材料力学(I)第三章 材料力学 孙训方

例题3例题 -1 一传动轴如图，转速 n = 300 r
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第三章 扭转
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M 1 = (9.55 × 10 × ) N ⋅ m = 15.9 ×103 N ⋅ m = 15.9 kN ⋅ m 300 150 3 M 2 = M 3 = (9.55 × 10 × ) N ⋅ m = 4.78 ×103 N ⋅ m = 4.78 kN ⋅ m 300 200 3 M 4 = (9.55 ×10 × ) N ⋅ m = 6.37 × 103 N ⋅ m = 6.37 kN ⋅ m 300
= {M e }N⋅m × ωrad ×10 −3
s
60 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式 计算作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e }N⋅m
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= {M e }N⋅m × 2π ×
{n} r
min
×10 −3
{P}kw × 103 × 60 3 {P}kw = = 9.55 × 10 2 π{n} r {n} r
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(τ d y d z )d x = (τ ′ d x d z ) d y
可得： τ = τ '
∑M
z
=0
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第三章 扭转
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力τ 和τ′ 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理 切应力互等定理。 切应力互等定理
第三章 扭转
4.78
6.37
15.9
4.78
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第三章 扭转
§3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件 - 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 的变化 应力-应变关系
规律 问题的几何方面(变形协调条件) 问题的几何方面(变形协调条件) 内力与应力的关系 横截面上应力 的计算公式 问题的静力学方面
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第三章 扭转
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
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第三章 扭转
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
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第三章 扭转
Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
τ 由 ∫A d A × r = T 根据应力分布可知
Me
m r0
τr0 ∫ d A = T，于是有
A
τ dA
m
x
T T τ= = = 2 r0 ∫ d A r0 (2 πr0δ ) 2 πr0 δ
A
T
2 引进 A0 = πr0 ，上式亦可写作
T Tρ = τ ρ = Gρ GI I p p
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第三章 扭转
T
τ max
τρ =
Tρ Ip
τ max
d
横截面周边上各点处(ρ = r)的最大 切应力为
T
τ max =
τ max
d
Tr T T = = I p I p Wp r
3
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第三章 扭转
圆轴扭转变形
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第三章 扭转
Me
从动轮
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要 研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工 作的情况。
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第三章 扭转
Me
Me
γ
A D BC
ϕ
薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力τ 不超过 材料的剪切比例极限τp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T ) 与相对扭转角ϕ 成线性正比例关系，从而可知τ 与γ 亦成线 性正比关系：
τ = Gγ
这就是材料的剪切胡克定律 剪切胡克定律，式中的比例系数G称为 剪切胡克定律 材料的切变模量 切变模量(shear modulus)。 切变模量 钢材的切变模量的约值为：G =80GPa
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第三章 扭转
§3-1 概述 §3-2 薄壁圆筒的扭转 §3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 - 传动轴的外力偶矩· §3-4 等直圆杆扭转时的应力· 强度条件 - 等直圆杆扭转时的应力 §3-5 等直圆杆扭转时的变形 刚度条件 - 等直圆杆扭转时的变形· §3-6 等直圆杆扭转时的应变能 §3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 *§3-8 -
min
min
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第三章 扭转
主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同， 从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。
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第三章 扭转
Ⅱ. 扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。
Me 1 Me
1 Me T
T = Me
T τ= 2A0δ
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第三章 扭转
剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Ⅲ. 剪切胡克定律 Me Me
γ
A D BC l
ϕ
(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了γ，这种 直角改变量称为切应变(shearing strain)。 (2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这 种角位移称为相对扭转角。 (3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不 沿壁厚变化的，故有 γ = ϕ r0 ，此处r0为薄壁圆筒的平均 l 半径。
(3) 静力学方面
即 dϕ G dx
∫
∫
A
A
ρτ ρ dA = T
ρ 2 dA = T
其中∫A ρ 2 d A 称为横截面的极惯性矩Ip， 它是横截面的几何性质。 以 I p = ∫ ρ d A 代入上式得：
2 A
dϕ T = d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点 处切应力计算公式
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第三章 扭转
§3-3 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
Ⅰ. 传动轴的外力偶矩
当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t 秒钟内所作功等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角
α。
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第三章 扭转
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即 该轮所传递的功率为 {α }rad {P}kw = {M e }N⋅m ×10 −3 {t}s
Me
T
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第三章 扭转
扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截 面为正，指向截面为负。
T(+)
T(-)
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第三章 扭转
；主动轮 min 输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
3
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第三章 扭转
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 = − M 2 = −4.78 kN ⋅ m
注意这个扭矩是假定为负的 最好按正向假定！！！ CA段内：T2 = M 2 + M 3 = 9.56 kN ⋅ m (负) AD段内：T3 = M 4 = 6.37 kN ⋅ m
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第三章 扭转
2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：
a T T O1 E
b
ρ
A
γρ
G D G' D' dx dx
O2 dϕ
γ
a O1 E
GG′ γ ρ ≈ tan γ ρ = EG ρ dϕ = dx 即
O2
b
d/2
ρ
A
γ
γρ
D D'
G G'
dϕ
dϕ γρ = ρ dx
第三章 扭转
薄壁圆筒的扭转
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第三章 扭转
Ⅰ. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律 Me Me
γ
A D BC 推论： 推论：
ϕ
(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样； (2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的 距离未变。
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第三章 扭转
§3-2 薄壁圆筒的扭转 r0 薄壁圆筒——通常指 δ ≤ 的圆筒 薄壁圆筒 10 Me Me m
δ
O r0
δ
m Me T m
l
m 当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力 偶矩——扭矩(torque)
6
T = Me
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第三章 扭转
σy
τ′
τ ′′
思考：对于图示单元体，
σx
τ ′′′
τ
σx
切应力τ, τ ,τ″, τ″′ 是否互 等？
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第三章 扭转
(2) 物理方面 由剪切胡克定律 τ = Gγ 知
dϕ τ ρ = Gγ ρ = Gρ dx
可见，在横截面的同一半径 ρ 的圆周上各点处的切 应力τρ 均相同，其值 与ρ 成正比，其方向垂直于半径。
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第三章 扭转
式中Wp称为扭转截面系数，其单 位为 m3。
τ max
D
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第三章 扭转
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp 实心圆截面：
Ip = ∫ ρ 2 d A
A
=∫
d 2 0
πd 4 2 πρ 3 d ρ = 32 Ip
πd 3 Wp = = d / 2 16
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32
(
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第三章 扭转
单元体· Ⅱ. 单元体 切应力互等定理 以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从 受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面 体——单元体 单元体。 单元体 由单元体的平衡条件∑Fx=0 和 ∑Mz=0 知单元体的上、下两个平面 (即杆的径向截面上)必有大小相等、 指向相反的一对力τ'dxdz并组成其矩 为(τ'dxdz)dy 力偶。 由 由
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第三章 扭转
Me
m r0
τ dA
m 横截面上的应力： 横截面上的应力
x
(1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所 有点处的切应力相同； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力。
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开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的 应力与变形
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圆轴扭转变形
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第三章 扭转
§3-1 概 述 受力特点Fra bibliotek 受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力 偶Me作用下发生扭转。
Me Me
变形特点： 变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线； Ⅲ. 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。
第三章 扭转
空心圆截面：
I p = ∫ ρ 2 d A = ∫ 2 πρ 3 d ρ
A
D 2 d 2
π πD 4 D4 − d 4 = = 1−α 4 32 32 d 其中 α = D
Ip
(
)
(
)
π D4 − d 4 πD 3 Wp = = = 1−α 4 16 D 16 D/2
(
)
(
) )
πD 3 思考： 1 − α 3 ,其原因是什么？ 思考：对于空心圆截面，Wp ≠ 16
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第三章 扭转
a T T O1 E
b
γρ = ρ
dϕ dx
ρ
A
γρ
G D G' D' dx
O2 dϕ
γ
a
ϕ 沿杆长的变化率，常用ϕ' 来
表示，对于给定的横截面为常 量。
dϕ 式中 ——相对扭转角 dx
b
可见，在横截面的同一半径 ρ 的圆周上各点处的切应变
γρ 均相同；γρ 与ρ 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
横截面上 应力变化 规律
问题的物理方面
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第三章 扭转
(1) 几何方面
1. 表面变形情况： (a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状 未变，小变形情况下它们的间距也未变； (b) 纵向线倾斜了一个角度γ 。 平面假设——等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的 轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。 推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。