(完整word版)相似三角形题型归纳

图1 图2

三角形题型归纳

一、线段比例问题(构造平行)

1、下图中，E 为平行四边形 ABCD 勺对角线AC 上一点，AE ： EC=1： 3, BE 的延长线交 CD 的 延长线于 G,交AD 于F ,求证：BF ： FG=1： 2.

2、已知：如图，在直角三角形 ABC 中，/ BAC= 90° AB= AC, D 为BC 的中点，E 为AC 上 一点，点G 在BE 上,连结DG 并延长交 AE 于F ,若/ FGE=45°, (1)求证：BD- BC=BG- BE (2)求证：AGL BE ( 3)若E 为AC 的中点，求 EF ： FD 的值。

3、如图1,在Rt △ ABC 中，/ BAC=90 , AD L BC 于点D,点O 是AC 边上一点，连接 BO 交

—

AD 于F , OEL OB 交BC 边于点E. (1)求证：△ ABF ^A COE (2)当O 为AC 的中点，：丨 时，

OF

AC_ 0?

如图2,求「的值；(3)当O 为AC 边中点，’

时，请直接写出⑴的值

.

A

F £

B

4、如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为DE 的中点，BR 分别 交

AC , CD 于点P , Q . (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为

1除外);(2)求

BP:PQ:QR .

2、过厶ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E,求证：AE ： ED=2AF FB.

3、如果四边形 ABCD 勺对角线交于 0,过O 作直线 0G/ AB 交BC 于E ,交AD

于F ,交CD 的

延长线于 G,求证：0G=GE ・ GF.

B 1

二、相似比乘积处理方法(逆向和正向分析找解题思路)

1、如下图，已知在厶ABC 中，AD 平分/ BAC,EM 是AD 的中垂线，交

D E=B

E ・ CE. BC 延长线于E.求证

:

4、已知如图，CD 是Rt △ ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于F 。 求证：二匸亠-冷

5、如图，在 Rt △ ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在CD 上, 于点 E.求证：(1 )△ AEB A CBIM (2) AS CM AC CD

6、如图，BD CE 分别是△ ABC 的两边上的高，过 D 作DGLBC 于G 分别交 CE 及 BA 的延长 线于 F 、H 。求证：(1) DG = BG- CQ (2) BG- CG= GF- GH

7、已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD BC CD 的延长

DH L BM 且与AC 的延长线交

线、AB 的延长线分别相交于点 PE PH

E 、

F 、

G H.求证：i '1:

B

B

H

B

G

& ( 1)如图1,点「在平行四边形 ABCD 勺对角线BD 上，一直线过点 P 分别交BA BC 的延

长线于点Q, S,交 7 '■于点人丁 •求证：一 J 一 一； '' - - (2)如图2，图3，当点J 在

三、构造相似辅助线一一A X 字型

AB__CF_

1、如图：△ ABC 中，D 是AB 上一点，AD=AC BC 边上的中线 AE 交CD 于F 。求证：~AC~~DF

BE _ BC 1

---- ----------- 2、四边形ABCD 中, AC 为AB AD 的比例中项，且 AC 平分/ DAB 求证： DE CD 2

平行四边形 ABCD 的对角线［或_匚的延长线上时 :--• -

-「'是否仍然成立？若成立,

试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图

2为例进行证明或说明

)

图1

3、如图，过平行四边形ABCD勺顶点A的直线交BD于P,交CD于Q并交BC的延长线于R

2

求

证：

PQ PD PR

一PB2

四、相似类定值问题

1、如图，在等边厶ABC中，M N分别是边AB, AC的中点，D为MN上任意一点，BD CD的延长线分别交AC AB于点E、F.

1 1 _ 3

求证：匸干一一上.

1 : 1

-- + ---=—

2、已知，在△ ABC中作内接菱形CDEF设菱形的边长为a.求证：虫。別7 ―

3、如图，在△ ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在厶ABC上。

A

1 1 1

---- 卜 - —----

求证：_1匚 -」二一

F D

G B

4、如图所示, ?ABCD中，AC与BD交于0点，E为AD延长线上一点, 0E交CD于F, E0延长

5、一条直线截△ ABC的边BC CA AB（或它们的延长线）于点D E、F.求证：——■ ——• 二

1

EC EA FB 1

6、已知：P为？ABCD边BC上任意一

点,

DP交AB的延长线于，求证：「T

五、证明线段相等

1、在等腰A ABC , AB = AC 分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点 A 的直线与两平行线 分别

交于点 D E,连接DC BE DC 与 AB 边相交于点 M BE 与AC 边相交于点 N ⑴如图1, 若

DE//CB ，写出图中所有与 AM 相等的线段，并选取一条给出证明。

（2）如图2，若DE

与

CB 不平行，在（1）中与AM 相等的线段中找出一条仍然与 AM 相等的线段，并给出证明。

2、在面积为24的厶ABC 中，矩形 DEFG 勺边DE 在 AB 上运动，点F 、G 分别在BC AC 上。 （1 ）若 AE = 8, DE = 2EF,求 GF 的长；（2）若/ ACB= 90°，如图 2，线段 DM EN 分别为△ ADG^D ^ BEF 的角平分线，求证： MG NF ; （3）请直接写出矩形 DEFG 的面积的最大值。

S2

D 團

1

B