连锁店和生产基地增设以及货物配送问题数学建模

第一题：

1、问题重述

华商公司在全省县级及以上城镇设立销售连锁店，主要销售鲜猪肉。已知全省县级及以上城镇地理位置及道路连接。目前公司现有2个生产基地（分别设在120号和63号城镇）、23家销售连锁店，连锁店的日销售量见附录1。若运输成本为元/吨公里，请你为公司设计生产与配送方案，使运输成本最低。

2、问题分析

本题首先使用matlab软件将全省交通网络数据转换成矩阵，即若两点之间有路线，则采用矩阵的形式标注出来，若没有直接路线，则用相对很大的数如M表示，这对其求最短路没有影响。然后采用Floyd算法算出任意两个城镇之间的距离，得出新的最短路矩阵，然后从中挑选出每个连锁店与生产基地所在地城镇63和城镇120之间距离的最小值。由于每个连锁店的日销量都是给定的，并且生产基地必须满足所有连锁店的需求，因此，本题所求的运输成本最低可以转化为生产基地到连锁店的总路线最短。

3、模型假设

(1)位于同一个城镇里的生产基地和连锁店之间的距离视为0，不计入运输成本。

(2)由于要求运输成本最小，所以假定除了距离外，没有其他因素影响运输成本

(3)在求出的最短路中，皆是可行的路线。

4、符号说明

：从到的只以集合中的节点为中间节点的最短路径的长度

5、模型建立

由于要求的问题可转化为最短路问题，而解决任意两点之间的最短路问题，一般而言最为经典的模型便是Floyd算法，所以此模型即为Floyd算法的模型。即状态转移方程如下：

1.若最短路径经过点k，则；

2.若最短路径不经过点k，则。

因此，。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。

6、模型求解

全省交通网络图如下：

先把全省交通网络数据转换成矩阵，其matlab程序见附件程序一（注：如问题分析所说，若两点之间没有直接路线，则用大M表示，分析此题，可用1000代替大M，对程序运行结果无影响），然后采用Floyd算法，求出一个154*154的矩阵，D （i，j）表示i，j之间的最短距离。Floyd算法程序见附件程序二。我们算出任意两个城镇之间的距离，然后分别比较城镇63和城镇120与23个连锁店的距离，比如：如果城镇63与连锁店i的距离小于城镇120与连锁店i的距离，则连锁店i的猪肉由生产基地在城镇63的生产基地供应。最终所得方案如下：

表1 运输成本最小方案

生产基地连锁店所在城镇最短距离（公里）日销售量（kg）运费（元）

城镇63 2 106 38223

5 141 9258 9 1 14744 11 3

6 11503 13 34 451 14 42 9489 15 94 12773 19 145 39653 21 16 14783 22 123 18081 城镇120 4 31 2394

7 6 10 8481 7 65 15570 8

79 38759 12

27 9265 16 11 6103 17 24 3251 20 22 6375 23

64

1840

最终可得总费用最小为：元

注：由于连锁店3和18都在63号城镇、连锁店1和10都在120号城镇，可以将这四个连锁店的运输成本忽略不计。

7、模型评价

（1）优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单（2）缺点：比较高，不适合计算大量数据。

第二题

1、问题重述

根据近5年全省各城镇的鲜猪肉月度需求数据，分析各城镇需求特征，并预测未来何时全省鲜猪肉需求达到峰值，并筛选出达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇。

2、问题分析

本题有三个小问题，我们着重考虑第二个小问，即预测何时全省鲜猪肉需求达到峰值。关于第一小问，由于数量过于庞大，用描述统计的方法即可得到各个城镇数据的大致特征。对于第二小问，应反复使用不同的曲线模型进行拟合，然后选出最合适的模型，求出达到峰值的时间。关于第三小问，为避免计算量过大，我们挑选出第一小问中平均值前十位和后十位的城镇逐个预测，最终能筛选出达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇。

3、模型的建立与求解

对于第一小问我们利用描述统计的方法，计算出每个城镇数据的全距、均值以及方差。详细数据见附录。

（1）城镇68、63、76、86、31的数据全局均在500以上，说明这些城镇数据变

化范围较广。

（2）城镇31、63的数据均值都在4000以上，说明这两个城市对猪肉的需求量很大，然而也有例如城镇74、94、30、84对猪肉的月平均需求量在120以下。（3）城镇4、92、98、19、43、3、48、93、60、82、96、99、88、89、5、29、16、34、17、84、30、74数据的标准差均在10以下，说明这些城镇数据的波动较小、很平缓。然而也有城镇数据波动性较大，如城镇68、63、76、86、31、1、83、41、40、79、69的标准差都在100以上。

对于第二小问：

（1）模型假设：题目所给数据季节波动性很弱，可以忽略它的影响。

相邻时间段的数据之间基本不存在自回归现象；

（2）符号说明：y 表示全省鲜猪肉月度需求量

x表示时间，例如x=1表示2008年1月。

（3）模型的建立和求解

我们用SPSS对数据进行曲线拟合，发现拟合度最高的为二次曲线，如下：

y=+ 对方程两边求导，令y’=—2*=0

得x=

即2014年1月中旬全省鲜猪肉需求量达到峰值。

对于第三小问：

我们根据第一问的结果挑选出月度猪肉需求量均值前10位和后10位的城镇。如下表：

表2 月度猪肉需求量均值前10位城镇

城镇47 118 2 102 74