数值分析第二章 插值总结
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
数值分析_第二章_插值法
１ x０
x２ ０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
…
xn－ １ ０
…… ………
V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ） ＝
１
xn－ ２
x２ n－ ２
…
xn－ １ n－ ２
１
xn－ １
x２ n－ １
…
xn－ １ n－ １
∏ ＝
（ xi － xj ） ．
０ ≤ j ＜ i ≤ n－ １
故 知 V n （ x） ＝ V n－ １ （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ）（ x － x０ ）（ x － x１ ） … （ x －
＝ R截 ＋ R舍
＝
f″２（！ξ）（ x －
xi ）（ x －
xi＋ １ ） ＋
×
（－
０
．６９３１４７）
＋
（０ ．５４ （０ ．６
－ －
０ ０
．４）（０ ．４）（０
．５４ － ０ ．５） ．６ － ０ ．５）
× （ － ０ ．５１０８２６） ≈ － ０ ．６１５３２０ ．
４畅 解
由题设知 ０° ≤
x≤
９０° ，h ＝
xi＋ １
－
xi
＝
（
１ ６０
）°
．记
xi
处的准确值为 f i ，带有误差的值为 f i ，则
７ ，
x
∈
［１ ，２］ ，
－
１９ ２
x３
＋ ６７ x２
－
２９３ ２
x
＋
１０５ ，
x
∈
（２ ，３］ ．
四 、习题
１畅 根据范德蒙行列式的定义 ，令
V n （ x） ＝ V n （ x０ ，x１ ，… ，xn－ １ ，x）
数值分析第二章学习小结-
数值分析第⼆章学习⼩结-第2章插值法--------学习⼩结姓名班级学号⼀、本章学习体会1.我的感受：在学习本章之前，我在很多地⽅都见到过涉及到插值法的问题，⽐如中学时见到的类似于“给定两组数据，求⽬标函数”，⽣活中的“由坐⽕车的某两站到站时间估计⽕车到其他站的时间”。
⽽经过了《数值分析》第⼆章“插值法”的学习，我知道了简单估计与科学插值之间的关系以及拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段线性插值、三次样条插值、埃尔⽶特插值这些经典的插值⽅法，我知道了插值法是⾮常系统、科学的数学估计⽅法与⼯科领域的优化⽅法。
2.我的困惑：经过了这⼀章插值法的学习，我知道了拉格朗⽇插值、⽜顿插值等等优秀的插值⽅法，但是针对不同的问题，我们应该如何选择最适合的插值⽅法呢？或者说在不同类型的题⽬中各种插值法的优势是什么？（困惑解答在⼩结思考题处）⼆、本章知识梳理b x a x xc x a x s n j j i i ≤≤-+=∑∑-+,)(1)(313三、本章思考题思考题：在不同类型的题⽬中各种插值法的优势劣势分别是什么？思考：1.拉格朗⽇插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单；缺点：随着插值点的变化计算量成倍增加，计算变得⼗分繁琐，插值点较多时误差⼤数值不稳定。
插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。
2.⽜顿插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单并且随着插值点的变化计算仍相对⽐较简单；缺点：插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。
3.埃尔⽶特插值优点：插值函数与被插值函数贴合程度⾼，在插值节点上其⼆者导数值相同；缺点：被插值函数在插值节点的导数值在实例中不易知。
4.分段线性插值优点：计算简洁⽅便，舍⼊误差较⼩，数据稳定性好，易编程缺点：在插值节点处不光滑，不满⾜插值节点处插值函数导数连续。
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
数值分析 第2章 插值法
115 (115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144)
(115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 10.7228 (144 100)(144 121)
几何意义：y=p1(x)表示通过三点（x0,y0), (x1,y1) , (x2,y2)的抛物线，因此，二次插值 又称抛物插值。
p2(x)的解？
先解决一个特殊的二次插值问题
特殊的二次插值问题
求作二次式l0(x),使满足条件 l0(x0)=1 ， l0(x1)= l0(x2)=0
由l0(x1)= l0(x2)=0 可知：x1,x2是l0(x)的两个零点，因而有：
4x x
带入x0=100, 得
f
(x 0)
10,f
(x 0 )
1 ,f
20
(x 0 )
1 4000
p1(x ) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 5 0.05x
p2(x )
p1(x )
f
(x 0 ) (x
2!
x 0)2
计算 115的近似值 （精确值10.723805…）
2!
x0)
10.75 0.028125 10.721875
练习：求作f(x)=sin x在节点x0=0的5次泰勒多项式，并估计插 值误差。
解：f (x ) cos x ,f (x ) sin x ,f (3)(x ) cos x , f (4)(x ) sin x ,f (5)(x ) cos x
数值分析--第2章 插值法
数值分析--第2章插值法第2章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。
第二章 插值法-数值分析
1 1
x0 x1
2 n x0 x0 2 n x1 x1
2 n 1 xn xn xn Nhomakorabea
0 i j n
( x j - xi ) 0
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 , , an .
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
利用 x1 , x2
4
3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
§1 Lagrange Polynomial
i 0 n
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
Interpolation polynomial
2-2 线性插值与抛物插值 1. 线性插值
f (x)
(x0 ,y0) (x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
y1 - y 0 ( x - x0 ) 直线方程为: y - y 0 x1 - x0 x - x0 x - x1 等价变形为: y x - x y 0 x - x y1 0 1 1 0
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
记为: L1 ( x)
引入记号:
x - x1 l 0 ( x) , l1 ( x) x - x0 x0 - x1 x1 - x0
第2讲：插值法
n
为满足条件 Ln ( xk ) yk , (k 0, 1, , n) 的 n 次Lagrange插值多项式，则对任意 x [a , b]
第二章：插值
数值分析
有
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)!
p( x )
sin x
3 2
y
x
2
o
2
第二章：插值
数值分析
1、插值的基本概念
设函数 y f ( x) 在区间 a, b 有定义，且在已知点：
y0 , y1 , , yn a x0 x1 xn b 上的函数值为：
如果存在一个简单函数 y p( x) 使 yi p( xi )
0.330365
解：
第二章：插值
数值分析
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin 得 R1 ( x ) ( x 0.32)( x 0.34) 2
| sin | | 0.3367 0.32 || 0.3367 0.34 | 于是 | R1 (0.3367) | 2 sin0.34 0.0167 0.0033 0.0000091892 34 2
0.330387
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin ~ 得 R1 ( x ) ( x 0.34)( x 0.36) 2
第二章：插值
数值分析
于是
| sin | ~ | R1 (0.3367) | | 0.3367 0.34 || 0.3367 0.36 | 2 sin0.36 0.0033 0.0233 0.0000135431 7 2
数值分析第二章 插值法
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
推论
§1 Lagrange Polynomial
插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b f ( n) ( x)在[a, b]上连续 f ( n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x) = f ( x) - L ( x) n n
li ( xi ) = 1
Ci =
1 j i ( xi - x j )
与 节点 有关，而与 f 无关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lagrange Polynomial
(x - xj ) li ( x ) = ( xi - x j ) ji
n j =0
Ln ( x ) = l i ( x ) yi
i =0
n
§1 Lagrange Polynomial
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
课堂作业
1. 当x = 1,-1,2时, f ( x) = 0,-3,4, 求f ( x)的二次插值多项式 2.
已知由数据 (0,0), (0.5, y), (1,3)和(2,2)构造出的 3 三次插值多项式 P ( x ) 的 x 的系数是 6,试确定数据 y 3
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 拉格朗日多项式
例1
/* Lagrange Polynomial */
数值分析第二章 插值总结
j=0
n
Ln ( x) = li ( x) yi i=0
与节点有关，而与 f无关
Lagrange Polynomial
§2 Lagrange Polynomial
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) = yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
项式是唯一存在的。
证明： ( 前面已利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn( x) = Pn( x) - Ln( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1个不同的根 x0 … xn
插值
Interpolation_introduction
插值节点 插值条件
---插值问题
多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数 的近似函数值，零、极点，导数、积分（第四章 数值积分 和数值微分），解微分方程（第五章）、积分方程
Interpolation polynomial
多项式插值----polynomial interpolation
高就越好，嘿 嘿……
Oh yWReahigheh?nt.yWoTuhaestntiafarIltlfwinrditing the program,
wyottihhlunleeWomhwcLtaeoiuvaaltrwlehcrgefricerietlniaTluonnLdnchrttabageoehigetremneoprtrabweyoeeenaorln-Etaepgcsouotxaaoieiusdcmnsllc,pgaeiygsiultohlgiilci(plole?thaxyuonnittn)sseit,wnosdtptmoa.stohniciiaintnasltt.tloocp! urtaoalcabkcteleeomunt.
数值分析 第二章 代数插值
求出未知量a0,…,an代入(2.1)即得所求轮廓线. ■
郑州大学2013-2014学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis
§2.1 代数插值问题
代数插值问题： 设函数 y=f (x)定义在区间[a, b]上，而
x0,x1,…,xn是在[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点 处的函数值为 yi=f (xi),i=0,1,…n. 求一个次数不超过n次的多项式Pn(x)，使它满足
1
2
( x0 x1 )(x0 x2 )
类似可得
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l1 ( x) l 2 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
14/168 郑州大学2013-2014学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis
n次插值基函数
n次插值
由抛物插值中构造性方法启发，解决一般的n次代数插值问题.
分别构造x0 , x1, …, xn 上的 n 次插值基函数 l0(x), l1(x), …, ln(x),满足
x0 1 0 x1 0 1 x2 0 0 … xn 0 0
i j 0,1, 2, 1, li ( x j ) ij 0， i j
设计思路
2/168 郑州大学2013-2014学年硕士研究生课程 数值分析 Numerical Analysis
§2.1 代数插值问题
例2.1.1 设计某工件的外形，要求其轮廓线是光
滑的，且必须过n+1个互异的点(xi,yi)(i=0,1,…,n).
轮廓线应如何设计呢？
数值分析 第 版 插值法
其中K(x)是待定函数。
对于任意固定的x[a,b], xxk ,构造自变量t 的辅助
函数
( t ) f ( t ) L n ( t ) K ( x ) n 1 ( t )
19
( t ) f ( t ) L n ( t ) K ( x ) n 1 ( t )
由式 n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及 R n ( x ) f ( x ) L n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
称为f (x)在x0 , x1 , …, xn点的 n 阶差商。 差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下
26
xk 函数值
x0 f (x0)
x1 f (x1)
x2 f (x2)
x3 ...
f (x3) ...
一阶差商
表5-1
二阶差商
f [ x0 , x1] f [ x1 , x2] f [ x2 , x3]
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式
是范德蒙行列式，即：
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi )
ji
1 xn xn2 xnn
4
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi )
ji 1 xn xn2 xnn
由于插值节点 xi 互不相同, 所有因子 xj-xi 0, 所以上 述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组 (2-3) 的 解存在唯一. 即满足条件式 (2-1)的次数不超过n的多项 式(2-2) 存在且唯一。证毕。
定理1 设f (x)在区间[a ,b]上存在n+1 阶导数,
数值分析第五版第二章_插值法
以n+1个n次基本插值多项式
l k ( x)(k 0,1,, n)
为基础,就能直接写出满足插值条件
P( xi ) f ( xi ) (i 0,1,2,, n) 的n次代数插值多项式。
P( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
事实上，由于每个插值基函数 l k ( x)(k 0,1,, n)
( x 0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 的抛物线 y P( x) 近似代替曲线
y f ( x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
P(x)的参数 a0 , a1 , a 2
直接由插值条件决定， 即
y
a0 , a1 , a2满足下面
O
y=L2(x) y0 x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称
为代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
Hale Waihona Puke y1 x0 x1yn xn x
定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的
证明: 设n次多项式
a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
2 0 2 1 2 2
数值分析第2章插值法
数值分析第2章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，用于在给定一组有限数据点的情况下，通过构造合适的数学模型来估计这些数据点之间的未知数值。
插值法的应用广泛，包括图像处理、计算机辅助设计、数值计算等领域。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值以及样条插值等。
这些方法都是基于多项式的插值形式，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，并据此对未知点进行估计。
拉格朗日插值是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值构造了一个n次多项式Ln(x)，满足：Ln(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x)其中，L0(x),L1(x),...,Ln(x)是拉格朗日基函数，定义为：Lk(x) = ∏(i≠k)(x - xi)/(xk - xi) (k = 0, 1, ..., n)拉格朗日插值方法的优点是简单易用，但随着数据点数量的增加，拉格朗日多项式的计算复杂度也会大大增加。
牛顿插值是另一种基于多项式的插值方法，它使用差商的概念来构造插值多项式。
对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值构造了一个n次多项式Nn(x)，满足：Nn(x) = y0 + c0(x - x0) + c1(x - x0)(x - x1) + ... + cn(x -x0)(x - x1)...(x - xn-1)其中，c0 = Δy0/(x0 - x1)，ci = Δyi/(xi - xi+1) (i = 0, 1, ..., n-1)，Δyi = yi+1 - yi。
牛顿插值方法相比于拉格朗日插值方法，在计算多项式时具有更高的效率，尤其是在需要更新数据点时。
此外，牛顿插值方法还可以通过迭代的方式得到更高次数的插值多项式。
插值法小结
对于x [xj1, xj ] 可得到
积分2次，可得 S[j]’(x) 和 S[j](x) ：
( x j x )2 ( x x j 1 ) 2 M j 1 Aj S[j]’(x) = M j 1 2h j 2h j
分段线性插值 在每个区间[ xi , xi 1 ] 上，用1次多项式 (直线) 逼近 f (x):
f ( x ) P1 ( x ) x x i 1 x xi yi y i 1 x i x i 1 x i 1 x i
for x [ xi , xi 1 ]
一致
f(x) H(x)
S(x)
构造三次样条插值函数的三弯矩法 在 [ x j 1 , x j ]上，记 hj x j x j 1 , S ( x ) S [ j ] ( x ) for x [ x j 1 , x j ] 则 S[j]”(x) 为 1 次多项式，需 2 个点的值确定之。 设 S[j]”(xj1) = Mj1， S[j]”(xj) = Mj S[j]”(x) = M j 1
• n 次多项式 • p ( x) n y l ( x) kk n
k 0
(1.4)
• 满足插值条件(1.1)，其中 n xx j • lk ( x ) (1.5) , k 0,1,, n
j 0 jk
xk x j
• 称(1.4)式为Lagrange插值多项式 或Lagrange插值公式；(1.5)式为 Lagrange插值基函数。
第二章 插值法 （总结） /* Chapter 2 Interpolation */
主要内容 • 本章引入了那些问题 • 所引入问题的原因 • 解决问题的方法 • 各种方法的优缺点
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第二章 插值方法/* Interpolation */
§1 问题提出—函数逼近
/*problem formulation-----function approximation*/
用
Interpolation_introduction
函数逼近的方法有很多，例如Taylor级数， Fourier级数，有限元方法、边界元方法，小 波分析等，大学科叫逼近论。 本书讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法 (chapter 2)和最佳一直逼近、最小平方逼近 离散数据拟合(chapter 3)
求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an xn 使得
Pn ( xi ) = yi , i = 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n = 1 称已为知拉x氏0 ,基x1函; 数y0 , /y*1L，ag求rangPe1(Bxa)s=isa*0/， a1 x 使得
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
n
例如 P( x) = Ln ( x) p( x) ( x - xi ) 也是一个插值 i=0
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
➢ 插值余项 /* Remainder */
§2 Lagrange Polynomial
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) = f ( x) - Ln( x)
每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn
n
li (x) = Ci (x - x0)...(x - x i)...(x - xn) = Ci (x - xj )
ji
li ( xi ) = 1
C i
=
1
j i (xi -
xj )
j=0
li ( x) =
n ji
(x- xj) (xi - x j )
n
RRno(lxl)e’至s T少h有eornem+1:个若根( x) 充分Rn(光x)滑= K，(x)(xi=00)(=x -x( ix)1 ) = 0 ，则
任存意在固注定 (意xx0这, xxi里1 )(i是使= 对0得, …t,求(n)导,) =考0察。
(t)
=
Rn
(t
)-K( Nhomakorabeax)
n
(t
-
xi
使得
P ( x ) = y , i = 0, ... , n
ni
i
(2.2)
条件：无重合节点，即 i j xi x j
多项式插值的几何意义 Pn(x) f(x)
Interpolation polynomial
x0
x1
求
x2
x
x3
x4
插值多项式的唯一性
Interpolation polynomial
)
推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0
0 ( x0 , x1 ), 1 i (=0x1 , x2 )
(x)有 n使+2得个不(同0 )的= 根(x10)…= 0xn x (0 ,1(n)使1) (得x ) =0(, )=x 0 (a, b)
f (n1) ( x ) - L(nn1)((xx)0-) K= ( x )=(n( x1)n!) == R0n(n1) ( x ) - K ( x) (n 1) ! 存在 (a, b) 使得 (n) ( ) = 0
1
y1 = i=0 li ( x) yi
l0(x)
l1(x)
§2 Lagrange Polynomial
➢基函数法（n=1情形的推广）
n1 li(x)
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
n
Pn ( x ) = li ( x )yi i=0
，则显然有Pn(xi) = yi 。
j=0
n
Ln ( x) = li ( x) yi i=0
与节点有关，而与 f无关
Lagrange Polynomial
§2 Lagrange Polynomial
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) = yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
项式是唯一存在的。
证明： ( 前面已利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn( x) = Pn( x) - Ln( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1个不同的根 x0 … xn
插值
Interpolation_introduction
插值节点 插值条件
---插值问题
多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数 的近似函数值，零、极点，导数、积分（第四章 数值积分 和数值微分），解微分方程（第五章）、积分方程
Interpolation polynomial
多项式插值----polynomial interpolation
Problem I. 给定y=f(x)的函数表, xi
[a,b]
Interpolation interval
Interpolation points
求 次数不超过 n 的多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x n
Interpolation polynomial
(2.1)
Interpolation condition
满P足1( x条0 )件= yl0i(x, j)P=1(xij1 )/*=Kyr1onecker Delta */
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
P1 ( x)
=
y0
y1 x1
-
y0 x0
(x
-
x0 )
= x - x1 x0 - x1
y0 +
x - x0 x1 - x0
• 提问：Problem I 中的Pn(x)是否存在？
若存在，是否唯一？如何求？
Interpolation polynomial
如何求？解线性方程 组（2.3）----待定系 数法
Interpolation polynomial
§2 Lagrange Polynomial
§2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */