能力
X2
X3
从降维观测器仿真的输出图形中可以看出，系统状态变量X2、X3的跟踪能力比较理想。
3、结论
本文提供了一种利用 MATLAB 软件，方便、快捷地设计全维状态观测器的方法。
通过本方法很容易设计出不同参数下性能良好的状态观测器，从而容易仿真出状态观测器参数变化对状态跟踪性能的影响。
进一步可以对具有状态观测器的反馈控制系统进行设计和仿真，能够迅速地对系统在不同参数下进行性能仿真。
参考文献
〔1〕薛定宇.科学运算语言 MATLAB5.3 程序设计与应用〔M〕.北京：清华大学出版社，2000.
〔2〕魏克新. MATLAB 语言与自动控制系统设计[M].北京：机械工业出版社，1999.。