第46讲 估计量的评价准则,无偏性
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n
n
E S
2
2
2
——见第42讲例2
2
故S 是 的无偏估计.
8
2 n 1 S (2) B2 n 2 2 2 n 1 n 1 E ( B2 ) ES n n 2 故B2不是 的无偏估计.
2 2 n 1 lim E ( B ) lim 2 n n n 2 故 B2是 的渐近无偏估计.
例1：设总体 X 的一阶和二阶矩存在， E X , D X .
2
(1)证明:样本均值X 和样本方差S 分别是
2
和 的无偏估计；
2
(2)判断:B2是否为 的无偏估计?
2
是否为 的渐近无偏估计?
2
7
(1)证:因X1, X 2 ,, X n与X同分布,故有:
1 1 E X E X i E Xi n n i 1 i 1 1 n n 故 X 是 的无偏估计.
第46讲
估计量的评价准则,无偏性
从前两讲看到，对总体的未知参数可用不同 方法求得不同的估计量，如何评价不同估计量 的好坏？ 常用的评价准则有如下四条： (1)无偏性准则 (2)有效性准则 (3)均方误差准则 (4)相合性准则
2
ˆ ˆ X , X ,, X ,满足 定义：若参数的估计量 1 2 n ˆ , E ˆ是的一个无偏估计量. 则称
求导数得密度函数为 nxn1 , 0 x , n f X n x 其它. 0,
13
因此有: x nx ˆ E X E L n n
Leabharlann Baidu
0
n 1
dx
n n 1
所以 ˆL X n 作为参数 的估计是有偏的.
L ( )关于 > 0递减,
而的范围为: x( n) max{x1,..., xn}, 所以， 的极大似然估计量 ˆ X max X , X ,, X . L 1 2 n n
12
根据第26讲，X n 的分布函数为 x 0, 0, n xn FX n x F x n , 0 x , x . 1,
9
例2:设总体 X 服从均匀分布 U (0, ), 是 未知参数,样本 X 1 ,, X n . (1)求 的矩估计,判断是否无偏; (2)求 的极大似然估计,判断 是否无偏.
10
(1) 矩估计:
由1 E X 1 xdx 0 2 2 1 的 矩 估 计 ˆ 2 X
ˆ , 那么 E ˆ 称为估计量 ˆ的偏差, 若E ˆ ,则称 ˆ是的渐近无偏估计量. im 若l E n
3
•
无偏性： E
无偏
ˆ
有偏 B
A
ˆ的概率密度如红线所示，则 ˆ 是的无偏估计 若 . 1 1 ˆ 的概率密度如蓝线所示，则 ˆ 是的有偏估计 若 .
ˆ) E 2 X 2E( X ) 2E( X ) , 因为E(
ˆ 2 X 是 的无 偏估计. 所以
11
(2) 极大似然估计:
1 , 0 x ,, x , n 1 n L 其它. 0,
X的概率密度 1 , 0 x , f X x; 其它. 0,
14
纠偏方法
ˆ b 是的无偏估计. 则1 a
ˆ a b, ,其中a, b是常数,且a 0, 如果E
n 在上例中, E( X ( n) ) , n 1 n 1 取X n X n ,则X n 是的无偏估计. n
2 2
4
无偏性的统计意义是指在 大量重复 试验下， 由 ˆ X , , X 给出的估计的 平均恰是 ，
1 n
从而无偏性保证了 ˆ没有系统误差.
5
例如，工厂长期为商家提供某种商品， 假设生产过程相对稳定，产品合格率为 θ，虽然一批货的合格率可能会高于θ ， 或低于θ ，但无偏性能够保证在较长一 段时间内合格率接近θ，所以双方互不 吃亏。但作为顾客购买商品，只有二种 可能，即买到的是合格品或不合格品， 此时无偏性没有意义。
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E S
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——见第42讲例2
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故S 是 的无偏估计.
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2 n 1 S (2) B2 n 2 2 2 n 1 n 1 E ( B2 ) ES n n 2 故B2不是 的无偏估计.
2 2 n 1 lim E ( B ) lim 2 n n n 2 故 B2是 的渐近无偏估计.
例1：设总体 X 的一阶和二阶矩存在， E X , D X .
2
(1)证明:样本均值X 和样本方差S 分别是
2
和 的无偏估计；
2
(2)判断:B2是否为 的无偏估计?
2
是否为 的渐近无偏估计?
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(1)证:因X1, X 2 ,, X n与X同分布,故有:
1 1 E X E X i E Xi n n i 1 i 1 1 n n 故 X 是 的无偏估计.
第46讲
估计量的评价准则,无偏性
从前两讲看到，对总体的未知参数可用不同 方法求得不同的估计量，如何评价不同估计量 的好坏？ 常用的评价准则有如下四条： (1)无偏性准则 (2)有效性准则 (3)均方误差准则 (4)相合性准则
2
ˆ ˆ X , X ,, X ,满足 定义：若参数的估计量 1 2 n ˆ , E ˆ是的一个无偏估计量. 则称
求导数得密度函数为 nxn1 , 0 x , n f X n x 其它. 0,
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因此有: x nx ˆ E X E L n n
Leabharlann Baidu
0
n 1
dx
n n 1
所以 ˆL X n 作为参数 的估计是有偏的.
L ( )关于 > 0递减,
而的范围为: x( n) max{x1,..., xn}, 所以， 的极大似然估计量 ˆ X max X , X ,, X . L 1 2 n n
12
根据第26讲，X n 的分布函数为 x 0, 0, n xn FX n x F x n , 0 x , x . 1,
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例2:设总体 X 服从均匀分布 U (0, ), 是 未知参数,样本 X 1 ,, X n . (1)求 的矩估计,判断是否无偏; (2)求 的极大似然估计,判断 是否无偏.
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(1) 矩估计:
由1 E X 1 xdx 0 2 2 1 的 矩 估 计 ˆ 2 X
ˆ , 那么 E ˆ 称为估计量 ˆ的偏差, 若E ˆ ,则称 ˆ是的渐近无偏估计量. im 若l E n
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无偏性： E
无偏
ˆ
有偏 B
A
ˆ的概率密度如红线所示，则 ˆ 是的无偏估计 若 . 1 1 ˆ 的概率密度如蓝线所示，则 ˆ 是的有偏估计 若 .
ˆ) E 2 X 2E( X ) 2E( X ) , 因为E(
ˆ 2 X 是 的无 偏估计. 所以
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(2) 极大似然估计:
1 , 0 x ,, x , n 1 n L 其它. 0,
X的概率密度 1 , 0 x , f X x; 其它. 0,
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纠偏方法
ˆ b 是的无偏估计. 则1 a
ˆ a b, ,其中a, b是常数,且a 0, 如果E
n 在上例中, E( X ( n) ) , n 1 n 1 取X n X n ,则X n 是的无偏估计. n
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无偏性的统计意义是指在 大量重复 试验下， 由 ˆ X , , X 给出的估计的 平均恰是 ，
1 n
从而无偏性保证了 ˆ没有系统误差.
5
例如，工厂长期为商家提供某种商品， 假设生产过程相对稳定，产品合格率为 θ，虽然一批货的合格率可能会高于θ ， 或低于θ ，但无偏性能够保证在较长一 段时间内合格率接近θ，所以双方互不 吃亏。但作为顾客购买商品，只有二种 可能，即买到的是合格品或不合格品， 此时无偏性没有意义。