乘法公式地灵活运用
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文案大全
乘法公式的灵活运用
一、复习:
(a+b)(a-b)=a 2
-b 2
(a+b)2
=a 2
+2ab+b 2
(a-b)2
=a 2
-2ab+b 2
(a+b)(a 2
-ab+b 2
)=a 3
+b 3
(a-b)(a 2
+ab+b 2
)=a 3
－b 3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2
-y 2
② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2
-y 2
= x 2
-y 2
③ 指数变化，(x 2
+y 2
)(x 2
-y 2
)=x 4
-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2
-b 2
⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
=(xy )2
-(z +m )2
=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2
-(z 2
+zm +zm +m 2
) =x 2y 2
-z 2
-2zm -m 2
⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )
=(x -y )2
-z 2
=(x -y )(x -y )-z 2
=x 2
-xy -xy +y 2
-z 2 =x 2
-2xy +y 2
-z 2
⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2
+y 2
)
=(x 2
-y 2
)(x 2
+y 2) =x 4
-y 4
⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2
-(x +y -z )2
=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz
例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2
2b a +=ab b a 2)(2-+
∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222
=⨯-
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2
22b ab a +-
∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2
)(b a -
∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482
=⨯-
例3：计算19992
-2000×1998
〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992
-2000×1998 =19992
-（1999+1）×（1999-1） =19992
-（19992
-12
）=19992
-19992
+1 =1
例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2
+b 2
和(a-b)2
的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2
+b 2
=(a+b)2
-2ab=4-2=2 （a-b)2
=(a+b)2
-4ab=4-4=0
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例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2
-z 2
的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2
-z 2
是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。
解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2
-z 2
=（x+z ）(x-z)=14×4=56。
例6：判断（2+1）（22
+1）（24
+1）……（22048
+1）+1的个位数字是几？
〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构
成循环平方差。
解：（2+1）（22
+1）（24
+1）……（2
2048
+1）+1 =（2-1）（22
+1）（24
+1）……（22048
+1）+1
=24096
=161024 因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。
例7．运用公式简便计算
（1）1032
（2）1982
解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32
=10000+600+9 =10609 （2）1982
=(200-2)2
=2002
-2⨯200⨯2+22
=40000-800+4 =39204
例8．计算
（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)
解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2
-(4b )2
=a 2
-6ac +9c 2
-16b 2
（2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2
-( y 2
-4y +4)=9x 2
-y 2
+4y -4
例9．解下列各式
（1）已知a 2
+b 2
=13，ab =6，求(a +b )2
，(a -b )2
的值。 （2）已知(a +b )2
=7，(a -b )2
=4，求a 2
+b 2
，ab 的值。
（3）已知a (a -1)-(a 2
-b )=2，求222
a b ab +-的值。
（4）已知13x x -=，求4
41x x
+的值。
分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2
和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵a 2
+b 2
=13，ab =6
∴(a +b )2
=a 2
+b 2
+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2
=a 2
+b 2
-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2
=7，(a -b )2
=4
∴ a 2
+2ab +b 2
=7 ① a 2
-2ab +b 2
=4 ② ①+②得 2(a 2
+b 2
)=11，即22
11
2
a b +=
①-②得 4ab =3，即34
ab =
（3）由a (a -1)-(a 2
-b )=2 得a -b =-2
()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22
112222
a b =-=⨯-=