拉普拉斯(Laplace)定理

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laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理

j
二、拉氏变换的几个基本性质（1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0

at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0

st
dt
0
a0
t
e
0

( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n

§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则

这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换：又对作初等行变换：作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.

拉普拉斯(Laplace)变换

2 t
f (t )] L( p )
2

p sin t
10
t
6.4 Laplace变换的应用常用来求解微分方程和积分方程，求解步骤： (1) 对方程进行Laplace变换，并将初始条件考虑在内。 (2) 求解变换后的方程，得到解的像函数。 (3) 反演，得到解的原函数，即所给方程的满足初始条件的解。
例1：求解交流RL电路方程
d L j Rj E0 sin t dt j (0) 0
11
对方程作Laplace变换
并考虑初始条件
Lpj Lj (0) Rj E0 2 p 2
Lpj Rj E0 2 2 p
得到解的像函数
E0 1 j 2 2 L p R / L p
1 p 1
解：设L[y(t)]=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有
p 2Y ( p) py (0) y(0) 2[ pY ( p) y (0)] 3Y ( p)
利用初始条件，得到
1 p Y ( p) 1 2 pY ( p) 3Y ( p) p 1 3 1 8 1 p2 8 4 Y ( p) ( p 1)( p 1)( p 3) p 1 p 1 p 3
4
(4) 象的导数定理
dn n L( p) L[(t ) f (t )] n dp
(5) 象的积分定理
f (t ) p L( p)dp L[ t ]
1 p L( ) 0) (a a a

当然要求象的积分是收敛的。 (6) 相似定理 L[ f ( at )] (7) 位移定理
(2) 原象的导数定理
一般地

拉普拉斯定律

应用领域定理
Байду номын сангаас
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有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
Ⅱ型肺泡上皮细胞合成和释放肺泡表面活性物质（alveolar surfactant），然后分布于肺泡的内衬层的液膜，能随着肺泡的张缩而改变其分布浓度，用来减少肺泡表面张力。表面张力增加，大肺泡容易破裂小肺泡容易萎缩，不利于肺的稳定。
应用
拉普拉斯定律，是工程数学中常用的一种积分定律。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
函数变换对和运算变换性质利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及 f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。
发展历史
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法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天体力学和物理学。他认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理论》中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，并导入“拉普拉斯变换”。拉普拉斯变换导致了后来海维塞德发现运算微积分在电工理论中的应用。

拉普拉斯定理

拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。

它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。

下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。

首先，我们需要了解拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。

对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。

拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。

拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。

这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。

2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。

这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。

3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。

这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。

4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。

这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。

拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。

它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。

此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。

Laplace定理

12
k)!
k !(n
k)!

n!
7
项，故D=M1 A1 M2 A2 Mt At .
例
21 3 0
3 2 3 D
3 1 2
0 5
, 前两行共有
C2 6

43 2!

6个子式,
1 1 1 1
21
23
20
M1 3
2 1, M2 3
3 15, M3 3
0, 0
A2

( 1)( 1 2 ) ( 1 3 )
1 1
5 4,
1
A4

( 1)1 2 2 3
3 1
5 8.
1
D 1 (3) (15) 4 (9) (8) 9.
9
例
a11
a1k
0
ak1
akk
a11
a1k b11
b1l ,
c11
c1k b11
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。 1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。他是决定论的支持者，提出了拉普拉斯妖。他致力于挽救世袭制的没落：他当了六个星期的拿破仑的内政部长，后来成为元老院的掌玺大臣，并在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两度获颁爵位，后被选为法兰西学院院长。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。

拉普拉斯定理与行列式的乘法规则

例3.16 设 1 1 A 0 2 0 2 4 1 2 . 0 ，B 1 5
1 1 1
1 1 1
利用行列式的乘法规则求AB .
3.7.3 行列式的乘法规则
设n 阶行列式
D1
则
a11 a12 a21 a22 a n1 a n 2
a1n a2 n ann
,
D2
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
b1n b2 n bnn
.
D1 D2
c11 c12 c21 c22 c n1 c n 2
c1n c2 n cnn
,
aik bkj , k 1
n
其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j nj
证明作2n阶行列式
a11 a n1 D 1 a1n 0 ann 0 b11 1 bn1 0 0 . b1n bnn
由拉普拉斯定理，
D
a11 a n1
3.7.1 k 阶子式及其余子式、代数余子式
定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)，位于这些行和列的交叉点上的个元素
按原来的相对次序构成的k 阶行列式 S称为行列式 D 的一个 k 阶子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序构成的 n k 阶行列式 M称为 S的余子式;
A1 , A2 ,
, At , 则
例3.13 把行列式
D 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2
按第1, 2两行展开. 解由第1,2两行可以得到 c =6个2阶子式:
S1 S4 2 1 1 2 1 0 2 1 3, S2 1, S5 2 0 1 1 1 0 2 0 2, S3 0, S6 2 0 1 0 0 0 1 0 0, 0.

谈拉普拉斯定理及其应用

一、谈拉普拉斯定理及其应用拉普拉斯定理拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。

他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。

在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之为 M 的代数余子式，记为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值解：去定其第一、三行，其子式为：M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\它们的代数余子式为：A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\所以其行列式为D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\经Matalb验证如下：M=[1,2,1,4;0,-1,2,1;1,0,1,3;0,1,3,1];det(M)___________-7二、证明如何证明行列式的拉普拉斯定理？首先回顾一下行列式的计算方法一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。

拉普拉斯Laplace变换

f (t) = 2e − t − e −2t
例2
2s + 12 k1 k2 F(s) = 2 = + s + 2s + 5 s + 1 + 2 j s + 1 − 2 j
2s + 12 k1 = 2 (s + 1 + 2 j) s + 2s + 5
5 k2 = 1− j 2
s =−1− 2 j
5 = 1+ j 2
[a1s + a2 ]s =− p1 B( s) =[ ( s + p1 )( s + p2 )]s =− p1 A( s)
c. F(s)含有多重极点时，可展开为
an br br −1 b1 ar +1 F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ + r r −1 ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + pr +1 ) ( s + pn )
s =−1
=2
d s 2 + 2s + 3 a12 = [ (s + 1)3 ] s=−1 = 0 ds (s + 1)3 1 d 2 s 2 + 2s + 3 a13 = [ (s + 1)3 ] s =−1 = 1 2! ds 2 (s + 1)3
所以:
2 1 f (t) = L [ + ] = t 2e − t + e − t = (t 2 + 1)e − t (s + 1)3 s + 1
线性定理位移定理延迟定理终值定理

§2.8拉普拉斯(Laplace)定理

从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理

第8节拉普拉斯定理

它们的代数余子式为
A1 ( 1)1 31 2 0 1 0, 0 1 A3 ( 1)
1 3 2 3
A2 ( 1)1 3 2 4 1 1 2, 1 1 A4 ( 1)
1 31 2
1 2 5, 1 3
0 1 0, 0 1
A5 ( 1)411 3 0 2 0, 0 3
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1

0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn
c11 c n1 b11 bn1

c1n cn1 b1n bnn
注释1 ① 一个行列式的k 级子式和余子式有很多。 ② k=1时A的行列式的每个元素都是一个1级子式， k=n时A本身是一个n级子式（没有余子式）。
二、Laplace定理
定理8.3 在矩阵A中取定k行，则这k行确定的所有k
阶子式和它们的代数余子式的乘积和等于 A .
注释2
① 理解引理和Laplace定理以及会用定理即可 ② k=1时Laplace定理就是行列式按行(列)展开法则 ③ Laplace定理不适合计算一般行列式（见下例）
2 2 2 D a11 a12 a1n 2 2 2 a21 a22 a2n
n
作业：P130 Ex 1 (2), (4), 2 (1)(3)

2 2 2 an1 an 2 ann
2 nD aij 0. i 1 j 1
n
n
因此，由上面两方面知，结论成立。
到第k 行, j , k 1,2,, n.
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1 0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn c11 c n1 b11 bn1 c1n cn1 b1n bnn

拉普拉斯定理和范德蒙行列式

拉普拉斯定理和范德蒙行列式
拉普拉斯定理和范德蒙行列式都是线性代数中的重要概念。

拉普拉斯定理，也被称为行列式的拉普拉斯展开式或余因子展开式，是由拉普拉斯在他的1772年的论文中提出的。

这个定理描述了在n阶行列式中，任意取定k行（或列），由这k行（或列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于原行列式的值。

这个定理在行列式的计算中有重要的应用，特别是在某些行或列的元素为零或具有特殊性质时，可以通过拉普拉斯定理快速降阶计算行列式的值。

范德蒙行列式则是一种特殊类型的行列式，其形式为形如
1,x,x^2,...,x^(n-1)的n个元素的排列组合。

范德蒙行列式在多项式插值、解线性方程组等领域有重要应用。

范德蒙行列式的值可以通过其计算公式直接得出，该行列式为0的充要条件是至少有两个元素相等。

两者都是行列式理论中的重要组成部分，具有广泛的应用。

范德蒙行列式是一种特殊的行列式形式，而拉普拉斯定理则提供了一种计算行列式值的有效方法。

知识准备_拉普拉斯变换

s 0 s a
第四节常用拉普拉斯(Laplace)变换对
1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (t ) (t ) u (t ) t 1 t n ! e
a t n
F (s ) 1 1 s 1 s 2 1 s n 1 1 s a
s in t co s t e e
a t
( )的拉普拉斯变换。说明：称为函数f(t)
第一节拉普拉斯(Laplace)变换的定义函数数f(t)增大满足指数级条件的含义: 存在常数 M>0, C>0 使得
f ( t ) M e ct
0 f (t ) 1
0 t
t 0 t 0
【例1】求单位阶跃函数的拉氏变换
sin t ] F ( s a )

2
(s a )2
第三节拉普拉斯(Laplace)变换定理的应用 2、由拉氏变换求函数初值由拉氏变换求函数初值【例6】若已知函数f(t)的拉氏变换如下，求初值f(0)
【解】由初值定理可得：
1 L [ f ( t )] s a
f ( t ) f ( t nT )
则周期函数f(t)的拉氏变换为:
F (s) 1 1 e sT
0
T
f ( t ) e st dt
第三节拉普拉斯(Laplace)变换定理的应用 1、简化求拉氏变换的过程简化求拉氏变换的过程【例5】求下列函数的拉氏变换
(1 ) (2) f (t ) e
第一节拉普拉斯(Laplace)变换的定义一、拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义设f(t)是时间t的函数 t<0 f(t)=0 则
（1）s是复数 s j （2）L为积分运算符，表示对函数f(t) ( )做积分变换（3）F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（4）积分运算是单边积分当t<0时 f(t)=0 （5）F(s)存在的条件：函数f(t)增大满足指数级(Dirichlet )条件。

拉普拉斯(Laplace)定理

行运用Laplace 定理结果．定理结果．为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；

laplace定理计算行列式

作为你的文章写手，我将遵循你的要求，撰写一篇关于“拉普拉斯定理计算行列式”的高质量、深度和广度兼具的中文文章。

1. 什么是拉普拉斯定理计算行列式？拉普拉斯定理是用于计算行列式的一种方法，它可以将一个大的行列式分解成多个小的行列式，从而简化计算过程。

通过拉普拉斯定理，我们可以根据余子式和代数余子式来逐步计算行列式的值，使复杂的行列式计算变得更加简单和直观。

2. 拉普拉斯定理的具体应用当我们需要计算一个高阶的行列式时，使用拉普拉斯定理可以大大减少计算的复杂度。

它在线性代数、矩阵理论、概率统计以及微积分等领域都有着广泛的应用。

通过拉普拉斯定理，我们可以更加深入地理解行列式的性质和计算方法，并且在实际问题中灵活应用。

3. 拉普拉斯定理的原理拉普拉斯定理的原理是基于行列式的定义和性质，通过对行列式进行展开和化简来得到其值。

它包括代数余子式和余子式的概念，通过逐步展开和计算这些代数余子式和余子式，最终得到行列式的值。

拉普拉斯定理为我们理解行列式的计算提供了一种新的视角和方法。

4. 我对拉普拉斯定理的个人观点拉普拉斯定理作为行列式计算的一种方法，是非常有用和重要的。

它不仅可以简化行列式的计算过程，还可以帮助我们更加深入地理解行列式的性质和结构。

在我的学习和实践中，我发现拉普拉斯定理能够为复杂的行列式计算提供一种清晰的思路和方法，使得原本困难的计算变得更加直观和可行。

总结回顾：通过本文的阐述，我们对拉普拉斯定理计算行列式有了更加深入的理解。

拉普拉斯定理是一种重要的行列式计算方法，可以帮助我们简化复杂行列式的计算过程，提高计算效率并且更好地理解行列式的性质。

在学习和应用中，我们可以充分利用拉普拉斯定理的原理和方法，使得我们在数学和相关领域的问题求解更加高效和灵活。

通过本文的详细阐述和举例说明，相信你对拉普拉斯定理计算行列式有了更深入的了解。

希望本文能够帮助你更好地掌握这一重要概念，并在学习和实践中取得更好的成绩。

棣莫弗拉普拉斯定理

棣莫弗拉普拉斯定理概述棣莫弗拉普拉斯定理（D’Alembert-Laplace theorem），又称极限振幅定理，是数学中关于波动现象的基本定理之一。

它可以用于求解波动方程的初边值问题，特别是一维波动方程。

该定理由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）和法国物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在18世纪后期独立发现。

棣莫弗拉普拉斯定理的核心思想是利用特定的初边值条件将波动方程的一般解转化为一个特定的积分形式。

通过定义一个新的变量和引入一个新的等式，可以简化波动方程的求解过程。

这个定理在物理学、工程学和其他领域的波动问题中具有广泛的应用。

定理的内容棣莫弗拉普拉斯定理是针对一维波动方程的初边值问题给出的一个定理。

一维波动方程可以用如下形式表示：∂2u ∂t2−c2∂2u∂x2=0其中，u(x,t)表示波动的位移，c表示波速，x表示空间坐标，t表示时间。

这个方程描述了波动在时间和空间中传播的规律，通过该方程可以求解波动的传播速度、波长、频率等信息。

对于给定的初始条件和边界条件，例如，初始时刻波动的初始位置和初始速度，以及在空间中的固定边界条件，棣莫弗拉普拉斯定理给出了波动方程的解。

定理的具体表述如下：对于一维波动方程，假设存在初始时刻的位移分布u(x,0)和速度分布∂u∂t(x,0)，以及在空间两端的固定边界条件u(0,t)=u(L,t)=0，其中L表示空间的长度。

则对于任意时刻t>0，波动在空间中任意位置x处的位移u(x,t)可以通过如下公式计算：u(x,t)=12c∫[u(ξ,0)+∂u∂t(ξ,0)] x+ctx−ctdξ这个公式将通过积分将波动方程的解表示为初始条件的积分平均值。

它的物理含义是，波动在任意时刻t、任意位置x处的位移，等于初始时刻初始位置及初始速度的加权平均。

棣莫弗拉普拉斯定理的应用棣莫弗拉普拉斯定理在波动现象的研究中有广泛的应用，下面介绍其中几个重要的应用领域。

拉普拉斯定理

a1α1 a 2α 2 " a kα k a k +1, β k +1 a k + 2, β k + 2 " a nβ n
其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) +τ (( β k +1 − k )( β k + 2 − k )"( β n − k )) = (−1)τ (α1α 2 "α k β k +1β k + 2 "β n ) ，于是，这个乘积项是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。下证一般情形：设子式 M 位于 D 的第 i1 、 i2 、…、 ik 行，第 j1 、 j 2 、…、 j k 列，其中 i1 < i2 < " < ik ；
1
a11 # D= ak1 a k +1,1 # a n1
" M " % "
a1k # a kk # a nk
a1,k +1 # a k ,k +1 a k +1,k +1 # a n ,k +1
" % "
a1n # a kn
" a k +1,k
" a k +1,n # M′ " a nn
此时， M 的代数余子式 A 为 A = (−1) (1+ 2+"+ k ) + (1+ 2+"+ k ) M ′ = M ′ M 的每一项可写作 a1α1 a 2α 2 " a kα k ，其中 α 1 、 α 2 、…、 α k 为 1、2、…、 k 的一个排列，其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) ；

拉普拉斯(Laplace)定理(最全)word资料

§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式 3100120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1042=M , M 的余子式为 1020='M . 例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中,454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a aM ='是一对互余的子式.定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121-=D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则定理7 两个n 级行列式nnn n n n a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n n n c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.n , X ,相互独立且具有相同的数学期望和方2,( i 1, 2,)= 个随机变量的算术平均数ni 11X , i n ==∑X 对于任意正数i X |}με-<充分大时，算术平均数必然)独立，则 22-1}e dt 2t xπ-∞=⎰)具有怎样的分布，n X +=()50,()i i E X D X ==()50,()25n n E Y n D Y ∴==　由中心极限定理，有(5000)n Y ≤)之和，即,(k p D X =3得n lim P →∞⎧⎪⎨⎪⎩四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是。

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