人教版 八年级上数学竞赛题
人教版 八年级数学上册 竞赛专题:直角三角形(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题:直角三角形(含答案)【例l 】(1)直角△ABC 三边的长分别是x ,1x 和5,则△ABC 的周长=_____________.△ABC 的面积=_____________.(2)如图,已知Rt △ABC 的两直角边AC =5,BC =12,D 是BC 上一点,当AD 是∠A 的平分线时,则CD =_____________.(太原市竞赛试题)解题思路:对于(1),应分类讨论;对于(2),能在Rt △ACD 中求出CD 吗?从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中,点A ,B ,C ,都在方格线的交点,则∠ACB =( ) A.120° B.135° C.150° D.165°(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:方格纸有许多隐含条件,这是解本例的基础.【例3】如图,P 为△ABC 边BC 上的一点,且PC =2PB ,已知∠ABC =45°,∠APC =60°,求∠ACB 的度数.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数,综合运用条件PC =2PB 及∠APC =60°,构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,分别以AB ,AC 为边在△ABC 的外侧DCBC作等边△ABE 和等边△ACD ,DE 与AB 交于F ,求证:EF =FD.(上海市竞赛试题)解题思路:已知FD 为Rt △FAD 的斜边,因此需作辅助线,构造以EF 为斜边的直角三角形,通过全等三角形证明.【例5】如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =30°,∠ADC =60°,AD =CD ,求证:222BD AB BC +=(北京市竞赛试题)解题思路:由待证结论易联想到勾股定理,因此,三条线段可构成直角三角形,应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】斯特瓦尔特定理:如图,设D 为△ABC 的边BC 上任意一点,a ,b ,c 为△ABC 三边长,则222b BDc DC AD BD DC a+=-⋅.请证明结论成立.解题思路:本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A 级1.如图,D 为△ABC 的边BC 上一点,已知AB =13,AD =12,AC =15,BD =5,则BC =_____________.BACCBB2.如图,在Rt △ABC 中∠C =90°,BE 平分∠ABC 交AC 于E ,DE 是斜边AB 的垂直平分线,且DE =1cm ,则AC =_____________cm.3.如图,四边形ABCD 中,已知AB ∶BC ∶CD ∶DA =2∶2∶3∶1,且∠B =90°,则∠DAB =_____________.(上海市竞赛试题)4.如图,在△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BC 的长为_____________.(湖北省预赛试题)5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍,并且有一个角是30 º,那么这个三角形的形状是( )A.直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D.不能确定(山东省竞赛试题)6.如图,小正方形边长为1,连结小正方形的三个顶点可得△ABC ,则AC 边上的高为( )第1题D 第2题第3题ABC第4题DBB.C.D.(福州市中考试题)7.如图,一个长为25分米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑( ) A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米8.如图,在四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°,∠A =60°,AB =4,AD =5,那么BC CD等于( ) A.1 B. 2C.D.549. 如图,△ABC 中,AB =BC =CA ,AE =CD ,AD ,BE 相交于P ,BQ ⊥AD 于Q ,求证:BP =2PQ.(北京市竞赛试题)第6题C第7题第8题AC10. 如图,△ABC 中,AB =AC.(1)若P 是BC 边上中点,连结AP ,求证:22BP CP AB AP ⋅=-(2)P 是BC 边上任意一点,上面的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)若P 是BC 边延长线上一点,线段AB ,AP ,BP ,CP 之间有什么样的关系?请证明你的结论.11.如图,直线OB 是一次函数2y x =图象,点A 的坐标为(0,2),在直线OB 上找点C ,使得△ACO 为等腰三角形,求点C 的坐标.12.已知:如图,将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在C '处,BC '交AD 于E ,AD =8,AB =4,求△BED 的面积.(山西省中考试题)B 级1.若△ABC 的三边a,b,c 满足条件:222338102426a b c a b c +++=++,则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图,在等腰Rt △ABC 中,∠A =90°,P 是△ABC 内的一点,PA =1,PB =3,PC,则∠CPA =_____________.BD3. 在△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的周长为_____________.4.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,AF 平分∠CAB 交CD 于E ,交CB 于F ,且EG ∥AB 交CB 于G ,则CF 与GB 的大小关系是( ) A. CF >GB B. CF =GB C. CF <GB D. 无法确定5. 在△ABC 中,∠B 是钝角,AB =6,CB =8,则AD 的范围是( ) A. 8<AC <10 B. 8<AC <14 C. 2<AC <14 D. 10<AC <14(江苏省竞赛试题)6.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D.4个(浙江省竞赛试题)7.如图,△ABC 是等腰直角三角形,AB =AC ,D 是斜边BC 的中点,E ,F 分别是AB ,AC边上的点,且DE ⊥DF ,若BE =12,CF =5,求△DEF 的面积.(四川省联赛试题)8.如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,D 为斜边BC 中点,DE ⊥DF ,求证:222EF BE CF =+第2题A第4题D ABDBCDB(江苏省竞赛试题)9.周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明有几个.(全国联赛试题)10.如图,在△ABC 中,∠B AC =45°,AD ⊥BC 于D ,BD =3,CD =2,求△ABC 面积.(天津市竞赛试题)11.如图,在△ABC 中,∠B AC =90°,AB =AC ,E ,F 分别是BC 上两点,若∠EAF =45°,试推断BE ,CF ,EF 之间数量关系,并说明理由.12.已知在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,∠MCN =45°. (1)如图1,当M ,N 在AB 上时,求证:222MN AM BN =+(2)如图2,将∠MCN 绕点C 旋转,当M 在BA 的延长线上时,上述结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(天津市中考试题)BCA C图1NAB M图2N BM参考答案例1 (1)12或30;6或30; 提示:()22125x x ++=,得3x =;由()22251x x +=+,得12x =,(2)103提示:作DE ⊥AB 于E ,设CD =x ,则BE =13-5=8,DE =x ,BD =12-x ,由()222812x x +=-,得103x =. 例2 B 提示:过B 作BD ⊥AC 延长线于D 点,设CD =x ,BD =y ,可求得:x =y ,则∠BCD =45°,故∠BCA =135°.例3 ∠ACB =75° 提示:过C 作CQ ⊥AP 于Q ,连接BQ ,则AQ =BQ =CQ .例4 提示:过E 作EG ⊥AB 于G ,先证明Rt △EAG ≌Rt △ABC ,再证明△EFG ≌△DF A .例5 连接AC∵AD =DC ,∠ADC =60°,∴△ADC 是等边三角形,DC =CA =AD ,以BC 为边向四边形外作等边三角形BCE ,即BC =BE =CE , 则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°,∴∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°,连接AE ,则22222AE AB BE AB BC =+=+,易证△BDC ≌△EAC ,得BD =AE ,故222BD AB BC =+. 例6 过A 作AE ⊥BC 于E ,设DE =x ,BD =u ,DC =v ,AD =t ,则()()2222222AE b v x c u x t x =--=-+=-,故2222t b v ux =-+,2222t c u ux =--,消去x 得222b u c v t uv u v +=-+,即222b BD c CDAD BD DC a+=-⋅. A 级1.14 2.3 3.135°4. 提示:延长AD 至E ,使DE =AD ,连接BE ,则△ACD ≌△EBD ,∴BE =AC =13,AE =12,又AB =5,则∠BAD =90°,5.D 6.C 7.C 8.B 9.提示:△ADC ≌△BEA ,∠BPQ =60°. 10.(1)(2)略 (3)提示:AB ,AP ,BP ,CP ,之间的关系是22AP AB BP CP -=⋅ 11.提示:满足提议的点有4个,作别分别为:8161,,,,,1552⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 12.10.B 级1.60132.135° 提示:将△P AC 绕A 点顺时针旋转90°, 3.32或42 提示:分类讨论。
八年级(上)数学竞赛试题及答案(新人教版)
八年级(上)数学竞赛试卷考试时间:100分钟 总分:100分一、精心填一填(本题共10题,每题3分,共30分)1.函数a 的取值范围是_____________、2.如图1,∠1=∠2,由AAS 判定△ABD ≌△ACD ,则需添加的条件是____________. 3.计算:20072-2006×2008=_________图1 图24、写出一个图象经过点(-1,-1),且不经过...第一象限的函数表达式 5.已知点P 1(a-1,5)和P 2(2,b-1)关于x 轴对称,则(a+b )2005的值为 .6.如图2,△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB于点D 、E ,AE=3cm ,△ADC•的周长为9cm ,则△ABC 的周长是_______7.如图3,AE =AF ,AB =AC ,∠A =60°,∠B =24°,则∠BOC =__________.8、如图4,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线,且相交于点F ,则图中的等腰三角形有 个。
9.如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算,对于任意实数x 、y 有y x y x y x -+=* 则()()31*191211**=10.如图5所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上0,1,2,3.先让圆周上数字0所对应的数与数轴上的数-1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数-2007将与圆周上的数字_________重合.FEDACB图 5图4 二、相信你一定能选对!(本题共6题,每题3分,共18分) 11.下列各式成立的是( )A .a-b+c=a-(b+c )B .a+b-c=a-(b-c )C .a-b-c=a-(b+c )D .a-b+c-d=(a+c )-(b-d ) 12.已知一次函数y=kx+b 的图象(如图6),当y <0时,x 的取值范围是( )(A )x >0 (B )x <0 (C )x <1 (D )x >1A B C D12 AEBO F C图3图6 图713.在△ABC 中,∠B =∠C ,与△ABC 全等的三角形有一个角是100°,那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是 ( )A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B 或∠C 14.某校八(2)班的全体同学喜欢的球类运动用图7所示的扇形统计图来表示,下面说法正确的是( ) A 、从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数; B 、从图中可以直接看出全班的总人数;C 、从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况;D 、从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系 15.已知一次函数y=mx+│m+1│的图像与y 轴交于点(0,3),且y 随x 的增大而减小,则m 的值为( ). A .2 B .-4 C .-2或-4 D .2或-416.设y=ax 15+bx 13+cx 11-5(a 、b 、c 为常数),已知当x=7时,y=7,则x= -7时,y 的值等于( )A 、-7B 、-17C 、17D 、不确定 三、认真解答,一定要细心哟!(各6分,共18分) 17. 先化简再求值:[]y y x y x y x 4)4()2)(2(2÷+--+,其中x =5,y=2。
人教版 八年级数学上册 竞赛专题分式方程(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题:分式方程(含答案)【例1】 若关于x 的方程22x ax +-=-1的解为正数,则a 的取值范围是______.解题思路:化分式方程为整式方程,注意增根的隐含制约.【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--,其中A ,B ,C 为常数.求A +B +C 的值.解题思路:将右边通分,比较分子,建立A ,B ,C 的等式.【例3】解下列方程: (1)596841922119968x x x x x x x x ----+=+----; (2)222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+; (3)2x +21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭=3.解题思路:由于各个方程形式都较复杂,因此不宜于直接去分母.需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.【例4】(1)方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________. (2)方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________.解题思路:仔细观察分子、分母间的特点,发现联系,寻找解题的突破口.【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解,试求k 的值与方程的解. 解题思路:化分式方程为整式方程,解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解,利用增根解题.【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解. 解题思路:易知,,x y z 都大于1,不妨设1<x ≤y ≤z ,则111x y z≥≥,将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计.逐步缩小其取值范围,求出结果.能力训练A 级1.若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根,则a 的值为________. 2.用换元法解分式方程21221x x x x --=-时,如果设21x x-=y ,并将原方程化为关于y 的整式方程,那么这个整式方程是___________. 3.方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________. 4.两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同,则a =_______.5.已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ,1a ,则方程1111x a x a +=+--的根是( ). A .a ,11a - B .11a -,1a - C .1a ,1a - D .a ,1aa -6.关于x 的方程211x mx +=-的解是正数,则m 的取值范围是( ) A .m >-1 B .m >-1且m ≠0C .m <-1D .m <-l 且m ≠-27.关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1=c ,x 2=2c ,则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是( ) . A .a ,2a B .a -1,21a - C .a ,21a - D .a ,11a a +- 8.解下列方程:(1)()2221160x x x x+++-=; (2)2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭.9.已知13x x+=.求x 10+x 5+51011x x +的值.10.若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解(相等的两根算作一个),求k 的值.11.已知关于x 的方程x2+2x +221022m x x m-=+-,其中m 为实数.当m 为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12.若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解,求a 的值.B 级1.方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________.2.方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________.3.分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根,则m 的值为_________. 4.若关于x 的分式方程22x ax +-=-1的解是正数,则a 的取值范围是______.5.(1)若关于x 的方程2133mx x =---无解,则m =__________. (2)解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根,则m =______. 6.方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为( ). A .4个 B .6个 C .2个 D .3个7.关于x 的方程11ax =+的解是负数,则a 的取值范围是( ) . A .a <l B .a <1且a ≠0 C .a ≤1 D .a ≤1且a ≠08.某工程,甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍,乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍,丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍,则111111a b c +++++的值是( ).A .1B .2C .3D .49.已知关于x 的方程(a 2-1)()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根.(1)求a 的取值范围;(2)若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且121231111x x x x +=--,求a 的值.10.某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元.如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元.今年销售额只有8万元. (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?(2)为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑.已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?(3)如果乙种电脑每台售价为3 800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a元.要使(2)中所有方案获利相同,a值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?参考答案例1 a <2且a ≠-4例2 原式右边=22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-)=2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩,∴A +B +C =13.例3 (1)x =12314提示:1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----.(2)1,2x =,x 3=-1,x 4=-4 提示:令223.4x xy x x +=+-(3)1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 (1)原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-,即1111+3+2+9+8x x x x -=-,进一步可化为(x +2) (x +3)=(x +8) (x +9),解得x =-112.(2)原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=,即12+14x x =+,解得x =2. 例5 原方程化为kx 2-3kx +2x -1=0①,当k =0时,原方程有唯一解x =12;当k ≠0,Δ=5k 2+4(k -1)2>0.由题意知,方程①必有一根是原方程的曾根,即x =0或x =1,显然0不是①的根,故x =1是方程①的根,代入的k =12.∴当k =0或12时,原方程只有一个解. 例6 11113x x y z x <++≤,即1536x x <≤,因此得x =2或3.当x =2时,111x x y <+=511112623y y y -=≤+=,即1123y y<≤,由此可得y =4或5或6;同理,当x =3时,y =3或4,由此可得当1≤x ≤y ≤z 时,(x ,y ,z )共有(2,4,12),(2,6,6),(3,3,6),(3,4,4)4组;由于x ,y ,z 在方程中地位平等,可得原方程组的解共15组:(2,4,12),(2,12,4), (4,2,12),(4,12,2),(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4) ,(4,4,3) ,(4,3,4).A 级1.-1 2.y 2-2y -1=0 3.1 4.-8 5.D 6.D 7.D8.(1)12123x x ==-, (2)1226x x ==-,,3,43x =-±9.15250 提示:由x +13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=,得33118x x+=. 于是221()x x+331()126x x +=,得551123x x +=.进一步得1010115127x x +=.故原式=15250.10.k =0或k =12提示:原方程化为kx 2-3kx +2x -1=0,分类讨论. 11.设x +2x =y ,则原方程可化为y 2-2my +m 2-1=0,解得y 1=m +1,y 2=m -1.∵x 2+2x -m -1=0①,x 2+2x -m +1=0②,从而Δ1=4m +8,Δ2=4m 中应有一个等于零,一个大于零.经讨论,当Δ2=0即m =0时,Δ1>0,原方程有三个实数根.将m =0代入原方程,解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =-3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x -1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 - 72. x₁=8 , x₁=-1 , x₁=-8 , x₁=1 提示: 令x ²-8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠-45. ⑴ -2 ⑵ -4 或 -106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,-=a 分别别代入①2-= x 1,=x 把 2,-=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853-≥,,2853->22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853-≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。
人教版数学八年级上册竞赛训练试卷八附参考答案
八年级数学比赛试卷(8)1.已知x 13 ,那么多项式 x 3 x 2 7x 5 的值是()xA.11 B.9 C. 7 D.52.设 P 是质数,如有整数对( a,b)知足a b (a)2P,则这样的整数对b,()(a b)共有A.3 对B.4 对C.5 对D.6 对3.骰子相对两面上的数字和为 7,现同时掷出7 颗骰子后,向上7 个面上数字的≠10)的概率相等,那么 a 等于和是 10 的概率与向下 7 个面的数的和是 a(a()A.7B.9C.19D.394.如图在四边形ABCD中,∠ DAB=∠BCD=90°,AB=AD,若这个四边形的面积是 10,则 BC+CD等于A.4 5B.2 10CD()C.4 6 D.8 2A B1 5.线段y a (≤ x ≤,),当a的值由- 1增添到2时,该线段运动所经2 x1 3过的平面地区的面积为()A.6 B.8 C.9 D.106.5 个足球队进行循环赛,规定胜一场得 3 分,输一场得 0 分,平手各得 1 分.比赛结果, 4 个球队分别获取 1 分、 4 分、 7 分、 8 分,那么第 5 个球队起码获取分.7.如图△ ABC中,∠A=96°,延伸BC到 D,∠ ABC的均分线与∠ACD的均分线交于点 A1,∠ 1 的均分线与∠ 1 的均分线交于点2,以此类推,∠ 4 的A BC A CD A A BC均分线与∠A4 的均分线交于点5,则∠ 5 的大小是.CD A A8.如图,一个正三角形被切割成9 个小正三角形,把91 到 99 这九个数分别填入此中,并使与原三角形每边相邻的 5 个小三角形内的数之和均相等,这个和的最大值是.C B1A AA2 E B C D D AF 第 7 题第 8 题第 9 题9.如图,正方形ABCD的边长为 a, E 是 AB 的中点, CF均分∠DCE,交 AD 于 F,则 AF的长为.10.某种运动鞋进价是不超出200 元的整元数,按150%订价,节日优惠销售打9折,交易金额满 1000 元返还 60 元.那么,每笔交易起码双,店家每双能赢利45 元.11.一只猴子在一架共有n 级的梯子爬上爬下,每次或许上涨 18 级,或许降落 10 级.假如它能从地面爬到最上边的一级,而后再回到地面. n 的最小值是多少?12.如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=36°,边的地点,作∠ACE=12°,交 BD 于点 E,连接请说明原因.B AC 绕点 A 逆时针旋转 60°,至 AD AE.试判断△ AEC是什么三角形?DAEC13.如图 1,在一个 7×7的正方形 ABCD网格中,实线将它切割成 5 块,再把这 5 块拼成如图 2,中间会出现一个小孔,假如正方形 ABCD的边长为 a,试计算图2 中小孔的面积.A DB C图1图214.某市对电话费作了调整,原市话费为每3 分钟0.2 元(不足3 分钟按3 分钟计算).调整后,前 3 分钟为 0.2 元,此后每分钟加收 0.1 元(不足 1 分钟按 1 分钟计算).设通话时间 x 分钟时,调整前的话费为 y1元,调整后的话费为 y2元.(1)当 x=4,4.3,5.8 时,计算对应的话费值y1、 y2各为多少,并指出x 在什么范围取值时, y1≤ y2;(2)当 x=m( m>5,m 为常数)时,设计一种通话方案,使所需话费最小.八年级数学比赛试卷(8)答案一.选择题(每题 6 分,共 30 分)1. C 2. D 3. D 4.B 5. A二.填空题(每题 6 分,共 30 分)6.5 7.3 度8.478 9.35 a 10.8三.解答题(每題15 分,共 60 分)211.解: n=26 6 分猴子每次爬行后所处的地点(在梯子中的第几级)18,8,26,16,6,24,14,4,22,12,2,20,10,0 15 分12.△ AEC 是等腰三角形1 分连 CD , ∵ AC 绕点 A 逆时针旋转 60°至 AD 的地点,∴ AD=AC ,∠ CAD=60°则△ ACD 是等边三角形, 5 分 ∴∠ ECD=72°, 7 分∵ AB=AC ,∠ BAC=36°,∴∠ BAC=108°, 9 分∴∠ DAB=168°,∴∠ ABD=∠ADB=6° 11 分∴∠ EDC=54°而∠ CED=180°-∠ EDC-∠ DCE=54° 13 分 ∴ CE=CD=AC 15 分即△ AEC 是等腰三角形13.解:1 a2 1 分49如图,连接 AE ,则S AEF1 2a 4a2 7 7S AED S ADF S AEF ∴GE=6a49∴EM=GM-GE=36a49∴小孔面积S=a(27 a491a 24a 2493a 2498 分36 a) a 2 15 分4914.解:( 1)当 x=4 时, y 1=0.4, y 2=0.31 分 当 x=4.3 时, y 1=0.4, y 2=0.42 分 当 x=5.8 时, y 1=0.4, y 2=0.53 分 当 0< x ≤3 或 x >4 时, y 1≤ y 26 分( 2)参照方案:设 n ≥ 2 且 n 是正整数,通话 m 分钟所需话费为 y 元,①当 3n-1 < m ≤ 3n 时,使所需话费最小的通话方案是:分 n 次拨打,此中( n-1 )次每次通话 3 分钟,一次通话( m-3n+3)分钟, 9 分最小话费是 y=0.2n②当 3n < m ≤ 3n+1 时,使所需话费最小的通话方案是:分 n 次拨打,此中( n-1 )次每次通话 3 分钟,一次通话( m-3n+3)分钟, 12 分最小话费是 y=0.2(n-1)+0.3=0.2n+0.1 ③当 3n+1< m ≤ 3n+2 时,使所需话费最小的通话方案是:分 n 次拨打,此中( n-2 )次每次通话 3 分钟,一次通话 4 分钟,一次通话( m-3n+2)分钟,15 分最小话费是y=0.2(n-2)+0.6=0.2n+0.2 (注:其余切合要求的方案相应给分)。
人教版 八年级上册数学 竞赛专题:多边形的边和角(含答案)
人教版 八年级数学 竞赛专题:多边形的边与角(含答案)【例1】两个凸多边形,它们的边长之和为12,对角线的条数之和为19,那么这两个多边形的边数分别是____和____.【例2】凸边形有且只有3个钝角,那么n 的最大值是( ) A .5B .6C .7D .8【例3】凸n 边形除去一个内角外,其余内角和为2570°,求n 的值.【例4】如图,凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等,边AB ,BC ,CD ,DE ,EF ,FG 的长分为7,4,2,5,6,2,求该八边形的周长.【例5】如图所示,小华从M 点出发,沿直线前进10米后,向左转20°,再沿直线前进10米后,又向左转20°,…这样走下去,他第一次回到出发地M 时,行走了多少米?M D EF GH能力训练A 级1.如图,凸四边形有___个;∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =___.2.如图,凸四边形ABCD 的四边AB ,BC ,CD 和DA 的长分别为3,4,12和13,∠ABC =90°,则四边形ABCD 的面积为___.3.如图,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =___.4.如图,ABCD 是凸四边形,则x 的取值范围是___..5.一个凸多边形的每一内角都等于140°,那么,从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )A .9条B .8条C .7条D .6条6.—个凸n 边形的内角和小于1999°,那么n 的最大值是( ) A .11B .12C .13D .147.如图,是一个正方形桌面,如果把桌面砍下一个角后,桌面还剩( )个角. A .5个B .5个或3个C .5个或3个或4个D .4个8.—个凸n 边形,除一个内角外,其余1n 个内角的和为2400°,则n 的值是( ) A .15B .16C .17D .不能确定9.如图,在四边形ABCD 中,AB =AD =8,∠A =60°,∠D =150°,四边形周长为32,求BC 和DC 的长.AB CDA BDEF G第3题AB CD24x第4题第7题A B CD E FG第1题ABCD第2题10.—个凸n 边形的最小内角为95°,其他内角依次增加10°,求n 的值.11.平面上有A ,B ,C ,D 四点,其中任何三点都不在一直线上,求证:在△ABC ,△ABD ,△ACD ,△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°.12.我们常见到如图那样图案的地面,它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的,这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面.问:(1)像上面那样铺地面,能否全用正五边形的材料,为什么?(2)你能不能另外想出一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案?把你想到的方案画成草图.(3)请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图.B 级1.一个正m 边形恰好被正n 边形围住(无重叠、无间隙,如图所示是m =4,n =8的情况),若m =10,则n =____.第1题A BCD EF 第2题1A 1B 2A 2B 3B 45B 3A 4A 5A 第3题2.如图,六边形ABCDEF 中,∠A =∠B =∠C =∠D =∠E =∠F ,且AB +BC =11,F A -CD =3,则BC +DE =____.3.如图,延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角:∠B 1,∠B 2,∠B 3,∠B 4,∠B 5,它们的和等于___.若延长凸n 边形(n ≥5)的各边相交,则得到的n 个角的和等于____.4.如图,在四边形ABCD 中,AB=4BC =1,CD =3,∠B =135°,∠C =90°,则∠D =( ) A .60°B .67.5°C .75°D .不能确定5.如图,已知O 是四边形ABCD 内一点,OA =OB =OC ,∠ABC =∠ADC =70°,则∠DAO +∠DCO 的大小是( )A .70°B .110°C .140°D .150°6.在一个多边形中,除了两个内角外,其余内角之和为2002°,则这个多边形的边数为( ) A .12B .12或13C .14D .14或157.一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成,求此凸十一边形各个内角大小,并画出这样的凸十一边形的草图.8.一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖,如果使用较小的相同正方形地砖,那么需n +76块这样的地砖才能覆盖该块地,已知n 及地砖的边长都是整数,求n 的值.ABCD第4题OABCD第5题9.设有一个边长为1的正三角形,记作A 1如下左图,将A 1的每条边三等分,在中间的线段上各向形外作正三角形,去掉中间的线段后得到的图形记作A 2(如下中图);将A 2的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A 3(如下右图);再将A 3的每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作A 4,求A 4的周长.10.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫作平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.(1)请根据下列图形,填写表中空格:(3)从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形.说明你的理由.参考答案例1 5 7 例2 B例3 n =17 提示:设此角为x ,则(n -2)×180°=x +2570°,得2570360180x n +︒+︒=︒,x =130°,此时n =17.例4 双向延长AB ,CD ,EF ,GH 得四边形MNPQ ,如图,原八边形的内角都相等,其每一内角均为1A 2A 3A(82)1801358-⨯︒=︒,每一外角均为45°,因此MNPQ 为长方形,△BPC ,△DQE ,△FMG ,△ANH都是等腰直角三角形.设GH =x ,HA =y ,由MQ =NP ,得MF +FE +EQ =NA +AB +BP ,∴67y +=++,∴3y =∵MN =QP ,∴x =3+7+4+2+5+6+2+3+3=32.例5 将整个图形画完,就知道是一个边长为10米的正多边形,且每个外角的大小都是20°,由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形,所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7;540°2. 363. 540°4. 1<x <135. D6. C7. C8.A9. BC =10,DC =6 10. n =611. 提示:分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论,并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角,但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面. ⑵⑶略. B 级1.52.143.180°;(n -4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°-3×70°=150°6.D7.提示:因凸十一边形由正方形或正三角形拼成,故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为x ,y ,z ,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x =y =0,z =1,w =10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成,其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略. 8.n =324 9.649提示:从A 1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.10.(1)108°;120°;()02180n n-⨯ (2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k 块正边形地砖,由于正n边形的所有内角都相等,则()02180360nkn-⨯=g即24222nkn n==+--.因k为整数,故n-2|4,n—2=1,2,4,得n=3,4 或6,由此可见,只有三种正多边形的瓷砖,可以按要求铺地,即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形,草图如下,设在一个顶点周围有m个正方形的角,n个正八边形的角,那么,m,n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。
八年级(上)数学竞赛试题及答案(新人教版)
一、精心填一填(本题共 10题,每题3分,共30分) 1. 函数y= JT 万中,字母a 的取值范围是 ______________ 2. 如图1, 3. 计算:4、写出一个图象经过点(-1,-1),且不经过第一象限的函数表达式5. 已知点P 1 (a-1 , 5)和P 2 (2, b-1 )关于x 轴对称,则(a+b ) 2005的值为6. 如图2,A ABC 中边AB 的垂直平分线分别交 BC AB 于点D 、E , AE=3cm △ ADC?勺周长为9cm 则厶ABC 的周长是 ________________7. 如图 3, AE = AF , AB = AC, / A = 60°,/ B = 24°,则/ BOC= ___________ . 8.如图4,在厶ABC 中,AB=AC / A=36°, BD CE 分别为/ ABC 与/ ACB 的角平分线,且相交于点 F ,贝U 图中的等腰三角形有 个。
9 •如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算,对于任意实数11 12 19*31 =10•如图5所示,圆的周长为 4个单位长度,在圆的4等分点处标上0, 1, 2, 应的数与数轴上的数一1所对应的点重合, 将与圆周上的数字 __________ 重合./戴尊7 *J)八年级(上)数学竞赛试卷考试时间:100分钟总分:100分/仁/ 2,由AAS 判定△ ABD^A ACD 则需添加的条件 20072-2006 X 2008=3 •先让圆周上数字0所对 那么数轴上的数一2007 再让数轴按逆时针方向绕在该圆上, 、相信你一定能选对! 下列各式成立的是( a-b+c=a- a-b-c=a- 已知一次函数 (A ) x > 0 11.A C 12. (b+c ) (b+c ) (本题共 ) B 6题,每题 图 53分,共18分).a+b-c=a- (b-c ) .a-b+c-d= (a+c ) - (b-d ) y=kx+b 的图象(如图6),当y v 0时,x 的取值范围是()(B ) x v 0(C ) x v 1( D ) x > 1图3图6图713.在厶ABC 中,/ B =Z 。
人教版八年级上册数学竞赛
雷州五中八年级数学竞赛(满分100分,时间:45分钟) 班级 姓名 成绩一、选择题(共10小题,每题4分,共40分)1、△ABC 的内角为∠A ,∠B ,∠C ,且∠1=∠A+∠B ,∠2=∠B+∠C ,∠3=∠A+∠C ,则∠1、∠2、∠3中( )A .至少有一个锐角 ;B .一定都是钝角;C .至少有两个钝角;D .可以有两个直角2.周长为P 的三角形中,最长边m 的取值范围是 ( )A .23P m P <≤B .23P m P <<C .23P m P ≤<D .23P m P ≤≤3.各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13,这样的三角形个数共有( )A .5个B .4个C .3个D .2个4.如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍,那么这个三角形一定是( )A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .直角或钝角三角形5、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC ,∠A=130°,将它向右平移到△DEF 的位置,使AB=BE ,若BD 和AF 相交于点M ,则∠BMF 等于( )A .130°B .142.5°C .150°D .155°第5题图6.如图,A 在DE 上,F 在AB 上,且AC=CE ,∠1=∠2=∠3,则DE 的长等于( )A .DCB . BC C .ABD .AE+AC7.如图,AB ∥CD ,AC ∥DB ,AD 与BC 交于O ,AE ⊥BC 于E ,DF ⊥BC 于F ,那么图中全等的三角形有( )A .5对B .6对C . 7对D .8对第7题图 第8题图8.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,∠C 的平分线与∠B 的外角平分线交于E 点,连结AE ,则∠AEB 是( )A .50°B .45°C .40°D .35°9. 附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?()A.△ACF B.△ADE C.△ABC D.△BCF10.考查下列命题( )(1)全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等;(2)两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;(3)两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;(4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等.其中正确命题的个数有( )A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个二、填空题(共5题,每题4分,共20分)11、若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的度数是.12、一条线段的长为a,若要使3a—l,4a+1,12-a这三条线段组成一个三角形,则a的取值范围是.13、如图,AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高,且AB= A′B′,AD=A′D′,若使△ABC≌△A′B′C′,请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件) . (黑龙江省中考题)第13题图14、如图,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=α,∠DBE=β,则∠DCE =. (用α、β表示)第14题图 第15题图15、.如图,在.面直角坐标系中,已知点A (4-,0),B (0,3),对AOB ∆连续作旋转变换,依次得到三角形(1),(2),(3),(4),…,那么第(7)个三角形的直角顶点的坐标是_______________,第(2016)个三角形的直角顶点坐标是____________________三、解答题(共3题,共40分)16、(10分)如图,已知∠1=∠2,EF ⊥AD 于P ,交B C 延长线于M ,求证:∠M=21(∠ACB -∠B )17、(10分)如图,已知在△ABC 中,BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高,在BE 上截取BD = AC ,在CF 的延长线上截取CG = AB ,连结AD 、AG ,则AG 与AD 有何关系?试证明你的结论.18(20分)(1)如图(1),已知:在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m , CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .证明:DE =BD +CE .(2) 如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB =AC ,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3) 拓展与应用:如图(3),D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点(D 、A 、E 三点互不重合),点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接BD 、CE ,若∠BDA =∠AEC =∠BAC ,试判断△DEF 的形状.A B C E (图1) (图2) (图3) m A B C DE。
人教版2022-2023学年八年级数学上册竞赛试卷
人教版2022-2023学年度第一学期八年级数学竞 赛 试 卷班级: . 姓名 .一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)1.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A .1cm 、2cm 、3cmB .1cm 、4cm 、2cmC .2cm 、3cm 、4cmD .6cm 、2cm 、3cm2.下列计算正确的是( )A. a 2+a 3=a 5B. a 2⋅a 3=a 6C. a 6÷a 3=a 3D. (a 3)2=a 93.如图,在△ABC 中,∠B+∠C=100°,AD 平分∠BAC ,交BC 于D ,DE ∥AB ,交AC 于E ,则∠ADE 的大小是( )4.计算(23)2003×(1.5)2002×(−1)2002的结果是( ) A .23 B .32 C .﹣23 D .﹣325.等腰三角形的一个外角是60°,则其底角是( )A .30°B .100°或40°C .40°D .80°6.计算(1-a )(a +1)的结果正确的是( )A. a 2+1B. 1-a 2C. a 2-2a -1D. a 2-2a +17.若x 2+2(m ﹣3)x+16是完全平方式,则m 的值等于( )A .3B .﹣5C .﹣7或1D .7或﹣18.如图,点A 、B 、C 在同一条直线上,△ABD 、△BCE 均为等边三角形,连接AE 和CD ,AE 分别交CD 、BD 于点M 、P ,CD 交BE 于点Q ,连接PQ ,BM 、下列结论: ①△ABE ≌△DBC ;②∠DMA=60°;③△BPQ 为等边三角形;④PQ=BM ,其中结论不一定成立的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个 A .30° B .40°C .50°D .60°二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)9.一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为 .10.如图,AB=AC ,要使△ABE ≌△ACD ,应添加的条件是 (添加一个条件即可).11.已知点(a ﹣1,3)与点(2,b+3)关于y 轴对称,则(a+b )2018= .12.如图,AD ∥BC ,BG ,AG 分别平分∠ABC 与∠BAD ,GH ⊥AB ,HG=5,则AD 与BC 之间的距离是 .13.若x+4y=3,则2x •16y 的值为 .14.如图,三角形纸片ABC 中,AB=AC ,∠BAC=120°,BC =16,折叠纸片,使点C 和点A 重合,折痕与AC ,BC 交于点D 和点E ,则折痕DE 的长为______.三、解答题(本大题共7小题,共52分)15.(9分)在实数范围内分解因式:(1)x (x ﹣10)+25 (2)(x 2﹣3)2﹣2(x 2﹣3)+1(3)2ax 4﹣8ay 416.(12分)计算: (1)(p ﹣6q )(p 2+pq+q 2)(3)(x+2)2﹣(x+1)(x ﹣1)第10题 第12题 第14题 (2)(−1)2018−(√5−1)0+√(−2)2+(13)−117.(5分)已知a﹣b=10,ab=20,求下列代数式的值:(1)a2+b2;(2)(a+b)2.18.(5分)先化简:[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(x+2y)﹣2x(2x﹣y)]÷2x,再求值.其中x=﹣1,y=﹣2017.19.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,BE、CD 相交于点F,连接AF.求证:(1)△AEB≌△ADC;(2)AF平分∠BAC.20.(7分)(1)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B,C在AE的同侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.求证:BD=DE﹣CE;(2)上题中,变成如图,B,C在AE的异侧时,BD,DE,CE关系如何?并加以证明.21.(8分)如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°.(1)求证:BD=AE;(2)若△ACB不动,把△DCE绕点C旋转到使点D落在AB边上,如图2所示,问上述结论还成立吗?若成立,给予证明.。
人教版数学八年级上册竞赛训练试卷十附参考答案
八年级数学竞赛试卷(10)1、某商店以每枝0.10元的价格买进1500支铅笔,如果以每枝0.25元的价格出售,要保证利润不少于100元,那么至少要售出 支铅笔。
2、图中的大正方形的面积S 大相对于小正方形的面积S 小的倍数为 。
3、用计算器探索,按一定的规律排列的一组数:1,,...,7.6,5,2,3,2--如果从1开始依次连续选取若干个数,使他们的和大于5,那么至少要选 个数。
4、已知a,b,c 为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则=-----c a a b b c 。
5、几个相同的正方形叠合在一起,该组合的正视图(即从正面看到的图形)和俯视图(即从上面看到的图形)如下所示,那么组合体中的正方体的个数至少为 ,最多 个。
6、一个矿泉瓶由瓶颈和瓶身组成,下面的瓶身可以看作是一个圆柱体,现将一个矿泉水瓶正放,瓶中的水尚不满瓶身,它的高为15cm ;再将瓶倒放,发现瓶中有5cm 高的空余,如果该瓶中原装有500ml 的矿泉水,则瓶的容积为 ml.(精确到1ml )7、已知梯形ABCD 的上底AD=3cm ,下底BC=7cm ,EF ∥AB ,分别交AB 、BC 于点E 、F,且将这个梯形分成面积相等的两部分,则AE 的长是 cm. 8、在边长为10m 的正方形的池塘边上的A ,B ,C ,D 处各有一棵树,已知AB=1m,BC=2m,CD=3m.现用一根长4m 的绳子将一头羊拴在某一棵树上,为了使羊的活动区域最大(羊不能下水),应将绳子拴在 处的树上。
9、 在如下图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后,棋子士所在位置的坐标为(-1,-2),棋子相所在的位置的坐标为(2,-2),那么棋子炮所在位置的坐标为 。
10、周长为36、各边都为整数的三角形的个数为 个。
11、如图,CD ∥AF ,∠CDE=∠BAF ,AB ⊥BC ,∠C=124°,∠E=80°,则∠F= 度。
人教八年级数学竞赛试题
人教八年级数学竞赛试题一、选择题(每题5分,共40分)1. 下列哪个数是无理数?A. 3.14159B. πC. 0.33333...(无限循环)D. √22. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是什么类型的三角形?A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形3. 已知一个数列的前三项为1, 2, 3,从第四项开始,每一项都是前三项的和。
这个数列的第10项是多少?A. 144B. 145C. 146D. 1474. 一个圆的半径为r,那么它的面积是多少?A. πrB. πr^2C. 2πrD. 4πr^25. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,它的体积是多少?A. abcB. a + b + cC. 2(ab + bc + ac)D. 3(a + b + c)6. 一个函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1,当x = 2时,f(x)的值是多少?A. 7B. 8C. 9D. 107. 一个正整数n,如果它能够被2整除,但不能被3整除,那么n的最小值是多少?A. 2B. 4C. 6D. 88. 一个数的平方根是它本身,这个数是什么?A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题(每题5分,共30分)9. 如果一个数的立方根等于它本身,那么这个数可以是_________。
10. 一个数的绝对值是它本身,这个数可以是正数或_________。
11. 如果一个分数的分子和分母都乘以同一个数,那么这个分数的值_________。
12. 已知一个数列的前三项为2, 3, 5,从第四项开始,每一项都是前两项的平均值。
这个数列的第5项是_________。
13. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么它的斜边长是_________。
14. 如果一个数的相反数是-5,那么这个数是_________。
三、解答题(每题15分,共30分)15. 已知一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0,求它的根。
人教版八年级数学上册竞赛题
人教版八年级数学上册竞赛题班级 姓名 座位号 评分一 选择题(本大题10小题;每小题4分;共40分)1.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中;是轴对称图形的是( )A .B .C .D .2.在平面直角坐标系中;点(3;﹣2)关于y 轴对称的点的坐标是( ) A .(3;2) B .(3;﹣2) C .(﹣3;2) D .(﹣3;﹣2) 3.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A .1cm 2cm 3cmB .6cm 2cm 3cmC . 4cm 6cm 8cmD .5cm 12cm 6cm 4.如图1;在△ABC 中;∠A=55°;∠B=45°;那么∠ACD 的度数为( ).A .110B . 100C .55D .45 5.如图2;点E ;F 在AC 上;AD =BC ;DF =BE ;要 使△ADF ≌△CBE ;可添加的条件是( ) A .∠A=∠CB .∠D=∠BC .AD∥BCD .DF∥BE6.如图3;ABC ∆与'''A B C ∆关于直线MN 对称;P 在MN 上; 下列结论中错误的是( ) A .'AA P ∆是等腰三角形 B.MN 垂直平分','AA CC C .ABC ∆与'''A B C ∆面积相等 D .直线AB 、''A B 的交点不在MN 上7.如图4;△ABC 中;AB = AC ;∠BAC = 100°;AD 是BC 边上的中线;且BD = BE ;则∠ADE 的大小为( ) A .10° B .20° C .40° D .70° 8.如图5;在△ABC 中;BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线;过点E 作DF ∥BC 交AB 于D ;交AC 于F ;若AB =4;AC =3;则△ADF 周长为( ). A .6 B .7 C .8 D .10图1图2图3DECBA图49、如果n 边形的内角和是它外角和的3倍;则n 等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 10、如下图;△ABC 的两个外角的平分线相交于点P ;则下列结论正确的是( )A .BP 平分∠APCB .BP 平分∠ABC C .BA =BCD .PA =PC图6二.填空题(本大题6小题;每小题4分;共24分) 11.五边形的内角和是___________.12.如图7;△ABC 的边BC 的垂直平分线MN 交AC 于D ;若△ADB 的周长是10cm ;AB=4cm ;则AC= cm .13.如图8;在Rt△ABC 中;∠C=90°;AD 是△ABC 的角平分线;DC=3;则点D 到AB 的距离是 .14.如图9;把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠; 若∠BDE =25°;那么∠BED =_________. 15.若;则的值为_________16.如图10;等腰三角形ABC 的底边BC 长为4;面积 是16;腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ;AB 边于E ;F 点.若点D 为BC 边的中点;点M 为线段EF 上一动点;则△CDM 周长的最小值为 .三、解答题(本题共6小题;共56分) 17.(本题满分8分)如图11;AB =AC ;AE =AF .求证:∠B =∠C .图7图918.(本题满分8分)计算0.259×220×259×64319、(本题满分8分)先化简;再求值:)5-x-x;其中2(3-()1x.=20.(本题满分8分)如图12;△ABC中;∠ACB=90°;AD平分∠BAC;DE⊥AB于E.(1)若∠BAC=︒50;求∠EDA的度数;(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.图1221、(本小题10分)如图;BD ⊥AC 于点D ;CE ⊥AB 于点E ; AD =AE求证:BE =CD图1322.(本题满分14分)如图14;△ABC 是等边三角形;BD ⊥AC ;AE ⊥BC ; 垂足分别为D 、E ;AE 、BD 相交于点O ;连接DE . (1)判断△CDE 的形状;并说明理由; (2)若AO=12;求OE 的长.图14。
人教版初二数学竞赛试题
第一学期八年级数学竞赛练习题一、选择题:1.下列四个式子中与(a-3)a-31相等的是( ) A.a -3 B.-a -3 C.-3-a D.3-a2.若a+b=4,a 3+b 3=28,则a 2+b 2的值是( )A.14B.12C.10D.83.在⊿ABC 中,∠C=900,∠A=150,AB=12,则⊿ABC 的面积是( )A.18B.12C.10D.84.已知方程x =ax+1有一个负根,且没有正根,则a 的取值范围是( )A.a >-1B.a=1C.a ≥1D.a >15.⊿ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC=MA=5,则⊿ABC 的面积是( )A.30B.24C.16D.126.如果一条直线l 经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a-b,b-a),那么直线l 经过第( )象限.A.二、四B.一、三C.二、三、四D.一、三、四二、填空题:7.已知8=a ,70=b ,则6.5=______________.8.已知x=1-3,则x 5-2x 4-2x 3+x 2-2x+1的值是______________.9. 某人将一本书的页码按1,2,3,…的顺序相加,其中有一个页码被多加了一次,结果得到一个错误的总和2005,则被多加的页码是 。
10. 如图,点C 在线段AB 上,DA ⊥AB ,EB ⊥AB ,FC ⊥AB ,且DA=BC ,EB=AC ,FC=AB ,∠AFB=51°,则∠DFE= .11.一个六边形六个内角都是1200,连续四边的长依次是1、3、3、2,则该六边形的周长是___________.12.已知⊿ABC 的三边长分别为AB=13,BC=5,CA=12,CT 是∠ACB 的内角平分线, ⊿ABC 关于直线CT 的对称图形是⊿A 1B 1C 1,⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1,的公共面积是nm ,m,n 是互质的正整数,则m+n=__________.三、解答题:13.已知方程组27234ax y x y -=-⎧⎨+=⎩中的系数a 是不等式组513(1)131722a a a a ->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩的整数解,求代数式(x-y)(x 2-xy+y 2)的值.14.如图,已知∠ACB=900,AD 平分∠CAB,BC= 4,CD=23,求AC 的长。
八年级上学期人教版数学_竞赛
初二数学竞赛试题第一试一、选择题(每小题7分;共56分)以下每题的4个结论中;仅有一个是正确的;请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内。
1.a 、b 、c 是正整数;a>b ;且27a ab ac bc --+=;则a c -等于( )A.1-B. 1-或7-2.用数码2、4、5、7组成的四位数中;每个数码只出现一次。
将所有这些四位数从小到大排列;则排在第13个的四位数是( )3.1989年我国的GDP (国民生产总值)只相当于英国的53.5%;目前已相当于英国的81%。
如果英国目前的GDP 是1989年的m 倍;那么我国目前的GDP 约为1989年的( )4.若x 取整数;则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有( )5.已知a 为整数;关于x 的方程2200a x -=的根是质数;且满足27ax a ->;则a 等于( ) A.2 B.2或5 C.±2 D.-26.如图;已知Rt △ABC ;∠C =90°;∠A =30°;在直线BC 或AC 上取一点P ;使得△PAB 是等腰三角形;则符合条件的P 点有( )7.边长分别是3、5、8的三个正方体被粘合在一起;在这些用各种方式粘合在一起的立体中;表面积最小的那个立体的表面积是( )8.在四边形ABCD 中;对角线AC 平分∠BAD ;AB >AD ;下列结论中正确的是( )-AD >CB --AD =CB -CD C. AB -AD <CB -CD D. AB -AD 与CB -CD 的大小关系不确定二、填空题(每小题7分;共84分) 22687x y x y +-++的最小值为____.111a b -=;则2a ab b a ab b+---的值等于______. 11.如图是一块电脑主板;每一个转角处都是直角;数据如图所示;单位是mm ;则该主板的周长为____mm.12.某学校建了一个无盖的长方体水箱;现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底;则砂轮磨不到的部分的面积为___.13.α、β、γ中有两个锐角和一个钝角;其数值已经给出;第6题图C B AD第8题图CB A在计算()115αβγ++的值时;有三个同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果;其中确有一个是正确的答案;则α+β+γ=_____.14.设a 为常数;多项式321x ax ++除以21x -所得的余式为3x +;则a =___. △ABC 中;高BD 和CE 所在直线相交于O 点;若△ABC 不是直角三角形;且∠A =60°;则∠BOC =____度.16.小王的学校举行了一次年级考试;考了若干门课程;后加试了一门;小王考得98分;这时小王的平均成绩比最初的平均成绩提高了1分。
人教版八年级数学上学期竞赛试卷及答案
人教版八年级数学上学期竞赛试卷及答案一、 选择题 (本题共计 10 小题 ,每题 3 分 ,共计30分 , ) 1. △ABC 中,AC =5,中线AD =7,则AB 边的取值范围是( ) A.1<AB <29 B.4<AB <24 C.5<AB <19 D.9<AB <19 2. 如图,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是AD 上异于A 的任意一点,设PB =m ,PC =n ,AB =c ,AC =b ,则(m +n)与(b +c)的大小关系是( ) A.m +n >b +c B.m +n <b +c C.m +n =b +c D.无法确定 3. 一个等腰三角形的两边长分别为1,√5,则这个三角形的周长为( ) A.2+√5 B.2√5+1 C.2+√5或2√5+1 D.以上都不对 4. 如图,已知正方形ABCD 边长为1,∠EAF =45∘,AE =AF ,则有下列结论:①∠1=∠2=22.5∘;②点C 到EF 的距离是√2−1;③△ECF 的周长为2;④BE +DF >EF ,其中正确的结论有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5. 若a ,b ,c 是△ABC 的三条边,则化简√(a +b )2−√(a −b −c )2的结果是( ) A.c B.2b +c C.2a −c D.c −2a 6. 如果一个三角形的三边长分别为12、k 、72,则化简√k 2−12k +36−|2k −5|的结果是( ) A.11−3k B.k +1 C.3k −11 D.−k −1 7. 如图,已知△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90∘,直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点,两边PE ,PF 分别交AB ,AC 于点E ,F ,给出以下四个结论:①△PFA ≅△PEB ,②EF =AP ,③△PEF 是等腰直角三角形,④S 四边形AEPF =12S △ABC ,当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A ,B 重合),上述结论中始终正确有( )学校: 班级: 姓名: 准考证号:A.4个B.3个C.2个D.1个8. 若2n+2n+2n+2n=2,则n=()A.1B.0C.−1D.−149. 若(x+2)(2x−b)=2x2+5x+2,则b的值为( )A.−1B.1C.−2D.210. 如图,在△ABC中,AB=AC,AQ=PQ,P为BC边上的中点,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则三个结论:①AS=AR;②QP//AR;③△BPR≅△QPS中( )A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确二、填空题(本题共计5 小题,每题2 分,共计10分,)11. 化简计算b2−27a3÷2b9a⋅3abb4是________.12. 一只小船顺水行驶9千米,再逆水行驶6千米,共用了3小时,又知小船顺水行驶12千米比逆水行驶12千米少用1小时,设小船在静水中的速度为x千米/时,水流的速度为y千米/时,可列方程组________.13. 若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解,则a的值为________.14. 如图,△ABC中,∠ABC,∠EAC的角平分线BP,AP交于点P,延长BA,BC,四个结论:①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180∘;③∠ACB=2∠APB;④若PM⊥BE,PN⊥BC,则AM+CN=AC.正确的是________.15. 已知(x+m)(x+n)=x2+ax+6,且m,n,a都是整数,则a的值是________.三、解答题(本题共计8 小题,共计80分,)16.(10分) 解方程:x x−3−2x=13(x−1)(x+2)=xx−1−117.(10分)先化简,再求值:a2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2),其中a满足a2−4=0.18.(10分) 先阅读下面的内容,再解决问题.例题:若m2+2mn+2n2−6n+9=0,求m和n的值.解:∵m2+2mn+2n2−6n+9=0,∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0,∴(m+n)2+(n−3)2=0,∴m+n=0,n−3=0,∴m=−3,n=3.(1)若x2+2y2−2xy+4y+4=0,求x−y的值.(2)若三角形三边a,b,c都是正整数,且满足a2+b2−6a−6b+18+|3−c|=0,试判断三角形的形状.19.(1)阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在△ABC中,AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):①延长AD到Q,使得DQ=AD;②再连接BQ,把AB,AC,2AD集中在△ABQ中;③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14,则AD的取值范围是________.感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.(2)请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.(3)思考:已知,如图2,AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90∘.试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明.20.(10分) 配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义:一个整数能表示成a2+b2(a,b 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,5是“完美数”.理由:因为5=22+12,所以5是“完美数”.解决问题:(1)已知29是“完美数”,请将它写成a2+b2(a,b是整数)的形式________.(2)若x2−4x+5可配方成(x−m)2+n(m,n为常数),则mn的值是________.探究问题:(3)已知x2+y2−2x+4y+5=0,则x+y的值是________.(4)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x,y是整数,是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.拓展结论:已知实数x,y满足−x2+3x+y−5=0,求x+y的最小值.21.(10分) 把几个图形拼成一个图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的信息,或可以求出一些不规则图形的面积.(1)如图1所示,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m> n,观察图形,利用面积的不同表示方法,可以发现一个代数恒等式________.(2)将图2中边长为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一条线上,连接BD和BF,若这两个正方形的边长满足a+b=8,ab=12,请求出阴影部分的面积.22.(10分) 探究规律:分式方程1x+1=2x+1−1的解为________;分式方程2x+1=4x+1−1的解为________;分式方程3x+1=6x+1−1的解为________;分式方程4x+1=8x+1−1的解为________;(1)请完成上面的填空;(2)根据你所发现的规律,请直接写出第5个分式方程以及它的解;(3)请你用一个含正整数n的式子表示上述的规律,并指出它的解.23.(10分) 如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=6cm,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C 向点A运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动,直接写出经过多少秒后,点P与点Q第一次在△ABC的哪一条边上相遇.参考答案与试题解析一、选择题(本题共计10 小题,每题 3 分,共计30分)1.【答案】D【解析】延长AD至E,使DE=AD,连接CE,使得△ABD≅△ECD,则将AB和已知线段转化到一个三角形中,进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可.【解答】解:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.在△ABD和△ECD中,BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=ED,∴△ABD≅△ECD(SAS).∴AB=CE.在△ACE中,根据三角形的三边关系,得AE−AC<CE<AE+AC,即9<CE<19.则9<AB<19.故选D.2.【答案】A【解析】在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,证明△ACP和△AEP全等,推出PE=PC,根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n>b+c.【解答】解:在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,∵AD是∠A的外角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACP和△AEP中,{AE=AC∠CAD=∠EADAP=AP,∴△ACP≅△AEP(SAS),∴PE=PC,在△PBE中,PB+PE>AB+AE,∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,∴m+n>b+c.故选A.3.【答案】B【解析】题中没有指明哪边是底哪边是腰,则应该分两种情况进行分析.【解答】解:①当三边是1,1,√5时,1+1<√5,不符合三角形的三边关系,应舍去;②当三边是√5,√5,1时,符合三角形的三边关系,此时周长是2√5+1,所以这个三角形的周长是2√5+1.故选B.4.【答案】B【解析】先证明Rt△ABE≅Rt△ADF得到∠1=∠2,易得∠1=∠2=∠22.5∘,于是可对①进行判断;连接EF、AC,它们相交于点H,如图,利用Rt△ABE≅Rt△ADF得到BE=DF,则CE=CF,接着判断AC垂直平分EF,AH平分∠EAF,于是利用角平分线的性质定理得到EB=EH,FD=FH,则可对③④进行判断;设BE=x,则EF=2x,CE=1−x,利用等腰直角三角形的性质得到2x=√2(1−x),解方程,则可对②进行判断.【解答】∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90∘,在Rt△ABE和Rt△ADF中,{AE=AFAB=AD,∴Rt△ABE≅Rt△ADF(HL),∴∠1=∠2,∵∠EAF=45∘,∴∠1=∠2=∠22.5∘,所以①正确;连接EF 、AC ,它们相交于点H ,如图,∵ Rt △ABE ≅Rt △ADF ,∴ BE =DF ,而BC =DC ,∴ CE =CF ,∵ AE =AF ,∴ AC 垂直平分EF ,AH 平分∠EAF ,∴ EB =EH ,FD =FH ,∴ BE +DF =EH +HF =EF ,所以④错误;∴ △ECF 的周长=CE +CF +EF =CE +BE +CF +DF =CB +CD =1+1=2,所以③正确;设BE =x ,则EF =2x ,CE =1−x ,∵ △CEF 为等腰直角三角形,∴ EF =√2CE ,即2x =√2(1−x),解得x =√2−1,∴ BE =√2−1,Rt △ECF 中,EH =FH ,∴ CH =12EF =EH =BE =√2−1, ∵ CH ⊥EF ,∴ 点C 到EF 的距离是√2−1,所以②正确;本题正确的有:①②③;5.【答案】C【解析】此题暂无解析【解答】解:由题意知a +b >0,a −b −c <0,故原式可化为a +b −(b +c −a)=2a −c .故选C .6.【答案】A【解析】求出k 的范围,化简二次根式得出|k −6|−|2k −5|,根据绝对值性质得出6−k −(2k −5),求出即可.【解答】解:∵ 一个三角形的三边长分别为12、k 、72,∴72−12<k<12+72,∴3<k<4,√k2−12k+36−|2k−5|,=√(k−6)2−|2k−5|,=6−k−(2k−5),=−3k+11,=11−3k.故选A.7.【答案】B【解析】根据图形旋转的性质,等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理,得出△APF≅△BPE,再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断.【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=90∘,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,∴AP⊥BC,AP=12BC=PB,∠B=∠CAP=45∘.∵∠APE+∠BPE=90∘,∠APF+∠APE=90∘,∴∠BPE=∠APF.在△BPE和△APF中,{∠B=∠CAP,BP=AP,∠BPE=∠APF,∴△PEB≅△PFA(ASA),即结论①正确;∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,∴AP=12BC.又∵EF不一定是△ABC的中位线,∴EF不一定等于AP,故结论②错误;∵△PFA≅△PEB,∴PE=PF.又∵∠EPF=90∘,∴△PEF是等腰直角三角形,故结论③正确;∵△PFA≅△PEB,∴S△PFA=S△PEB,∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=12S△ABC,故结论④正确;综上,当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),始终正确的有3个结论.故选B.8.【答案】C【解析】由题意得到4×2n=2,即2n+2=2,即可得到n值.【解答】解:由2n+2n+2n+2n=2,可得4×2n=2,即22×2n=2,∴2n+2=2,∴n+2=1,解得:n=−1.故选C.9.【答案】A【解析】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开,根据题意列出算式,求出b的值即可.【解答】解:(x+2)(2x−b)=2x2+5x+2,2x2+(4−b)x−2b=2x2+5x+2,则4−b=5,解得b=−1.故选A.10.【答案】B【解析】解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,【解答】解:∵AB=AC,P为BC边上的中点,∴AP为∠BAC的角平分线,∴PR=PS.∵PR⊥AB,PS⊥AC,∴∠ARP=∠ASP=90∘.在Rt△APR和Rt△APS中,{PS=PR,AP=AP,∴Rt△APR≅Rt△APS(HL),∴AR=AS,故①正确;∵AP为∠BAC的角平分线,∴∠BAP=∠CAP,又AQ=PQ,∴∠PAQ=∠APQ,∴∠BAP=∠APQ,∴QP//AR,故②正确;在△BRP和△QSP中,只能得到PR=PS,∠PSQ=∠PRB,不能判断两三角形全等,故③错误.综上所述,只有①②正确.故选B.二、填空题(本题共计5 小题,每题 2 分,共计10分)11.【答案】−12ab2【解析】此题暂无解析【解答】解:原式=b 2−27a3⋅9a2b⋅3abb4=27a2b3−54a3b5=−12ab2.故答案为:−12ab2.12.【答案】{9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.【解析】先根据小船在静水中的速度为x千米/时,水流的速度为y千米/时,求出顺水速度为x+y,逆水速度为x−y,再根据题意列方程组即可.【解答】解:设小船在静水中的速度为x千米/时,水流的速度为y千米/时,则顺水速度(x+y)千米/时,逆水速度(x−y)千米/时,可得:{9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.故答案为: {9x+y +6x−y=3,12 x−y −12x+y=1.13.【答案】1或12【解析】此题主要考查了分式方程的解.【解答】解:去分母得:x−3a=2a(x−3),整理得:(1−2a)x=−3a,当1−2a=0时,方程无解,故a=12;当1−2a≠0时,x=−3a1−2a=3时,分式方程无解,则a=1,故关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解,则a的值为:1或12.故答案为:1或12.14.【答案】①②③④【解析】①作PD⊥AC于D,由角平分线的性质得到PM=PN=PD,即可得到①正确;②首先证明∠ABC+∠MPN=180∘,证明Rt△PAM≅Rt△PAD(HL),得出∠APM=∠APD,同理:Rt△PCD≅Rt△PCN,得出∠CPD=∠CPN,即可得出②正确;③由角平分线和三角形外角的性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB,∠PAM=12∠ABC+∠APB,得出∠ACB=2∠APB,即可得出③正确;④由全等三角形的性质得出AD=AM,CD=CN,即可得出④正确.【解答】解:作PD⊥AC于点D,①∵PB平分∠ABC,PA平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,∴PM=PN,PM=PD,∴PM=PN=PD,∴点P在∠ACF的角平分线上,即CP平分∠ACF,故①正确;②∵PM⊥AB,PN⊥BC,∴∠ABC+90∘+∠MPN+90∘=360∘,∴∠ABC+∠MPN=180∘.在Rt△PAM和Rt△PAD中,{PA=PA,PM=PD,∴Rt△PAM≅Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理可得,Rt△PCD≅Rt△PCN(HL),∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ABC+2∠APC=180∘,故②正确;③∵PA平分∠CAE,BP平分∠ABC,∴∠PAM=12∠ABC+∠APB,即∠CAE=∠ABC+2∠APB.∵∠CAE=∠ABC+∠ACB,∴∠ACB=2∠APB,故③正确;④∵Rt△PAM≅Rt△PAD,∴AD=AM.∵Rt△PCD≅Rt△PCN,∴CD=CN,∴AM+CN=AD+CD=AC,故④正确.故答案为:①②③④.15.【答案】±5或±7【解析】根据已知条件可得mn=6,然后根据m,n都是整数确定m,n的值,最后根据a=m+n 即可解答.【解答】解:∵(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn =x2+ax+6,∴a=m+n,mn=6.∵m,n都是整数,∴当m=1时,n=6,m=−1时,n=−6;当m=6时,n=1,m=−6时,n=−1;当m=2时,n=3,m=−2时,n=−3;当m=3时,n=2,m=−3时,n=−2.∴a=m+n=±5或±7.故答案为:±5或±7.三、解答题(本题共计8 小题,共计80分)16.【答案】解:(1)方程两边同时乘x(x−3),得x2−2x+6=x2−3x,解得:x=−6.检验:把x=−6代入x(x−3)≠0.所以x=−6是原分式方程的解.(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+2),得3=x(x+2)−(x−1)(x+2),即3=x2+2x−x2−x+2,解得:x=1.检验:把x=1代入(x−1)(x+2)=0,所以x=1不是原分式方程的根,原分式方程无解.【解析】无无【解答】解:(1)方程两边同时乘x(x−3),得x2−2x+6=x2−3x,解得:x=−6.检验:把x=−6代入x(x−3)≠0.所以x=−6是原分式方程的解.(2)方程两边同时乘以(x−1)(x+2),得3=x(x+2)−(x−1)(x+2),即3=x2+2x−x2−x+2,解得:x=1.检验:把x=1代入(x−1)(x+2)=0,所以x=1不是原分式方程的根,原分式方程无解.17.【答案】解:a 2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)=(a+1)2a+2÷[(a+2)(a−2)a+2+3a+2]=(a+1)2a+2÷a2−4+3a+2=(a+1)2a+2÷a2−1a+2=(a+1)2a+2÷(a+1)(a−1)a+2=(a+1)2a+2×a+2(a+1)(a−1)=a+1a−1.∵a2−4=0,即a2=4,∴a1=2,a2=−2. 又∵a+2≠0,∴a≠−2,∴a=2.将a=2代入,得a+1a−1=31=3.【解析】无【解答】解:a 2+2a+1a+2÷(a−2+3a+2)=(a+1)2a+2÷[(a+2)(a−2)a+2+3a+2]=(a+1)2a+2÷a2−4+3a+2=(a+1)2a+2÷a2−1a+2=(a +1)2a +2÷(a +1)(a −1)a +2=(a +1)2a +2×a +2(a +1)(a −1) =a+1a−1.∵ a 2−4=0,即a 2=4,∴ a 1=2,a 2=−2.又∵ a +2≠0,∴a ≠−2,∴ a =2.将a =2代入,得a+1a−1=31=3. 18.【答案】解:(1)∵ x 2+2y 2−2xy +4y +4=0, ∴ x 2−2xy +y 2+y 2+4y +4=0, ∴ (x −y)2+(y +2)2=0,∴ x −y =0 , y +2=0,∴ x =y =−2,∴ x −y =(−2)−2=1(−2)2=14.(2)∵ a 2+b 2−6a −6b +18+|3−c|=0, ∴ (a 2−6a +9)+(b 2−6b +9)+|3−c|=0, ∴ (a −3)2+(b −3)2+|3−c|=0,∴ {a −3=0,b −3=0,3−c =0,∴ a =b =c =3,∴ △ABC 为等边三角形.【解析】【解答】解:(1)∵ x 2+2y 2−2xy +4y +4=0, ∴ x 2−2xy +y 2+y 2+4y +4=0, ∴ (x −y)2+(y +2)2=0,∴ x −y =0 , y +2=0,∴ x =y =−2,∴ x −y =(−2)−2=1(−2)2=14. (2)∵ a 2+b 2−6a −6b +18+|3−c|=0, ∴ (a 2−6a +9)+(b 2−6b +9)+|3−c|=0, ∴ (a −3)2+(b −3)2+|3−c|=0,∴ {a −3=0,b −3=0,3−c =0,∴ a =b =c =3,∴ △ABC 为等边三角形.19.【答案】2<AD <7(2)AC//BQ ,理由:由(1)知, △QDB ≅△ADC ,∴ ∠BQD =∠CAD ,∴ AC//BQ .(3)EF =2AD ,AD ⊥EF ,理由:如图,延长AD 到Q 使得DQ =AD ,连接BQ ,由(1)知,△BDQ ≅△CDA (SAS ),∴ ∠DBQ =∠ACD ,BQ =AC .∵ AC =AF ,∴ BQ =AF .在△ABC 中,∠BAC +∠ABC +∠ACB =180∘, ∴ ∠BAC +∠ABC +∠DBQ =180∘,∴ ∠BAC +∠ABQ =180∘.∵ ∠BAE =∠FAC =90∘,∴ ∠BAC +∠EAF =180∘,∴ ∠ABQ =∠EAF ,在△ABQ 和△EAF 中,{AB =EA,∠ABQ =∠EAF,BQ =AF,∴ △ABQ ≅△EAF(SAS),∴ AQ =EF ,∠BAQ =∠AEF ,延长DA 交EF 于P ,∵ ∠BAE =90∘,∴ ∠BAQ +∠EAP =90∘,∴ ∠AEF +∠EAP =90∘,∴ ∠APE =90∘,∴ AD ⊥EF ,∵ AD =DQ ,∴ AQ =2AD ,∵ AQ =EF ,∴ EF =2AD ,即:EF =2AD ,AD ⊥EF .【解析】无无无【解答】解:(1)延长AD 到Q 使得DQ =AD ,连接BQ , ∵ AD 是△ABC 的中线,∴ BD =CD .在△QDB 和△ADC 中,{BD =CD,∠BDQ =∠CDA,DQ =DA,∴ △QDB ≅△ADC (SAS ),∴ BQ =AC =5.在△ABQ 中,AB −BQ <AQ <AB +BQ , ∴ 4<AQ <14,∴ 2<AD <7.故答案为:2<AD <7.(2)AC//BQ ,理由:由(1)知, △QDB ≅△ADC ,∴ ∠BQD =∠CAD ,∴ AC//BQ .(3)EF=2AD,AD⊥EF,理由:如图,延长AD到Q使得DQ=AD,连接BQ,由(1)知,△BDQ≅△CDA(SAS),∴∠DBQ=∠ACD,BQ=AC.∵AC=AF,∴BQ=AF.在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘,∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180∘,∴∠BAC+∠ABQ=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘,∴∠BAC+∠EAF=180∘,∴∠ABQ=∠EAF,在△ABQ和△EAF中,{AB=EA,∠ABQ=∠EAF, BQ=AF,∴△ABQ≅△EAF(SAS),∴AQ=EF,∠BAQ=∠AEF,延长DA交EF于P,∵∠BAE=90∘,∴∠BAQ+∠EAP=90∘,∴∠AEF+∠EAP=90∘,∴∠APE=90∘,∴AD⊥EF,∵AD=DQ,∴AQ=2AD,∵AQ=EF,∴EF=2AD,即:EF=2AD,AD⊥EF.20.【答案】29=52+222−1(4)S=x2+4y2+4x−12y+k=x2+4x+4+4y2−12y+9−13+k=(x+2)2+(2y−3)2+k−13S若为完美数,k−13=0,k=13.拓展结论:−x2+3x+y−5=0,x+y=x2−2x+5,x+y=(x−1)2+4,当x=1时,x+y取最小值为4.【解析】答案未提供解析。
人教版八年级第一学期数学竞赛试题
SR QPC B A初中数学试卷灿若寒星整理制作八年级第一学期数学竞赛试题 (共26个小题,120分,90分钟)一、精心选一选(每小题3分,共30分.)1.下列银行标志中是轴对称图形的个数有( )A .2个B .3个C .4个D .5个2、如图,△ABC 中,∠A=36°,AB=AC ,BD 平分∠ABC,DE∥BC ,则图中等腰三角形有( )个.A.4个B.5个C.6个D.7个3.已知点P 1(a -1,5)和P 2(2,b -1)关于x 轴对称,则(a+b )2009的值为( )A .0B .-1C .1D .(-3)20094、如图,在△ABC 中,∠ACB=90,DE 是AB 的垂直平分 线,∠CAE :∠EAB=4:1.则∠B 的度数为( )度. A.15° B.20° C.30° D.45°5、估计117+的值是在( )A 、2和3 之间B 、3和4之间C 、4和5之间D 、5和6 之间6. 如图,D 是AB 边上的中点,将ABC ∆沿过D 的直线折叠,使点A落在BC 上F 处,若50B ∠=︒,则BDF ∠=( ). A 、80° B 、70° C 、50 ° D 、40°7. 如图,已知△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点,两边PE,PF 分别交AB,AC 于点E,F,给出以下五个结论: ①AE=CF ②∠APE=∠CPF ③△EPF 是等腰直角三角形 ④EF=AP ○5ABC AEPF S S ∆=21.四边形 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A,B 重合), 上述结论中始终正确的序号有( )(A )②③ (B )③④ (C )①④ (D )①②③○5 8、若22a =+,则(a +2)2的平方根是( ) A 、16 B 、16 C 、4 D 、2 9.如图所示,△ABC 是等边三角形,AQ =PQ , PR⊥AB 于R 点,PS⊥AC 于S 点, PR =PS ,•则四个结论:①点P 在∠A 的平分线上; ②AS=AR ;③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.正确的结论是( ) A .①②③④ B .只有①②, C .只有②③ D .只有①③ 10.如图,D 是等腰Rt △ ABC 内一点,BC 是斜边,如果将△ ABD 绕点A 按逆时针方A E B CD B EC DB__E_ D _F_AP B E CF A向旋转到△ ACD ’位置,则'ADD ∠的度数是( ). A 、25° B 、30° C 、35° D 、45°二、耐心填一填(本大题共10小题,每小题3分,共30分.) 11.16的平方根是 .12. 一个汽车牌在水中的倒影为,则该车牌照号码_________.13.52-的相反数是 ;绝对值是 。
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题(含答案)
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题分数:100 考试时间:80分钟一、选择题(10=30分)1. 下列运算正确的是 ( )A 、x 2 + x 3 = x 5B 、-2x ·x 2 =-2x 3C 、x 6÷x 2 = x 3D 、(- x 2 )3 = x 62. 的值是( )A 、0B 、-2C 、2D 、 3. 下列各组图形中,是全等形的是( )A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形4. 若二次三项式26x ax +-可分解成,则a ,b 的值分别为( )A . 1,3B . 1-,3C . 1,3-D . 1-,3-5.要使二次三项式25x x p -+在整数范围内能进行因式分解,那么整数p的取值可以有( ) A . 2个 B . 4个 C . 6个 D .无数个6.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 的长不可能是( ) A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、77.如图,把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD ,对于下列结论,其中说法错误的是( )A.△EBD 是等腰三角形,EB =ED ;B .折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等;C .折叠后得到的图形是轴对称图形 ; D.△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。
8.如图,等边三角形△ABC 的边长是6,面积是,AD 是BC 边上的高,点E 是AB 的中点,在AD 上求一点P ,则P B +PE 的和的最小值为( )A 、3B 、6C 、D 、9. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB 于E ,已知△ABC 的 面积为28.AC =6,DE =4,则AB 的长为( ) A .6 B .8 C .4 D .1010. 如图,四边形ABCD 中,AB =AD ,点B 关于AC 的对 称点B ′恰好落在CD 上,若∠BAD =100°,则∠ACB 的 度数为( )A .40°B .45° C .60° D .80° 二、填空题(5=15分)11. 分解因式得正确结果为. 12. 满足的整数的值是 .13. 如图:在△FHI 中,HF +FG=GI ,HG ⊥FI ,∠F=058,则∠FHI= 度。
人教版 八年级数学上册 竞赛专题:整式的乘除(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题:整式的乘除(含答案)【例1】(1)若n 为不等式2003006n>的解,则n 的最小正整数的值为 .(2)已知21x x +=,那么432222019x x x x +--+= .(3)把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++,则121086420a a a a a a a ++++++= .(4)若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= .解题思路:对于(1),从幂的乘方逆用入手;对于(2),目前无法求x 值,可考虑高次多项式用低次多项式表示;对于(3),它是一个恒等式,即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算,故可考虑赋值法;对于(4),可考虑比较系数法.【例2】已知252019x=,802019y=,则11x y+等于( ) A .2 B .1 C .12D .32解题思路:,x y 为指数,我们无法求出,x y 的值,而11x y x y xy++=,所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系,于是自然想到指数运算律.【例3】设,,,a b c d 都是正整数,并且5432,,19a b c d c a ==-=,求d b -的值.(江苏省竞赛试题) 解题思路:设5420326,a b m c d n ====,这样,a b 可用m 的式子表示,,c d 可用n 的式子表示,通过减少字母个数降低问题的难度.【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+,求3211m n +-的值.解题思路:等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应系数对应相等,从而可考虑用比较系数法.【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除?如果存在,求出,p q 的值,否则请说明理由.解题思路:由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数),根据“被除式=除式×商式”,运用待定系数法求出,p q 的值,所谓,p q 是否存在,其实就是关于待定系数的方程组是否有解.【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除,求ab的值. (北京市竞赛试题) 解题思路:本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用.本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时,原多项式的值均为0,从而求出,a b 的值.当然本题也有其他解法.能力训练A 级1.(1)24234(0.25)1⨯--= . (2)若23n a=,则621n a -= .2.若2530x y +-=,则432xy. 3.满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 .4.,,,a b c d 都是正数,且23452,3,4,5a b c d ====,则,,,a b c d 中,最大的一个是 . 5.探索规律:133=,个位数是3;239=,个位数是9;3327=,个位数是7;4381=,个位数是1;53243=,个位数是3;63729=,个位数是9;…那么73的个位数字是 ,303的个位数字是 . 6.已知31416181,27,9a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c >>B .a c b >>C .a b c <<D .b c a >>7.已知554433222,3,5,6a b c d ====,那么,,,a b c d 从小到大的顺序是( ) A .a b c d <<< B .a b d c <<< C .b a c d <<< D .a d b c <<<8.若11222,22n n n n x y +--=+=+,其中n 为整数,则x 与y 的数量关系为( )A .4x y =B .4y x =C .12x y =D .12y x =9.已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是( ) A .2b a c <+B .2b a c =+C .2b a c >+D .a b c +>10.化简4322(2)2(2)n n n ++-得( ) A .1128n +- B .12n +-C .78D .7411.已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=, 试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值.12.已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++.试确定,,a b c 的值.13.已知323x kx ++除以3x +,其余数较被1x +除所得的余数少2,求k 的值.B 级1.已知23,45,87,abc===则28a c b+-= .2.(1)计算:2019201920192019201973153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= . (2)如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++,那么n = . 3.(1)1615与1333的大小关系是1615 1333(填“>”“<”“=”).(2)201920193131++与201920203131++的大小关系是:201920193131++ 201920203131++(填“>”“<”“=”).4.如果210,x x +-=则3223x x ++= .5.已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++,则164b d f ++= . 6.已知,,a b c 均为不等于1的正数,且236,a b c -==则abc 的值为( )A .3B .2C .1D .127.若3210x x x +++=,则27261226271x x x x x x x ---+++++++++的值是( )A .1B .0C .—1D .28.如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +,则a b +=( ) A .7B .8C .15D .219.已知12320182019,,,,a a a a a 均为正数,又122018232019()()M a a a a a a =++++++,122019232020()()N a a a a a a =++++++,则M 与N 的大小关系是( )A .M N =B .M N <C .M N >D .关系不确定10.满足22(1)1n n n +--=的整数n 有( )个A .1B .2C .3D .411.设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值.12.若,,,x y z w 为整数,且x y z w >>>,52222208xyzw+++=,求2020(1)x y z w +++-的值.13.已知,,a b c 为有理数,且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除. (1)求4a c +的值; (2)求22a b c --的值;(3)若,,a b c 为整数,且1c a >≥.试比较,,a b c 的大小.参考答案例1(1)(n 2)100>(63)100,n 2 >216,n 的最小值为15.(2)原式=x 2(x 2+x )+x (x 2 +x )-2(x 2+x ) +2019= x 2+x -2+2019=2018 (3)令x =1时,a 12+a 11+a 10+…+a 2+a 1+a 0=1, ① 令x =-1时,a 12 –a 11+a l 0-…+n 2-a l +a 0 =729 ② 由①+②得:2(a 12+a l 0+a 8+…+a 2 +a 0)=730. ∴a 12 +a 10 +a 8 +a 6+a 4 +a 2+a 0 =365. (4)所有式子的值为x 3项的系数,故其值为7. 例2 B 提示:25xy =2 019y , ① 80xy =2 019x , ②①×②,得:(25×80)xy =2019x +y ,得:x + y =xy .例3 设a =m 4,b =m 5,c =n 2,d =n 3,由c -a =19得,n 2-m 4=19,即(n +m 2) (n -m 2)=19,因19是质数,n +m 2,n -m 2是自然数,且n +m 2>n -m 2,得⎩⎪⎨⎪⎧n +m 2=19n -m 2=1,解得n =10,m =3,所以d -b =103-35 =757例4 -78提示:由题意知:2x 2+3xy -2y 2-x +8y -6=2x 2+3xy -2y 2+(2m +n )x +(2n -m )y +mn .∴⎩⎪⎨⎪⎧2m +n =-12n -m =8mn =-6,解得⎩⎨⎧m =-2n =3,∴m 3+1n 2-1 =-78倒5提示:假设存在满足题设条件的p ,q 值,设(x 4+px 2+q )=(x 2+2x +5)(x 2+mx +n ),即 x 4+px 2+q =x 4+(m +2)x 3+(5+n +2m )x 2+(2n +5m )x +5n ,得⎩⎨⎧m +2=05+n +2m =p 2n +5m =05n =q ,解得⎩⎨⎧m =-2n =5p =6q =25,故存在常数p ,q 且p =6,q =25,使得x 4+px 2+q 能被x 2+2x +5整除.例6解法1 ∵x 2+x -2=(x +2) (x -1),∴2x 4-3x 3+ax 2+7x +b 能被(x +2)(x -1)整除,设商是A . 则2x 4-3x 3+ax 2+7x +b =A (x +2)(x -l ),则x =-2和x =1时,右边都等于0,所以左边也等于0.当x =-2时,2x 4-3x 3+ax 2+7x +b =32+24+4a -14+b =4a +b +42=0, ① 当x =1时, 2x 4-3x 3+ax 2+7x +b =2-3+a +7+b =a +b +6=0. ② ①-②,得3a +36=0,∴ a =-12, ∴ b =-6-a =6. ∴a b =-126=-2 解法2 列竖式演算,根据整除的意义解2243243232322225(9)22372245(4)75510(9)3(9)(9)2(9)(12)2(9)x x a x x x x ax x bx x x x a x x b x xx a x x ba x a x a a xb a -+++--++++--++++--++-++-+-+--+++∵2x 4-3x 3+ax 2+7x +b 能被x 2+x -2整除,∴⎩⎨⎧-12-a =0b +2(a +9)=0,即⎩⎨⎧a =-12b =6,∴a b =-2A 级1.(1) -5 (2)53 2.8 3.7 4.6 5.7 9 6.A 7.D 提示:a =(25)11,b -(34)11,c =(53)11,d =(62)11 8.A 9.B 10.C 11.4800 12.a =4.b =4,c =113. 提示:令x 3 +kx 2+3=(x +3) (x 2+ax +6)+r 1,x 3+kx 2+3=( x +1) (x 2+cx +d )+r 2,令x =-3,得r 1=9k -24.令x =-1,得r 2=k +2,由9k -24+2=k +2, 得k =3.B 级1.1891252. (1)949(2)123.(1) < 1516 <1615=264,3 313 >3213=265 >264. (2) > 提示:设32 000 =x .4.4 5.512 提示:令x =±2. 6.C 提示:由条件得a =c -3 ,b =c 2 ,abc =c -3·c 2·c =1 7.C 8.D 9.C 10.D11.由ax 2+by 2 =7,得(ax 2+by 2)(x +y )=7(x +y ),即ax 3-ax 2y +bxy 2+by 3 =7(x +y ),(ax 3+by 3)-xy (ax +by )-7(x +y ). ∴16+3xy = 7(x +y ). ①由ax 3 +by 3=16,得(ax 3+by 3)(x +y ) =16(x +y ),即ax 4 +ax 3 y +bxy 3+by 4 =16(x +y ),(ax 4+by 4)+xy (a 2x +b 2y )=16(x +y ). ∴42+7xy =16(x +y ). ② 由①②可得,x +y =-14,xy =-38.由a 2x +b 2y =42,得(a 4x +b 4y )(x +y )=42×(-14), (a 5x +b 5y )+xy (a 3x +b 3y )=-588,55ax by ++16×(-38)=-588.故55ax by +=20. 12. ()20191x y z w +++-=()201942131+---=1.13.(1)∵(x -1)(x +4)=2x +3x -4, 令x -1=0,得x =1;令x +4=0,得x =-4. 当x =1时,得1+a +b +c =0; ① 当x =-4时,得-64+16a -4b +c =0. ② ②-①,得15a -5b =65,即3a -b =13. ③ ①+③,得4a +c =12.(2)③-①,得2a -2b -c =14.(3)∵c ≥a >1,4a +c =12,a ,b ,c 为整数, ∴1<a ≤125,则a =2,c =4. 又a +b +c =-1,∴b =-7,.∴c >a >b .。
人教版数学八年级上册竞赛训练试卷九附参考答案
八年级数学竞赛试卷(9)1.四个壮小伙子正好同五个胖姑娘力量甲衡,两个胖姑娘和一个壮小伙子同两个瘦姑娘势均力敌。
那么当左边是两个瘦姑娘和三个胖姑娘,右边是一个胖姑娘和四个壮小伙子时,会发生的结果是 ( )A .左边赢;B .右边赢;C .恰好平衡;D .无法判断2.设四个自然数a,b,c,d 满中条件1≤a<b<c<d≤2004和a+b+c+d=ad+bc ,m 与n 分别为abcd 的最大值和最小值,则6n m 等于 ( ) A .2002; B .2004: C .2006: D .2008。
3.n 个学生参加象棋比赛,比赛采用单循环制,即每位参赛者必须与其他人都各赛一 场。
按比赛规定,胜者得2分,败者得0分,打平则各得1分。
比赛结束后,学校的四位小记者分别统计了所有参赛者的得分总和,所得的数字都不一样,为238、239、240和242。
最后发现,其中只有一个是正确的,它是 ( )A .238:B .239:C .240:D .242。
4.红星学校准备开办一些学生课外活动的兴趣班,有计算机班、奥数班、英语口语班和音乐艺术班,结果反映热烈。
各个班的计划招生人数和报名人数,列前二位的如下表所示(列第四位的数据不在其内)若以计划人数和报名人数的比值表示学校开设该兴趣班相对学生需要的满足程度,那么根据以上数据,满足程度最高的兴趣班是 ( )A .计算机班:B .奥数班;C .英语口语班; D.音乐艺术班。
5.如图所示为一个正n 角星的一部分,这正n 角星是一个简单的封闭的多边形,其中2n 条边相等,角A 1,A 2,…,An 相等,角B 1,B 2,…,Bn 相等,如果锐角A 1比锐角B 1小10°,那么n 是.( ) A .12; B .24; C .36;D .48.6.如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC ,D 为边BC 上的点。
将△ABD绕点A 逆时针方向旋转70°到△ACE,那么∠ADE的度数是 .7.给定一线段AB ,通过线段AB 画一数轴,点A 、B 恰好分别在数轴的正方向离开原点121 、3个单位处。
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人教版八年级上数学竞赛题
(满分:100分;考试时间:90分钟)
班级:__________ 姓名:_________ 总分:___________
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.观察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…
解答下列问题:3+32+33+34+…+32015的末位数字是( )
A.0 B.1 C.3 D.9
2.下面各组线段中,能组成三角形的是()
A.5,11,6 B.8,8,16 C.10,5,4 D.6,9,14
3.如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是()
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
4.等腰三角形的一个角是50︒,则它的底角是()
A. 50︒
B. 50︒或65︒C、80︒. D、65︒
5,一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°,这个多边形的边数是()
A.5
B.6
C.7
D.8
6.下列各组图形中,是全等形的是()
A.两个含60°角的直角三角形
B.腰对应相等的两个等腰直角三角形
图1
C
B
A
C.边长为3和4的两个等腰三角形
D.一个钝角相等的两个等腰三角形 7.如图1,AD AE =,= = =100 =70BD CE ADB AEC BAE ︒︒,,∠∠∠,下列结论错误的
是( )
A .△ABE ≌△ACD
B .△ABD ≌△ACE
C .∠DAE =40°
D .∠C =30°
8.等腰三角形的周长为18cm ,其中一边长为5cm ,则等腰三角形的底边长为( )
A 、5cm 或8cm
B 、6.5cm
C 、5cm D、8cm 9.如图2,从下列四个条件:①BC =B ′C ,②AC =A ′C ,③∠A ′CA =∠B ′CB ,④AB =A ′B ′中,任取三个为条件,余下的一个为结论,则最多可以构成正确的结论的个数是( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
10将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠,BC BD ,为折痕,则CBD ∠的度数为( )
A .60°
B .75°
C .90°
D .95° 二、填空题(每小题5分,共25分)
11、李明星期天上午复习功课,不知不觉半天过去了,他猛抬头看见镜子中身后墙上的挂钟已是1点20分,请问实际时间是____________.
A
E
C
图3
B A ′ E ′ D
图1
P O M A
C
B D
图3
A C
F
E
B
12.如图1,P M ⊥OA,PN ⊥OB ,PM =PN ,∠BOC =30°,则∠AOB = . 13.如图2,在△ABC 和△FED 中, A D =FC ,AB =FE ,当添加条件______
时,) 14.若215b +和31a -都是5的立方根,则a = ,b = 15、一个三角形的三边长分别为2、5、x,另一个三角形的三边分别为y 、2、6,若这两个三角形全等,则x+y=
三、解答题 (45分) 16. (7分)如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点, ∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.
17、(7分)已知如图,△ABC ≌△ADE ,∠B =30°,∠E =20°,∠BAE =105°, 求∠BAC 、∠DAB 的度数.
18.(9分)如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,△ABC 面积是282
cm ,AB =20cm,AC =8cm,求DE 的长.
4
3
21
D C
B A
A
B
C
D
E A
2
1E
C
D B
A
图8
A
B
C
D E
19. (9 分)如图,在ABC ∆中,0
90=∠ACB ,CE BE BC AC ⊥=,于E ,AD CE ⊥于
D.(1)求证:△A DC ≌△CEB. (2),5cm AD =cm DE 3=,求BE 的长度.
20. (13 分)已知:如图,△ABC,AB=BC,AD 为中线,E 为BC 延长线上的一点,且CE=CB. 求证:∠1=∠2.
2013—2014学年度八年级(上)数学竞赛试题答案
二、11、(0,-1);(0,1);12、60°;13、BC=ED(或∠A=∠F 或AB ∥EF);
14、30 ; 15、15 ;16、2 。
三、17、解:设∠1=x 度,则∠1=∠2=x 度 18、解:∵△ABC ≌△ADE
∵∠3=∠1+∠2=2x 度 ∴∠C=∠E =20°∠BAC=∠DAE
000
000
243963139139
18063218042234=-=∠-∠=∠∴=∠∴=∴=++∴=∠+∠+∠=∠=∠∴BAC DAC x x x BAC x 解得度Θ 0
000
0000
25105130130
1302030180180=∠∴-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=--=∠∴=∠+∠+∠DAB DAE DAE DAB BAC DAE BAC BAC C B Θ
19、解:(1)图略 20、解:∵AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F (2)A 1(-1,2);B 1(-3,1);C 1(2,-1) ∴DE=DF
(3) 4.5 ∵S △ABC =S △ABD +S △ACD =DF AC DE AB ⋅+⋅2
1
21 ∴
)820(2
1
+DE =28 ∴DE=2
21、(1) 22、(1)证明:∵BE ⊥AC,CF ⊥AB 证明:∵∠ACB=90°,AD ⊥CE,BE ⊥CE ∴∠BAC+∠ACF=∠CAB+∠ABE=90° ∴∠BCE+∠DCA=∠DCA+CAD=90°, ∴∠ACF=∠ABE ∴∠BCE=∠CAD 在△ABD 和△GCA 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AC BD ACG ABD CG
AB
在△BCE 和△CAD 中⎪⎩
⎪
⎨⎧
==∠=∠∠=∠BC AC CDA BEC CAD
BCE 0
90 ∴△ABD ≌△GCA
∴△BCE ≌△CAD ∴AD=AG
解:(2)由(1)知△BCE ≌△CAD 解: (2) AD 与AG 的位置关系是:AD ⊥AG ∴AD=CE=5,BE=CD 由(1)已证△ABD ≌△GCA ∵CD=CE-DE=5-3=2 ∴∠AGC=∠DAB
∴BE=2㎝ ∵CF ⊥AB,则∠AGF+∠GAF=90°
D
F
C
E
B
A
∴∠DAB+∠GAF=90°即 AD ⊥AG
23(1) 证明:连接AC
∵AE 是BC 边的中线,且AE ⊥BC ∴AG=AC
∵AF 是CD 边的中线,且AF ⊥CD ∴AD=AC ∴AB=AD
(2)∠EAF=∠BAE+∠DAF
证明:由已知得AE 是BC 的中垂线,AF 是CD 的中垂线 ∴AB=AC,AD=AC
∴AE 是∠BAC 的平分线,AF 是∠CAD 的平分线 ∴∠BAE =∠CAE,∠CAF=∠DAF ∴∠EAF =∠EAC+∠FAC=∠BAE+DAF
24、证明:延长AD 到F,使DF=AD,连接CF ∵AD 是BC 边的中线 ∴BD=CD
在△ABD 和△FDC 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CD BD FDC ADB DF AD
∴△ABD ≌△FDC ∴AB=CF ,∠B=∠DCF ∵AB=BC
∴BC=CF ,∠BAC=∠BCA ∠ACF =∠ACB+∠DCF=∠BAC+∠B ∵∠ACE=∠BAC+∠B ∴∠ACF=∠ACE
在△ACF 和△ACE 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE CF ACE ACF AC AC
∴△ACF ≌△ACE
∴∠1=∠2。