第四章机械振动(XXXX11改编)

（2）频率：单位时间内所完成全振动的次数 ——固有频率 f
（3）圆频率：２ 秒内完成全振动的次数 ——固有圆频率
1
T
2 2
T
x
A o
A
xt 图
T
t
T
2
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关
11
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3. 位相和初位相
x Acos(t 0 )
（1）位相： t 0
位相的意义：表征任意时刻 t 物体振动的状态。
（2）初位相： 0 ， t = 0 时的位相，在 0 →2π 之间取值。
4. 由初始条件确定振幅 A 和初位相 φ0
x Acos(t 0 ) v A sin(t 0 )
vx00
A cos 0 Asin
0
初始条件 t 0，x x0 ，v v0
A
x02
v02
2
tan0
v0
x0
对给定振动系统，
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（1）若 Δφ = φ20- φ10 = ±2kπ （k = 0，1，2 … …）
——两个振动的状态相同 。 “同相”，x1 = x2 ，v1 =v2
（2）若 Δφ = φ20- φ10 = ±（2k+1）π （k = 0，1，2 … ）
——两个振动的状态相反。“反相” ，x1 =－x2 ，v1 =－v2
x X
x
X oA
t 0 0
t 0 / 2
t 0
t 0 3 / 2
( / 2)
t 0 2
(0 01)5
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讨论 两个简谐振动的位相差
求两个同频率简谐振动 x1，x2 的位相差并讨论其意义
x1 = A1cos(ω1t + φ10 ) x2 = A2cos(ω2t + φ20 ) Δφ = φ2 - φ1= φ20- φ10
附近来回往复的运动 平衡位置
实例: 钟摆，乐器，地震， 心脏的跳动等
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2 简谐振动
简谐运动 最简单、最基本的振动
简谐运动
合成 分解
复杂振动
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4.1 简谐振动的动力学特征 4.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动
1. 弹簧振子 —— 作简谐振动的物体
（1） 受力
F = - kx
振动的成因： 回复力+惯性
K
F
F —— 线性回复力
X 0x
注意：此处位移 x—— 特指振子偏离平衡位置的位移。
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（2）振动微分方程 （动力学特征）
以振子为对象 由牛顿定律： F kx ma
d2x m dt 2 kx
令
2 k
m
d2 x dt 2
2
x
0
简谐运动的微分方程
速度
v
dx dt
A
sin(t
0 )
最大速度 vmax A
加速度
a
d2 x dt 2
A 2
cos(t
0 )
最大加速度 amax A 2
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总结：简谐振动方程和特征
（1）物体受线性回复力作用 F kx
平衡位置 x 0
（2）简谐运动的动力学方程 （3）简谐运动的运动学方程
2
❖ t=0时, x0=0, v0<0 v
X
0
x
A o
A
xt图
Tt
T 2
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x0 A cos0 A v0 Asin0 0
cos0 1 0 0
x0 Acos0 0 v0 Asin0 0
0
2
,或3
2
sin0 0
0
3
2
x0
A cos 0
A 2
v0 Asin0 0
d2 x dt 2
2x
即 a 2 x
K
F
0x X
简谐运动特征： a ∝x （ F ∝x ），方向相反。
6
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（3）振动表达式 （运动学特征）
解微分方程
d2 dt
x
2
2
x
0
设初始条件为: t 0 时，x x0 ，v=v0
解得 x Acos(t 0 )
简谐振动表达式
积分常数，根据初始条件确定
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2. 简谐振动基本特征
（1） 受力
F = - kx
线性回复力
（2）振动微分方程 （动力学特征）
d2 x dt 2
2
x
0
（3）振动表达式 （运动学特征）
x Acos(t 0 )
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3. 简谐振动的速度和加速度
由 x Acos(t 0 )
简谐振动表达式
周期由系统本身性质
决定，振幅和初相由 初始条件决定. 12
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讨论 已知 t 0, x0 0, v0 0 ，求 0
x Acos( t 0 ) v A sin( t 0 )
vx00
Acos0 A sin 0
0
0
0
π ，或 3
22
sin0 0
取
0
π 2
x Acos( t π )
（3）若 Δφ = φ20- φ10 > 0 ，表示 x2 振动超前 x1 振动。
0
x
o
t
π
x
o
为其它
超前 落后
x
o
t
t
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三、微振动的简谐近似
１.单摆 动力学分析： 5 时 ，sin
M mgl sin mgl
—— 线性回复力矩
M
J
J
d 2
dt2
mgl
J
d2 x dt 2
2
x
0
x A cos(t 0 )
v A sin(t 0 ) （4）加速度与位移成正比而方向相反
a 2 x
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二、描述简谐振动的三个重要参量
1. 振幅 A A xmax 2. 周期、频率、圆频率
x Acos(t 0 )
（1）周期 T：完成一次全振动所需的时间 ——固有周期 T
0
3
,或5
3
sin0 0
0
3
x Acos( t 0 ) v A sin( t 0 )
❖ t=0时, x0=A, v0=0
X 0 +A
❖ t=0时, x0=0, v0>0 v
X
0
❖ t=0时, x0=A/2, v0<0 v
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下
页
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x
X oA
x
o -A o
o
X
x
X
• 振动分类
无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动 ()
自由振动
无阻尼自由非谐振动
阻尼自由振动
受迫振动
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第四章 机械振动
4.1 简谐振动的动力学特x 征
4.2 简谐振动的运动学
4.3 简谐振动的能量
t
4.4 简谐振动的合成 *振动的频谱分析
4.5 阻尼振动 受迫振动 共振
2
前言
1 机械振动 物体或物体的某一部分在某固定位置
d2
dt 2
d2
dt 2
g
l
转
A来自百度文库
动
l
正 向
FT m
O
J ml 2
P
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d2
dt 2
g
l
令 2 g
l
d 2
dt 2
2
0
——角频率 ω ——微分方程
转
A
动
l
正 向
FT m
0 cos(t 0 ) ——振动表达式