初中数学重点梳理：圆的基本性质
圆初中数学知识点总结
圆初中数学知识点总结圆初中数学知识点总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，因此，让我们写一份总结吧。
那么总结有什么格式呢？以下是小编为大家整理的圆初中数学知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
圆初中数学知识点总结1一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA 叫半径。
由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。
心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。
由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和＞180°与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
【初中数学】初中数学圆的性质知识点归纳
【初中数学】初中数学圆的性质知识点归纳【—圆的性质归纳】圆是轴对称图形，圆也是中心对称图形。
圆的性质⑴ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。
(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。
在即将到来的期末考试之际，老师为大家送上初中数学圆的性质知识点归纳。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
七年级下册圆知识点
七年级下册圆知识点圆是中学数学中的重要概念之一，在七年级下册也是一个非常重要的知识点。
本文将深入浅出地讲解七年级下册圆的相关知识点，帮助大家更好地理解和记忆这一知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：平面内所有到点O距离等于r的点的集合，叫做以点O为心，以r为半径的圆，简称圆。
2. 圆的性质：（1）圆在平面内的位置是唯一确定的。
（2）圆的直径是圆上任意两点间的最长线段。
（3）圆的周长是圆心角所对的圆弧长度的两倍。
（4）圆是中心对称的，对称中心为圆心。
二、圆的元素圆由以下元素组成：1. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，所以圆心是圆的中心点。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离。
3. 直径：经过圆心且在圆上的线段。
4. 弦：圆上任意两点之间的线段。
5. 弧：圆上的一段曲线，可以通过一个圆心角所对的圆弧唯一确定。
三、圆的要素与定理1. 圆的要素：圆心O，半径r2. 圆的定理：（1）圆心角定理：圆心角所对弧的长度是一定的。
（2）圆周角定理：圆周角等于其所对圆弧的一半。
（3）相交弦定理：若弦的两端点在圆内，则这条弦所对的两个圆弧长度之和等于圆周长。
（4）割线定理：从圆外一点向圆内引一条割线，则与割线相交的两条弧所对的角相等。
（5）切线定理：从圆外一点向圆内引一条切线，则与切线相交所对的角是一个直角。
四、圆的画法1. 给定圆心和半径画圆：（1）以圆心为中心，画出半径；（2）以半径为长度，再画出一个同心圆；（3）用直尺将两个圆心相连，得到直径。
2. 已知圆上三点画圆：（1）连接任意两点，得到一条弦；（2）构造垂直与弦的平分线，交点即为圆心；（3）圆的半径为圆心到任意一点的距离。
五、圆的应用1. 在实际问题中，圆的应用非常广泛，例如：（1）计算圆的周长和面积；（2）设计元器件时需要用到圆的形状等；（3）计算某些物体的体积和表面积等。
2. 在建筑、机械、电子等领域，圆的应用也非常广泛，例如：（1）建筑中常用的测量工具——圆规；（2）机械中的摆线、蜗轮、齿轮等零部件都涉及到圆的运用；（3）电子中的电路板、芯片等也有很多圆形或环形的元件。
初中数学圆知识点总结归纳
初中数学圆知识点总结归纳一、圆的基本性质圆的定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中定点称为圆心，定长称为半径。
圆的基本性质：(1)圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
(2)圆是轴对称图形，对称轴为经过圆心的任意一条直线。
(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
(5)弦心距定理：在同圆或等圆中，弦心距等于所对弧的半径的一半。
二、圆的几何表示圆的方程：在平面直角坐标系中，以圆心为坐标原点，以半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
圆的标准方程：以圆心为坐标原点，以半径为r，且经过点P(x0, y0)的圆的方程为(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2。
圆的参数方程：以x为参数，描述圆的方程为x = x0 + rcos(θ)，y = y0 + rsin(θ)，其中θ为参数。
三、与圆相关的定理和性质切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线性质定理：圆的切线上的任一点到圆心的距离等于半径。
切线长定理：经过圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。
相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，它们的交点与该点的距离乘积等于常数。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。
圆幂定理：对于同圆或等圆中的两个相等的非零实数，有：(ab)(cd) = (ac)(bd) - (ad)(b*c)。
弦中点定理：经过弦的两个端点的直径垂直于这条弦。
相交弦定理：两弦交于圆内一点，各弦被这点所平分。
余弦定理：对于任何三角形ABC，有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。
正弦定理：对于任何三角形ABC，有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。
周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。
二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。
2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。
3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。
即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。
4. 切线定理：切线与半径垂直。
5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。
6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。
在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。
2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。
即面积= π ×半径的平方。
3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。
综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。
通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。
九年级数学知识点总结圆
九年级数学知识点总结圆数学中的圆是我们学习的重要几何形状之一，也是九年级数学中的一个重要知识点。
学习圆的相关知识，不仅可以提高我们的几何直观能力，还有助于我们解决实际问题。
接下来，我们就一起来总结九年级数学中关于圆的知识点。
一、圆的概念及性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。
在圆上，我们常见的有圆心、半径、直径、弦、弧等概念。
1. 圆心：圆心是圆上离任何一点距离相等的点，通常用字母O 表示。
2. 半径：从圆心到圆上任一点的线段称为半径，通常用字母r 表示。
3. 直径：通过圆心的任意两点构成的线段称为直径，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。
4. 弦：在圆上任意选取的两点之间的线段称为弦。
5. 弧：在圆上两个点之间的曲线部分称为弧。
圆的性质有很多，比如圆心角是指圆上两条半径之间的夹角，它的度数等于它所对应的弧所对的圆心角的一半。
此外，对于一个圆，任意一条直径将圆分为两个相等的半圆，而一个圆只有一个圆心和一个半径。
圆的任意两条弦的长度相等，且直径是一个弦的最长长度。
二、圆的计算在九年级数学中，我们还需要学习如何计算与圆相关的一些特性，包括圆的周长和面积的计算。
1. 周长：圆的周长也被称为圆周长，通常用公式2πr表示，其中π是一个约等于3.14的常数，r是圆的半径。
2. 面积：圆的面积可以用公式πr²来计算，其中π是一个约等于3.14的常数，r是圆的半径。
三、圆的相交关系及定理在几何学中，圆与直线或其他圆的相交关系是我们需要掌握的重要知识。
1. 圆与直线的相交：若直线和圆有两个交点，则该直线被称为圆的切线，若直线与圆相交于两个不同的交点，则直线被称为圆的弦。
2. 圆与圆的相交：两个圆可以有三种相交关系，即相离、相切和相交。
当两个圆内部没有公共点时为相离，当两个圆的外切线只有一个公共点时为相切，当两个圆内外各有一个公共点时为相交。
在圆的相交关系中，我们还有一些重要的相关定理，比如切线定理和割线定理等，它们有助于我们计算圆内外的线段长度。
初一数学圆知识点归纳总结
初一数学圆知识点归纳总结在初中数学学习中，圆是非常重要的一个概念。
掌握圆的相关知识点对于学习几何学和解题非常有帮助。
本文将对初一数学中的圆知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
1. 圆的定义和性质：圆是平面上一组距离固定的点的集合，其中任意两点之间的距离都相等。
圆的性质包括以下几个方面：- 圆心：圆的中心点，用O表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用r表示。
- 直径：通过圆心的两个点之间的线段，长度为2r。
- 弧度：圆上两点之间的弧所对应的圆心角的大小，以弧长为单位表示。
- 弧长：圆上两点之间的弧的长度。
此外，圆还具有与角度有关的性质，例如圆心角、弦和切线等。
2. 圆的相交关系：当两个圆相交时，可能存在以下几种相交关系：- 相切：两个圆仅有一个公共切点。
- 相交：两个圆有两个不重合的交点。
- 内切：一个圆完全包含在另一个圆内部，两个圆的圆心和半径相等。
- 外切：一个圆的外切与另一个圆相切，两个圆的圆心和半径之和相等。
性质：相交圆的圆心连线过相交点的中垂线上。
3. 圆的元素和常见结论：进一步探究圆的性质，我们可以得出一些常见的结论：- 圆的内切三角形：一个三角形的内切圆与三角形的三边相切。
- 等腰三角形和等边三角形的内切圆：等腰三角形的内切圆的圆心和底边中线的交点是等边三角形的内切圆的圆心。
- 正方形和正六边形的内切圆：正方形的内切圆的圆心和正六边形的内切圆的圆心是同一个点。
- 圆的切线：切线是与圆相切于一点并且垂直于半径的直线，切点、圆心、切线所在直线的三点共线。
这些结论常常在解决几何问题时被运用，同学们要熟练掌握。
4. 圆的计算：推导和计算圆的相关参数是数学学习中的重要内容。
下面是一些常见的计算方法和公式：- 圆的周长：C = 2πr，其中π约等于3.14。
- 圆的面积：A = πr²。
- 弧长计算：弧长L = rθ，其中θ是弧度。
- 扇形面积计算：扇形面积S = 1/2r²θ。
初一圆的知识点归纳总结
初一圆的知识点归纳总结圆是初中几何学中的一个重要概念，它具有许多基本性质和特点。
在初一学习阶段，我们需要了解圆的定义、圆的元素、圆的性质和圆的应用等方面的知识点。
本文将围绕这些方面对初一圆的知识点进行归纳总结。
一、圆的定义圆是指平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
二、圆的元素一个圆由以下元素组成：1. 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。
2. 直径：通过圆心的一条线段，且两端点都在圆上，用d表示。
3. 半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，用r表示。
4. 圆周：圆上的所有点构成的曲线。
5. 弦：连接圆上两点的线段。
6. 弧：圆上的一段曲线，以两个端点为限。
7. 扇形：由圆心、弧和两个半径构成的图形。
三、圆的性质1. 圆的半径相等：一个圆上的所有半径都相等。
2. 圆的直径是半径的两倍：圆的直径等于两倍的半径，即d = 2r。
3. 圆的周长：圆的周长等于直径乘以π，即C = πd或C = 2πr。
4. 圆的面积：圆的面积等于半径平方乘以π，即A = πr²。
5. 弧长和扇形面积：弧所对的圆心角和弧长成正比，扇形的面积是对应弧所对圆心角的比例乘以整个圆的面积。
6. 切线和切点：切线是与圆只有一个交点的直线，切点是切线与圆的交点。
7. 弦的性质：如果两条弦相交，那么两条弦交点到圆心的线段上的积相等。
四、圆的应用圆的知识在生活和科学中有广泛的应用，包括：1. 圆的建筑：圆形的建筑物，如圆形剧场、圆形体育馆等。
2. 工程设计：在工程设计中，如桥梁设计、道路设计等，圆形的曲线被广泛应用。
3. 圆形运动：许多物体的运动轨迹是圆形，如行星围绕太阳的运动轨迹等。
4. 圆形仪器：一些科学仪器，如显微镜、望远镜等的镜头形状是圆形的。
5. 圆的计算：通过对圆的周长、面积和弧长的计算，可以在数学、物理等领域进行各种相关计算。
综上所述，初一圆的知识点主要包括圆的定义、元素、性质和应用等方面。
初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，圆心角的运用一直以来是会考或中考中涉及到的知识点，现在同学们对其的了解已经很深了吗。
1.半圆或直径所对的圆周角是直角.
2.任意一个三角形一定有一个外接圆.
3.在同一平面内，到定点的距离等于定长的'点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.
4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
6.同圆或等圆的半径相等.
7.过三个点一定可以作一个圆.
8.长度相等的两条弧是等弧.
9.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。
看过初中数学知识点大全之圆的基本性质，相信现在同学们对其的了解已经很深了吧。
如果想要了解更多更全的初中数学知识就来关注吧。
初中数学圆的基本性质公式定理
初中数学圆的基本性质公式定理初中数学圆的基本性质公式定理大全大家都知道：圆是定点的距离等于定长的点的集合，那么圆的半径、圆心等性质大家熟知了吗。
以下是小编为你整理的内容，欢迎阅读。
圆的基本性质1圆是定点的距离等于定长的点的集合2圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4同圆或等圆的半径相等5到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
上面为大家带来的是初中数学公式定理大全之圆的公式定理，热爱数学的同学们应该熟记于心了吧。
初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
圆的综合知识点总结(初中数学)
圆的基本概念和性质要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧:在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.垂径定理知识点一、垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即⎩⎨⎧⇒⎭⎬⎫平分弦所对的弧平分弦垂直于弦直径(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）弧、弦、圆心角、圆周角要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义:如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
九年级数学上册圆知识点讲解
九年级数学上册圆知识点讲解在九年级的数学上册中，圆是一个重要的几何图形。
学好圆的知识对于理解和解决与圆相关的数学问题至关重要。
本文将围绕九年级数学上册的圆知识点展开讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分的内容。
一、圆的定义与性质圆是平面上一组到一点的距离等于固定长度的点的集合。
其中，固定长度称为圆的半径，圆心为到圆上所有点的距离都相等的点。
圆的性质包括：1. 圆的周长公式：圆的周长等于直径乘以π（圆周率），即C= 2πr。
2. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。
3. 圆的直径和半径的关系：直径是圆的两个任意点之间的最大距离，而半径是圆心到圆上的任意一点的距离。
直径是半径的两倍，即d = 2r。
二、圆的元素与相关定理除了圆的定义与性质外，我们还需要了解圆的一些元素和相关定理，如：1. 弧：圆上两点间的弧称为圆弧。
弧的度数等于所对圆心角的度数。
2. 圆心角与弧度制：圆心角是以圆心为顶点的角。
角的度数可以用度数制表示，也可以用弧度制表示。
3. 弧长与扇形面积：弧长是圆弧的长度。
扇形面积是由弧和两个半径所围成的图形的面积。
4. 弦：在圆上连接两个点的线段称为弦。
弦可分为直径和非直径的弦。
5. 弦切定理：当两条弦在圆的内部相交时，它们的交点到圆心所连接的线段相互乘积相等。
6. 弦弧定理：当一条弦正好等于半径时，它所对应的圆弧是90°的圆心角。
7. 弧切定理：当一条切线与圆相切时，切点和圆心所连接的线段是垂直的。
三、圆的相关应用除了掌握圆的定义、性质、元素和定理外，我们还需要学会将这些知识应用于解决与圆相关的数学问题。
以下是一些常见的圆应用问题类型：1. 已知圆的周长，求圆的半径或直径。
2. 已知圆的面积，求圆的半径或直径。
3. 已知圆周率和圆的半径或直径，求圆的周长或面积。
4. 求圆内外接的正多边形的面积、周长或边长。
5. 求圆内接的正多边形的面积、周长或边长。
初二圆的知识点归纳总结
初二圆的知识点归纳总结初二数学学习的一个重要内容是对圆的知识点的学习。
圆是几何中的重要概念之一，对于学习几何的学生来说，掌握圆的性质和相关的定理是非常重要的。
本文将对初二阶段圆的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和记忆这些知识。
一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一点的距离都相等的点的轨迹。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是到圆上任意一点的距离都相等的点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆上的点到圆心的距离都等于半径的长度。
圆的性质有以下几点：1. 圆的直径是圆上任意两点的连线，并且它等于圆的半径的两倍。
2. 圆的弦是圆上的两点之间的线段。
3. 圆的弧是圆上两点间的曲线部分。
4. 圆与弧的关系：圆是弧的外接几何形状。
5. 圆的切线是与圆只有一个公共点的直线。
二、圆和角的关系在圆上，与弧相对应的中心角、弦和角以及切角是重要的概念。
1. 圆心角：顶点是圆心，两边的线段都与圆上的点相交的角。
2. 圆心角的性质：圆心角等于它所对应的弧，圆心角相等的弧相等。
3. 弧度制：角度的度数可以转化为弧度来计算，弧度是圆周上弧所对应的圆心角所对应的弧长与半径的比值。
4. 弦和角：顶点为圆上一点，两边分别与圆相交的角。
5. 弦切角：在圆上的一点处，圆的切线与相交的角。
三、圆的相关定理初二阶段学习的圆与角的相关定理主要有如下几个：1. 弦切定理：当一个弦和切线相交时，切线所对的弧的弧度等于与这个弧所对应的弦切角的弧度。
2. 弦弧定理：在同一个圆或者同心圆上，两个弦所对的弧的弧度相等，则这两个弦的长度也相等。
3. 弧角定理：在同一个圆或者同心圆上，对应于同一个弧的两个角的弧度相等；对于圆心角和相应的弧，弧度相等。
4. 切割圆弧定理：一条直线与一个圆相交，切割下的两个弧分别对应于两个中心角，这两个角的弧度相等。
5. 弧线关系定理：如果两个弧所对应的弧度相等，则这两个弧对应的线段也相等；如果两条线段相等，则它们所对应的弧度也相等。
初中数学知识归纳圆的性质
初中数学知识归纳圆的性质圆是一种重要的几何图形，它在数学和实际生活中都有广泛应用。
本文将对初中数学中与圆相关的一些基本性质进行归纳，包括圆的定义、圆的元素、圆的位置关系、弧与扇形的性质以及圆的面积计算方法。
一、圆的定义与元素圆是由平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
这个固定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆通常用“O”表示圆心，用“r”表示半径。
二、圆的位置关系1. 内切与外切：若两个圆相交于一个点，且一个圆内切于另一个圆，则这两个圆是内切的；若一个圆上的一个点与另一个圆相切，则这两个圆是外切的。
2. 相交：当两个圆上的点的集合不为空时，称这两个圆相交。
3. 相离：当两个圆的交集为空集时，称这两个圆相离。
三、弧与扇形的性质1. 弧度：一条圆周上的弧所对应的圆心角的大小叫做弧的弧度。
一个圆周上的弧长等于圆周长的1/360，对应的圆心角的弧度为1度。
2. 弧长公式：弧长等于半径乘以弧度。
3. 扇形面积公式：扇形的面积等于弧度除以2再乘以半径的平方。
四、圆的面积计算方法1. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π（π≈3.14）。
2. 扇形面积公式：扇形的面积等于扇形的弧度除以2再乘以半径的平方。
3. 圆环面积公式：圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积。
五、例题与解答例题1：已知一个圆上的弧长为10cm，半径为3cm，求该弧对应的圆心角的弧度。
解：根据弧长公式，弧长等于半径乘以弧度，得到10=3×弧度。
解方程可得弧度≈3.33。
例题2：一个扇形的圆心角的弧度为0.8，半径为5cm，求该扇形的面积。
解：根据扇形面积公式，扇形的面积等于弧度除以2再乘以半径的平方，得到面积≈3.14。
例题3：一个圆的半径为7cm，求该圆的面积和周长。
解：根据圆的面积公式，圆的面积等于半径的平方乘以π，得到面积≈153.94。
根据圆的周长公式，圆的周长等于半径乘以2再乘以π，得到周长≈43.98。
六、实际应用圆的性质在生活中有很多应用。
九年级上数学圆知识点归纳总结
九年级上数学圆知识点归纳总结数学是一门与实际生活密切相关的学科，其中的圆是一个非常重要的概念。
在九年级上学期，我们学习了关于圆的各种性质和定理。
在本文中，我将对九年级上学期数学中的圆知识点进行归纳总结。
一、圆的定义和性质圆是由平面上到一个固定点的距离等于定值的点的集合。
圆的性质有：1. 圆的半径是任意两点间的距离。
2. 圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
3. 圆的弦是连接圆上两点的线段。
4. 圆的弧是连接圆上两点的一段。
二、圆的元素及关系1. 圆心：圆中心点的位置，通常用大写拉丁字母O表示。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
3. 直径：通过圆心的线段，两端点都在圆上，通常用小写字母d表示。
直径等于半径的两倍。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 弧：圆上的一段曲线，通常以两个端点来表示。
6. 弧长：弧所对应的圆心角的度数的长度。
7. 圆周：圆的边界，也是一个圆的周长。
8. 弦的性质：等长的弦对应的圆心角相等；等长的弧所对应的圆心角相等。
三、弦长和弧长的计算公式1. 弦长公式：如果弦的两边对应的圆心角是θ度，半径为r，则弦的长度L等于2πr(θ/360°)。
2. 弧长公式：如果一个弧所对应的圆心角是θ度，半径为r，则弧长S等于2πr(θ/360°)。
四、切线和切点1. 切线：与圆相切于圆上某一点的直线。
切线与半径垂直。
2. 切点：切线和圆相切的点。
五、圆与角的关系1. 圆心角：以圆心为顶点的角，其两边是由圆弧所确定。
2. 弧度制与角度制的换算：弧度制：以半径等于1的圆为单位圆时所对应的圆心角的弧长。
角度制：一个圆的周长的360分之一。
弧度制和角度制的转换公式：θ(弧度制) = θ(角度制) * π/180°。
六、圆的相交关系1. 外切：两个圆只有一个公共切点。
2. 内切：一个圆完全位于另一个圆的内部，并且两个圆有唯一的公共切点。
圆的全部知识点总结初中
圆的全部知识点总结初中一、基本概念圆是平面上的一个几何图形，由平面上离一个固定点距离不超过一定值的所有点组成。
这个固定点称为圆心，这个固定距离称为半径。
圆的边界叫做圆周，两个半径的端点连线叫做直径。
圆的基本元素包括圆心、半径、圆周、直径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等在同一个圆中，所有的半径都相等，这是圆的基本性质之一。
2. 圆的周长和面积圆的周长和面积是圆的重要属性。
圆的周长可以通过公式C=2πr进行计算，其中r为半径，π为圆周率。
圆的面积可以通过公式A=πr^2进行计算。
3. 弧和角圆的圆周可以被分成若干个弧，当弧的长度正好等于半径时，这个角称为圆心角。
圆周上的任意一点和圆心之间的连线称为弧，圆周上的弧相对于圆心的角称为弧度。
4. 圆心角的性质在同一个圆中，圆心角的度数是弧长半径的两倍。
即圆心角的度数等于以这个角所对应的弧长所对应的圆心角的弧长的两倍。
5. 弧长和扇形面积弧是圆周的一部分，它的长度可以通过公式L=2πr×(α/360)进行计算，其中α为对应的圆心角的度数。
扇形是圆心角对应的部分，它的面积可以通过公式S=πr^2×(α/360)进行计算。
6. 相交圆的性质当两个圆相交时，它们的交点可以构成两个弧和四个圆心角，根据圆的性质可以得到诸多推论。
7. 圆与直线的关系圆与直线的关系包括内切、外切、相交、相离等情况，而且这些关系会受到垂直角、周角、对顶角等角的影响。
8. 圆的应用圆是几何学中最基本的图形之一，它在生活中有着广泛的应用。
例如，圆形的轮子、钟表、铁路、汽车轨道等都离不开圆的几何原理。
三、常见的圆的定理1. 切线定理当直线与圆相切时，切线与圆的切点之间的连线垂直于半径。
2. 圆的对称性圆具有各种对称性，包括中心对称、轴对称等。
3. 圆心角和弧的关系圆心角和其所对应的弧的关系是两者之间的重要性质，可以帮助解决各种与圆相关的题目。
四、圆的相关解题技巧1. 圆的基本计算掌握圆的周长和面积的计算公式是解题的基础。
九年级上圆的知识点总结
九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容，也是中考的重点和热点。
在九年级上册的数学学习中，我们对圆的相关知识有了较为深入的了解。
下面就来对九年级上圆的知识点进行一个全面的总结。
一、圆的定义1、圆的动态定义在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。
固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 的长度叫做半径。
2、圆的静态定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
二、圆的相关概念1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
2、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示。
以A、B 为端点的弧记作⌒AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
5、等圆能够重合的两个圆叫做等圆。
6、等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
初中数学：有关圆的概念及性质
初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。
【重点梳理】-初三数学-圆的基本概念和性质
核心知识点一：圆的定义与性质1. 圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.每周六 10 点，【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料，等你来抢~~~核心知识点二：与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.。
七年级下册圆的知识点总结
七年级下册圆的知识点总结圆是我们学习数学中非常重要的一个概念，也是我们在几何学习中经常会涉及到的一个知识点。
在七年级下册数学学习中，我们对于圆的知识点也进行了深入的学习，下面就让我们来总结一下七年级下册圆的知识点吧。
一、圆的定义圆是指平面内到一个确定点的距离等于定长的所有点的集合。
其中确定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆心为O，半径为r的圆可以表示为O(r)。
二、圆的性质1.圆上任意两点的距离都相等。
2.圆的任意弧都小于或等于整个圆周。
3.过定点P可以作出无数条与圆相交的直线，它们分别在圆上与圆上的两点构成两个交点，这些交点在一条直线上，称之为切线。
4.切线与半径垂直。
三、圆的元素1.圆心：圆的中心点，常用O表示。
2.半径：从圆心O到圆上任意一点的距离，常用r表示。
3.直径：包含圆心O，并且在圆上的一条线段，是以圆上两点为端点的线段，经过圆心O，并把圆分成两半。
4.弧：在圆周上两个点之间的线段被称为弧。
5.扇形：以圆心为顶点的圆弧以及相应圆心角所构成的图形，其中的圆心角为弧所对应的角。
6.圆心角：圆心上的两点及圆上此弧所构成的角，通常以∠AOC表示。
7.弦：在圆上连接两个点的线段。
8.切线：在圆上的一点，且垂直于径的直线。
四、圆的计算1.周长：周长是指一条线拐了一圈后所走过的总长度。
圆周长为2πr，其中π≈3.14。
2.面积：圆的面积为πr²。
3.弧长：弧长为圆的一部分弧线的弧长。
弧长计算方法为：弧长=圆心角度数/360°*2πr4.扇形面积：扇形面积的计算公式为：扇形面积=1/2r²*∠AOC。
五、圆的运用1.平面几何中，圆是构成各种几何图形的基本元素之一。
比如说：圆、圆柱、圆锥、球等。
2.在数学中我们也会用到圆的相关知识，比如长方形内切圆、正多边形内切圆、圆周角、圆心角等知识点。
以上就是七年级下册圆的知识点总结，希望对同学们有所帮助。
在掌握这些知识点之后，同学们可以多进行自己的练习，不断提升自己的数学能力和应用能力。
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•知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径立理是今后我们学习综合题目的重要基础。
圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。
本Yj我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
「知识梳理1、圆的定义：（1）描述性泄义：在一个平而内，线段OA绕它固左的一个端点。
旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固逹端点。
叫做圆心，OA叫做半径.（2）集合性泄义：平而内到泄点的距离等于左长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径.（3）圆的表示方法：通常用符号。
表示圆，泄义中以。
为圆心，％为半径的圆记作“OO”, 读作“圆°"。
（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等.2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以人B为端点的圆弧记作AB,读作（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.（6）半圆：圆的任意一条宜径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆•（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.3、垂径定理：（1）垂径泄理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧：③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.24、 圆心角和圆周角：（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的 圆心角，我们也称这样的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的呱的度数相等.（2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.（3） 圆周角泄理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的眩是直径.推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（4） 圆心角、孤、弦、弦心距之间的关系圧理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的呱 相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.5、 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
6、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一个正多 边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径， 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距。
注意：正n 边形每一个内角的度数为：Mn正多边形的中心角与外角的大小相等。
7、 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180° O8、 圆内接正n 边形的性质（nN3,且为自然数）：（1） 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。
（2） 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多 边形的中心，即外接圆的圆心。
9、 常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：设圆内接正多边形的半径为r,边心距为d（1） 圆内接正三角形：d = -r2（2） 圆内接正四边形：d = -r正n 边形的一个中心角的度数为: 360。
n(3)圆内接正六边形:10、常见圆内接正多边形半径T与边长X的关系：(1)圆内接正三角形：x = √3r(2)圆内接正四边形：x = √2r(3)圆内接正六边形：X二r11、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R的正n边形, 只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各点即可。
(1)用量角器等分圆周。
(2)用尺规等分圆(适用于特殊的正n边形)。
12、定理1：把圆分成n(nN3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形：(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
注意：(1)要判泄一个多边形是不是正多边形，除根据泄义来判左外，还可以根据这个泄理来判定，即：①依次连结圆的n(n>3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(∏>3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边°.(2)要注意左理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3)此定理被称为正多边形的判宦左理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
【试题来源】江苏省竞赛题【题目】P是圆。
内一点，圆。
的半径为15, P点到圆心。
的距离为9,通过P点，长度是整数的弦的条数是【答案】12【解析】解：在00中，半径是15,点P到圆心的距离为9,则过点P最长的弦是过点P的直径,长度为30・过点P最短的弦是垂直于OP的弦,这条弦长为24.最长的弦有一条,最短的弦有一条,而弦长分别是25, 26, 27, 2& 29的弦有两条, 所以过P点,长度是整数的眩一共有1+2X5+1=12条【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】江苏省竞赛题【题目】如图，已知点A,B,C,D顺次在圆O上，弧AB=弧BD, BM丄AC于M ,求证AM = DC+CM【答案】如下解析【解析】解:JiB做CD垂线交DC延长线于P则：ZBCP二 ZABD 因为:弧AB=弧CD 圆周角：ZBAD=ZBDA=ZACB 所以：ZBCP=ZACB因为：BM垂直AC, BP垂直DC, BC公用所以：ΔBCP^ΔBCM所以：CP=CM, CP+DC=CM+CDBC 弧上圆周角：ZBDC二ZBAM,AB=BD 所以：RT∆ABM^RTΔBPD 所以：AM=DP=CD+CP=CD+CM 所以：AM=DC+CM【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】黑龙江省竞赛题【题目】如图，半径为2的0。
中，弦与弦CD垂直相交于点P,连接OP,若OP = \,求AB2+CD2的值。
D【答案】28【解析】解：作OF丄AB于F, OE丄CD于E,连接OB, 0D,在RtzIOFB和RtZIOED中，由勾股立理得,FB2 =OB2 ; -OF2 .............. ①ED2 =OD2 -OE2 J ............... ②①+②得FB2 ; +ED2 ; =OB2 ;PD? ；— (OF2 ; +OE2;)……③T OE二FP∙∙∙ OF2 ; +OE2; =OF2 ; +FP2 ; =OP2 = 1;由垂径总理得，FB=I / 2 ∙ AB, ED=I / 2 ∙ CD代入③得(1/2 ∙ AB )2 ; + (l / 2 ∙ CD)2；+R2 ;-l,即AB2J+CD2J=8R2 ;~4;= 8×22-4=28【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】《时代学习报》数学文化节•试题【题目】如图①，已知多边形ABDEC杲由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成, 0。
过点A. D. E三点,求0。
的半径【答案】2【解析】解：如图，将正方形BDEC ±的等边AABC向下平移得等边AODE,其底边与DE重合, VA. BX C的对应点是0、D、E,：.OD=AB, 0E=AC> AO二BD,∙.∙等边AABC和正方形BDEC的边长都是2,ΛAB=BD=AC=2,Λ0D =OA=OE=2 >TA、D、E三点不在同一宜线上，・・・A、D、E三点确定一圆,•••0到A、D. E三点的距离相等,∙∙.0点为圆心，OA为半径,•••该圆的半径长为2。
【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】圆O的直径为5cm,弦AB//弦CD, AB=3cm, CD = 4cm,则梯形ABCD的而积ICrTι2≡g≤≤-cm2【答案】2 4【解析】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心0 —侧时，如图1所示，过0作OE丄AB,交AB于点E,交CD于点F,连接0A, 0C,VAB√CD, .∙.0E丄CD,••・E、F分别为AB、CD的中点，/. AE=BE=1∕2AB=3∕2Cm, CF=DF=1/2CD二2cπυ在RtΔCOF 中，OC二5/2Cnb CF二2cm,根据勾股泄理得：OF二3∕2cm,在RtΔAOE 中，OA二5/2Cnh AE=3∕2cm,根据勾股定理得：0E=2cm,则 EF=OE-OF=2-3/2=0. 5cm；∙∙∙S 梯形ABDC=I/2 (AB+CD) ×EF=1∕2× (3+4) × 1/2=7/4 (cm2)：当两条弦位于圆心0两侧时，如图2所示，同理可得EF二2+3/2二7∕2cm,∙∙∙S 梯形ABDC=I/2 (AB+CD) ×EF=1∕2× (3+4) ×7/2=49/4 (cm2)：综上所述：梯形ABCD的而积为：7∕2cm2或49∕4cm2.【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】天津市选拔赛试题【题目】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径【答案】5V f17∕i6【解析】解：OA=OB=OC=OD=R, AE=EB=b CF=FD=O. 5, EF二2又设 0E=x,则 OF二2-x由勾股泄理得：AE2+0E2二0A2, CF2÷OF2二0C2, 12+x2=R2, 0. 52+ (2-χ)2=R2, x=13∕16, r=5v r17∕i6t即能盖住“品”字的最小圆纸片半径为5vl7∕i6【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】黑龙江省竞赛题【题目】如图，点P为弦A3上的一点，连接0P，过点P作PC丄OP, PC交圆。
于C, 若AP = S. PB = 2,则Pe的长为B【答案】2血【解析】解：延长CP交Θ0于点D,TPC丄OP,ΛPC=PD,TPOPD 二 PB∙PA,ΛPC2=PB∙PA,VAP=4, PB二2,ΛPC2=8,•••PC的长为：2近【知识点】圆的基本性质【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，正方形ABCD的顶点A、D和正方形丿K厶M的顶点K、厶在一个以5为半径的圆。