向量-错解剖析得真知-精选.
高中数学中向量知识的几个误区
错解 ：：
： 。分析： ３ 共线向量 、 之间的 商
ｌ ＣＢ Ｉ
“ 是与 、 方向有关的， 、 同向时，＞ ； 比” 商 当 商 ｈ０ 当 、 反向时，＜ ； 商 ｈ Ｏ 故 的值不等 、 ＂ｆ 的 商 Ｅｆ ＇ ｌ
模之 比；
错 ： － ／２（ － ） ）两 式 相加 解１由 ，【 ３ ， ３
【 闰分 类号Ｊ Ｏ１ ２ 中 ２
【 文献标识 码 Ｊ Ａ
ｃ 文章编号 】 ０ ８ ４ ４ （０ １０ — １６ ０ １ ０ － １２ ２ １ ）２ ０ ２ ～ ３
问 量 是 高考 的 必 考 内容 ．也 是 高 中数 学 教 学 的重 要 内容 之 一 。 近 几 年来 ， 各 省 高 考 数 学 试 题 中 ， 关 在 有 向 量部 分 ， 点 考 查 了 向 量概 念 、 质 及 向量 在 平 面 图 重 性 形 、 间 图形 中的应 用 等基 础运 算 。 同学 们 在学 习和 空 但
解 题过 程 中 ， 于对 向量 基 础 知 识 理 解 不 正 确 ， 常 出 由 常
：
３注意 数量 积运算 不满 足 消去律 和 结合律 【 ２ 】 Ⅻ
有 人 误 认 为 ： 于 ａ ｃ ｂ Ｃ， 由 ・ ＝ ・ Ｃ≠０， 约 去 Ｃ 得 到ａ 可 而
ｂ 这 种 错 误 是 受 到实 数 消 去 律 “ ・＝ ・，Ｃ ）ａｂ ， ａｃ ｂ Ｃ （ ≠０ （ 、、
个 与 ｃ 线 的 向 量 ，ａ ｂ ・ 表 示 实 数 ｂ Ｃ 向 量 ａ 共 （ ・） Ｃ ・与 的
积 ， 一 个 与 ａ 线 的 向 量 ， ａ ｃ 一 定 共 线 ， ａ ｂ 是 共 但 与 不 故 ・）
例１ 下列几个等式① ａａ ０②ｉｏ ｉ③０ ｉ０ ’ ’ ； ±： ； ． ； －： ：
数学向量知识点总结
数学向量知识点总结数学向量知识点总结引言：向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何、代数、统计等领域都有广泛应用。
本文将从向量的定义、基本运算、坐标表示、方向角和投影等方面进行总结，以帮助读者更好地理解和运用向量。
一、向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如AB表示从点A指向点B的向量。
一般地，向量的定义有两种形式：一是矩阵形式，即列向量或行向量；二是符号形式，如AB、a，可以表示在欧几里得空间中的向量。
向量的性质有以下几点：1. 零向量：长度为0的向量，方向可以是任意的。
2. 平行向量：具有相同或相反方向的向量，长度可以不同。
3. 相等向量：长度和方向完全相同的向量。
4. 反向向量：长度相等，方向相反的向量。
5. 零向量的唯一性：零向量是唯一的。
6. 向量的数量积：向量数量积的结果是一个实数。
7. 向量的向量积：向量向量积的结果是一个向量。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
具体如下：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即 A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法：向量的减法就是加上其相反向量，即A - B = A + (-B)。
3. 数量乘法：向量与一个实数的乘积，即kA，其结果是一个新的向量，长度为原向量的长度乘以实数k，方向与原向量相同（若k>0），或相反（若k<0）。
三、向量的坐标表示向量的坐标表示是将向量的长度和方向用数值表示出来，通常用坐标表示法表示。
在二维欧几里得空间中，向量可以用(x,y)表示，在三维空间中，向量可以用(x,y,z)表示。
四、向量的方向角与夹角向量的方向角是指向量与某一固定轴正方向之间的夹角，在平面直角坐标系中，向量的方向角可以由斜率求得。
夹角是指两个向量所夹的角度。
若两个向量的方向相同，则夹角为0度；若两个向量互相垂直，则夹角为90度；若两个向量方向相反，则夹角为180度，且它们互为对方向量。
向量全部知识点总结
向量全部知识点总结一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，由起点和终点确定。
通常用有向线段表示，记作AB→，其中A为起点，B为终点，→表示方向。
向量的大小表示为|AB→| 或 ||v||，表示有向线段AB的长度。
向量的方向表示为从起点指向终点的方向，可以用夹角、方向角、方向余弦等方式表示。
二、向量的性质1. 相等性：两个有向线段代表的向量，当且仅当它们的长度和方向都相同时，称为相等向量。
2. 平行性：如果两个向量的方向相同或者相反，则称它们是平行的。
3. 非零向量：如果一个向量的长度不为0，则称为非零向量，反之为零向量。
4. 相反向量：如果一个向量AB→代表的有向线段AB与向量BA→代表的有向线段BA平行且方向相反，则称BA→是AB→的相反向量，记作-AB→。
5. 平移性：向量在空间中的平行移动不改变它的长度和方向。
三、向量的运算向量的运算包括加法、数乘和减法。
1. 向量的加法：设有向线段AB→和BC→，若A、B、C三点共线，则有向线段AB→与BC→的和表示为AC→。
2. 向量的减法：假设有向线段AB→和AC→，则有向线段AB→与-AC→的和表示为AB→-AC→=AB→+(-AC→)。
3. 向量的数乘：实数k与向量AB→的数乘表示为kAB→，它的长度为|k||AB→|，方向与AB→相同或者相反，且方向角与AB→相同。
四、线性组合设有n个向量v1，v2，. . . .，vn及n个实数k1，k2，...，kn，则k1v1+k2v2+...+knvn称为向量v1，v2，...，vn的线性组合。
线性组合常用于描述多个向量的合成效果，如力的叠加、位移的合成等。
五、线性相关性和线性无关性1. 线性相关性：如果存在不全为零的实数k1，k2，...，kn，使得k1v1+k2v2+...+knvn=0，称向量v1，v2，...，vn线性相关。
2. 线性无关性：如果向量v1，v2，...，vn不线性相关，则称其线性无关。
【心得】向量解题的心得体会
【关键字】心得向量解题的心得体会篇一：高中数学课堂教学心得体会高中数学课堂教学心得体会【摘要】：课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。
课堂教学不但要加强双基而且要提高智力;不但要发展学生的智力，而且要发展学生的创造力;不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学，尤其是在正课上，不但要提高学生的智力因素，而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务。
【关键词】：课堂教学;体会;互动交流教育家施瓦布曾经指出如果要学生学习科学的方法，那么有什么学习比通过积极地投入到探究的过程中去更好呢?这句话对科学教育中的探究性教学和学习深远的影响。
美国心理学家布鲁纳认为：探索是数学的生命线。
在数学课堂教学中，教师创设情景，为学生构建一种开放的学习环境，教师通过提问引思，师生探究互动，建立模型，并加以应用与拓展，从而引起学生探索的兴趣，达到课堂教学的目标效能。
那么，高中数学课堂教学如何在新课改下体现，实现师生双方的协同发展呢?经过笔者近3年的课堂教学实验探索，认为在课堂教学中，教师应注意构建和谐、民主的课堂教学氛围，鼓励学生积极思考，大胆质疑，爱护学生的好奇心、求知欲，倡导自主、合作、探究的学习方式，为学生提供发表不同意见的机会，逐步形成创新意识。
本文拟从以下几个个方面做一些探讨，供同行参考。
有明确的教学目标，能突出重点、化解难点教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。
因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。
在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。
如《向量及其运算》这一课是整个向量这一章的第一课，在备课时应注意，通过这一课的教学，使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释向量的产生和发展，体会到向量本身存在我们的周围，来激发学生的求知欲望，同时也就提高了学生自己分析问题和解决问题的能力。
向量概念知识点总结
向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。
向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。
在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。
Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。
这里，a可以表示一个向量。
二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。
向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。
在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。
向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。
根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。
在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。
三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。
向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。
在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。
2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。
通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。
3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。
向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。
平面向量中易错题剖析
文章编 号 ： １ ０ ０ ５ — ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ １ — ０ ０ ５ ６— ０ ２
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泼硐 正硼 理群 相军疆 同量 盯加 、 减 法的 几何 惹 义 ． 从 而导
故有 ｘ ， Ｙ ） ＝（ － ２ ， ８ ） 一（ ４ ， ８ ） ＝（一 ６ ， ０ ） ， 所 以 Ｄ（ 一 ６ ， ０ ） 。
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四、 不 注意题 设 中的条件 和不 正确 运 用数 量 积 的有 关性 质 及
向量 模 的运算 。 从而导 致错解
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一 １ ９ － － ｍ － ＇ ．
例４ 、 设
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：。 ．
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剖析 ： 要注 意题设 中的 隐含 条 件 ， 同时 也 要 注 意正 确 运 用 数 量 积 的有 关性 质和运 算法则 。
错 解 ： ‘ ． ・ 蔚＝ 一 ＝ 一 ｍ ， 蔚＝ ÷ ＝ ÷ ＝ ÷ 综上 所述 ： 所 求 点 Ｄ 的 坐 标是 Ｄ（一 ６ ， ０ ） 或 Ｄ（ ２ ， １ ６ ） 或Ｄ （ １ ８ ， 一 ８ ） 。 一 － ｆ － － ｍ ÷ ． 所 以 劢 ＝ ＋ 痢＝ ＋ ÷ 一 ÷ ＝ 詈 一 ｛ ．
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向量分解知识点总结
向量分解知识点总结一、平行四边形法则平行四边形法则也称为三角形法则，它是最基本的向量分解方法之一。
根据平行四边形法则，任意一个向量都可以表示为两个力的合力。
具体地，设有两个向量a和b，它们的和可以表示为一个平行四边形的对角线，即a+b。
其几何意义如下图所示：[示意图]这种方法的优点是直观易懂，适用于初学者学习。
但是它的缺点是不够精确，只适用于少数情况下的向量分解。
二、直角坐标系法则直角坐标系法则是向量分解的另一种方法。
根据直角坐标系法则，任意一个向量都可以表示为在两个垂直方向上的分量。
具体地，设有一个向量a，它可以表示为在x轴上的分量a_x和在y轴上的分量a_y的和。
其分解过程如下图所示：[示意图]这种方法的优点是精确度高，适用范围广。
它可以运用到三维空间中，也可以用于求解向量的模长和方向。
然而，这种方法也存在一些缺点，比如在计算过程中需要用到三角函数，因此计算相对较为复杂。
三、基底向量法则基底向量法则是向量分解的一种更加抽象和普适的方法。
根据基底向量法则，任意一个向量都可以表示为一组基底向量的线性组合。
具体地，设有一个向量a，它可以表示为基底向量i和j的线性组合，即a=a_x*i+a_y*j，其中a_x和a_y分别表示在i和j方向上的分量。
其分解过程如下图所示：[示意图]基底向量法则可以很好地解决直角坐标系法则的计算复杂性和平行四边形法则的精确度不足的问题。
它不仅适用于平面向量，在三维空间中同样适用。
而且可以用于解决多个向量的分解，从而更加灵活和方便。
向量分解的应用向量分解在物理学、工程学和数学等领域中有着广泛的应用。
在物理学中，向量分解可以用于描述力、速度、加速度等物理量，从而更好地理解和分析物体的运动和相互作用。
在工程学中，向量分解可以用于解决结构分析、力学问题以及电路分析等工程实际问题。
在数学中，向量分解可以应用于解决线性代数、向量空间和矩阵计算等数学问题。
此外，向量分解还在计算机图形学、机器学习和控制系统等领域有着重要的作用。
剖析平面向量问题的错误成因
例 ６ 设 点 Ｐ（ ， ） ｙ 在椭 圆 ４ ＋ｙ ＝４ ２ 上， 求 ＋Ｙ的最大 ， 最小 值 ．
错解 ： ４ ＋ｙ ＝４ ． ｘ 因 ２ ４ ≤４ 得 一１ ，
≤ ≤１ 同理 得 一２ ， ≤Ｙ≤２ 故 一３ ＋Ｙ≤ ， ≤
３ ． 最大 ， 最小 值 分别 为 ３ 一３ ， ．
使得 ＝ 成 立 ． 以 ａ与 不 共线 ． 所
４ 以偏概全 ， 考虑 不周 出现错 误
ｆ ＋ ）７一疗 ０ ‘ ３ 。 ５ ＝， （ ） 即
【 ａ＋４ ・７ 疗 ＝０ 。 （ ） （ ａ一２ ）
ｉ ＋０・舀埘艿：０（ ）＿ （２ ｆ １ 艿１ ０１ ７ ６ 一 ｚ ） （ ７ ａ ３ｄ ５＝
２ 向量运 算与 实数运 算混淆产 生错 误 例 ２ 向量 与 都 是 非 零 向 量 ， 向 且 量 ａ＋３ 与 ７ 一５ 垂 直 ， 云一４ 疗与 ７ 一２ 垂直， 求 的 疗夹角 ． 错解 ： 由题设 得
６ ｌ ８２则 ６ ３ ； 一 辛， ＝ ２且 一８ ２ 不存在实数 ＝４ ，
剖析 ： 本题 中 ， 了分 别满 足 以上 条 Ｙ除
显然 不符 合要 求 ．
（ ） 过点 Ｐ 的直线 方程 为 Ｙ一１ （ ２设 ＝ｋ
一
件外 ， 还受制约条件 ４ ＋ｙ ＝４的约束 ． ２ 当
＝
１ ， 时取 不 到最 大值 ２故 ＋Ｙ的 时 Ｙ此 ，
最大值 不 为 ３ 其 实 本 题 只需 令 ＝ｃｓ ， ． ｏＯ Ｙ
２ ０ 年 第 ６期 ０８
河北理科 教 学研 究
问题 讨论
剖 析 平 面 向量 问题 的错 误 成 因
河北省 乐亭县 第二 中学 崔 志 刚 ０３０ ６６０
平面向量夹角问题的易错剖析
平面向量夹角问题的易错剖析作者：李鹏
来源：《新高考·高二数学》2017年第08期
通过向量的数量积及其相关运算探究两个向量的夹角问题，考生常常因为概念不清、考虑问题不全面等原因而导致错误，现就此类问题在解题中常见的易错点剖析如下。
1.向量夹角的概念不清
剖析在本题中，向量α，b的夹角并不是∠ABC，因为它们并没有从同一个起点出发，我们可以通过平移让两个向量的起点重合（图2），不难发现它们的夹角其实是∠ABC的补角。
总结寻找向量的夹角时，必须让两个向量从同一个起点出发，即将两个向量的起点通过平移放到同一点处，这时所形成的角才是向量的夹角。
2.忽视向量夹角的范围
此外本题还能利用数形结合的思想，将向量a，b在坐标系中画出来，如图3所示，将两个向量的起点都放在坐标原点，此时向量a的终点落在第二象限，向量b的终点落在y轴上半轴上，很明显它们的夹角是α-π/2。
总结根据向量夹角的定义，平面内任意两个向量夹角的取值范围为[0，丌]，做題中不能忽视这一点，以免出现错误。
3.忽视向量夹角为特殊值的情况
剖析本题错解误认为两非零向量α与c夹角为锐角的充要条件是α·c>0。
事实上，当夹角为0时，对于非零向量α和c，仍有α·c>0成立。
总结从这道题可看出，在判断两非零向量夹角的范围时，不能简单通过数量积大于0或者小于0来判断。
非零向量的夹角与数量积存在如下关系：
向量夹角虽然在教材中所占内容不多，求夹角的公式也只是数量积公式的变形，但是在实际解题中，经常会出现一些错误，同学们一定要引起足够的重视。
人教A版高中数学必修四平面向量错解剖析分类例析.doc
平面向量错解剖析分类例析分析近几年的各省市及全国高考试题，可以看到，有关向量部分，重点考查了向量的基本运算，其中以填空题或选择题形式出现的小题，基本上都是平面向量本身的概念性质与运算。
学生对向量基础知识理解不正确，从而造成对某些概念或公式的理解上有模糊认识，使得与实数有关性质运算相混淆从而造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使我们的解题思维走入一个个误区，现例举如下。
一、混淆了点的平移与向量平移的概念致错。
例1、已知A(3,7)，B(5,2)按向量a=(1,2)平移后，所得向量的坐标是=A. (1, －7)B. (2, －5)C. (0, 4)D. (3, －3)错解:(5,2)－(3,7)= (2,－5)按a=(1,2)平移后所得向量为 (2,－5)+ (1,2)= (3,－3)，选D 。
错解原因：只重视结论而不重视过程，对相等向量及平移公式理论理解不深刻，生搬硬套公式，混淆了点的平移与向量平移的概念。
正确解法1：认真阅读教材第一册（下）P121平移公式的推导过程，思考公式的适用范围，可得正确解法：点A 、B 按a 平移后得，则= (2,－5)。
正确解法2：认真阅读“长度相等且方向相同的向量叫做相等向量”及“任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线线段来表示，并且与有向线段的起点无关”这两段文字，认真思考，反复比较就可领悟：一个向量无论怎样平移，无论平移到什么位置都表示同一个向量。
所以==(2,－5)。
可见对教材上内容思考越深，分析越透，解题就越清晰。
二、与实数有关性质运算及与初中平面几何知识相混淆致错.例2.（1）设a r 与b r 为非零向量，下列命题：①若a r 与b r 平行，则a r 与b r 向量的方向相同或相反；②若,, AB a CD b ==r r a r 与b r 共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；③若a r 与b r 共线，则a b a b +=+r r r r ；④若a r 与b r 反向，则a a b b=-r r r r 其中正确命题的个数有 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（2）下列结论正确的是 （ ）（A ）a b a b =r r r r g（B ）a b a b -<-r r r r （C ）若()()0a b c c a b -=r r r r r r g g （D ）若a r 与b r 都是非零向量，则a b ⊥r r 的充要条件为a b a b +=-r r r r错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A 或B 或C 。
解平面向量问题是的常见错误剖析
七、混淆实数0与向量0引起的错误 例9 有四个式子： · · ① 0 a = 0； ② 0 a =0； ③ 0BB BB； BB BB BB BB 其中正确的个数是
%
错解 因为 |a +tb |2=a2+(2a· b)t +b2t2可看成 t 的二
次函数， 故当t=· b a 2a 即 a+ =- 时， |a+tb|2有最小值， 2 2b b
tb的长度有最小值.
剖析 忽视了向量数量积与实数积的不同， 它
是不可直接约分的， 因为向量没有除法运算. 因为 |a +tb |=a2+(2a · b)t +b2t2可看成 t 的二次函数， 故当t=· 2a b 时， 即a+tb的长度有最 |a+tb|2有最小值， 2 b2
% %
即 B C ⊥ AC ， 也就是 BC·AC = ② 若 ∠BCA =90° ， 而 BC = AC - AB =(-1， 故 -1+k (k -3)=0， 解得 k = 0， k -3)， 3± 姨13 ； 2 即 B C ⊥ AB ， 也就是 BC·AB = ③ 若 ∠ABC =90° ， 而BC=(-1， 故-2+3 （k-3 ） 解得k= 0， k-3)， =0， 综上， k=2 3± 13 11 或k= 姨 或k= . 3 3 2
AA
筲参考答案
1. D. 2. B.
AA AA 若 a， 则 | OB |=| OA |+ ② 当 a + b 共线时， b 同向，
高中数学必修二向量知识点
高中数学必修二向量知识点在高中数学必修课程中，向量是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学中具有广泛的应用，还在物理、工程、计算机科学等领域中得到了广泛的应用。
本文将从向量的基本概念、向量的运算、向量的坐标表示等方面进行详细讲解，帮助大家更好地理解和掌握向量知识点。
一、向量的基本概念向量是由大小和方向两个特征来描述的量，通常用一个箭头来表示。
向量的大小称为模，通常用符号 ||v|| 来表示。
向量的方向可以用该向量所代表的直线或平面的方向来表示。
向量的起点和终点分别表示向量的位置，起点通常表示向量所在的原点，即表示向量的点 O，终点通常表示向量的终点，即表示向量的点 A。
二、向量的运算向量的加法对于两个向量 v 和 w，它们的和记作 v + w，表示将向量 w 的终点移动到向量v 的终点，然后连接向量 v 的起点和向量 w 的起点所得到的向量。
向量的减法对于两个向量 v 和 w，它们的差记作 v - w，表示将向量 w 反向后，再与向量v 相加所得到的向量。
即：v - w = v + (-w)。
向量的数量积对于两个向量 v 和 w，它们的数量积记作 v·w 或⟨v, w⟩，表示向量 v 的长度与向量 w 在向量 v 的方向上的投影的长度的乘积。
即：v·w = ||v||·||w||·cosθ (其中θ 表示 v 和 w 之间的夹角)。
向量的向量积对于两个向量 v 和 w，在三维空间中，它们的向量积记作 v×w，表示平行于向量 v 和向量 w 所决定的平面的向量，其大小等于向量 v 和向量 w 所决定的平行四边形的面积，方向遵循右手定则。
三、向量的坐标表示向量的坐标表示是指将一个向量表示为一组数字，这些数字表示向量在各个坐标轴上的分量。
在二维平面直角坐标系中，一个向量可以由其在横坐标和纵坐标上的分量来表示。
例如，一个向量 v = (x,y)，其中 x 表示向量 v 在横坐标上的分量，y 表示向量v 在纵坐标上的分量。
向量知识点总结全部
向量知识点总结全部一、向量的概念和表示方法1. 向量的概念向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在物理和数学中，向量是研究力、速度、加速度等物理量的重要工具，也是几何和线性代数的基本概念。
2. 向量的表示方法向量可以用不同的表示方法来表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是将向量的起点放在坐标原点，然后用终点的坐标值来表示向量，如(1,2)表示一个在坐标系中从原点指向(1,2)点的向量。
分量表示是将向量在坐标轴上的投影值用数值表示，如a = (a1,a2,a3)表示一个在三维空间中的向量，a1、a2、a3分别表示在x、y、z轴上的分量值。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点相连，新的向量就是它们的和。
向量的加法是可交换的，即a + b = b + a，也是可结合的，即(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的数乘向量的数乘就是将一个向量乘以一个数，得到的结果是一个新的向量，这个新的向量的大小是原来向量的大小与数的乘积，方向与原来向量相同（若数为正）或相反（若数为负）。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即a - b = a + (-1)*b。
所以，向量的减法也可以通过加法和数乘来进行计算。
4. 内积和外积内积（又称点积）和外积（又称叉积）是向量的两种重要运算。
内积的结果是一个数值，而外积的结果是一个新的向量。
内积与外积都有广泛的应用，在几何、物理和工程等领域起到重要作用。
5. 向量的夹角和平行性向量的夹角和平行性是向量运算中的重要概念，夹角可以用内积来计算，平行可以用外积来判断。
这些概念在物理、几何和工程中都有重要应用。
6. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影值，用内积可以计算。
投影值可以用来描述一个向量在另一个向量上的成分，对于求解问题非常有用。
向量的分解知识点总结
向量的分解知识点总结一、向量的基本概念向量是向量代数中的基本概念之一，它是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以在数学、物理、工程等领域中广泛应用，是研究力、速度、位移、位矢等物理量的重要工具。
在二维空间中，向量通常用坐标表示，如向量a=(a1,a2)表示在x轴方向的分量为a1，在y轴方向的分量为a2。
在三维空间中，向量可以用三个坐标表示，如向量a=(a1,a2,a3)表示在x轴、y轴和z轴方向的分量分别为a1、a2和a3。
除了用坐标表示，向量还可以用向量的模和方向角表示。
向量的模表示向量的大小，用|a|或||a||表示，向量的方向角表示向量与坐标轴之间的夹角，通常用α、β、γ表示。
二、向量的线性组合向量的线性组合是向量代数中的一个重要概念，它是指将若干个向量按照一定的比例相加得到的新向量。
设有n个向量a1,a2,...,an，实数λ1,λ2,...,λn，称向量b=λ1a1+λ2a2+...+λnan 为向量a1,a2,...,an的线性组合，其中λ1,λ2,...,λn称为向量a1,a2,...,an的系数。
向量的线性组合具有以下性质：1. 交换律：对于任意向量a,b，有a+b=b+a。
2. 结合律：对于任意向量a,b,c，有a+(b+c)=(a+b)+c。
3. 数乘结合律：对于任意向量a,实数λ,μ，有(λμ)a=λ(μa)。
4. 数乘分配律：对于任意向量a,b,实数λ,μ，有λ(a+b)=λa+λb。
5. 向量加法和数乘运算满足分配律。
三、向量的分解向量的分解是指将一个向量分解成若干个向量的线性组合，常见的向量分解有向量的基底分解和向量的正交分解。
1. 向量的基底分解设有向量a和一组线性无关的向量b1,b2,...,bn，如果向量a可以表示为向量b1,b2,...,bn的线性组合，即a=λ1b1+λ2b2+...+λnbn，则称向量a关于向量b1,b2,...,bn的基底分解。
平面向量易错点评析
・
。 －２ － Ａ 同 ￣
＋ 广，． ２ ｚ ．２ ・ ＝ ‘
・
ｏ － ・ ｌ ． Ｄ Ｂ ９。。 ，ｆ ０． Ａ ＝ ０ ｘ ‘
剖析： 错在误用乘法结合律， 误认为 （ ａ
一 —
）， ｂ答案应 为： ②④ 三、 向量平行与直线 平行 不同
向量平行 （ 共线）方 向相 同或相 反的 ：
．
２— ２
，
，
／ ＤＡＢ＝ ．． ＝（ ０ ．ＡＣ ＢＤ 。
÷
＿
÷
４
２
ｑ
÷
ｂ ａｂ （ ２ ・＋ （ ２ ・＋ ＝（ ）（－）＝ ａ＋ ａｂ ｂ）ａ一ａ ｂ ｂ） １ ， ａ
４ ４ ＋
① ａ０ ②石 ａ６ ③ ． Ｉ ． ’ ＝ ・＝ Ｉ＝ 主 ④ｏ － Ｉ ｌ ２ ｌ ｂ Ｏ ， Ｂ＋ Ｄ＝ａ Ｂ Ｘ＋ ｂ ） ４Ｉ Ｉ Ｃ Ｓ０ 又Ａ Ａ ｌ － ａ ｌ ｌ
— —
非零向量， 平行 向量， 叫做 零向量与任 一向 量 平行 （ 共线）两条直线 平行 不能说共线， ：
不包括 重合 的情况． 若两 向量平行。 则不能 就 说两 向量所在 的直线平行 ， 还应看 具体 情 况． 向量共线与点共线也不同。 例 题 ３ 已知 Ａ （１１、 １ ） Ｃ（ ， ： ．，） Ｂ（， 、 － ５ ２
＝
５ 、 ４７ ， ） Ｄ（，）判断 Ａ、 、 Ｄ是否共线 ？ Ｂ Ｃ、 错 解 ：． ０ ‘ ＝（，） ’ ２４ ， ＝ ６１）‘ （，２ ． ．
０⑤ ０ ａ ⑥ ＋＝ ＝。 ０ 二、 向量的运算与数量的运算 不同 向量的加 （ 法的定义是用几何作 图 减）
＿ ÷ ２ －＇ ２ －＋ －
垂直； ３＋ｂ・ 主２）９ 中， Ｑ（ａ２）（ ． ＝ １ ４ ３ ａ ｂ １ ． 真命
错解剖析得真知
3.3三角函数的恒等变换一、知识导学1.两角和、差、倍、半公式（1）两角和与差的三角函数公式（2）二倍角公式（3）半角公式，，2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.二、疑难知识导析1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.4．三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、，等，注意到倍角的相对性.5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.三、典型例题导讲[例1]在∆ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则?C的大小应为( ) A． B． C．或 D．或错解：C错因：求角C有两解后未代入检验.正解：A[例2]已知tanα tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，若α，β?(-)，则α+β=（）A． B．或- C．-或 D．-错解：B.错因：未能准确限制角的范围.正解：D.[例3]若，则对任意实数的取值为（）A. 1B. 区间（0，1）C.D. 不能确定错解：C错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D.正解：解法一设点，则此点满足解得或即选A解法二：用赋值法，令同样有选A[例4]△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A. B. C.或 D.错解：C错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.正解：A[例5]已知，（），则（）A、 B、 C、 D、错解：A错因：是忽略，而解不出正解：C[例6]求值：=_______________解：答解法一原式解法二[例7]已知是第三象限的角，若等于（）A. B. C.D.解：选A.解析：[例8]分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少.观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.解法一：（复角→单角，从“角”入手）原式解法二：（从“名”入手，异名化同名）解法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）解法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.四、典型习题导练1.已知集合M=，N=则MUN等于（）A．M B.N C.ф D.2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=( )A.1B.2C.-1D.-23.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )A.或-B.-C.D.以上都不对4.已知θ=,则= .5.计算sin sin= .6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（）A．B． C． D．7．求值：__________8.函数的最小值为（）A. B. C.0 D. 19．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定10.已知向量（1）求的值；（2）若的值.。
向量知识点总结归纳
向量知识点总结归纳一、向量的定义和性质1. 向量的定义:在数学中，向量是指具有大小和方向的量。
它是空间中的一个几何量，由其大小和方向确定。
向量通常用有向线段表示，起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
2. 向量的性质:(1) 向量的大小: 向量的大小是指向量的长度，通常用|AB|表示，其中A和B分别为向量的起点和终点。
向量的大小可以通过勾股定理计算，即|AB| = √(x2-x1)² + (y2-y1)²。
(2) 向量的方向: 向量的方向是指向量的指向，通常用箭头表示，箭头指向的方向即为向量的方向。
(3) 向量的零向量: 零向量是指大小为0的向量，用0表示，它的起点和终点重合。
(4) 向量的相等: 两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。
(5) 向量的加法: 向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，其大小为两个向量的大小之和，方向为两个向量的方向之和。
(6) 向量的数乘: 向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个常数得到一个新的向量，其大小为原向量的大小乘以常数，方向不变。
二、向量的表示1. 坐标表示: 在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别为向量在x轴和y轴上的分量。
2. 分解表示: 一个向量可以分解为与坐标轴平行的两个向量相加的形式，即V = Vx + Vy，其中Vx和Vy分别为向量在x轴和y轴上的分量。
3. 模长和方向角表示: 一个向量可以表示为它的大小和方向角的形式，即V = |V|∠θ，其中|V|为向量的大小，θ为向量与x轴的夹角。
三、向量的运算1. 加法运算: 两个向量A和B的加法运算定义为A + B = (Ax + Bx, Ay + By)，即对应分量相加得到一个新的向量。
2. 减法运算: 两个向量A和B的减法运算定义为A - B = (Ax - Bx, Ay - By)，即对应分量相减得到一个新的向量。
向量-错解剖析得真知
向量■错解剖析得真知错解剖析得真知第八章平面向量与空间向量§ 8.1平面向量及其运算•、知识导学1.模（长度）：向量二的大小，记作| 一二|。
长度为0的向量称为零向量，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量匚长度相等，方向相反的向量叫做「的相反向量。
记作。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知一：「，：。
在平面内任取一点，作亍=，一一=, 则向量丄叫做一;与丁的和。
记作一：「+。
6.向量的减法：求两个向量差的运算。
已知.：',r。
在平面内任取一点0,作，上，贝恫量丄叫做」与f的差。
记作一―。
7.实数与向量的积：（1）定义：实数入与向量』的积是一个向量，记作入*，并规定：①—的长度|「1=1入| •;②当入＞0时，「「的方向与一：「的方向相同；当入v 0时，入孑的方向与丘的方向相反；当入=0时，入』=.（2）实数与向量的积的运算律：设入、u为实数，则①入（u j ）=（入u ）②（入+ u ）』=入』+ u ：③入（「+［）=入「+ X .8.向量共线的充分条件：向量r与非零向量［共线的充要条件是有且只有一个实数X，使得: =X .：■'。
另外，设# = （x i ,y i）, b = gy 2），贝飯//Foxy—X2y i=09.平面向量基本定理：如果订、0是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量「有且只有一对实数X 1、X 2使..：=X /1 + X Z ，其中不共线向量，［叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底。
10. 定比分点设P i ， P 2是直线I 上的两点，点P 是不同于P i , P 2的任意一点则存在一个实数 入,使匚=入匸， 入叫做分有向线段所成的比。
若点 P i 、P 、P 2的 坐标分别为(x i , y i ) , (x,y) , (X 2,y 2)，则有1+Xyi+^yj1+九特别当入=i ,即当点P 是线段P i P 2的中点时,X1 +乃2 乃+”Vii. 平面向量的数量积⑴定义：已知两个非零向量』和「，它们的夹角 为0，则数量订cos 0叫做匚与『的数量积(或 内积)，记作，即|I |cos 0 规定：零向量与任一向量的数量积是 0。
向量高考知识点总结分析
向量高考知识点总结分析一、向量的基本概念与表示向量是描述空间中的一个点到另一个点的有向线段，是有模有向量，既有大小又有方向。
在平面直角坐标系中，向量通常用一个有序对表示，如向量a=(x1, y1)表示一个从原点指向(x1, y1)的有向线段。
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组表示，如向量a=(x1, y1, z1)表示一个从原点指向(x1, y1, z1)的有向线段。
在集合论中，向量通常用粗体字母表示，如a、b、c等，而在解析几何中，向量常用小写拉丁字母表示。
向量还有单位向量、零向量等概念，单位向量是模长为1的向量，通常用e表示，零向量是模长为0的向量，通常用0表示。
二、向量的运算1.向量的加法向量的加法满足三角形法则，即若a、b、c为三个向量，则有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
2.向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘，其结果是一个新的向量。
数乘的性质包括分配律、结合律、数乘0得0等。
3.向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)，其中-b表示向量b的反向向量。
4.向量的数量积向量的数量积（内积）是一种运算，它满足交换律，分配律，但不满足结合律。
向量a与向量b的数量积定义如下：a·b=|a|*|b|*cosθ，其中θ为向量a与向量b的夹角。
5.向量的向量积向量的向量积（叉积）也是一种运算，它满足反交换律，不满足交换律和结合律。
向量a与向量b的向量积的模长为|a|*|b|*sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并且满足右手定则。
三、向量的坐标表示在平面直角坐标系中，向量a的坐标表示为a=(x, y)，它指的是a的始端在(0, 0)终端在点(x, y)处。
在三维直角坐标系中，向量a的坐标表示为a=(x, y, z)，它指的是a的始端在原点处，终端在(x, y, z)处。
向量的坐标运算包括向量相加、向量相减、数乘等，其中向量相加可分别对应向量的横纵坐标相加，向量相减可分别对应向量的横纵坐标相减。
文档：向量及向量的加法与减法误区何在
《向量及向量的加法与减法》误区何在由于向量具有几何与代数两个方面的特征，因此，对向量及相关概念的理解上易混同于实数，向量加法与减法容易混淆于代数的加法与减法，即容易混淆其几何与代数性质而造成错误.下面举例说明.误区一：混淆向量→0与实数0例2在下列四个不等式中，正确等式的个数是( )①→a－→a＝0；②→a＋→0＝→a；③若→a＝→0，→b＝→0，则→a＋→b＝0；④|→a|－|→a|＝→0B.2错解：四个式子都正确，故选D.剖析：①错：因为两个向量相减仍是向量，→a－→a应得向量→0；②式正确；③错：因为两个零向量之和为零向量，④错：因为向量的长度是实数，它们的差|→a|－|→a|应是实数0，因而正确答案应选A.特别提醒：对向量概念的理解及进行向量运算时要注意与数量及数量运算的区别：向量的加减运算结果仍是向量，数量的加减运算结果仍是数量.误区二：混淆向量平行与直线平行例2下列命题中正确的命题个数是（）①若→a∥→b且→b∥→c，则→a∥→c；②若→AB∥→CD，则直线AB∥CD；③若→AB与→CD 共线，则A、B、C、D四点共线.B.1错解：全部正确，选D.剖析：①错：因为与直线平行的传递性混淆所致.若→b＝→0，则→a与→c可以为任意向量，因此得不到→a∥→c；②错：这是因为把平行向量的概念与平行直线AB∥→CD只能说明这两个向量的方向相同或相反，所以当A、的概念等同所致.因为→B 、C 、D 四点在一条直线上时，可得→AB ∥→CD ，但不能得出AB ∥CD .③错：错误原因是把向量共线与平面几何中的线段共线等同.在平面几何中，若AB 与CD 共线，可得A 、B 、C 、D 四点共线；而→AB 与→CD 共线，即→AB 与→CD 是平行向量，→AB 与→CD 的方向相同或相反即可，当然A 、B 、C 、D 四点不一定共线.特别提醒：注意平行向量与平行直线、共线向量与线段共线是既有联系又有区别的，在解题时不能等同.误区三：混淆路程和位移的概念例3一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行300km ，最后又改变方向再向北飞行300km ，求飞机飞行三次位移和.错解：300×3＝900(km)，即飞机飞行三次的位移和为900km.剖析：上述解法混淆了路程和位移的概念，路程只有大小，没有方向，而位移是向量，既有大小又有方向，其运算遵循平行四边形法则或三角形法则.正解：如图1所示，|→AB |＝|→BC |＝|→CD |＝300，|→AE |＝300，|→ED |＝600, 故|→AD |＝|→AE |2＋|→ED |2＝3005，ta n ∠EAD ＝|→ED ||→EA |＝600300＝2，故∠EAD ＝a r cta n2，因为→AB ＋→BC ＋→CD ＝→AD ，所以飞机飞行三次位移的和是→AD ，它的大小是3005km ，方向是西偏北a r cta n2.特别提醒：在物理学中除位移外，还有许多物理量都属于向量，如速度、加速度、力等，因此在利用向量解答与物理学中相关的量问题时，一定要弄清楚量的性质.误区四：忽视向量减法的几何意义例4计算：(1)如图2，求→AB －→AC ；(2)如图3，求→AB －→CD ；(2)如图4，求→AB －→BC .错解：(1)→AB －→AC ＝→BC ；(2)→AB －图1图2 图3 图4→CD ＝→DB ；(3)→AB －→BC ＝→CA .剖析：错解错误的原因是不理解向量减法的几何意义，要求两个向量的差，应该将它们的起点平移至同一个点，然后将它们的终点连结起来，并且指向被减向量.正解：(1)→AB －→AC ＝→CB .(2)如图5，过点A 作→AE ＝→CD ，则→AB －→CD＝→AB －→AE ＝→EB .(3)如图6，过点A 作→AD ＝→BC ，则→AB －→BC ＝→AB －→AD ＝→DB .特别提醒：利用三角形法则进行向量的减法运算时注意两点，一是两个向量共起点，二是所得向量方向指向被减向量的终点；利用三角形法则进行加法运算时也要注意两点，一是向量必须首尾相接，二是所得向量方向指向最后一个向量的终点.误区五：错用实数运算律或运算法则例5如图7，已知矩形ABCD ，|→AB |＝1，|→AD |＝2，设→AB ＝→a ，→BC ＝→b ，→BD ＝→c ，则|→a ＋→b ＋→c |＝______.错解：|→a ＋→b ＋→c |＝|→a |＋|→b |＋|→c |＝3＋ 5. 剖析：上述解法受实数运算律和运算法则的影响致错.由向量的三角形法则有|→a ＋→b ＋→c |＝|→AB ＋→BC ＋→BD |＝|→AB ＋→BD ＋→AD |＝|→AD ＋→AD |＝2|→AD |＝4.特别提醒：在向量的加减法运算中要善于运用向量的加法运算的交换律、结合律，向量加法的三角形法则，及加减法的互化等法则，千万莫与实数的运算律或运算法混淆.图5 图6图7。
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错解剖析得真知第八章平面向量与空间向量§8.1平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作。
长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。
记作-。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知，。
在平面内任取一点，作=，=，则向量叫做与的和。
记作+。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知，。
在平面内任取一点O，作=，=，则向量叫做与的差。
记作-。
7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定：①λ的长度|λλ|·；②当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ=（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μ)=(λμ)②(λ+μ) =λ+μ③λ(+)=λ+λ8.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ。
另外，设=（x 11）, = (x22)，则1y2－x2y1=09.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使＝λ1＋λ2，其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ，λ叫做分有向线段所成的比。
若点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，()，(x22)，则有特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，有11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝θ规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影θ的乘积。
(3)性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则·＝·＝θ，⊥·＝0 当与同向时，·＝当与反向时，·＝－特别地，·＝2或＝θ＝ |·|≤(4)运算律：·＝· (交换律)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)(＋)·＝·＋·（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设=（x 11）, = (x22)，则··90°=0x 1x21y2=012.平移公式：设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形上对应点为（，），且设的坐标为（h，k），则由＝＋，得：（，）＝（x，y）+（h，k）二、疑难知识导析1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。
因此，建议在记忆时对比记忆；4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲[例1]和= (3,－4)平行的单位向量是；错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即(，－)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。
读者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。
错解：设D的坐标为（x，y），则有21-3，1=4-2 ，即2，3。
故所求D的坐标为（-2，3）。
错因：思维定势。
习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照的顺序。
其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形。
因此，还需要分类讨论。
正解：设D的坐标为（x，y）当四边形为平行四边形时，有21-3，1= 4-2 ，即 -2， 3。
解得D的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形时，有2=3-（-1），1= 2-4 ，即 6，-1。
解得D的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形时，有31-2，2= 4-1 ，即 0， 5。
解得D的坐标为（0，5）。
故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足122|，求点P的坐标。
错解：由122|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）错因：对于122|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。
故须分情况讨论。
正解：当点P为 P1，P2的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（）；当点P为 P1，P2的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。
则所求点P的坐标为（）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
[例4]设向量，，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．解：若，∵，则，代入坐标得：，即且．消去，得；反之，若，则且，即则，∴故“”是“”的充要条件．答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求实数x、y，使．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有x（1，-1）（-1，3）=（，3y）．又 =（3，5）∴3且35解之得 7 且4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．[例6]已知A（-1，2），B（2，8），=，= -，求点C、D和向量的坐标．分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C、D的坐标为、，由题意得=（），=（3，6），=（），=（-3，-6）又=，= -∴（）=（3，6），（）（-3，-6）即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)∴且，且∴且，且∴点C、D和向量的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．四、典型习题导练1. ，则有（）A. B.C. D.2.（2006年高考浙江卷）设向量满足,,则(A)1 (B)2 (C )4 (D)53. 将函数 4x－8的图象L按向量平移到，的函数表达式为 4x，则向量=4. 从点沿向量方向取线段，使，则B点坐标为5. 、是单位向量，的夹角为，以、为邻边作平行四边形。
求平行四边形对角线的长。
6.（2006年高考辽宁卷）已知的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为(A)(B)(C)(D)错解剖析得真知（二十六）§8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即2.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即二、疑难知识导析1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。
如当=时，=0，此时有；2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。
三经典例题导讲[例1]在中，已知a2＝b2＋＋c2，则角A为( )A．B．C．D．或错解：选A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。
正解：∵a2＝b2＋＋c2＝b2＋c2－2(－)＝b2＋c2－2·∴∠A＝选 C.[例2]在△中，已知，试判别其形状。
错解：等腰三角形。
错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。
直接由得，，即，则。
接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由得，，即则或，故三角形为直角三角形或等腰三角形。
[例3]在中，试求周长的最大值。
并判断此时三角形的形状。
错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。
正解：由正弦定理,得2(), 2().2()()=4()75()2≤()2=8+4.当时,三角形周长最大,最大值为8+4+. 此时三角形为等腰三角形.[例4]在中，，其内切圆面积为，求面积。
分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。
解：由已知,得内切圆半径为2. 由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.[例5]已知定点A(2,1)与定直线:35=0,点B在上移动,点M在线段上,且分的比为2,求点M的轨迹方程.分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 .解:设B(x00)()∴=(21)(x00),由题知=2∴由于3x00+5=0,∴3×5=0化简得M的轨迹方程为935=0[例6]过抛物线2=2(p>0)顶点O作两条互相垂直的弦、(如图),求证:直线过一定点,并求出这一定点.分析: 对于向量(x 11)(x22),有1y22y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.证明:由题意知可设A点坐标为(1)点坐标为(2) ∴=(1), =(2),∵⊥,∴012=0t 124p2 ①设直线过点M(),则=(2)(12),由于向量与是共线向量,∴（）(t12)= (2)(-) 化简得2p(2p)(t12)显然当20时等式对任意的成立∴直线过定点,且定点坐标为M(2p,0)四典型习题导练1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜5 B．＜x＜ C．＜x＜5 D．1＜x＜2．三顶点，则的面积为 _。
3．△中，若边a：b：c＝：(1＋)：2，则内角A ＝。
4．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到0，测得塔顶A仰角为30°，则塔高＝。