第四章机械振动(XXXX11改编)
大学物理 第4章机械振动(完全版)
注意:研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置。
平衡位置: k
F
外
0, 或 M外 0
o (原长) (平衡位置)
m
x
21
４．4简谐振动的能量 x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )
振动势能： E p 振动动能：Ek
1 2 1 kx
2
k
o (原长) (平衡位置)
m
o (原长) (平衡位置) x
o
x
xo (平衡位置)
(原长)
m
1 2 kx
2
Ep
弹
E p振
E p振 E p弹 1 2
1 2
kx
2
k ( xo x)
2
24
例题如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的 倔强系数k=24N/m, 物体的质量m=6kg, 静止在平衡位 置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使之由 平衡位置向左运动了s=0.05m, 此时撤去外力F。取物 体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的运动方 程; (2)何处Ek=Ep? 解 (1) k
质点的简谐振动状态由下面两个物理量确定： x =Acos( t+ )
dx dt
A sin( t )
显然，它们由相位唯一确定。
5
五 .振动的超前与落后
设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2) 振动x2超前x1(2 -1) ； >0, =0, 振动x2和x1同相 ； 相差 =2 -1 <0, 振动x2落后x1(2 -1) ； =, 振动x2和x1反相 。
机械振动的概念
机械振动的概念机械振动是指物体在受到外力作用下发生的周期性运动。
它是一种复杂的物理现象，在工程学、物理学、数学等领域都有广泛的应用。
机械振动的研究对于解决工程问题、提高设备性能以及深入理解物体的运动规律具有重要意义。
首先，我们可以通过观察一个简单的机械振动现象来了解它的概念。
假设有一个质量为m的物体，它通过一个弹簧与固定点相连接。
当这个物体受到外力作用时，它会相对于平衡位置发生振动。
这种振动可以是正弦函数的形式，也可以是其他复杂的波形。
物体在振动过程中，会在振幅达到最大值时向一个方向运动，然后在振幅达到最小值时向另一个方向运动。
这种周期性的运动就是机械振动。
机械振动的重要性在于它的广泛应用。
在机械工程中，振动是一个常见的问题。
例如，汽车发动机的不平衡力会导致汽车振动，影响乘坐舒适性和发动机寿命；建筑物受到地震或风力的作用时，也会发生振动，这需要对建筑物结构做出相应的设计和补强；在电子设备中，电动机的振动会影响设备的稳定性和寿命等等。
因此，了解和掌握机械振动的特性和原理，对于解决这些问题具有至关重要的意义。
对于机械振动的研究，主要包括振动的频率、振幅、相位和周期等几个基本概念。
振动的频率是指单位时间内振动的次数。
频率用赫兹（Hz）来表示，1 Hz代表1秒内振动一次。
振动的频率取决于物体的质量和弹性特性。
例如，弹簧的刚度越大，物体的频率越高；物体的质量越大，频率越低。
频率是描述振动特征的重要参数，它能够帮助我们了解物体的振动情况和特性。
振动的振幅是指物体运动的最大偏离量。
它表示了振动的强度，振幅越大，振动的能量也就越大。
振动的振幅可以通过测量物体相对于平衡位置的位置来确定。
例如，对于一个简单的弹簧振子，可以通过测量振子达到的最大位移来确定振幅。
振幅的大小对于振动的影响很大，它不仅决定了物体的振动幅度，还会影响到物体的能耗、寿命等。
因此，在设计和使用振动设备时，需要注意控制振动的振幅。
振动的相位是指物体在振动中的位置关系。
机械振动
相差
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
➢ 2 < 1 ， 振动（1）比振动（2）超前或振动
（2）比振动（1）落后；
x1
➢2- 1=0 或 2π的整
数倍，即π的偶数倍,
x2
称这两个振动为同相;
➢ 2- 1=π或π的奇
数倍，称这两个振 动为反相.
x1 x2
五.简谐振动实例 1. 单摆
ft mg sin
例3.质点沿x轴谐振动的方程为x=4cos(2πt+ π/3)cm,求: 从t=0时刻到x=-2cm且向x轴正向运动的最短时间间隔.
解: x=-2cm, 且向x轴的正向运动, v>0, =4π/3 t=0, o=π/3 0 t t=0.5s
课堂练习： (1)x0 A
(3)x0 0,vo 0
机械振动的概念
振动也称振荡.在力学中,振动是指物体围绕某个 平衡位置作周期性的往复运动,又称机械振动.
广义地说,任何一个物理量在某一确定值附近的反 复变化都可称为振动,如电磁振荡,交流电中电流、 电压的反复变化等. 物体作机械振动时,来回往复的运动轨迹，最简单 的是一条直线,称为直线振动.在平面或空间的往复 振动,都可以认为是由多个直线振动叠加而成的.
A1 cos1 A2cos2 Acoso
x Acos(t o )
用旋转矢量法可得到同样结果
x1 A1 cos(t 1 ),
x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2 ➢合矢量 A 将与矢 量 A1 与 A2 一起以 角速度ω转动.
x Acos(t o )
y A2
ω
A
2 o 1
➢振幅A :是质点离开平衡位置的最大位移,它的大 小表征振动的强弱.
第四章机械振动(XXXX11改编)
0
c
o
x>0 a
x<0,v>0
x>0,v>0
v >0
v >0
d
b点：x = 0，v < 0，平衡位置处，φ0= π/2
d点：x = 0，v > 0，平衡位置处，φ0= 3π/2 , 或φ0= －π/2
32
首 页 上 页 下 页退 出
P130例4.2 如图4.6所示，轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳， 绳过定滑轮挂一质量为m的物体.设弹簧的劲度系数为k，滑轮
28 首 页 上 页 下 页退 出
（1）t =0时，旋转矢量 A 与 x 轴夹角φ0 (初位相）; （2）旋转矢量 A以角速度ω沿逆时针方向， t 时刻，A 与 x 轴夹角ωt + φ0（位相）； （3）以O为原点旋转矢量A的端点，在 x 轴上的投影 点的运动为简谐运动.
t 0
o
A
0
x0 x
0
（3）振动表达式 （运动学特征）
x Acos(t 0 )
8 首 页 上 页 下 页退 出
3. 简谐振动的速度和加速度
由 x Acos(t 0 )
简谐振动表达式
速度
v
dx dt
A
sin(t
0 )
最大速度 vmax A
加速度
a
d2 x dt 2
A 2
J
T 2π 2π J
m gh
0 cos( t 0 ) ——角谐振动
转动正向 O
h
*C
mg
（C点为质心）
首 页 上 页 下 页退 出
机械振动机械波
机械振动机械波机械振动和机械波是物理学中重要的概念，涉及到了物体的振动和波动特性。
机械振动是指物体或系统在受到外界力的作用下发生的周期性或非周期性的振动运动，而机械波是指机械振动在介质中传播的能量传递过程。
机械振动有两个重要的参数，即振动周期和振幅。
振动周期是指一个完整的振动循环所需要的时间，通常用秒（s）表示。
振幅则是指振动的最大位移或最大速度，通常用米（m）来表示。
机械振动分为简谐振动和非简谐振动两种。
简谐振动是指当物体受到恢复力的作用后，其振动状态可以通过正弦或余弦函数来描述。
而非简谐振动则是指物体受到的恢复力不满足线性关系，振动状态无法通过简单的正弦或余弦函数来描述。
机械振动的运动可以通过振动方程来描述。
对于简谐振动而言，振动方程可以表示为x(t) = A * sin(ωt + φ)，其中x(t)是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
振动方程可以描述物体振动的位移、速度和加速度的关系，从而提供了对振动状态的全面了解。
机械波是机械振动在介质中传播的能量传递过程。
波动是由于介质中某一点的振动引起附近点的振动，从而传递能量。
机械波有两种主要类型，即横波和纵波。
横波是指波动的振动方向垂直于能量传播方向的波动，例如水波。
纵波则是指波动的振动方向与能量传播方向一致的波动，例如声波。
机械波的传播速度可以通过介质的性质和条件来确定。
对于弹性介质而言，传播速度可以表示为v = √(E/ρ)，其中v是波速，E是介质的杨氏模量，ρ是介质的密度。
不同介质的波速是不同的，比如在空气中，声速大约为343m/s，而在水中，水波的波速则约为1480m/s。
机械波的特性还包括波长和频率。
波长是指相邻两个振动峰或波谷之间的距离，通常用λ表示，单位是米。
频率是指在单位时间内波动中的相邻振动周期的个数，通常用赫兹（Hz）表示。
波长和频率之间有一个简单的关系，即v = λ * f，其中v是波速，λ是波长，f 是频率。
大学物理机械振动课件
03 阻尼振动
阻尼振动的定义与特点
定义
阻尼振动是指振动系统受到阻力 作用，使得振动能量逐渐减少的
振动过程。
特点
随着时间的推移，振幅逐渐减小， 频率逐渐降低，直至振动停止。
阻尼力
阻尼振动过程中，系统受到的阻力 称为阻尼力，它与振动速度成正比， 方向与振动速度方向相反。
阻尼振动的描述方法
微分方程
阻尼振动的运动方程通常表示为二阶常微分方程，形式为 `m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = 0`，其中 m、c、k 分别为质量、
振动压路机
利用共振原理来提高压实效果。
振动输送机
利用共振来输送物料，提高输送效率。
受迫振动与共振的能量转换
能量转换过程
外界周期性力对系统做正 功，系统动能增加；阻尼 使系统能量耗散，系统势 能减小。
转换关系
在振动过程中，外界对系 统的总能量输入等于系统 动能和势能的变化之和。
影响因素
阻尼系数、驱动力频率、 物体固有频率等。
能量耗散途径
阻尼振动的能量耗散途径 主要包括与周围介质之间 的摩擦、空气阻力、内部 摩擦等。
能量耗散的意义
阻尼振动的能量耗散有助 于减小系统振幅，避免因 过大振幅导致的结构破坏 或噪声污染等问题。
04 受迫振动与共振
受迫振动的定义与特点
定义：在外来周期性力的持 续作用下，物体发生的振动
称为受迫振动。
确定各简谐振动的振幅、相位差和频 率，在复平面内绘制振动相量，通过 旋转和位移操作找到合成振动的相量 表示。
振动合成的能量法
描述
能量法是通过分析各简谐振动的能量分布和转化，来研究振 动合成过程中的能量传递和平衡。
机械振动的原理与实验研究
分类
自由振动 受迫振动 阻尼振动
数学模型和能量方法
91%
振动系统可以用微分方程 描述，能量方法是研究振 动系统能量变化规律的重 要手段。
振动控制方法和实例分析
振动控制方 法
主动控制
振动控制技 术
智能控制
91%
实例分析
使用阻尼器控制 建筑物振动
新技术在机械振动研究中的应 用
01 人工智能技术
智能振动监测系统
能量受控制耗散的 条件
有效的能量控制手段 稳定的外部环境
能量耗散判据的重要 性
能量耗散程度影响振动系 统的稳定性 有效的能量管理有助于振 动控制
91%
能量方法在振动控制中的应用
01 能量方法在主动控制系统中的应用
主动控制系统通过调节振动系统的输入来控 制振动，能量方法为主动控制提供了理论基 础。
02 能量方法在被动控制系统中的应用
91%
振动控制方 法
调节悬挂系统的 硬度和减震效果
实例二：桥梁结构的振动问题 分析
01 桥梁结构的振动影响
风力或交通载荷作用下的振动现象
02 桥梁结构的振动监测与控制
采用振动传感器监测振动情况，采取加固措 施进行振动控制
03
实例三：风力发电机组的振动分析
振动特性
叶片振动 主轴振动 整机振动
振动监测与预警系 统
振动系统的基本 元素
振动系统的基本元素 包括质点、弹簧和阻 尼器，这些元素共同 构成了振动系统的核 心组成部分。质点是 振动系统中具有质量 但体积可以忽略不计 的物体，弹簧则是用 于恢复质点位置的元 件，而阻尼器则可以 减小振动系统的能量。
单自由度振动系统
单自由度振 动系统的运
机械振动培训课件
导航和控制
机械振动可以作为航空航天器的导航和控制信号，对于精确制导和自主导航具有重要意义。
飞行器动力学
航空航天领域中飞行器的振动和稳定性是至关重要的，机械振动理论和方法在解决这类问题中发挥着关键作用。
结构健康监测
机械振动可以用于航空航天器的结构健康监测，通过检测结构的振动响应来判断结构是否受到损伤或破坏。
机械振动在航空航天中的应用
土木工程中结构的振动可以反映结构的健康状态，机械振动理论和方法可以用于结构健康监测和诊断。
机械振动在土木工程中的应用
结构健康监测
土木工程中的地震工程是一个重要领域，机械振动理论和方法可以用于研究地震作用下结构的响应和稳定性。
工程地震工程
土木工程中的减隔震技术是提高结构安全性的重要手段，机械振动在减隔震技术的设计和应用中发挥了重要作用。
控制算法发展趋势
探讨主动振动控制和被动振动控制未来的发展趋势，包括新材料的应用、新技术的融合等。
控制算法与策略
05
机械振动实验技术
振动测试系统概述
传感器的选择与安装
数据采集器
振动测试系统
通过数据采集器采集振动信号，将数字信号输入到计算机或专用振动分析仪器中。
振动信号采集与分析
振动信号采集
对采集到的振动信号进行时域分析，包括计算均方根值、峰值、有效值等参数，以及进行时域波形分析等。
被动振动控制算法
介绍几种经典的被动振动控制算法，包括最小二乘法、卡尔曼滤波等，并对其原理和适用范围进行详细阐述。
被动振动控制
简述混合振动控制的基本原理、发展历程和现状，介绍其分类、优缺点及工程应用场景。
混合振动控制
混合振动控制概述
详细描述混合振动控制系统的组成和原理，包括主动部分和被动部分等关键部件及其作用和工作原理。
机械振动学课件
P1(t)
P2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
建立方程：
m1x1
m2 x2
m1x1 k1x1 k2 (x1 x2 ) P1(t) m2x2 k2 (x1 x2 ) k3x2 P2 (t)
矩阵形式：
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k
第四章 多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程
0
P (t )
P1(t)
P2
(t
)
k11...k1 j ...k1n
0
k21...k2 j ...k2n .....................
1
0
k1 j
k2
j
Pn (t)
kn1...knj ...knn
k21...k2 j ...k2n
.....................
0
1
0
k1 j
k2
j
Pn (t)
kn1...knj ...knn
knj
0
第四章 多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程
0
P (t )
P1(t)
P2
(t
)
k11...k1 j ...k1n
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
第四章 多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1： 例2：
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
大学物理第4章机械振动 机械波课件讲义
则系统受到的合力为
F mg FS mgi k(x l0 )i
Fx mg k(x l0 ) max
mgBiblioteka k(xl0
)
m
d2x dt 2
k
x
m
d2 dt
x
2
2 k
m
d2x dt 2
2
x
0
动力学方程
l
0A
x
F
A
x
mg
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
§4.1 简谐振动的动力学特征
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:一个做往复运动的物体，如果其偏离平
衡位置的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)
Fx F ,x , ax a
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系
x A cos( t 0 ) A cos
A
sin(
t
0 )
大学物理 机械振动课件共62页文档
O
作谐振动 设振动方程为 xAcos(t0)
x
k m
gl
9.8 1r0a/d s 0.098
x
例：如图m =2×10-2kg，弹簧的静止形变为 l = 9.8cm，取平衡
位置为坐标原点。t =0时，x0= -9.8cm, v0 = 0 （1） 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0，v0>0为计时零点， 写出振动方程并计算频率。
10rad/s
由初条件得 A x02(v0)20.098m
0
arctg( v0 )0, x0
m
O x
由 x0 = Acos0 = - 0.098 < 0 cos0 < 0, 取 0 =
振动方程为： x9 .8 1 0 2co s(1 0 t)
x
(2)按题意 t = 0 时 x0 = 0，v0 > 0
位置为坐标原点。t =0时，x0= -9.8cm, v0 = 0 （1） 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0，v0>0为计时零点， 写出振动方程并计算频率。
解：平衡位置处 mgkl kmg l
在坐标为 x处, 受力为
F m g k ( l x ) k x m
xAcos(t0)
v A s in (t0 ) v m c o s (t0 2 )
a A 2 c o s (t 0 ) a m c o s (t 0 )
x.v.a.
T/4
T/4
x
a
o
T
t
v
vm
90 0
A
90 0
位置的位移 x（或角位移）随时间 t 按余弦（或正弦）
机械振动的概念精编WORD版
机械振动的概念精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第一章绪论1-1 机械振动的概念振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。
如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。
振动在大多数情况下是有害的。
由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。
此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。
但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。
这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。
研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。
任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。
研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。
实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。
为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。
振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。
其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。
机械振动的PPT精选全文
x0 0
x0
0
x0 0
按指数规律衰减的非周期运 动
0
t
临界阻尼（ 1）
• 定义临界阻尼系数
1 cc 2mn 2 mk
（9）
阻尼 比
c
cc
（10）
超临界阻尼（ 1）
• 运动方程的通解为
x C e C e n 21 t 1
n 2 1 t 2
设系统的初始条件为
n 2 1 t 2
x e C e C e nt
i 1 2nt
1
i 1 2nt 2
临界阻尼（ 1）
运动方程的通解为
x C1 C2t ent
（6）
设系统的初始条件为
x 0 x0, x 0 x0
对应该初始条件的解为
x x0 n x0 x0 t ent
（7） （8）
x(t) x0
x 0 x0, x 0 x0
对应该初始条件的解为
x
1 2
x0
x0 2 1 n
x0
es1t
2 1
1 2
x0
x0 2 1 n
x0
es2t
2 1
（11） （12）
（13）
超临界阻尼（ 1）
x(t)
A
Ae 21 nt
x0
0
t
Be 21 nt B
•一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 •注意：实际工程中一般不会出现超临界（过）阻尼的情况
些 x(t)
1.4
1
0.2
t
s2 2ns n2 0
特征方程的根（系统特征值）
s1,2 n 2 1
特征值的三种情况：
（4） （5）
机械振动ppt
每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.12.2020.12.2001: 3101:31:4301: 31:43Dec-20
务实，奋斗，成就，成功。2020年12月20日 星期日1时31分 43秒Sunday, December 20, 2020
抓住每一次机会不能轻易流失，这样 我们才 能真正 强大。20.12.202020年 12月20日星期 日1时31分43秒20.12.20
弄虚作假要不得，踏实肯干第一名。01:31:4301:31: 4301:3112/20/2020 1:31:43 AM
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.12.2001:31:4301:31Dec-2020-Dec-20
重于泰山，轻于鸿毛。01:31:4301:31: 4301:31Sunday, December 20, 2020
作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2020年12月20日星期 日1时31分43秒 01:31: 4320 December 2020
好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午1时31分43秒 上午1时31分01:31:4320.12.20
一马当先，全员举绩，梅开二度，业 绩保底 。20.12.2020.12.2001: 3101:31:4301: 31:43Dec-20
2
k1m1 m2
16200 N
m
3u 8(1 u)3 0.168
c 2m21 13.5 Ns m , X1 X 0
2 u 2.29mm u
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20.12.2020.12.20Sunday, December 20, 2020
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。01:31:4301:31: 4301:3112/20/2020 1:31:43 AM
《机械振动教学》课件
质量块。质量块的质量大小和分布对系统的动态特性有 重要影响。
阻尼器
阻尼器是机械振动系统中的阻尼元件，它能够吸收和消耗 振动的能量，从而减小振动的幅值。常见的阻尼器有油阻 尼器、橡胶阻尼器等。
02
机械振动的数学模型
建立振动方程
确定振动系统的自由度
振动应用领域的拓展
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，振动控制在航空航天领域的应用将得到进一步拓展，涉及结构健康监测、减振降噪等 方面的应用。
新能源领域
新能源领域如风能、太阳能等涉及到大量机械振动问题，未来振动控制将在新能源领域发挥重要作用，涉及风力发电 机组振动控制、太阳能电池板减振等领域。
混合控制法
总结词
结合主动和被动控制方法的优点，以提高振 动控制的效率和效果。
详细描述
混合控制法综合了主动和被动控制法的优点 ，既通过主动施加控制力来抵消原始振动， 又通过改变系统结构或增加阻尼来降低系统 的振动响应。这种方法可以实现更好的振动 控制效果，但同时也需要更高的成本和更复 杂的控制系统。
描述机械振动的物理量
描述机械振动的物理量包括位移、速度、加速度、角频率、周期等。这些物理 量在振动分析中具有重要意义，可以帮助我们了解振动的特性和规律。
机械振动的分类
自由振动和受迫振动
根据外界对振动系统的影响，机械振动 可分为自由振动和受迫振动。自由振动 是指系统在没有外界干扰力作用下的振 动，其振动的频率和振幅只取决于系统 本身的物理性质；受迫振动则是在外界 周期性力的作用下产生的振动，其频率 和振幅取决于外界力和系统本身的物理 性质。
振型
描述系统在不同频率下的振动形态。
模态分析
通过分析系统的模态参数，了解系统的动态特性。
[高等教育]4-1-2简谐运动-振动能量
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4 – 2 谐运动的能量
第四章 机械振动
（2）
Ek ,m a x
1 2
mvm2 ax
1 2
m 2 A2
2.0103 J
（3） E Ek,max 2.0103 J
（4） Ek Ep 时， Ep 1.0103 J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
第四章 机械振动
例 质量为 0.10kg 的物体，以振幅1.0102 m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s2 ，求：
（1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解 （1） amax A 2
T 2π 0.314s
amax 20s1 A
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
四、振动图像 同一质点在不同时刻的位移 x~t图
A,T , 2
x
T
A
t＝0时：x0，
o
v0的方向看下时刻的x， A
x向位移的正方向，v0>0;
x向位移的负方向， v0<0.
v x t 图
T v T t
2
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
运动学方程
mgl
I
d2
dt 2
d2
dt 2
2
0
2 mgl
I
振动方程 m cos(t )
o
l
*C
机械振动公式范文
机械振动公式范文机械振动是指物体在一定时间内围绕平衡位置作周期性的往复运动，通常由弹簧系统和质量块构成。
机械振动公式是描述机械振动运动规律的数学表达式。
下面将介绍几个常见的机械振动公式。
1.简谐振动公式：简谐振动是指物体在外力作用下，其振幅、频率和周期都保持不变的振动。
在简谐振动中，振动物体的位置随时间的变化符合正弦函数的规律。
假设物体的简谐振动方程为：x = A * sin(ωt + φ)其中，x为物体的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为相位差。
2.频率和周期的关系：频率是指在单位时间内振动的次数，周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
频率和周期之间满足以下关系：f=1/T其中，f为频率，T为周期。
3.动力学公式：物体在振动过程中会受到外力的作用，根据牛顿第二定律可以得到物体振动的动力学方程。
F=m*a其中，F为受力，m为物体的质量，a为加速度，根据振动的定义，加速度可以表示为速度对时间的导数，速度可以表示为位移对时间的导数：a = d²x/dt²将以上两个公式代入动力学方程中，可以得到：m * d²x/dt² = -k * x其中，k为弹簧的劲度系数，x为物体的位移。
4.振动的频率：根据动力学方程可以推导出振动的频率公式。
以弹簧振子为例，假设弹簧的劲度系数为k，质量为m，则振动的频率可以表示为：ω=√(k/m)其中，ω为角频率。
5.振动的周期：振动的周期可以用频率的倒数表示：T=1/f结合振动的频率公式可以得到：T=2π√(m/k)其中，T为周期。
上述是机械振动中的几个常见公式，这些公式为研究振动现象和解决振动问题提供了重要的数学工具。
在实际应用中，可以根据不同的振动系统和条件，选择适用的公式来描述和计算机械振动。
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（1）若 Δφ = φ20- φ10 = ±2kπ （k = 0，1，2 … …）
——两个振动的状态相同 。 “同相”，x1 = x2 ，v1 =v2
（2）若 Δφ = φ20- φ10 = ±（2k+1）π （k = 0，1，2 … ）
——两个振动的状态相反。“反相” ，x1 =－x2 ，v1 =－v2
（3）若 Δφ = φ20- φ10 > 0 ，表示 x2 振动超前 x1 振动。
0
x
o
t
π
x
o
为其它
超前 落后
x
o
t
t
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三、微振动的简谐近似
１.单摆 动力学分析： 5 时 ，sin
M mgl sin mgl
—— 线性回复力矩
M
J
J
d 2
dt2
mgl
J
（2）频率：单位时间内所完成全振动的次数 ——固有频率 f
（3）圆频率：２ 秒内完成全振动的次数 ——固有圆频率
1
T
2 2
T
x
A o
A
xt 图
T
t
T
2
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关
11
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3. 位相和初位相
x Acos(t 0 )
（1）位相： t 0
位相的意义：表征任意时刻 t 物体振动的状态。
2
❖ t=0时, x0=0, v0<0 v
X
0
x
A o
A
xt图
Tt
T 2
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x0 A cos0 A v0 Asin0 0
cos0 1 0 0
x0 Acos0 0 v0 Asin0 0
0
2
,或3
2
sin0 0
0
3
2
x0
A cos 0
A 2
v0 Asin0 0
d2 x dt 2
2x
即 a 2 x
K
F
0x X
简谐运动特征： a ∝x （ F ∝x ），方向相反。
6
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（3）振动表达式 （运动学特征）
解微分方程
d2 dt
x
2
2
x
0
设初始条件为: t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x Acos(t 0 )
简谐振动表达式
积分常数，根据初始条件确定
0
3
,或5
3
sin0 0
0
3
x Acos( t 0 ) v A sin( t 0 )
❖ t=0时, x0=A, v0=0
X 0 +A
❖ t=0时, x0=0, v0>0 v
X
0
❖ t=0时, x0=A/2, v0<0 v
X 0首A页／上2页
下
页
14 退出
x
X oA
x
o -A o
o
X
x
X
附近来回往复的运动 平衡位置
实例: 钟摆，乐器，地震， 心脏的跳动等
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2 简谐振动
简谐运动 最简单、最基本的振动
简谐运动
合成 分解
复杂振动
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4.1 简谐振动的动力学特征 4.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动
1. 弹簧振子 —— 作简谐振动的物体
（1） 受力
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2. 简谐振动基本特征
（1） 受力
F = - kx
线性回复力
（2）振动微分方程 （动力学特征）
d2 x dt 2
2
x
0
（3）振动表达式 （运动学特征）
x Acos(t 0 )
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3. 简谐振动的速度和加速度
由 x Acos(t 0 )
简谐振动表达式
d2 x dt 2
2
x
0
x A cos(t 0 )
v A sin(t 0 ) （4）加速度与位移成正比而方向相反
a 2 x
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二、描述简谐振动的三个重要参量
1. 振幅 A A xmax 2. 周期、频率、圆频率
x Acos(t 0 )
（1）周期 T：完成一次全振动所需的时间 ——固有周期 T
d2
dt 2
d2
dt 2
g
l
转
A
动
l
正 向
FT m
O
J ml 2
P
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d2
dt 2
g
l
令 2 g
l
d 2
dt 2
2
0
——角频率 ω ——微分方程
转
A
动
l
正 向
FT m
0 cos(t 0 ) ——振动表达式
F = - kx
振动的成因： 回复力+惯性
K
F
F —— 线性回复力
X 0x
注意：此处位移 x—— 特指振子偏离平衡位置的位移。
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（2）振动微分方程 （动力学特征）
以振子为对象 由牛顿定律： F kx ma
d2x m dt 2 kx
令
2 k
m
d2 x dt 2
2
x
0
简谐运动的微分方程
• 振动分类
无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动 ()
自由振动
无阻尼自由非谐振动
阻尼自由振动
受迫振动
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第四章 机械振动
4.1 简谐振动的动力学特x 征
4.2 简谐振动的运动学
4.3 简谐振动的能量
t
4.4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析
4.5 阻尼振动 受迫振动 共振
2
前言
1 机械振动 物体或物体的某一部分在某固定位置
周期由系统本身性质
决定，振幅和初相由 初始条件决定. 12
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讨论 已知 t 0, x0 0, v0 0 ，求 0
x Acos( t 0 ) v A sin( t 0 )
vx00
Acos0 A sin 0
0
0
0
π ，或 3
22
sin0 0
取
0
π 2
x Acos( t π )
x X
x
X oA
t 0 0
t 0 / 2
t 0
t Байду номын сангаас 3 / 2
( / 2)
t 0 2
(0 01)5
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讨论 两个简谐振动的位相差
求两个同频率简谐振动 x1，x2 的位相差并讨论其意义
x1 = A1cos(ω1t + φ10 ) x2 = A2cos(ω2t + φ20 ) Δφ = φ2 - φ1= φ20- φ10
（2）初位相： 0 ， t = 0 时的位相，在 0 →2π 之间取值。
4. 由初始条件确定振幅 A 和初位相 φ0
x Acos(t 0 ) v A sin(t 0 )
vx00
A cos 0 Asin
0
初始条件 t 0，x x0 ，v v0
A
x02
v02
2
tan0
v0
x0
对给定振动系统，
速度
v
dx dt
A
sin(t
0 )
最大速度 vmax A
加速度
a
d2 x dt 2
A 2
cos(t
0 )
最大加速度 amax A 2
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总结：简谐振动方程和特征
（1）物体受线性回复力作用 F kx
平衡位置 x 0
（2）简谐运动的动力学方程 （3）简谐运动的运动学方程