结构力学讲义2解析
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结构力学——2几何组成与分析
用相当一个单铰，称为虚铰。
为了制止两个刚片Ⅰ和Ⅱ发 生相对运动，还需要加上一根 链杆EF。如果链杆EF的延长线 不通过O点，则刚片Ⅰ和Ⅱ之 间就不可能在发生相对运动。 这时，所组成的体系就是几何
不变的。
．
O
Ｆ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｅ
刚片Ⅰ
第一规则：两刚片用不全平行也不交于同一点的 三根链杆相联，为几何不变体系。
CD联结。为了分析两刚片间的相对运动，设刚片Ⅰ固
定不动，刚片Ⅱ将可绕AB和CD两杆延长线的交点O转
动；反之，若设刚片Ⅱ固定不动，则刚片Ⅰ也将绕O点
. 转动。O点称为刚片Ⅰ和Ⅱ的相对转动瞬心。
O
虚铰：这个铰的位置在两链
杆轴线的交点上，但在两刚片
C A
B 刚片Ⅰ
相对转动后，其位置将随之改
D
变。 O为相对转动中心。起的作
对于无多余联系的结构，它的全部反力和 内力都可有静力平衡条件求得，这类结构称为
静定结构。
仅利用三个静力平衡条件无法求得其全部反 力，从而就不能求出它的全部内力，这类结构
称为超静定结构。
返回
此体系的支座连杆只有三根且不完全平行也不交23adcf和becg这两部分都是几何不变的作为刚回回24几何构造与静定性的关系对于无多余联系的结构它的全部反力和内力都可有静力平衡条件求得这类结构称为仅利用三个静力平衡条件无法求得其全部反力从而就不能求出它的全部内力这类结构称为
结构力学
Structural Mechanics
当拆到结点６时，二元体的两杆共线， 故此体系为瞬变体系，不能作为结构。
返回
. 例 2－3 O1
解： Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学第二讲
计算自由度：
W =（各部件自由度总和）-（全部约束数）
1、一般公式（研究对象：平面杆件体系）
组成 = m个自由刚片+（ n个单铰+r个支座链杆）
计算自由度= m个自由刚片的自由度数–
（n个单铰+r个支座链杆） W = 3m – 2n - r (2.1)
例：
m = 4, n = 4 , r=3 W=3×4-(2×4+3) = 1
FN1 A’ FN2 θ FP
θ趋近于零，则FN趋近于无穷大。 表明：瞬变体系即使在很小的荷载作用下，
也会产生很大的内力，从而导致体系迅速破坏。
结论：工程结构不能采用瞬变体系，接近瞬 变的体系也应避免使用。
几何组成分析举例
例1：用基本规律分析图示体系 的几何构造。
E
G G
F
解Ⅰ：用固定一个点的装配方式。
刚片1
二元体
2、两刚片之间的联接方式 规律2： 两刚片用一个铰和一根 B
Ⅱ
A
C
链杆相联结，且三个铰不
在一直线上，则组成几何
不变的整体，并且没有多 余约束。
Ⅰ
另一种叙述：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行 的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系。
O C 刚片2 E A B
刚片1
B A
Ⅲ 3 2
o
yⅡ
x
还有4个自由度
还有1个自由度
（3）刚结点 一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
3.约束代换和瞬铰
一个简单铰相当于两个约束，两根链杆也相当于两个约束， 而约束是可以代换的，因此引入瞬铰概念。
结构力学讲义2
3.6 各类结构的受力特点
■ 组合结构 — 梁式杆主要受弯，桁架杆只受轴力 ■ 索式结构 — 在竖向荷载下支座产生向外的水平张力， 主要受力部分（例：图1.3f上部六杆）只受轴向拉力 料力学：受弯杆横截面正应力分布不均，而轴向拉 横截面正应力分布均匀，材料强度利用充分，经济。 ∴ 拱、桁架和索式结构性能优于梁和刚架。 但 是，拱、索式结构对支座要求高（解决拱推力问题 可设拉杆），桁架结点多且构造复杂；梁构造简单、施工 材 压杆
图3.33c（三跨静定梁）：中跨跨度小，边跨负弯矩
图3.33d（连续梁）：各跨相互影响（负弯矩）
3.6 各类结构的受力特点
q 0.16M 0.2M
0 0
q
l/ 5
l
l/ 5
x l l
x l
(a)
0
(c)
7M / 16 M
0
7M / 16 M
0
0
M
0
M =ql /8
0
2
(b)
图 3.33
(d)
3.6 各类结构的受力特点
竖向荷载下，水平直梁只有弯矩和剪力 斜梁、曲梁和刚架中除弯矩和剪力外还有轴力
■拱
— 由于支座水平推力，内力以轴压力为主。
合理拱轴，相应荷载下只有轴压力。
■ 桁架
— 在理想条件下杆件只有轴力
理想条件：直杆、理想铰接；结点荷载 符合理想条件的桁架为理想桁架，杆件均为二力杆。
实际桁架与理想条件有出入，只要杆件细长，其影响是次要的。 按理想条件求内力，称为主内力；不符合理想条件引起的附加内 力称为次内力。例如3.4.2节中非结点荷载下的附加内力。
结构不受荷载，内力及反力为零显然满足平衡方程→ 惟
结构力学第2章体系的几何组成分析(f)
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
两刚片用三根链杆相联
如图所示，刚片I和刚片II可 以绕O点转动；O点成为刚片I和 II的相对转动瞬心。
虚铰：连接两个刚片的两根连杆的作用相当于其交点 处的一个单铰，而这个铰的位置随着链杆的转 动而改变，称其为虚铰。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
分析图示体系： 把链杆AB、CD看作是其交点O 处的一个铰，刚片I和II相当于用 铰O和链杆EF相连，故为几何不 变体系，没有多余联系。
几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连，
刚片II和III相当于用虚铰O’相连，
§2-5 机动分析示例
例2-4 试对图（a）所示体系进行机动分析。
解：地基作为刚片III， 三角形ABD和BCE作为 刚片I、II（图b）。
刚片I和II用铰B相连， 刚片I和III用铰A相连， 刚片II和III？
§2-4 瞬变体系
分析图示体系： 三根链杆平行不等长时，交于无穷 远处的同一点，两刚片可相对平动， 发生微小相对移动后，三杆不再全 平行。体系为瞬变体系。
分析图示体系： 三根链杆平行且等长从异侧 连出时。体系为瞬变体系。
§2-4 瞬变体系
二、常变体系 经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何可变体系称为 常变体系。 几何可变体系包括常变和瞬变两种。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三铰拱，左右两半拱视为刚片1,2，地基视为 刚片3，该体系由三个刚片用不在同一直线上 的三个单铰A、B、C两两相连，为几何不变 体系，而且没有多余联系。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
2.二元体规则
二元体：两根不在一直线上的链杆连接成一个新结点的构
结构力学基础教程第二章
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
27
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称
为复杂铰。 若刚片数为m，则该复杂铰相当与 (m-1)个简单 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。
29
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为：
W2j b
j—结点数；
b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W ( 32 m j )( 32 gh b )
m、j、g、h、b意义同前。
1
A
I
2
2. 规律2—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一 根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余 约束。 II 被约束对象：刚片 I，II 提供的约束：铰A及链杆1 1 I
12
A
II 铰A也可以是瞬铰，如右图示。 A I B
II A I
13
1
3. 规律3—— 三个刚片之间的连接
大刚片 I 与结点D用链杆3、4相连，符合规 律1。故体系几何不变且无多余约束。
20
例2-2-2 试分析图示体系的几何构造。 1 I 3
2
解： II（基础）
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。
故该体系几何不变且无多余约束。
21
例2-2-3 试分析图示体系的几何构造。
3 B I 1 A 6 III 2 C
结构力学2_张金生教材配套课件(精品教程)
例5: 对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它彭部怀分林-2
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体.
例6: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为无多余约束的几何不变体系. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
§1. 几何组成分析
作业: 1-2 (d)试分析图示体系的几何组成 依次去掉二元体. 几何常变体系
§1. 几何组成分析
作业: 1-1 (b)试计算图示体系的计算自由度
解: W =8×3−11×2−3= −1 或: W =1×3+5×2−2×2−10= −1
由结果不能判定其是否能作为结构
§1. 几何组成分析
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两两相联,构
成无多余约束的几何不变体系.
瞬变体系
N
=
P 2 Sin α
§1. 几何组成分析
§1-1 基本概念 §1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则 §1-3 几何组成分析举例
例1: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 的几何不变体系.
在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质.
§1. 几何组成分析
§1-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
点
刚
的 自
几何不变体系的自由片 自度一定等于零
由 几何可变体系的自由由度一定大于零
度
度
§1. 几何组成分析
§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它彭部怀分林-2
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体.
例6: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为无多余约束的几何不变体系. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
§1. 几何组成分析
作业: 1-2 (d)试分析图示体系的几何组成 依次去掉二元体. 几何常变体系
§1. 几何组成分析
作业: 1-1 (b)试计算图示体系的计算自由度
解: W =8×3−11×2−3= −1 或: W =1×3+5×2−2×2−10= −1
由结果不能判定其是否能作为结构
§1. 几何组成分析
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两两相联,构
成无多余约束的几何不变体系.
瞬变体系
N
=
P 2 Sin α
§1. 几何组成分析
§1-1 基本概念 §1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则 §1-3 几何组成分析举例
例1: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 的几何不变体系.
在一个体系上加减二元体不影响原体系的机动性质.
§1. 几何组成分析
§1-1 基本概念
一. 几何不变体系 几何可变体系 二. 刚片 几何形状不能变化的平面物体
三. 自由度 确定体系位置所需的独立坐标数
点
刚
的 自
几何不变体系的自由片 自度一定等于零
由 几何可变体系的自由由度一定大于零
度
度
§1. 几何组成分析
§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
结构力学讲义2
S≥ω
ω 是S 的下限
（2） ∵ S≥0
如果 ω <0
∴ ω +n≥0
一定 n>0
n≥-ω
-ω 是n 的下限
第二章
§2-2
结构的几何构造分析
体系的计算自由度
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数 公式 1： W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆） j---铰结点个数
结构必须是几何不变体系
体系形状和位置不发生改变。 体系形状和位置发生改变。
结构
机构
形状位置都不变
形状可变
位置可变
第二章
§2-1
结构的几何构造分析
几何构造分析中的几个基本概念
一、几何不变体系与几何可变体系 几何瞬变体系——一个几何可变体系，在发生微小
位移后，变成几何不变体系，则 瞬变体系是可变体系的特例
受力状态——有二个方向约束力
第一章
绪论
§2 结构计算简图和简化要点
（3）定向支座 几何特征—— 不能绕结点转动，只能沿某一方向移动 受力状态—— 有二个方向约束力（力、力偶）
第一章
绪论
§2 结构计算简图和简化要点
（4）固动支座 几何特征—— 既不能转动，也不能移动 受力状态—— 有三个方向约束力（二个力、一 个力偶）
第二章
§2-1
结构的几何构造分析
几何构造分析中的几个基本概念
复铰 等于多少个 单铰？
第二章
§2-1
结构的几何构造分析
几何构造分析中的几个基本概念
（2）铰：用于联结刚片的装置（可转动，不能移动） 单铰：联接两个刚片 ——减少2个自由度 ——相当2个约束 复铰：联接三个或三个以上刚片
结构力学 2几何组成分析(第二、三课)
m＝9
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
h＝12 b＝０
J I G H K
W = 3 × 9 − 2 × 12 = 3
F L I
(1,3)
A
B
C
D E
A
B
C
D E
F L
(1,2)
.
J I G H K
J (2,3) K
G
H
40
作业：2-4 （c），(e），2-8 （a），2-10（a） 作业：
41
(1,2) D
E
无多余约束几何不变体系
26
A
思考： 思考：
B 1
D I E 2 F 3
G II 4 C
刚片I、II中各有一个多余约 刚片 、 中各有一个多余约 整体为有2个多余约束的 束，整体为有 个多余约束的 几何不变体系。 几何不变体系。
哪个连杆是多余约束？ 哪个连杆是多余约束？
27
思考题： 思考题：
O
.
. O’
A
C
B
D
10
7、无穷远处虚较
1）每个方向只有一个∞点（即该方向各平行线的 每个方向只有一个∞ 交点） 交点） 2）不同方向有不同的∞点 不同方向有不同的∞ 3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 点都在同一直线上，此直线称为∞ 4）各有限点都不在∞线上。 各有限点都不在∞线上。
11
§2-2 几何不变体系的组成规律 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。 讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
2
§2-1 基本概念
1 几何不变体系、几何可变体系 几何不变体系、
体系受到某种荷载作用， 体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变， 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 几何可变体系。 为几何可变体系。
《结构力学》PPT课件 (2)
的位移。
• （5）、计算出X1 、X2、… Xn后，由叠加原理
•
M=M1X1+M2X2+…+MnXn+MP
•
FQ= FQ1X1+ FQ2X2+…+FQnXn+ FQP
•
FN=FN1X1+ FN2X2+… +FNnXn+ FNP
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49
§5 - 3 超静定刚架和排架
• 1、超静定刚架 • 类型：单跨超静定梁、多跨超静定
•
δ21X1+δ22X2+⊿2P = 0
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53
(2)、作M i 、MP 图，求δ、⊿
(用第一种基本体系）
δ11 =[(1/2×l×l) (2/3×l)+ (l×l)×l]/EI
= 4 l 3/3EI δ22=δ11= 4l3/3EI
• 静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。
• 超静定结构的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即：
内力是超静定的。
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2
求解超静定结构的计算方法
• 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 • 从历史上讲分传统方法和现代方法。
方程。
• 至此力法的基本概念已建立。
•
其中系数δ11和自由项⊿1P都是基本
体系即静定结构的位移。
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31
l ql2/2
M1 图
X1=1
MP 图
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32
系数和自由项计算
• 11 M E 1M 1Id x M E1 2dI x3lE 3 (I图形自乘)
结构力学二(第二章)
A a
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
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5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
郑州大学土木工程学院
2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
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8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
4
B
B 杆通过铰 瞬变体系 瞬 变 体 系
瞬 变 体 系
常 变 体 系
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5
规则四、一点与一刚片用两 根不共线的链杆相联，组成无多 余约束的几何不变体系。
1
A
A
2
B
C
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联 结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
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2
3、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置。 ⑴单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和 铰的位置如何。 一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。 注意：多余约束将影响结构的受力与变形。 ⑵单铰： 联结 两个 刚片的铰。 一个单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 ⑶虚铰（瞬铰） 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 ⑷复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰 联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！ ⑸刚性连接——固定支座、刚节点 一个刚性连接可减少体系三个自由度相当于三个约束。
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8
1-4、瞬变体系在一般荷载作用下 （C ） A 产生很小的内力 B 不产生内力 C 产生很大的内力 D 不存在静力解答 1-5、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到 的新体系是 （A ） A 无多余约束的几何不变体系 B 有多余约束的几何不变体系 C 几何可变体系 D 几何瞬变体系 1-6、图示体系是什么体系？ （C ） A 无多余约束的几何不变体系 Ⅲ B A B 有多余约束的几何不变体系 C C 几何可变体系 Ⅱ Ⅰ D 几何瞬变体系
结构力学2 精讲
§4-5 静定结构的一般性质
静定结构的基本特征： 几何组成方面： 无多余约束的几何不变体系。 静力特性方面： 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡方 程求得。得到的解答是唯一的和有限的。（静定结 构解答的唯一性定理）
静定结构在静力分析中的一些特性：
（1）、在静定结构中，除荷载外，任 何其它外因（如温度改变、支座位移、材 料收缩、制造误差等）均不引起任何反力 和内力。
请注意以下问题：
静定结构受力分析与结构几何构造分析之间有 何关系？
解决结构如何组成的问题，结构如何“搭”？
解决结构优化分析时，则是如何“拆”的问题。 这是一种对偶关系。 还可以表现在其他方面，总结有几类，可以用 以指导结构分析。
§4-3 零载法
（有兴趣的同学自学）
在此简单介绍零载法的基本思想： 复杂体系的构造分析，当不符合三角形基本规则、 而计算自由度有等于零时，可以利用静定结构解答唯一 性进行分析。如果在无荷载（零载）作用下其反力和各 杆轴力均等于零，能满足全部平衡条件，体系一定是静 定结构（无多余约束几何不变）。如果在无荷载作用下 体系具有能自相平衡的“自内力”，则体系中一定存在 约束配置不合理，因而是几何可变的。
简单证明：
FP1 FP2 FP1
FP2
荷载： FP1
内力： FS1
荷载： FP2
内力： FS2
荷载： FP1 - FP2
内力： FS1 - FS2
（4）、静定结构的构造变换特性
当静定结构的一个内部几何不变部分作构 造变换时，其余部分的内力不变。
FP
A B A
FP
B
FP
FNAB
FP
FNBA FNAB
∑MC=0 MC= FRB· b/l b=x·
一级结构工程师结构力学考点讲义：第二节
第⼆节静定结构受⼒分析和特性 ⼀、静定结构的定义 静定结构是没有多余约束的⼏何不变体系。
在任意荷载作⽤下，其全部⽀座反⼒和内⼒都可由静⼒平衡条件确定，即满⾜静⼒平衡条件的静定结构的反⼒和内⼒的解答是的。
但必须指出，静定结构任意截⾯上的应⼒和应变却不能仅由静⼒平衡条件确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。
⼆、计算静定结构反⼒和内⼒的基本⽅法 在静定结构的受⼒分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任⼀杆件都作为刚体看待。
静定结构受⼒分析的基本⽅法有以下三种。
(⼀)数解法 将受⼒结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静⼒平衡条件建⽴⼒系的平衡⽅程，再由平衡⽅程求解结构的⽀座反⼒和内⼒。
(⼆)图解法 静⼒平衡条件也可⽤⼒系图解法中的闭合⼒多边形和闭合索多边形来代替。
其中闭合⼒多边形相当于静⼒投影平衡⽅程，闭合索多边形相当于⼒矩平衡⽅程。
据此即可⽤图解法确定静定结构的⽀座反⼒和内⼒。
(三)基于刚体系虚位移原理的⽅法 受⼒处于平衡的刚体系，要求该⼒系在满⾜刚体系约束条件的微⼩的虚位移上所做的虚功总和等于零。
据此，如欲求静定结构上某约束⼒(反⼒或内⼒)时，可去除相应的约束，使所得的机构沿该约束⼒⽅向产⽣微⼩的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束⼒。
三、直杆弯矩图的叠加法 绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采⽤直杆弯矩图的叠加法。
直杆弯矩图的叠加法可叙述为：任⼀直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简⽀梁在荷载作⽤下的弯矩图，如图2-1所⽰。
作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉⼀边，弯矩图中不要标明正、负号。
(a) (b) 图2-1 四、直杆内⼒图的特征 在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪⼒V之间的微分关系dV/dx=q，dM/dx=V、d2M/dx2=q，可推出荷载与内⼒图的⼀些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪⼒图的形状特征(表2—1)。
结构力学第二章几何组成分析
结构力学第二章几何组成分W析=3×8-(2×10+4)=0
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
1①
2
②3
解: m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r)
3 3 (2 2 4)
1
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
单铰 β
II y
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 约束
单铰
I θ II
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
目录
第一章 绪论 第二章 几何组成分析 第三章 静定结构的内力分析 第四章 静定结构的位移计算 第五章 力法 第六章 位移法和力矩分配法 第七章 结构的计算简图和简化分析
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
知识要点 几何组成分析的目的和概念 几何不变体系的简单组成规则 几何组成分析示例 静定结构和超静定结构
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
复铰
β γ II III y
一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个 单铰，相当于2(n-1)个联系。
平面内 3刚片=9自由度
复铰连接后 5自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
结构力学第二章
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都 用解析法；解析法求解时应恰当选取分离体。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数，尽量避免解联立方程。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。
④单位N•m，工程单位kgf•m。
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
注：力矩与力偶矩的比较
例:如图所示，设AB=L求A点上四个力对B点的矩。
解：
2 mB (F1)=F1 l gsin 45 2 Fl
对B铰有ΣX=0，-F2cos450-FBA=0
FBA= F2cos300
又FAB=FBA可得 F2=
F1
=1.64F1
cos450cos300
所得结果与几何法相同。
例2.3 已知如图P、Q， 求平衡时α =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
ΣX=0 ΣY=0
T2cosα-T1=0 T2sinα+ND-Q=0
RY=Y1+Y2+Y3=ΣY
y D
Y3 RY
R θ
F3 C
Y2
Y1
O
A F1 B
a
b
F2 d cx
X1
X2 X3
RX
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
3、用解析法求平面汇交力系的合力
合力的大小：
合力的方向： tg Ry
Rx
力的作用点： 该力系的汇交点
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都 用解析法；解析法求解时应恰当选取分离体。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数，尽量避免解联立方程。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
当F=0或d=0时，M O (F ) =0。
④单位N•m，工程单位kgf•m。
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
注：力矩与力偶矩的比较
例:如图所示，设AB=L求A点上四个力对B点的矩。
解：
2 mB (F1)=F1 l gsin 45 2 Fl
对B铰有ΣX=0，-F2cos450-FBA=0
FBA= F2cos300
又FAB=FBA可得 F2=
F1
=1.64F1
cos450cos300
所得结果与几何法相同。
例2.3 已知如图P、Q， 求平衡时α =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
ΣX=0 ΣY=0
T2cosα-T1=0 T2sinα+ND-Q=0
RY=Y1+Y2+Y3=ΣY
y D
Y3 RY
R θ
F3 C
Y2
Y1
O
A F1 B
a
b
F2 d cx
X1
X2 X3
RX
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴 上投影的代数和。
3、用解析法求平面汇交力系的合力
合力的大小：
合力的方向： tg Ry
Rx
力的作用点： 该力系的汇交点
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B CE
图 3.26
3.4 静定结构的特性
3.4.2 静定结构的其他特性（“惟一性”的推论）
■ 特性2 — 静定结构中的温变、支座位移和制造误差(非 荷 载因素)不引起内力。
✓ 结构不受荷载，内力及反力为零显然满足平衡方程→ 惟 一性 → 真实解
✓ 所有约束均必要 → 解除任一约束使结构转化为机构 → 可沿该约束方向位移而不引起内力
与几何组成的联系：
可变 — 平衡方程无解（瞬变时内力＝∞，特例） 不变且有多余约束 — 未知力数 ＞ 平衡方程数，
方程组有解但不确定 不变且无多余约束 — 未知力数 ＝ 平衡方程数，
方程组有解且惟一
几何不变且无多余约束是结构静定的 充要条件，也是静定结构的几何特性。
3.4 静定结构的特性
■ 根据惟一性，对于静定结构，只要求出了平衡 方程的一组解，它肯定就是正确的解。
∵ 只求一杆内力，处理方法可灵活。
a
A
由附属部分求得FyE = 3FP（↑）
mB
CD
E
4×a=4a
由整体ΣMC = 0，得FyA =3FP（↑）
图 3.23
作截面m–m，取左边，ΣFy = 0 → FNaB 2 2FP
3.4.1 静定结构的基本特性 3.4 静定结构的特性
■ 特性1 — 静力平衡方程的解的惟一性（ ∵定义）
■ 计算顺序：先附属部分，后基本部分
3.3 静定结构内力计算举例
例3-12 多跨静定梁，图3.20a，作 M 图和 FQ 图。
=2qa
q
q
A
B C DE F G
q
2qa
q
q
2a
a a aa a
(a)
图 3.20
(b)
分析 AC是基本部分，CE 是一级附属部分
EG 是二级附属部分
■ 层次图(图3.20b)：EG 以 CE 为支座
FyB = (60×6+10×3×7.5+20×12×6) /12=168.75 kN（↑） FxB = (168.75×6 –20×6×3) /9 =72.5 kN（←）
∵ 有水平荷载，两个水平反力并不构成一对平衡力。 ■ M 图见图3.22。
3.3 静定结构内力计算举例
20kN/m 10kN/m
FN1 = –3FP/4 +FP/4= – 0.5FP 由结点 D 得： FN3 =0.5FP
3.3 静定结构内力计算举例
例3-11 三铰式组合结构，图3.1a，a=4m，h=3m， q =15kN/m，FP=30kN。求轴力，作梁式杆 M 图。 解：关键是求FNEG。整体平衡（图3.1b）→
FxA= 0，FyA= 3qa/2 + FP/2 =105 kN FyB = qa/2 + FP/2 = 45 kN
例3-13 复合式刚架，图3.21a，作M图。 解：右边（三 铰）是基本部分，左边（简支）是附属部分
■ 求附属部分的约束力，图3.21b。 ■ 将附属部分的约束力反向加于基本部分，
求基本部分的反力，图 3.21c。 注意：基本部分受竖向荷载＋水平荷载＋附属部分传递 的水平力，反力公式（3.8）或（3.9）不适用。
CE 以 AC 为支座
3.3 静定结构内力计算举例
荷载传递关系： 图3.20c（无水平相互作用）
求解步骤：先算 EG，求 EG、CE 间的作用力FVE
再算 CE，求 CE、AC 间的作用力FVC
最后求各部分内力
q 2qa
q FVEF G
q
E FVC D
A Байду номын сангаасC
(c)
图 3.20
3.3 静定结构内力计算举例
M 图(kN.m)
图 3.19
3.3.4 复合式静定结构 3.3 静定结构内力计算举例
■ 组成规律：重复应用以上规则 次序有先后，关系有主从
基本部分 — 能独立存在并承受荷载 附属部分 — 依附于其他部分
■ 受力特点 ✓基本部分荷载，只影响基本部分的内力 ✓附属部分荷载影响附属部分及其所依附的基本部分 ✓基本部分除直接荷载外，还受到附属部分传递来 的 荷载
3.3 静定结构内力计算举例
解：求反力： FxA= 0， FyA= 3FP/4， FyB= FP/4
求FNAB。作截面 I-I，隔离右边， ΣMC = 0 → FNAB =FP / 4 × 2a /2a = FP/4
用结点法求其余各杆轴力。由结点 A 得
FN2 2 FP / 4 0.35FP
解：图3.20c，EG → FVE = –1.5q
CE → FVC = qa
求各部分的内力，作图（图3.20d、e）
2qa
2qa2
qa
1.5qa2
0.5qa2
0.5qa2
0.25qa
qa2 M图
(d)
0.5qa
1.75qa F Q图 (e)
2qa 2.5qa
图 3.20
3.3 静定结构内力计算举例
FNED = –FyEA = –90 kN
同理： FNCF = –120kN, FQCF = – 45kN ， FNGB =150kN，
FNGF = –90kN 180
图3.1c， MDC = –15×4×2 –FQCD×4 60
= –60kN·m（上拉）
30
30
同理
MFC = FQCF×4 = –180kN·m（上拉） 作梁式杆 M 图，图3.19。
C 60kN D 30kN 17.5 kN A
B 72.5kN
41.25 kN 168.75 kN (c)
3.3 静定结构内力计算举例
例3-14 复合式桁架，图3.23，求FNaB 。 解 左边的简支式桁架 ACac 为基本部分
右边的 DEde 为附属部分（什么式？）
计算步骤大体同前；
2Fp 2Fp 2Fp Fp am b c d e
取图3.1c隔离体，ΣMC = 0 → FNEG = (105×8 –15×8×4)/3 =120kN
ΣFx = 0、ΣFy = 0 → FNCD = –120kN， FQCD = 105 –15×8 = –15kN
3.3 静定结构内力计算举例
隔离结点E（图3.1d），得：
FxEA = FNEG =120 kN → FNEA =150 kN，FyEA= 90 kN
图3.25（复杂桁架），荷载如图3.26，易知： FNFG = FNGH = FP，其余内力和反力 = 0
满足桁架的所有平衡条件。 只要能肯定桁架 静定，根据惟一性即可断言， 这就是正确的解答！
3.4 静定结构的特性
F
A FxA
D FyA
a 2a
G
H
a
Ba
CE FyA
2a a
图 3.25
F A
D
GH
图 3.26
3.4 静定结构的特性
3.4.2 静定结构的其他特性（“惟一性”的推论）
■ 特性2 — 静定结构中的温变、支座位移和制造误差(非 荷 载因素)不引起内力。
✓ 结构不受荷载，内力及反力为零显然满足平衡方程→ 惟 一性 → 真实解
✓ 所有约束均必要 → 解除任一约束使结构转化为机构 → 可沿该约束方向位移而不引起内力
与几何组成的联系：
可变 — 平衡方程无解（瞬变时内力＝∞，特例） 不变且有多余约束 — 未知力数 ＞ 平衡方程数，
方程组有解但不确定 不变且无多余约束 — 未知力数 ＝ 平衡方程数，
方程组有解且惟一
几何不变且无多余约束是结构静定的 充要条件，也是静定结构的几何特性。
3.4 静定结构的特性
■ 根据惟一性，对于静定结构，只要求出了平衡 方程的一组解，它肯定就是正确的解。
∵ 只求一杆内力，处理方法可灵活。
a
A
由附属部分求得FyE = 3FP（↑）
mB
CD
E
4×a=4a
由整体ΣMC = 0，得FyA =3FP（↑）
图 3.23
作截面m–m，取左边，ΣFy = 0 → FNaB 2 2FP
3.4.1 静定结构的基本特性 3.4 静定结构的特性
■ 特性1 — 静力平衡方程的解的惟一性（ ∵定义）
■ 计算顺序：先附属部分，后基本部分
3.3 静定结构内力计算举例
例3-12 多跨静定梁，图3.20a，作 M 图和 FQ 图。
=2qa
q
q
A
B C DE F G
q
2qa
q
q
2a
a a aa a
(a)
图 3.20
(b)
分析 AC是基本部分，CE 是一级附属部分
EG 是二级附属部分
■ 层次图(图3.20b)：EG 以 CE 为支座
FyB = (60×6+10×3×7.5+20×12×6) /12=168.75 kN（↑） FxB = (168.75×6 –20×6×3) /9 =72.5 kN（←）
∵ 有水平荷载，两个水平反力并不构成一对平衡力。 ■ M 图见图3.22。
3.3 静定结构内力计算举例
20kN/m 10kN/m
FN1 = –3FP/4 +FP/4= – 0.5FP 由结点 D 得： FN3 =0.5FP
3.3 静定结构内力计算举例
例3-11 三铰式组合结构，图3.1a，a=4m，h=3m， q =15kN/m，FP=30kN。求轴力，作梁式杆 M 图。 解：关键是求FNEG。整体平衡（图3.1b）→
FxA= 0，FyA= 3qa/2 + FP/2 =105 kN FyB = qa/2 + FP/2 = 45 kN
例3-13 复合式刚架，图3.21a，作M图。 解：右边（三 铰）是基本部分，左边（简支）是附属部分
■ 求附属部分的约束力，图3.21b。 ■ 将附属部分的约束力反向加于基本部分，
求基本部分的反力，图 3.21c。 注意：基本部分受竖向荷载＋水平荷载＋附属部分传递 的水平力，反力公式（3.8）或（3.9）不适用。
CE 以 AC 为支座
3.3 静定结构内力计算举例
荷载传递关系： 图3.20c（无水平相互作用）
求解步骤：先算 EG，求 EG、CE 间的作用力FVE
再算 CE，求 CE、AC 间的作用力FVC
最后求各部分内力
q 2qa
q FVEF G
q
E FVC D
A Байду номын сангаасC
(c)
图 3.20
3.3 静定结构内力计算举例
M 图(kN.m)
图 3.19
3.3.4 复合式静定结构 3.3 静定结构内力计算举例
■ 组成规律：重复应用以上规则 次序有先后，关系有主从
基本部分 — 能独立存在并承受荷载 附属部分 — 依附于其他部分
■ 受力特点 ✓基本部分荷载，只影响基本部分的内力 ✓附属部分荷载影响附属部分及其所依附的基本部分 ✓基本部分除直接荷载外，还受到附属部分传递来 的 荷载
3.3 静定结构内力计算举例
解：求反力： FxA= 0， FyA= 3FP/4， FyB= FP/4
求FNAB。作截面 I-I，隔离右边， ΣMC = 0 → FNAB =FP / 4 × 2a /2a = FP/4
用结点法求其余各杆轴力。由结点 A 得
FN2 2 FP / 4 0.35FP
解：图3.20c，EG → FVE = –1.5q
CE → FVC = qa
求各部分的内力，作图（图3.20d、e）
2qa
2qa2
qa
1.5qa2
0.5qa2
0.5qa2
0.25qa
qa2 M图
(d)
0.5qa
1.75qa F Q图 (e)
2qa 2.5qa
图 3.20
3.3 静定结构内力计算举例
FNED = –FyEA = –90 kN
同理： FNCF = –120kN, FQCF = – 45kN ， FNGB =150kN，
FNGF = –90kN 180
图3.1c， MDC = –15×4×2 –FQCD×4 60
= –60kN·m（上拉）
30
30
同理
MFC = FQCF×4 = –180kN·m（上拉） 作梁式杆 M 图，图3.19。
C 60kN D 30kN 17.5 kN A
B 72.5kN
41.25 kN 168.75 kN (c)
3.3 静定结构内力计算举例
例3-14 复合式桁架，图3.23，求FNaB 。 解 左边的简支式桁架 ACac 为基本部分
右边的 DEde 为附属部分（什么式？）
计算步骤大体同前；
2Fp 2Fp 2Fp Fp am b c d e
取图3.1c隔离体，ΣMC = 0 → FNEG = (105×8 –15×8×4)/3 =120kN
ΣFx = 0、ΣFy = 0 → FNCD = –120kN， FQCD = 105 –15×8 = –15kN
3.3 静定结构内力计算举例
隔离结点E（图3.1d），得：
FxEA = FNEG =120 kN → FNEA =150 kN，FyEA= 90 kN
图3.25（复杂桁架），荷载如图3.26，易知： FNFG = FNGH = FP，其余内力和反力 = 0
满足桁架的所有平衡条件。 只要能肯定桁架 静定，根据惟一性即可断言， 这就是正确的解答！
3.4 静定结构的特性
F
A FxA
D FyA
a 2a
G
H
a
Ba
CE FyA
2a a
图 3.25
F A
D
GH